D06 phương pháp hàm số, đánh giá muc do 4

Câu 47:

[2D2-6.6-4] [THPT Đô Lương 4 - Nghệ An - 2018 - BTN] Xét các số thực dương x, y thỏa
mãn log

3

x y
3x  2 y  1
 x  x  3  y  y  3  xy . Tìm giá trị lớn nhất của P 
.
2
x  y  xy  2
x y6
2

B. 1

A. 2

D. 4

C. 3
Lời giải

Chọn B
Ta có log
 log
 log

3

x y
 x  x  3  y  y  3  xy
x  y 2  xy  2
2

3

 x  y   3  x  y   2  log

3

 x  y   3  x  y   log

3

x

3

2

3  log

 log 3 3  x  y   3  x  y   log

3

x

2

 y 2  xy  2    x 2  y 2  xy  2
3

x

2

 y 2  xy  2    x 2  y 2  xy  2 

 y 2  xy  2    x 2  y 2  xy  2  * .

Xét hàm số f  t   log 3 t  t , với t  0 .
có f   t  

1
 1  0 , t  0 .
t.ln 3

Vậy hàm số f  t  liên tục và đồng biến trên khoảng  0;   .
Do đó: f  3  x  y    f  x 2  y 2  xy  2   3  x  y   x 2  y 2  xy  2 1 .
Từ 1  xy   x  y   3  x  y   2 .
2

 x  y 1 
Ta có x  x  xy  xy  x  y  1  xy  
  xy .
2



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y  1 .
2

Do đó từ 1 , suy ra:

 x  y  1
x
4

2

  x  y   3 x  y   2 .
2

Đặt t  x  y , t  0 .

2 x  y  1 x

Suy ra: P 
x y6
Ta có: f   t  

 t  1
2t  1 

 t 2  3t  2
3t 2  22t  3
4


 f t  .
t 6
4 t  6

3t 2  36t  135
4 t  6

2

2

 0  t  3 (nhận).

Bảng biến thiên

t
f  t 

0



3



0



f t 
x  y 1
x  2

Dựa vào BBT, ta có max P  max f  t   f  3  1 khi và chỉ khi 
.
 0; 
x  y  3  y  1


Câu 50: [2D2-6.6-4] (Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu - 2017 - 2018 - BTN) Gọi S là tập hợp tất
cả các giá trị của tham số m để bất phương trình log3  x 2  5x  m   log3  x  2  có tập
nghiệm chứa khoảng  2;   . Tìm khẳng định đúng.
A. S   7;   .

B. S  6;   .

C. S   ; 4  .

D. S   ;5 .

Lời giải
Chọn A

x  2  0
x  2

.
log3  x 2  5x  m   log3  x  2    2
2

 x  5x  m  x  2
m   x  6 x  2
Bất phương trình log3  x 2  5x  m   log3  x  2  có tập nghiệm chứa khoảng  2;  

 m   x2  6 x  2 có nghiệm với mọi x   2;   .
Xét hàm số f ( x)   x 2  6 x  2 trên  2;  
Ta có f   x   2 x  6 , f   x   0  x  3
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

m   x2  6 x  2 có nghiệm với mọi x   2;    m  7 .
Câu 43: [2D2-6.6-4](CHUYÊN VINH LẦN 3-2018) Gọi a là giá trị nhỏ nhất của
 log3 2  log3 3 log3 4 ...  log3 n  , với n  , n  2 . Có bao nhiêu số n để f n  a ?
f  n 
 
9n
A. 2 .
B. vô số.
C. 1 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn A
log  n  1
log n
Ta có f  n  1  f  n  . 3
, f  n   f  n  1 . 3
9
9


 f  n   f  n  1
Do a là giá trị nhỏ nhất của f  n  nên f  n   a  

 f  n   f  n  1

log 3  n  1
 f  n   f  n  .

log 3  n  1  9
9
 39  1  n  39 .



log 3 n  9
 f  n  1 . log 3 n  f  n  1

9
Vậy có 2 giá trị của n thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 49.
[2D2-6.6-4] (Chuyên Thái Nguyên - 2018
- BTN)
Cho phương trình













log 2 x  x 2  1 .log 2017 x  x 2  1  log a x  x 2  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng


1; 2018

của tham số a sao cho phương trình đã cho có nghiệm lớn hơn 3 ?

A. 20 .

B. 19 .

C. 18 .

D. 17 .

Lời giải
Chọn C

x 2  1  x 2  x  x  x 2  1  0 và x  x 2  1  0 .

- Nhận thấy: với x  3 thì











Ta có: log 2 x  x 2  1 .log 2017 x  x 2  1  log a x  x 2  1













 log 2 x  x 2  1 .log 2017 x  x 2  1  log a 2.log 2 x  x 2  1











 log 2017 x  x 2  1  log a 2 1 (vì log 2 x  x 2  1  0 , x  3 ).





- Xét hàm số f  x   log 2017 x  x 2  1 trên khoảng  3;   .

1

Có: f   x  

x  1.ln 2017
2

 f   x   0 , x  3 .

BBT:

- Từ BBT ta thấy: phương trình 1 có nghiệm lớn hơn 3  log 2 a  f  3





 log 2 a  log 2017 3  2 2  log 2 a  log32 2 2017 (do a  1 )

a2

log32

2

2017

 19,9 . Lại do a nguyên thuộc khoảng 1; 2018 nên a 2;3;...;19 .

Vậy có 18 giá trị của a thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 3395:

PHÒNG - 2017]
 

2log3  cot x   log 2  cos x  có bao nhiêu nghiệm trên khoảng   ; 2  ?
 6

A. 1 .
B. 4 .
C. 3 .
D. 2 .
Lời giải
Chọn A
cot x  0
 
    3


Điều kiện: 
. Kết hợp giả thiết x    ; 2   x   0;     ;
2
 2 
 6

cos x  0
[2D2-6.6-4]

[THPT

TRẦN

PHÚ

HẢI

Phương

trình


.


2
t

cot x  3
Đặt 2log3  cot x   log 2  cos x   t , ta có hệ 

.
t
cos
x

2


1
1
Áp dụng công thức: 1  cot 2 x 
, ta có phương trình: 1  3t  t  4t  12t  1  0. (*)
2
4
cos x
t
t
t
Xét hàm số f  t   4  12  1 liên tục trên R và có f (t )  4 ln 4  12t ln12  0 x  R. .

Suy ra f  t   4t  12t  1 là hàm đồng biến trên R.
Nên phương trình (*) có nhiều nhất một nghiệm.


2
Lại có f  1 . f  0     0 , suy ra phương trình (*) có nghiệm t duy nhất trong khoảng
3
 1;0   2t   1 ;1 .
2 
2

t

cot x  3
Khi đó hệ phương trình 
có nghiệm duy nhất trên
t

cos x  2

    3
 0;     ;
2
 2 


.


 

Vậy phương trình 2log3  cot x   log 2  cos x  chỉ có đúng một nghiệm trên   ; 2  .
6



[2D2-6.6-4] [BTN 162 - 2017] Cho phương trình 2log3  cot x   log 2  cos x  . Phương

Câu 3396:

   

trình này có bao nhiêu nghiệm trên khoảng  ;  .
6 2 
A. 4 .
B. 2 .
C. 3 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B
2
u

cot x  3
Điều kiện sin x  0,cos x  0 . Đặt u  log 2  cos x  khi đó 
.
u

cos x  2

 2   3u  f u   4   4u  1  0 .
cos 2 x
Vì cot 2 x 
suy ra
   
2
2
1  cos x
3
1   2u 

u 2

u

u

4  4
f   u     ln    4u ln 4  0, u 
3  3

phương trình
cos x 

f u   0

. Suy ra hàm số f  u  đồng biến trên

f  1  0

có nhiều nhất một nghiệm, ta thấy

1

 x    k 2  k 
2
3

suy ra

.

Theo điều kiện ta đặt suy ra nghiệm thỏa mãn là x 


3

 k 2 . Khi đó phương trình nằm trong


7
  9 
khoảng  ;  là x  , x 
. Vậy phương trình có hai nghiệm trên khoảng
3
3
6 2 
Câu 3451:

, suy ra

[2D2-6.6-4] Cho phương trình 4

 xm

log

2

x

2

 2 x  3  2  x

2

2 x

  9
 ;
6 2


.


log 1  2 x  m  2   0 .
2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân
biệt.
1
3
1
A. m  hoặc m  .
B. m   .
2
2
2
3

3
1
C. m  .
D. m   hoặc m   .
2
2
2
Lời giải
Chọn A
2
 xm
4
log 2  x 2  2 x  3  2 x  2 x log 1  2 x  m  2   0
1 2 x  m

2

log 2  x  2 x  3  2
2

2

 x2  2 x

log 2  2 x  m  2 




log 2  x 2  2 x  3



3 x 2  2 x  3

2





log 2  2 x  m  2 
3 2  2 x  m 
2 

. Xét hàm số f  u  

log 2 u 2u log 2 u
với u  2 . Ta

23u
8

1 u
2u 
có f  u    2 .log 2 u.ln 2 
  0 , u  2 . Suy ra hàm số f  u  đồng biến trên
8
u.ln 2 
/

 x 2  4 x  1  2m  0 1
.
 2;    nên f  x  2 x  3  f  2 x  m  2   x  1  2 x  m   2
 2
 x  1  2m  0
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình  2  vô nghiệm, suy
2

2

3  2m  0
1
1
 m  . Suy ra m  thỏa 1* .
ra 
2
2
 2m  1  0
TH2: Phương trình  2  có hai nghiệm phân biệt, phương trình 1 vô nghiệm, suy
3  2m  0
3
3
 m  . Suy ra m  thỏa  2* .
ra 
2
2
 2m  1  0
3

TH3: Phương trình 1 có nghiệm kép suy ra m  , khi đó nghiệm của phương
2
trình 1 là x  2 , nghiệm của phương trình  2  là x   2 , suy ra phương trình đã cho có 3

nghiệm. Suy ra m 

3
không thỏa  3* .
2

1
TH4: Phương trình  2  có nghiệm kép suy ra m  , khi đó nghiệm của phương
2
trình  2  là x  0 , nghiệm của phương trình 1 là x  2  2 , suy ra phương trình đã cho có
1
không thỏa  4* .
2
TH5: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình  2  có hai nghiệm

3 nghiệm. Suy ra m 

phân biệt nhưng hai phương trình này có nghiệm giống nhau.
3  2m  0
1
3
 m .
Khi đó 
2
2
 2m  1  0

Gọi a , b  b  a  là hai nghiệm của phương trình 1 , theo định lí Vi-ét ta có

a  b  0
a  b  4
 4  , từ
 3 . Vì a , b cũng là nghiệm của phương trình  2  nên 

a.b  2m  1
a.b  2m  1
 3 và  4  ta suy ra m  5* .
1
3
hoặc m  thỏa.
2
2
2
 x2  2 x
log 2  x  2 x  3  2
log 1  2 x  m  2   0 .

Từ 1* ,  2* ,  3* ,  4* và  5* suy ra m 
Câu 3454:

[2D2-6.6-4] Cho phương trình 4

 xm

2

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân
biệt.
1
3
1
A. m  hoặc m  .
B. m   .
2
2
2
3
3
1
C. m  .
D. m   hoặc m   .
2
2
2
Lời giải
Chọn A


4

log

2

2

2

 2 x  3  2  x

2

log 2  x 2  2 x  3



3 x 2  2 x  3

2

x

log 2  x  2 x  3  2

1 2 x  m



 xm





2

2 x

log 1  2 x  m  2   0
2

 x2  2 x

log 2  2 x  m  2 

log 2  2 x  m  2 
3 2  2 x  m 
2 

. Xét hàm số f  u  

log 2 u 2u log 2 u
với u  2 . Ta

23u
8

1
2u 
có f /  u    2u.log 2 u.ln 2 
  0 , u  2 . Suy ra hàm số f  u  đồng biến trên
8
u.ln 2 
 x 2  4 x  1  2m  0 1
2
2

.
 2;    nên f  x  2 x  3  f  2 x  m  2   x  1  2 x  m   2
 2
 x  1  2m  0
Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.
TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình  2  vô nghiệm, suy

3  2m  0
1
1
 m  . Suy ra m  thỏa 1* .
ra 
2
2
 2m  1  0
TH2: Phương trình  2  có hai nghiệm phân biệt, phương trình 1 vô nghiệm, suy
3  2m  0
3
3
 m  . Suy ra m  thỏa  2* .
ra 
2
2
 2m  1  0
3
TH3: Phương trình 1 có nghiệm kép suy ra m  , khi đó nghiệm của phương
2
trình 1 là x  2 , nghiệm của phương trình  2  là x   2 , suy ra phương trình đã cho có 3

nghiệm. Suy ra m 

3
không thỏa  3* .
2

1
TH4: Phương trình  2  có nghiệm kép suy ra m  , khi đó nghiệm của phương
2
trình  2  là x  0 , nghiệm của phương trình 1 là x  2  2 , suy ra phương trình đã cho có
1
không thỏa  4* .
2
TH5: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình  2  có hai nghiệm

3 nghiệm. Suy ra m 

phân biệt nhưng hai phương trình này có nghiệm giống nhau.
3  2m  0
1
3
 m .
Khi đó 
2
2
 2m  1  0

Gọi a , b  b  a  là hai nghiệm của phương trình 1 , theo định lí Vi-ét ta có

a  b  0
a  b  4

 4  , từ
 3 . Vì a , b cũng là nghiệm của phương trình  2  nên 

a.b  2m  1
a.b  2m  1
 3 và  4  ta suy ra m  5* .
Từ 1* ,  2* ,  3* ,  4* và  5* suy ra m 

1
3
hoặc m  thỏa mãn.
2
2

Câu 1162: [2D2-6.6-4] [SGD – HÀ TĨNH] Biết tập nghiệm của bất phương trình
log3





x 2  x  4  1  2log5  x 2  x  5  3 là  a; b  . Khi đó tổng a  2b bằng

A. 3 .

B. 4 .

C. 2 .
Lời giải

Chọn C

D. 1.


Xét hàm số f  x   log3


 f   x    2 x  1 
2

Dễ đánh giá g  x  

2





x 2  x  4  1  2log5  x 2  x  5 .


2

 2

2
2
x  x  4  1 x  x  4 ln 3  x  x  5 ln 5 


1
2
 2
 0 , x 
2
2
x  x  4  1 x  x  4 ln 3  x  x  5 ln 5
1









Bảng biến thiên:

x



y

–

1
2
0



5

2
y

4
Có f  0   f 1  3 và dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   3  x   0;1

Vậy a  0; b  1 ; suy ra a  2b  2
Câu 27:

[2D2-6.6-4] (THPT Phan Đăng Lưu - Huế - Lần I - 2017 - 2018) Cho phương trình
1
2
 4m  4  0 1 . Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên
 m  1 log 21  x  1  4  m  5 log 1
3
3 x 1
 2 
âm để phương trình 1 có nghiệm thực trong đoạn   ; 2  ?
 3 
A. 6 .
B. 5 .
C. 2 .
Lời giải
Chọn D
Ta có

1  4  m  1 log 21  x  1  4  m  5 log 1  x  1  4m  4  0
3

  m  1 log

2
1
3

3

 x  1   m  5 log 1  x  1  m  1  0
3

 2 
Đặt t  log 1  x  1 , với x    ; 2 thì 1  t  1. Ta có phương trình:
 3 
3

 m 1 t 2   m  5 t  m 1  0  m t 2  t  1  t 2  5t  1
m

t 2  5t  1
t2  t 1

 2

t 2  5t  1
Xét hàm số f  t   2
với 1  t  1.

t  t 1
t  1
4t 2  4
0
Ta có f   t  
.
2
2
t


1

 t  t  1
f  1 

7
, f 1  3
3

Do đó min f  t   3 và max f  t  
1;1

1;1

7
.
3

D. 3 .

 2 
Phương trình đã cho có nghiệm thực trong đoạn   ; 2  khi và chỉ khi phương trình  2  có
 3 
7
nghiệm t   1;1  min f  t   m  max f  t   3  m  .
1;1
1;1
3
 2 
Như vậy, các giá trị nguyên âm m để phương trình 1 có nghiệm thực trong đoạn   ; 2  là
 3 

3; 2; 1 .
Câu 47: [2D2-6.6-4] (THTT - Số 484 - Tháng 10 - 2017 - BTN) Biết x1 , x2 là hai nghiệm của phương

 4x2  4 x  1 
1
2
trình log 7 
  4 x  1  6 x và x 1 2 x2  a  b
2x
4


dương. Tính a  b.
A. a  b  16 .
B. a  b  11.
C. a  b  14 .

Lời giải
Chọn C.
x  0

Điều kiện 
1
 x  2





với a , b là hai số nguyên

D. a  b  13.

  2 x  12 
 4 x2  4 x  1 
2
Ta có log 7 
  4x2  4x  1  2x
  4 x  1  6 x  log 7 

2x


 2x 
 log7  2 x  1   2 x  1  log 7 2 x  2 x 1
2

2

Xét hàm số f  t   log 7 t  t  f   t  

1
 1  0 với t  0
t ln 7

Vậy hàm số đồng biến

3 5
x

2
4
 f  2 x    2 x  1  2 x  

3 5
x 

4

Phương trình 1 trở thành f

 2x 1 

9  5

Vậy x1  2 x2   4
9  5


 4

 a  9; b  5  a  b  9  5  14.

l 
 tm 

2