Bài tập về TÍCH PHÂN có lời giải chi tiết

ĐỀ GỐC
có đạo hàm liên tục trên đoạn

Câu 50. [2D3-4] Cho hàm số f  x 
1

1

2

  f   x  dx  7 và
0

2
 x f  x  dx 
0

7
A. .
5

1
. Tích phân
3

B. 1 .

 0;1

thỏa mãn f 1  0 ,

1

 f  x  dx bằng
0

7
.
4

C.

D. 4 .

Lời giải
Chọn A.
1

1

1
Từ giả thiết:  x f  x  dx    3 x 2 f  x  dx  1 .
3
0
0
2

1

Tính: I   3 x 2 f  x  dx .
0

u  f  x 
du  f   x  dx
Đặt: 
.


2
3
d
v

3
x
d
x
v

x


Ta có:
1

1

1

1

1

I   3x 2 f  x  dx  x 3 f  x    x3 . f   x  dx  1. f 1  0. f  0    x3 . f   x  dx    x 3 . f   x  dx .
0
0

0

1

0

1

Mà:  3 x 2 f  x  dx  1  1    x 3 . f   x  dx
0

0

1

  x 3 . f   x  dx   1
0

1

 7  x 3 . f   x  dx   7
0

1

1

1

2

  7 x3 . f   x  dx     f   x   dx , (theo giả thiết:
0
1

0



2

2

  f   x  dx  7 )
0



  7 x3 . f   x  +  f   x   dx  0
0
1

  f   x   7 x 3 + f   x  dx  0
0

7
 7 x 3 + f   x   0  f   x   7 x 3  f  x    x 4  C .
4
7
7
Với f 1  0   .14  C  0  C  .
4
4
7 4 7
Khi đó: f  x    x  .
4
4
1

Vậy:


0

1

1


7
7
7  x5
 7
f  x  dx     x 4  dx     x   .

4
4
4 5
0 5
0
-----------------------------------------------------------------------------------

Trang 1/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50

0


CÂU HỎI PHÁT TRIỂN
Câu 1:

[2D3-4-PT1] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 ,
1

1

2

  f   x  dx  36 và
0

A.

1
. Tích phân
5

 x. f  x  dx 
0

5
.
6

B.

3
.
2

1

 f  x  dx bằng
0

C. 4 .

D.

Lời giải
Chọn B.
1

1

1

Từ giả thiết:  x. f  x  dx    5 x. f  x  dx  1 .
5
0
0
1

Tính: I   5 x. f  x  dx .
0

 du  f   x  dx
u  f  x 

Đặt: 
.

5 2
dv  5 xdx v  x

2
1

1

Ta có: I   5 x. f  x  dx 
0

1

5 2
5

x . f  x    x 2 . f   x  dx
2
20
0

1

1

5
5
5
 . f 1   x 2 . f   x  dx  10   x 2 . f   x  dx , (vì f 1  4 )
2
20
20
1

1

5
Mà: I   5 x. f  x  dx  1  1  10   x 2 . f   x  dx
20
0
1

  x 2 . f   x  dx 
0

18

5

1

 10  x 2 . f   x  dx  36
0
1

1
2

1

2

 10  x . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:
0

0

  f   x 

2

dx  36 )

0

1

2
  10 x 2 . f   x    f   x    dx  0


0
1

  f   x  10 x 2  f   x   dx  0
0

 10 x 2  f   x   0  f   x   10 x 2  f  x  

10 x 3
C
3

10.1
2
C  C  .
3
3
3
10 x 2
 .
Khi đó: f  x  
3
3

Với f 1  4  4 

1

Vậy:


0

1

1

 10 x3 2 
 5x4 2 
3
f  x  dx   
 dx  
 x  .
3
3
3 0 2
 6
0

Trang 2/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50

2
.
3

Câu 2:

[2D3-4-PT2] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   3 ,
2

2

2

  f   x  dx  4 và
0

2
 x f  x  dx 
0

1
. Tích phân
3

297
B.
.
115

2
A.
.
115

2

 f  x  dx bằng
0

562
.
115

C.

D.

266
.
115

Lời giải
Chọn C.
2

Từ giả thiết:

2

2
 x f  x  dx 
0

1

  3 x 2 f  x  dx  1 .
3
0

2

Tính: I   3 x 2 f  x  dx .
0

u  f  x 
du  f   x  dx
Đặt: 
.


2
3
dv  3 x dx v  x
2
2

3

2

2

2

3

Ta có: I   3x f  x  dx  x . f  x  0   x . f   x  dx  24   x3 . f   x  dx , (vì f  2   3 )
0

0

2

0

2

Mà: I   3 x 2 f  x  dx  1  1  24   x3 . f   x  dx
0

0

2

  x3 . f   x  dx  23
0

2

4

x 3 . f   x  dx  4

23 0
2

2

1

2
4

x 3 . f   x  dx    f   x   dx , (theo giả thiết:

23 0
0

  f   x 

2

dx  4 )

0

2

2
4
   x 3 . f   x    f   x    dx  0
23

0 
2

4

  f   x   x 3  f   x   dx  0
 23

0
4 3
4 3
1 4

x  f  x  0  f  x 
x  f  x 
x C
23
23
23
16
53
C C 
Với f  2   3  3 
.
23
23
1 4 53
x 
Khi đó: f  x  
.
23
23

2

Vậy


0

Câu 3:

2

2

53 
562
 1 5 53 
 1
f  x  dx    x 4  dx  
x  x 
.
23
23 
23  0 115
 115
0

[2D3-4-PT3] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  4 ,
1

2

1

  f   x  dx  5 và
0

15
A.
.
19

1
0 x. f  x  dx   2 . Tích phân
17
B.
.
4

1

 f  x  dx bằng
0

17
.
18
Lời giải

C.

Chọn D.
Trang 3/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50

D.

15
.
4


du  f   x  dx
u  f  x  
Tính: I   x. f  x  dx . Đặt: 

1 2
dv  xdx
0
v  x

2
1
1
1 1 2
1 2
1 2
Ta có: I  x . f  x    x f   x  dx  2   x f   x  dx , (vì f 1  4 ).
0 20
2
20
1

1

1

 x. f  x  dx  

Mà:

0

1
1
1
   2   x 2 f   x  dx
2
2
20

1

1

  x 2 f   x  dx  5 , (theo giả thiết:
0
1

1

  f   x 

2

dx  5 )

0

2

  x 2 f   x  dx    f   x   dx
0
1

0



2



  x 2 f   x    f   x   dx  0
0
1

  f   x  .  x 2  f   x   dx  0
0

 x2  f   x   0  f   x   x2  f  x  

1 3
x C .
3

11
.
3
1
11
Khi đó: f  x   x3  .
3
3
1
1
11 
11  1 15
1
1
Vậy  f  x  dx    x 3   dx   x 4  x   .
3
3
3 0 4
 12
0
0

Với f 1  4  C 

Câu 4:

[2D3-4-PT4] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   6 ,
2

2

2

17
0  f   x  dx  7 và 0 x. f  x  dx  2 . Tích phân 0 f  x  dx bằng
A. 8 .
B. 6 .
C. 7 .
Lời giải
Chọn A.
2

D. 5 .

2

Tính: I   x. f  x  dx .
0

du  f   x  dx
u  f  x  
Đặt: 

1 2
dv  xdx
v  x


2
2
2 12
1
1
Ta có: I  x 2 . f  x    x 2 f   x  dx  12   x 2 f   x  dx , (vì f  2   6 ).
0 20
2
20
2

2

17
17
1

 12   x 2 f   x  dx
Theo giả thiết:  x. f  x  dx 
2
2
20
0
2

  x 2 f   x  dx  7
0

2



2

2

2
 x f   x  dx    f   x  dx
0

0

Trang 4/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50


2

  x f   x    f   x 
2



0

2

 dx  0

2

 f   x  .  x



2

 f   x   dx  0

0

1
 x2  f   x   0  f   x   x 2  f  x   x3  C .
3
10
Với f  2   6  C  .
3
1
10
Khi đó: f  x   x3  .
3
3
2
2
10 
10  2
1
1
Vậy  f  x  dx    x3   dx   x 4  x   8 .
3

3
3 0
 12
0
0

Câu 5:

[2D3-4-PT5] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  6 ,
3

3

2

  f   x  dx  2 và
0

2
 x . f  x  dx 
0

117
B.
.
20

53
A.
.

5

154
. Tích phân
3

3

 f  x  dx bằng
0

153
C.
.
5
Lời giải

D.

13
.
5

Chọn B.
3

Tính I   x 2 . f  x  dx .
0

du  f   x  dx

u  f  x 

Đặt 

.
1 3
2
dv  x dx v  x
3

3
3 13
1
1
Ta có I  x 3 . f  x    x3 f   x  dx  54   x3 f   x  dx , (vì f  3  6 ).
0 30
3
30
3

Theo giả thiết:

3

2
 x . f  x  dx 
0

154
154

1

 54   x 3 f   x  dx
3
3
30

3

  x 3 f   x  dx  8
0

3

3

2

3

  x f   x  dx  4  f   x   dx
0
3

0



2



  x3 f   x   4  f   x   dx  0
0
3

  f   x   x3  4 f   x   dx  0
0

3

 x  4 f  x  0  f  x 

x3
x4
 f  x   C .
4
16

15
.
16
x 4 15
Khi đó: f  x    .
16 16

Với f  3  6  C 

Trang 5/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50

3

Vậy


0

Câu 6:

3
15 
15  3 117
1
 1
f  x  dx    x 4   dx   x 5  x  
.
0
16
16
80
16
20




0

[2D3-4-PT6] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  2 ,

1

1

2

  f   x  dx  8 và
0

A. 

1
3

 x . f  x  dx  10 . Tích phân  f  x  dx bằng
0

0

194
B.
.
95

2
.
285

116
.

57
Lời giải

C.

584
.
285

D.

Chọn C.
1

Tính: I   x3 . f  x  dx .
0

du  f   x  dx
u  f  x 

Đặt: 

1 4
3
dv  x dx v  x

4
1
1 11
1

1 1
Ta có: I  x 4 . f  x    x 4 f   x  dx    x 4 f   x  dx , (vì f 1  2 ).
0 40
4
2 40
1

Theo giả thiết:

1
3

4

 x . f  x  dx  10   x f   x  dx  38
0

0

1

 8. x 4 f   x  dx  38.8
0
1

1

2

 8. x 4 f   x  dx  38.  f   x   dx

0

1

0



2



  8 x 4 f   x   38  f   x   dx  0
0
1

  f   x  . 8 x 4  38 f   x   dx  0
0

 8 x 4  38 f   x   0  f   x   

4 4
4
x  f  x    x5  C .
19
95

194
.
95

4
194
Khi đó: f  x    x5 
.
95
95
1
1
194 
 4
 2 6 194  1 116
x 
x 
Vậy  f  x  dx     x5 
.
 dx   
95
95 
95  0 57
 285
0
0

Với f 1  2  C 

Câu 7:

[2D3-4-PT7] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  6 ,
1

1

1

  f   x  dx  7 và

 xf  x  dx  5. Tích phân

 f  x  dx bằng

0

0

0

2

79
B.
.
12

A. 6 .

C. 

7
.
48

Lời giải
Chọn D.
1

Ta có:

 xf  x  dx  5.
0

Trang 6/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50

D.

103
.
16


du  f   x  dx
u  f  x  
Đặt: 

x2
dv  xdx
dv 

2
1

1

Suy ra:

 xf  x  dx 
0

1

1

1
1 2
1
x f  x    x 2 f   x  dx  3   x 2 f   x  dx , (Vì f 1  6 )
20
2
20
0

1

1

1
Mà  xf  x  dx  5  5  3   x 2 f   x  dx
20
0
1

1
2

  x f   x  dx  4  7  x 2 f   x  dx  4.7
0

0
1

1

2

 7  x 2 f   x  dx  4.  f   x   dx
0

0

1

2
  7 x 2 f   x   4  f   x    dx  0


0
1

  f   x  7 x 2  4 f   x   dx  0
0

7
7
 7 x 2  4 f   x   0  f   x    x 2  f  x    x3  C
4
12
79
Với f 1  6  C 
.
12
7
79
Khi đó: f  x    x3 
.
12
12
1
1
79 
79  1 103
 7
 7
x 
Vậy  f  x  dx     x3   dx    x 4 
.
12
12 
12  0 16
 48
0
0

Câu 8:

[2D3-4-PT8] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;3 thỏa mãn f  3  6 ,
3

3

2

  f   x  dx  91 và
0

A. 

2
 x . f  x  dx 
0

72
.
5

B. 

112
.
5

17

. Tích phân
2

3

 f  x  dx bằng
0

153
.
5
Lời giải

C.

D.

3
.
5

Chọn A.
3

Tính: I   x 2 . f  x  dx .
0

du  f   x  dx
u  f  x 


Đặt: 

.
1 3
2
dv  x dx v  x
3

3
3 13 3
1 3
1 3

Khi đó: I  x . f  x    x f  x  dx  54   x f   x  dx , (vì f  3  6 ).
0 30
3
30
3

Theo giả thiết:

2

 x . f  x  dx 

0
3



17
2

17
1
 54   x3 f   x  dx
2
30

Trang 7/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50


3

  x 3 f   x  dx 
0

273
2

3

 91 x3 f   x  dx 
0

273
.91
2

3

3

2
273
  91x f   x  dx 
 f   x   dx

2 0
0
3

3

2
273

   91x3 f   x  
 f   x    dx  0
2

0
3

273


  f   x  91x 3 
f   x   dx  0
2



0
273
2 3
x4


 91x 
f  x  0  f  x  x  f  x   C .
2
3
6
4
15
3
Với f  3  6  6   C  C   .
2
6
4
x 15
Khi đó: f  x    .
6 2
3
3
 x 4 15 
 x 5 15  3
72
Vậy  f  x  dx      dx    x    .
2

5
 30 2  0
0
0 6
3

Câu 9:

[2D3-4-PT9] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  3 ,
1

1

2

  f   x  dx  7 và
0

2
 x f  x  dx 
0

7
A.
.
36

2
. Tích phân
5

20
B.
.
9

1

 f  x  dx bằng
0

C.

73
.
36

D. 

35
.
276

Lời giải
Chọn B.
1

1

2

Từ giả thiết:  x f  x  dx    5 x 2 f  x  dx  2 .
5
0
0
2

1

Tính: I   5 x 2 f  x  dx .
0

 du  f   x  dx
u  f  x 

Đặt: 
.

5 x3
2
dv  5 x dx v 
3

Ta có:
1
1
1
1
5
5
5

5
I   5 x 2 f  x  dx  x 3 f  x    x 3 . f   x  dx  . f 1   x3 . f   x  dx
0
3
30
3
30
0
1

 5

5 3
x . f   x  dx , (do f 1  3 ).
3 0
1

1

1

5
9
Theo giả thiết:  5 x f  x  dx  2  2  5   x3 . f   x  dx   x3 . f   x  dx 
30
5
0
0
2

1

9
 7  x3 . f   x  dx  .7
5
0
Trang 8/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50


1

1

  7 x3 . f   x  dx 
0
1

2
9
 f   x   dx

50

2
9

   7 x3 . f   x    f   x   dx  0
5

0

1

9


  f   x  7 x3  f   x  dx  0
5


0
35 3
35 4
9


x  f  x 
x C .
 7 x3  f   x   0  f   x  
9
36
5


35
73
Với f 1  3  3  .14  C  C 
.
36
36
35 4 73

x 
Khi đó: f  x  
.
36
36
1

Vậy

1

1

20
73 
73 
 7
 35
f  x  dx    x 4  dx   x5  x  
.
36
36 
36  0 9
 36
0


0

Câu 10: [2D3-4-PT10] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0; 2 thỏa mãn f  2   2 ,

2

  f   x 

2

2

dx  4 và

0

A.

2
2

 x . f  x  dx  16 . Tích phân  f  x  dx bằng
0

5
.
2

0

B.

401
.

160

C.

399
.
160

D.

1
.
160

Lời giải
Chọn C.
2

Tính: I   x 2 . f  x  dx .
0

du  f   x  dx
u  f  x 

Đặt: 


1 3
2
dv  x dx v  x

3

2
2 12
1
16 1
Ta có: I  x 3 . f  x    x 3 f   x  dx    x 3 f   x  dx , (vì f  2   2 ).
0 30
3
3 30
2

Theo giả thiết:

2

 x . f  x  dx  16 .
0
2

 16 

16 1 3

x f   x  dx
3 3 0

2

  x3 f   x  dx  32

0
2

  x3 f   x  dx  8.4
0
2

2

2

3

  x f   x  dx  8.  f   x   dx
0

2

0



2



  x3 f   x   8  f   x   dx  0
0
2

  f   x   x 3  8 f   x   dx  0
0

Trang 9/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50


1
1
 x3  8 f   x   0  f   x    x 3  f  x    x 4  C
8
32
1
5
Với f  2   2  2   .24  C  C  .
32
2
1 4 5
Khi đó: f  x    x  .
32
2
1

Vậy


0

1

1

399
5
 1 5 5 
 1
f  x  dx     x 4  dx   
x  x 
.
32
2
2  0 160
 160
0

-----------------------------------------------------------------------------------

Trang 10/10 – PTĐ THAM KHẢO THPTQG 2018 – Câu 50