“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP hàm số tìm GIÁ TRỊ lớn NHẤT, NHỎ NHẤT của BIỂU THỨC và CHỨNG MINH bất ĐẲNG THỨC ”

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chuyên đề:

“SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ
NHẤT CỦA BIỂU THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC.”
Môn: Toán
Tổ : Toán - Lý - Tin
Mã : 55
Người thực hiện: Phạm Văn Minh
Điện thoại: 0166.817.9181
Email:

Trường THPT Bình Sơn

MỤC LỤC
1

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Nội dụng

Trang

A. MỞ ĐẦU

3

I. Lí do chọn đề tài

3

II. Mục đích nghiên cứu

3

III. Đối tượng học sinh

3

IV.Dự kiến thời gian

3

B. NỘI DUNG

4

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ

4

1. Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số

4

2. Cực trị của hàm số

4

3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức

5

4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài

6

5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số

7

6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và
chứng minh bất đẳng thức

7

II. CÁC VÍ DỤ

8

1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức

8

Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn

8

Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn

9

2.Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức

15

Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn

15

Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn

24

III. BÀI TẬP

32

C. KẾT QUẢ SAU KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI

38

D. ĐỀ XUẤT VÀ KIẾN NGHỊ

38

E. TÀI LIỆU THAM KHẢO

38

Trường THPT Bình Sơn

2

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

A.PHẦN MỞ ĐẦU
I.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong quá trình tìm tòi, nghiên cứu để viết chuyên đề tôi lựa chọn viết chuyên đề
này vì các lý do sau:
- Xu hướng ra đề thi đại học những năm gần đây, ở câu bất đẳng thức người ra đề
thường ra bài toán mà có thể giải bằng nhiều cách giải. Và sử dụng phương pháp hàm
số là một trong những cách giải của bài toán.
- Trong quá trình giảng dạy và tìm tòi tài liệu tôi nhận thấy tài liệu về: “Sử dụng
phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức” còn
rất ít và trình bày rời rạc, chưa thành hệ thống.
- Thực tế giảng dạy cho thấy, học sinh rất cần có một tài liệu trình bày có hệ thống về:
“Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng
thức” để các em có thể học tập tốt hơn. Đồng thời tài liệu cũng có thể giúp cho các
giáo viên bồi dưỡng chuyên môn nâng cao khả năng của bản thân.
Chính vì những lý do, tôi quyết định viết chuyên đề về: “Sử dụng phương pháp
hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức”.
II.MỤC ĐÍCH

Chuyên đề viết ra nhằm đạt các mục đích sau:
- Chuyên đề là tài liệu dạy và học trong việc ôn thi đại học cao đẳng, đồng thời cùng
dùng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
- Chuyên đề giúp giáo viên nâng cao chuyên môn.
- Chuyên đề nhằm phát triển và rèn luyện tư duy hàm cho học sinh.
- Đồng thời mong muốn thông qua chuyên đề học sinh có thể nâng cao được điểm thi
đại học cao đẳng.
III.ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH
- Đối tượng dạy học của chuyên đề là học sinh lớp 12A1, 12A2 của trường THPT
Bình Sơn.
IV.THỜI GIAN DẠY CHUYÊN ĐỀ
- Dự kiến thời lượng giảng dạy chuyên đề là : 9 tiết.

Trường THPT Bình Sơn

B.NỘI DUNG
3

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

I. MỘT SỐ KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ
1.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số
1.1. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x) xác định trên khoảng K. Khi đó
*) f ( x) gọi là đồng biến trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 ta đều có f ( x1 ) < f ( x2 ).
*) f ( x) gọi là nghịch biến trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K mà x1 < x2 ta đều có f ( x1 ) > f ( x2 ).
Các hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng còn được gọi chung là các hàm
đơn điệu trên khoảng đó.

1.2. Định lý ( Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng)
Cho hàm số f ( x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Khi đó
*) Nếu f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) đồng
biến trên (a; b) .
*) Nếu f ( x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) (và dấu = chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm) thì f ( x) nghịch
biến trên (a; b) .
1.3. Điểm tới hạn của hàm số
Điểm x0 được gọi là điểm tới hạn của hàm số f ( x) nếu nó thuộc tập xác định của
f ( x) và f '( x0 ) = 0 hoặc f '( x0 ) không xác định.
Chú ý: Trên mỗi khoảng phân chia bởi hai điểm tới hạn kề nhau, đạo hàm của hàm số
giữ nguyên một dấu.
2. Cực trị của hàm số
2.1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D, x0 ∈ D
*) x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao
cho (a;b) ⊂ D và f(x)đại của f.
*) x0 được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại khoảng (a;b) chứa điểm x0 sao
cho (a;b) ⊂ D và f(x)>f(x0), với mọi x0∈ (a;b)\{x0}. Lúc đó, f(x0) được gọi là giá trị cực
tiểu của f.
- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số.
- Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị của hàm số.
- Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số f thì điểm (x0; f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ
thị hàm số f.
2.2. Định lí 1 (Định lí Fecmart-Điều kiện cần để hàm số có cực trị)
Nếu hàm số f có đạo hàm và đạt cực trị tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
2.3. Định lí 2 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 1)
Trường THPT Bình Sơn

4

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng
(a;x0) và (x0;b). Khi đó:
i) Nếu f’(x)<0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) > 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực tiểu tại điểm x0
ii) Nếu f’(x)>0, ∀x ∈ (a;x0 ) và f’(x) < 0 ∀x ∈ ( x0 ;b) thì f đạt cực đại tại điểm x0
Quy tắc 1
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các điểm tới hạn.
-Lập Bảng biến thiên.
-Kết luận.
2.4. Định lí 3 (Điều kiện đủ - Dấu hiệu 2)
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 đồng thời f’(x0)
= 0 và f’’(x0) ≠ 0. Khi đó
i) Nếu f’’(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0
ii) Nếu f’’(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0
Quy tắc 2
-Tìm tập xác định.
-Tính f’(x). Tìm các nghiệm xi của phương trình f’(x) = 0
-Tính f’’(x) và suy ra f’’(xi).
o

Nếu f’’(xi) < 0 thì f đạt cực đại tại xi

o

Nếu f’’(xi) > 0 thì f đạt cực tiểu tại xi

Chú ý: Khi áp dụng qui tắc 2, ta chỉ tìm được các điểm cực trị là nghiệm của phương
trình f’(x)=0, hơn nữa f’’(x) phải bằng khác 0. Ngoài các trường hợp trên, ta phải sử
dụng qui tắc 1.
3. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số và biểu thức
3.1. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
<1>Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên tập D. Khi đó
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 M ≥ f ( x)∀x ∈ D

∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = M
f ( x) = f ( x0 ) .
Kí hiệu: M = max
D

Trường THPT Bình Sơn

5

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 m ≤ f ( x)∀x ∈ D

∃x0 ∈ D | f ( x0 ) = m
f ( x) = f ( x0 ) .
Kí hiệu: m = min

D

<2>Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng:
- Tính đạo hàm
- Lập Bảng biến thiên
- Dựa vào Bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
<3> Các bước tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a;b]:
- Tính đạo hàm
- Tìm các điểm tới hạn xi và tính các giá trị f (a), f (b), f ( xi ).
f ( x ) = max { f (a ); f (b); f ( xi )} ; min f ( x) = min { f ( a); f (b); f ( xi )}
- Kết luận max
[a ;b ]
[a ;b ]

3.2. Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức
Cho biểu thức n biến P = f ( x1; x2 ;...; xn ) xác định trên D = D1 × D2 × ... × Dn , tức là
xi ∈ Di , ∀i = 1, n. Khi đó
- Số M được gọi là giá trị lớn nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 M ≥ P, ∀xi ∈ Di , i = 1, n
 0
0
0
0
∃xi ∈ Di , ∀i = 1, n sao cho P = f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = M
f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) .
Kí hiệu: Pmax = M = max
D

- Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của P trên D nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
 m ≤ P, ∀xi ∈ Di , i = 1, n

 0
0
0
0
∃xi ∈ Di , ∀i = 1, n sao cho P = f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = m
f ( x1 ; x2 ;...; xn ) = f ( x10 ; x20 ;....; xn0 ) .
Kí hiệu: Pmin = m = min
D

4. Một số Bất đẳng thức áp dụng trong đề tài
4.1. Bất đẳng thức Cô si
- Trường hợp 2 số: Với mọi x, y không âm, ta đều có: x + y ≥ 2 xy . Dấu bằng xảy ra khi
và chỉ khi x = y.
- Trường hợp 3 số: Với mọi x, y, z không âm, ta đều có: x + y + z ≥ 3 3 xyz .
Bất đẳng thức Cô si được vận dụng nhiều trong các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
cũng như các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Ta có thể khai thác, sử dụng các dạng
Trường THPT Bình Sơn

6

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

thức khác nhau của bất đẳng thức này, chẳng hạn trường hợp ba số dương, ta có các dạng
khác như:
1 1 1
x + y + z ≥ 3 xyz; + + ≥
x y z

3

3

3

3

3

3
9
 x+ y+z
≥
;
÷ ≥ xyz;...
3
xyz x + y + z 


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
4.2. Bất đẳng thức Bunhia-copxki
Với 6 số thực bất kì: a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta luôn có
a1b1 + a1b1 + a1b1 ≤ a1b1 + a1b1 + a1b1 ≤

(a

2
1

+ a22 + a32 ) . ( b12 + b22 + b32 )

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 : a2 : a3 = b1 : b2 : b3 .
4.3. Các bất đẳng thức suy ra từ bình phương một biểu thức
*) ( x − y ) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + y 2 ≥ 2 xy. Dấu bằng xảy ra khi x = y.
*) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + zx .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z.
*) ( x − y ) 2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2 ≥ 0 ⇔ ( x + y + z ) 2 ≥ 3( xy + yz + zx)
5. Các bước lập Bảng biến thiên của hàm số
Việc lập Bảng biến thiên của hàm số là một khâu quan trọng trong quá trình giải bài
toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số một biến trên khoảng hay nửa khoảng.
Kỹ năng này học sinh đã được rèn luyện nhiều trong quá trình học lý thuyết, vì thời gian
không nhiều nên trong đề tài này tôi chỉ đề cập tới kĩ năng chuyển bài toán tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến thành bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của
hàm số (một biến) và đưa ra bảng biến thiên để suy ra kết luận cuối cùng mà không trình
bày chi tiết từng bước, đặc biệt là bỏ qua việc tìm giới hạn. Trong giảng dạy, yêu cầu học
sinh phải lập bảng biến thiên với những bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm
số trên một khoảng hay nửa khoảng, còn với đoạn thì ta không cần lập bảng biến thiên.
Các bước cơ bản để lập Bảng biến thiên bao gồm: Tìm tập xác định, tính đạo hàm, tìm
các điểm tới hạn, các giới hạn cần thiết rồi hoàn thiện Bảng biến thiên.
6. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và chứng minh
bất đẳng thức:
- Đánh giá, biến đổi biểu thức, bất đẳng thức đưa về xét một hàm số.
- Tìm khoảng đánh giá của hàm số.
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng vừa tìm được.
- Giải quyết bài toán ban đầu.
II. CÁC VÍ DỤ
Trường THPT Bình Sơn

7

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

1.Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh bất đẳng thức
Dạng 1. Bất đẳng thức chỉ có 1 ẩn
- Đối với bất đẳng thức dạng này ta chuyển tất cả sang một vế và xét hàm số .
Ví dụ 1. Chứng minh rằng: e x + cos x ≥ 2 + x −
x2
LG: Xét hàm số f ( x) = e + cos x − 2 − x + ,
2
x

x2
,
2

∀x ∈ ¡

x∈¡

f '( x) = e x − sin x − 1 + x ⇒ f ''( x) = e x − cos x + 1 > 0 , ∀x ∈ ¡
⇒ f '( x) là hàm số đồng biến và f '( x) = 0 có tối đa một nghiệm. Kiểm tra thấy x = 0 là
nghiệm duy nhất của f '( x) = 0 .
Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT của f ( x)
⇒ f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇒ e x + cos x ≥ 2 + x −

x2
,
2

x∈¡

Ví dụ 2. Chứng minh rằng: ∀x ∈ ( 0;1) luôn có x ( 1 − x 2 ) ≤

2 3
9

2
2
Lg: Xét hàm số: f ( x ) = x ( 1 − x ) ; x ∈ ( 0;1) f ' ( x ) = 1 − 3x ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x = ±

1
3

Bảng biến thiên:

Trường THPT Bình Sơn

8

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Từ đó suy ra: f ( x ) ≤

2 3
; ∀x ∈ ( 0;1)
9

Dấu “=” xảy ra khi x =

1
.
3

Dạng 2. Bất đẳng thức có nhiều ẩn
- Đối với bất đẳng thức có 2 ẩn thì từ giả thiết ta biểu diễn 1 ẩn theo ẩn còn lại rồi
thay vào bất đẳng thức để xét hàm số.
- Đối với bất đẳng thức có nhiều hơn 2 ẩn thì sử dụng đánh giá tìm ra hàm số, ra
khoảng của biến số để giải.
Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 thì
a
b
c
3 3
+
+
≥
b2 + c 2 a 2 + c2 a 2 + b2
2
Lg:
1
3 3

x
3 3x 2
≥
⇒
≥
Áp dụng ví dụ 2) ta có:
2
1 − x2
2
x ( 1 − x2 )

a
b
c
a
b
c
+ 2 2+ 2
=
+
+
2
2
2
2
b +c
a +c
a + b 1 − a 1 − b 1 − c2

Do đó:

2

3 3a 2 3 3b 2 3 3c 2 3 3 2
3 3
≥
+
+
=
a + b2 + c2 ) =
(
2
2
2
2
2
Vậy

a
b
c
3 3
+ 2
+ 2
≥
2
2
2
b +c
a +c

a +b
2
2

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c =

1
.
3

1
4
4
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với x + y = 1 thì x + y ≥ .
8
Trường THPT Bình Sơn

9

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Lg: Từ x + y = 1 ⇒ y = 1 − x nên x 4 + y 4 = x 4 + ( 1 − x )

4

Xét hàm số: f ( x ) = x 4 + ( 1 − x ) 4 ⇒ f ' ( x ) = 4 x3 − 4 ( 1 − x ) 3 ; f ' ( x ) = 0 ⇔ x =

1
.
2

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra: f ( x ) ≥

1
8

∀x ∈ ¡

1
Dấu “=” xảy ra khi x = y = .
2
Ví dụ 5. Cho các số thực x, y thay đổi và thỏa mãn ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 . Chứng minh :
P = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1 ≥

9
16

Lg: Ta có ( x + y )3 + 4 xy ≥ 2 ⇒ 2 ≤ ( x + y )3 + ( x + y ) 2 ⇒ x + y ≥ 1 ⇒ x 2 + y 2 ≥

1
2

P = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) − 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
3

3
= x 2 + y 2 + x 4 + y 4 − 2( x 2 + y 2 ) + 1
2
2
2
9
≥ x 2 + y 2 − 2( x 2 + y 2 ) + 1
4

(

)

(

)

(

)

1
9
Đặt t = x 2 + y 2 ⇒ t ≥ . Khi đó: P ≥ .t 2 − 2t + 1
2
4
9
1
Xét hàm số: f (t ) = .t 2 − 2t + 1 với t ≥ .
4

2
9
f '(t ) = .t − 2 ≥ 0
2

∀t ≥

Trường THPT Bình Sơn

1
⇒ Suy ra hàm số đồng biến trên
2

10

1

 2 ; +∞ ÷

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

9
1 9
P ≥ f (t ) ≥ f  ÷ = ⇒ P ≥
(ĐPCM)
16
 2  16

1
2
1 1 1
Ví dụ 6. Chứng minh rằng: ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 với mọi số thực x, y, z ∈ [ 1;3]
x y z
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =

2
Lg: Ta có : x ∈ [ 1;3] ⇒ (3 − x)( x − 1) ≥ 0 ⇔ − x + 4 x − 3 ≥ 0 ⇔ 4 − x −

Tương tự :

3
1 4− x
≥0⇔ ≤
x
x
3

1 4− y
1 4− z
≤
; ≤
y
3
z
3

1 1 1
4− x 4− y 4− z

+
+
Suy ra: P = ( x + y + z )  + + ÷≤ ( x + y + z ) 
÷
3
3 
 3
x y z
2
x + y + z)
(
−

P ≤ 4( x + y + z )

3

Đặt t = x + y + z ⇒ t ∈ [ 3;9]
Khi đó : P ≤ f (t ) = 4t −
f '(t ) = 4 −

t2
t2
. Xét hàm số : f (t ) = 4t −
với t ∈ [ 3;9]
3
3

2t
; f '(t ) = 0 ⇔ t = 6

3

f (3) = f (9) = 9; f (6) = 12 ⇒ f (t ) ≤ f (6) = 12 với mọi t ∈ [ 3;9]
1 1 1
Vậy ( x + y + z )  + + ÷ ≤ 12 (ĐPCM)
x y z
Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thỏa mãn a 2 + b 2 + c 2 = 1 , ta có:
a 5 − 2a 3 + a b 5 − 2b3 + b c 5 − 2c 3 + c 2
+
+
≤
b2 + c 2
c2 + a2
a2 + b2
3
Lg: Do a, b, c > 0 , a 2 + b 2 + c 2 = 1 ⇒ a, b, c ∈ (0;1)

(

)

5
3
a a2 − 1
a
−
2
a
+
a

Ta có:
=
b2 + c 2
1 − a2

(

2

= −a3 + a

) (

) (

)

3
3
3
Bất đẳng thức trở thành: −a + a + −b + b + −c + c ≤

Trường THPT Bình Sơn

11

2
3
GV: Phạm Văn Minh

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.
3

Xét hàm số : f ( x) = − x + x

với x ∈ ( 0;1)

1
3

f '(t ) = −3x 2 + 1; f '( x) = 0 ⇔ t =
Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra : Max f ( x) =
(0;1)

(

) (

) (

2
3 3

)

3
3

3
Suy ra: −a + a + −b + b + −c + c ≤

Đẳng thức xảy ra ⇔ a = b = c =

2
3

(ĐPCM)

1
3

Ví dụ 8. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 1 .
Chứng minh rằng: ab + bc + ca − 2abc ≤

7
.
27

Lg:
Ta có ab + bc + ca − 2abc = a (b + c) + (1 − 2a )bc = a (1 − a ) + (1 − 2a)bc .
(b + c) 2 (1 − a) 2
Đặt t = bc thì ta có 0 ≤ t = bc ≤
.
=
4
4
 (1 − a) 2 
Xét hs f (t ) = a(1 − a) + (1 − 2a )t trên đoạn  0;

.
4


2
(
a
+
1
−
a
)
1 7
Có f (0) = a (1 − a) ≤
= <
4
4 27
2
 (1 − a) 2  7 1
1 
1
7
− (2a + )  a − ÷ ≤
và f 
với mọi a ∈ [ 0;1]
÷=
3 
3  27
 4  27 4

Trường THPT Bình Sơn

12

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

7
 1
Với a ∈  0;  ⇒ f (t ) ≤ f (0) <
27
 2
 (1 − a) 2  7
1 
Với a ∈  ;1 ⇒ f (t ) ≤ f 
÷≤
2 
 4  27
7
. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1/3
27
Ví dụ 9. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 . Chứng minh rằng:
Vậy ab + bc + ca − 2abc ≤

3

x− y

+3

y− z

z− x

+3

− 6x2 + 6 y2 + 6z 2 ≥ 3

(Đề thi ĐH khối B năm 2012)
Lg:

t
Trước tiên, ta đi chứng minh f ' ( t ) = 3 ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0(*)

t
Thật vậy: Xét hàm số f ( t ) = 3 − t − 1; t ≥ 0

f ' ( t ) = 3t ln t − 1 > 0; ∀t ≥ 0 . Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng

⇒ f ( t) ≥ f ( t) = 0
Áp dụng (*) ta có: 3

( 0;+∞ )

Dấu bằng xảy ra khi t = 0
x− y

+3

y−z

+3

z−x

≥ x− y + y− z + z−x +3

Áp dụng BĐT: a + b ≥ a + b , ta được:

( x− y +

y−z + z−x) =
2

2

2

2

= x − y + y − z + z − x + 2. x − y . y − z + 2. x − y . z − x + 2. y − z . z − x

(

2

2

≥ 2. x − y + y − z + z − x

2

(

)

2

2

Do đó: x − y + y − z + z − x ≥ 2 x − y + y − z + z − x

2

)

= 6 x2 + 6 y 2 + 6 z 2 − 2 ( x + y + z ) = 6x 2 + 6 y 2 + 6z 2
2

Vậy 3 x − y + 3 y − z + 3 z − x − 6 x 2 + 6 y 2 + 6 z 2 ≥ 3
Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 0
Ví dụ 10. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0 và x 2 + y 2 + z 2 = 1 .
Trường THPT Bình Sơn

13

GV: Phạm Văn Minh

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Chứng minh rằng:

x5 + y 5 + z 5 ≥

5
6 6

(Đề thi ĐH khối B năm 2012)
Lg: Ta có: 0 = ( x + y + z ) = x 2 + y 2 + z 2 + 2 x ( y + z ) + 2 yz = 1 − 2 x 2 + 2 yz ⇒ yz = x 2 −
2

1
2

y2 + z 2 1 − x2
1 1 − x2
2
2
2
Mặt khác, ta có: yz ≤
=
⇒x − ≤
⇔ 3x 2 ≤ 2 ⇔ −
≤x≤
2
2
2

2
3
3
5
5
5
5
2
2
3
3
2 2
Khi đó: x + y + z = x + ( y + z ) ( y + z ) − y z ( y + z ) =
2

1
5
3

= x + ( 1 − x ) ( y + z ) − 3 yz ( y + z )  −  x 2 − ÷ x = ( 2 x 3 − x ) = f ( x )

 
2
4
5

2

Xét hàm số f ( x ) =
ta có f ' ( x ) =

 2 2
5
3
x
∈
2
x
−
x
với
(
)
− ;

4
 3 3

15 2 5
1
x − ; f '( x ) = 0 ⇔ x = ±
2
4
6

Bảng biến thiên

Từ đó suy ra: f ( x ) ≤

 2 2

; x ∈ − ;

6 6
 3 3

Trường THPT Bình Sơn

5

14

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

1
2

x
=
y
=
−
;
z
=

6
6


1
2
1

;y =
;z = −
Dấu bằng xảy ra khi  x = −
6
6
6

x = 2 ; y = − 1 ; z = − 1

6
6
6
Ví dụ 11. Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn: a 2 + b 2 = 1; c − d = 3 .
CM: F = ac + bd − cd ≤

9+6 2
4

LG: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki và giả thiết ta có:
F≤

(a

2

)(

)

+ b 2 c 2 + d 2 − cd = 2d 2 + 6d + 9 − d 2 − 3d = f (d )
1 − 2 ( d + 3) +
2

Ta có: f '(d ) = (2d + 3)

2d 2 + 6d + 9

9
2 ;

f '(d ) = 0 ⇔ d = −

3
2

Bảng biến thiên:

 3 9+6 2
Dựa vào BBT ta suy ra được : f ( d ) ≤ f  − ÷ =
4
 2
Dấu “=” xảy ra khi a =

1
1

3
3
;b = −
;c = ;d = −
2
2
2
2

2. Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức
Dạng 1. Biểu thức chứa 2 ẩn
Ví dụ 12. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện 4( x + y ) − 5 = 0 . Tìm giá
4 1
trị nhỏ nhất của biểu thức S = +
x 4y
Trường THPT Bình Sơn

15

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

LG: Ta có : 4( x + y ) − 5 = 0 ⇒ y =
Đặt f ( x ) =
f '( x) =

(

5 − 4x
20 − 15 x
⇒S=
4
x(5 − 4 x)

với 0 < x <

5
4

20 − 15 x
5
với 0 < x <
x(5 − 4 x)
4

4 25 − 40 x + 15 x 2
2

x (5 − 4 x)

2

) ; f '( x) = 0 ⇔ x = 1; x = 5

3

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT ⇒ minS = 5 đạt được khi x = 1, y = 4
y ≤ 0

Ví dụ 13. Cho các số thực x, y thỏa mãn 

2
 x + x = y + 12

của biểu thức P = xy + x + 2 y + 17 .

. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Lời giải:
Theo giả thiết, ta có y = x 2 + x − 12 ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 4;3]. Khi đó, P = x3 + 3x 2 − 9 x − 7 , suy ra
 x = −3
P '( x ) = 3 x 2 + 6 x − 9.P '( x) = 0 ⇔ 
x =1

 x = −3; y = −6
 Pmax = 20 ⇔ 
Từ đó suy ra 
 x = 3; y = 0
 P = −12 ⇔ x = 1; y = −10.
 min

Ví dụ 14. Cho các số thực x, y thỏa mãn ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32. Tìm GTNN của biểu
3
3
thức P = x + y + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2).
2

4

Lời giải:
Theo giả thiết ta có ( x − 4 ) + ( y − 4 ) + 2 xy ≤ 32 ⇔ ( x + y ) − 8 ( x + y ) ≤ 0 ⇔ x + y ∈ [0;8] .
2

Trường THPT Bình Sơn

4

2

16

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

3
2
2
3
3
3
P = x + y + 3 ( xy − 1) ( x + y − 2 ) = ( x + y ) − 6 xy − 3 ( x + y ) + 6

Lại có 4 xy ≤ ( x + y ) ⇒ −6 xy ≥ − ( x + y ) . Do đó
2

≥ ( x + y) −
3

3
2
( x + y ) − 3( x + y ) + 6
2
3
2

Đặt t = x + y ⇒ t ∈ [0;8]. Xét hàm số f (t ) = t 3 − t 2 − 3t + 6 , ta có
1+ 5
, vì t thuộc đoạn [0;8]. Ta có
2
 1 + 5  17 − 5 5
f ( 0 ) = 6; f ( 8 ) = 398; f 
÷
Suy ra
÷=
4
 2 
17 − 5 5
1+ 5
1+ 5
Pmin = min f (t ) =
⇔t =
⇔x= y=
.
[0;8]

4
2
4
f '(t ) = 3t 2 − 3t − 3. f '(t ) = 0 ⇔ t =

Ví dụ 15. Cho x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xy ≤ y − 1 . Tìm giá trị
x+ y
x − 2y
−
lớn nhất của biểu thức P = 2
x − xy + 3 y 2 6( x + y )
( Đề thi đại học khối D năm 2013)
2

x y −1 1  1 1 
Lg: Do x, y > 0, xy ≤ y − 1 ⇒ 0 < ≤ 2 = −  − ÷
y
4  y 2
y
Đặt t =

t +1
t −2
x
1
−
⇒ 0 < t ≤ . Khi đó : P = 2
y
4
t − t + 3 6(t + 1)

Xét f (t ) =

Ta có:

t +1
t2 − t + 3

−

t−2
1
với 0 < t ≤
6(t + 1)
4

7 − 3t

f '(t ) =
2

(t

2

−t +3

)

3

−

1
 1
<
0
∀
t
∈
 0; 
2(t + 1) 2
 4

5 7
1
+
Do đó : P = f (t ) ≤ f  ÷ =
 4  3 30
Vậy : m ax P =

x = 1 / 2
5 7
+
⇔
3 30
y = 2

(x
Ví dụ 16. Cho hai số thực x, y > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

Trường THPT Bình Sơn

17

3

) (

+ y3 − x2 + y 2
( x − 1)( y − 1)

)

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

LG:
2

t
Đặt t = x + y ; t > 2 . Áp dựng BĐT 4 xy ≤ ( x + y ) 2 ⇒ xy ≤
4

t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
t2
Ta có: P =
. Do t > 2;3t − 2 > 0 và − xy ≥ −
xy − t + 1

4
t2
t − t − (3t − 2)
t2
4
=
Suy ra: P ≥
t −2
t2
− t +1
4
3

2

t 2 − 4t
t2
f
'(
t
)
=
; f '(t ) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 4
Xét hàm số f (t ) =
với t > 2. Ta có :
2
t −2
( t − 2)
Lập bảng biến thiên

f (t ) = 8 ⇒ min P = 8 ⇔ x = y = 2
Suy ra : (min
2;+∞ )
Ví dụ 17. Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn : x 2 − xy + y 2 = 1 . Tìm giá trị lớn nhất và
x4 + y 4 + 1
nhỏ nhất của biểu thức: P = 2
x + y2 + 1
LG: Từ giả thiết suy ra: 1 = x 2 − xy + y 2 = ( x − y ) 2 + xy ≥ xy
1 = x 2 − xy + y 2 = ( x + y ) 2 − 3xy ≥ −3xy
1
Từ đó suy ra: − ≤ xy ≤ 1
3
Mặt khác :

x 2 − xy + y 2 = 1 ⇒ x 2 + y 2 = 1 + xy ⇒ x 4 + y 4 = 1 + 2 xy − x 2 y 2

Trường THPT Bình Sơn

18

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.
2

1
−t + 2t + 2
1
Đặt t = xy ⇒ − ≤ t ≤ 1. Khi đó: P = f (t ) =

; − ≤ t ≤1
3
t+2
3
f '(t ) =

−t 2 − 4t + 2

( t + 2) 2

t = 6 − 2
; f '(t ) = 0 ⇔ 
t = − 6 − 2 (l )

Bảng biến thiên:

Từ BBT suy ra:
max P = f ( 6 − 2) = 6 − 2 6
 1  11
min P = f  − ÷ =
 3  15
Ví dụ 18. Cho các số thực x, y khác không và thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị
1

1

lớn nhất của biểu thức P = x3 + y 3 .
Lời giải:
s2
Đặt s = x + y; p = x. y ⇒ p ≠ 0. Theo giả thiết s. p = s 2 − 3 p ⇒ p =

(dễ thấy s ≠ −3 ).
s+3

Khi đó x, y là các nghiệm của phương trình X − sX + p = 0 , nên để x, y tồn tại ta phải có
2

s2 ≥ 4 p ⇔ s2 ≥

s ≥ 1
4s 2
s −1
⇔
≥0⇔ 
.
s+3
s+3
 s < −3
2

2

t +3
x 3 + y 3 ( x + y )( x 2 + y 2 − xy )  x + y   s + 3 
=
Mặt khác: P = 3 3 =
÷ =
÷ . Xét hàm số f (t ) = t , với
3 3
x y
x y

 xy   s 
3
t ∈ (−∞; −3) ∪ [1; +∞) . Ta có f '(t ) = − 2 < 0 . Bảng biến thiên
t

Trường THPT Bình Sơn

19

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

1
2

2
Suy ra f (t ) ∈ (0;1) ∪ (1; 4] . Từ đó P = [ f (t )] ≤ 16 ⇒ Pmax = 16 ⇔ x = y = .

(x
Ví dụ 19. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P =

3

) (

+ y3 − x2 + y 2

)

( x − 1)( y − 1)

Lg : Đặt t = x + y ; t > 2.
Áp dụng BĐT 4xy ≤ (x + y)2 ta có xy ≤

t2
4

t 3 − t 2 − xy (3t − 2)
P=
.
xy − t + 1
t 2 (3t − 2)
t −t −
t2
t2
4
=
Do 3t - 2 > 0 và − xy ≥ − nên ta có P ≥
t−2
t2
4
− t +1
4
3

Xét hàm số f (t ) =

2

t2
t 2 − 4t
; f '(t ) =
; f’(t) = 0 ⇔ t = 0 v t = 4.
t−2
(t − 2) 2

min f (t ) = f(4) = 8 đạt được khi  x + y = 4 ⇔  x = 2
Do đó min P = (2;
+∞ )
 xy = 4
y = 2
Ví dụ 20. Cho x > 0, y > 0, x + y = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
T=

x
y
+
1− x
1− y

 π
2
2
Lg: Đặt x = cos a; y = sin a ⇒ a ∈  0; ÷ khi đó
 2

Trường THPT Bình Sơn

20

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3 a ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a )
T=
+
=
=
sin a cos a
sina.cos a
sin a.cos a

π
t2 −1

Đặt t = sin a + cos a = 2 sin  a + ÷⇒ sin a.cos a =
4
2

π
Với 0 < a < ⇒ 1 < t ≤ 2
2
f '( t ) =

−t 4 − 3

(t

2

)

−1

2

< 0 ∀t ∈ 1; 2  ⇒ f ( t ) ≥ f

f ( t) = f
Vậy t∈min
1; 2 

(



(

3
−
t
Khi đó T = 2 − 3t = f ( t ) ;
t −1

( 2) =

( 2) =

2

2 khi x = y = 1 . Hay min T = 2 khi x = y = 1 .
2
2

Ví dụ 21. Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ≥ 1, y ≥ 1;3( x + y ) = 4 xy. Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
1 1 
P = x3 + y 3 + 3  3 + 3 ÷
y 
x

Lời giải:
3x 2
2
2
t
=
xy
Đặt
. Ta có 3( x + y ) = 4 xy ⇔ 3x + 3xy = 4 x y ⇔ xy =
( vì x ≥ 1) . Lại có
4x − 3
3y
3y
3( x + y ) = 4 xy ⇔ x =
, y ≥ 1 ; ta có

y ≥ 1) . Xét hàm số f ( y ) =
,
(vì
4y − 3
4y −3
9
f '( y ) = −
< 0, ∀y ≥ 1 ⇒ f ( y ) ≤ f (1) = 3, ∀y ≥ 1. Vậy x ∈ [1;3] .
2
( 4 y − 3)
x = 0
12 x 2 − 18 x
3x 2

g
'(
x
)
=
,
g
'(
x
)
=
0
⇔
, x ∈ [1;3]. Ta có
Xét hàm số g ( x) =
x = 3

(4 x − 3) 2
4x − 3

2
9
≤ t = g ( x ) ≤ 3, ∀x ∈ [1;3]. Khi đó
4


3 
3 
P = ( x 3 + y 3 ) 1 + 3 3 ÷ = ( x + y )3 − 3xy ( x + y )  . 1 +
3
 x y 
 ( xy ) 

Suy ra

 4 xy 3
4 xy  
3  64 3
12 64
= 
−
3
xy
.
1
+
= t − 4t 2 − +



÷
3
3   ( xy )  27
t
9
 3 

Xét hàm số P = h(t ) =

64 3
12 64
9 
t − 4t 2 − + , t ∈  ;3 .
27
t
9
4 

Trường THPT Bình Sơn

21

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.



Ta có h '(t ) = 8t 

8t  12
9 
− 1÷+ 2 > 0, t ∈  ;3 . Suy ra
9
 t
4 

MaxP = h(3) =

 x = 3; y = 1
280
⇔
9
 x = 1; y = 3

3
 9  307

MinP = h  ÷ =
⇔ x = y = .
2
 4  36


Ví dụ 22. Cho các số thực x, y không đồng thời bằng 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
x 2 + xy + y 2
của biều thức: P =
2x2 + y 2

Lời giải
Vì tử số và mẫu số của biêỉ thức P là các đa thức đẳng cấp bậc hai đối với x, y nên
ta xét hai trường hợp sau:
x2
1
-Nếu y = 0 ⇒ x ≠ 0 ⇒ P = 2 =
2x

2

x2 x
+ +1
y2 y
2
-Nếu y ≠ 0 . Chia cả tử số và mẫu số của P cho y ta được : P =
x2
2 2 +1
y
x
−2t 2 − 2t + 1
t2 + t +1
Đặt t = y , ta được P = 2
. Ta có P ' =
;
2
2
(2t + 1)

2t + 1

P ' = 0 ⇔ 2t 2 + 2t − 1 = 0 ⇔ t =

t

−1 ± 3
. Bảng biến thiên
2

P’

P

−1 − 3
2

-∞
-

+

1
2

Kết hợp các trường hợp trên, ta có:

Trường THPT Bình Sơn

0

−1 + 3
2

0

+∞
-

3
2 3 −2
1
2

3
2 3+2
3
3
≤ P ≤
2 3+2
2 3−2

22

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Vậy MinP =

3
x −1 − 3
3
x −1 + 3
khi =
; MaxPS =
khi =
y
2
y
2
2 3+2
2 3−2
x + y ≤ 3

Ví dụ 23. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 

2
2
 x + y − xy = 4

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức P = x 2 y + y 2 x − 2 xy .
Lời giải:
x + y = t + 3
x + y = t + 3

⇔
Đặt t = x + y − 3 ⇒ t ≤ 0. Khi đó ta có hệ 

t 2 + 6t + 5
2
(
x
+
y
)
−
3
xy
=
4
xy
=


3


Suy ra x, y là các nghiệm của phương trình: X 2 − (t + 3) X +

t 2 + 6t + 5
= 0 (*)
3

Điều kiện để (*) có nghiệm là:
t ≤ 0
t ≤ 0

2

⇔
⇔ t ∈ [ − 7;0].


4(
t
+
6
t
+
5)
2
2
≥0
t + 6t − 7 ≤ 0
 ∆ = (t + 3) −
3


Khi đó P = xy ( x + y − 2) =

(t 2 + 6t + 5)(t + 1) 1 3
= (t + 7t 2 + 11t + 5)
3
3

 t = −1
1 2
Ta có P '(t ) = (3t + 14t + 11), P '(t ) = 0 ⇔ 
11 .

3
t=−
3

5
 11  256
 11  256
P (−7) = −24; P(0) = ; P(−1) = 0; P  − ÷ =
⇒ MaxP(t ) = P  − ÷ =
.
3
t∈[ − 7;0]
 3  81
 3  81

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi t = −
X2 +

11
⇒ x, y là các nghiệm phương trình
3

2
32
X−
= 0 ⇔ 27X 2 + 18 X − 32 = 0
3
27




−9 + 945
−9 − 945
x =
x =


27
27
Suy ra 
hoặc 
 y = −9 − 945
 y = −9 + 945


27
27

Ví dụ 24. Cho các số thực x, y thỏa mãn x + y − 1 = 2 x − 4 + y + 1 . Tìm giá trị lớn nhất và
1

2
giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = ( x + y ) − 9 − x − y + x + y

Trường THPT Bình Sơn

23

GV: Phạm Văn Minh

Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

Lời giải:
Điều kiện: x ≥ 2; y ≥ −1;0 < x + y ≤ 9; Ta có
0 ≤ x + y − 1 = 2. x − 2 + 1. y + 1 ≤ 3( x + y − 1) ⇒ ( x + y − 1) 2 ≤ 3( x + y − 1)
⇒ 0 ≤ x + y − 1 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ x + y ≤ 4.
2
Đặt t = x + y, t ∈ [1; 4] , ta có S = t − 9 − t +

S '(t ) = 2t +

1
t

1
1
−
> 0, ∀t ∈ [1; 4] . Vậy S đồng biến trên [1;4].
2 9 − t 2t t

Suy ra
S max = S (4) = 42 − 9 − 4 +

1
33 − 2 5
=
⇔ x = 4; y = 0;
2
4

S min = S (1) = 2 − 2 2 ⇔ x = 2; y = −1.

Dạng 2. Biểu thức chứa 3 ẩn
x ≥ y ≥ z

Ví dụ 25. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 

2
2
2
x + y + z = 3

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2)
Lời giải:
Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị
nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có
x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0]
1
1
P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1)
2
2
 x = −1
1
3 2
1
2

1
Xét hàm số f ( x) = ( x + 2)( x + 1), ∀x ∈ [ − 1;0]; f '( x) = x + 2 x + . f '( x) = 0 ⇔ 
x=−
2
2
2
3



1 
 1  25
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
÷ = f  − ÷ =
 23  
 3  27


Suy ra Pmin = min f ( x) = min  f (−1); f (0); f  −


1
5
khi: x = y = − ; z = − .
3
3

Ví dụ 26. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất
5

của biểu thức: P = xy + yz + zx + x + y + z .
Lời giải:
Trường THPT Bình Sơn

24

GV: Phạm Văn Minh


Chuyên đề : Sử dụng phương pháp hàm số tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức và chứng minh bất đẳng thức.

t2 − 3
Đặt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx =
.
2

Ta có 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nên 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 với t > 0.
Khi đó P =

t2 − 3 5
+ .
2
t

Xét hàm số f (t ) =

t2 5 3
+ − , 3 ≤ t ≤ 3.
2 t 2

5 t3 − 5
Ta có f '(t ) = t − 2 = 2 > 0 với t ≥ 3.
t
t

Suy ra f (t ) đồng biến trên [ 3, 3] . Do đó f (t ) ≤ f (3) =

14
.
3

Đẳng thức xảy ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1.
Vậy giá trị lớn nhất của P là

14
, xảy ra khi x = y = z = 1.
3
x ≥ y ≥ z

Ví dụ 27. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn 

2
2
2
x + y + z = 3

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2)
Lời giải:

Từ giả thiết x 2 + y 2 + z 2 = 3 ⇒ x, y, z ∈ [ − 3; 3] ⇒ x + 2, y + 2, z + 2 > 0 . Do đó P đạt giá trị
nhỏ nhất khi x, y, z ≤ 0 . Xét x, y, z không dương, khi đó ta có
x 2 + y 2 + z 2 = 3, z ≤ y ≤ x ≤ 0 ⇒ x ∈ [ − 1;0]
1
1
P = ( x + 2)( y + 2)( z + 2) = ( x + 2) ( y + z + 2) 2 + x 2 + 1 ≥ ( x + 2)( x 2 + 1)
2
2
 x = −1
1
3 2
1
2
Xét hàm số f ( x) = ( x + 2)( x + 1), ∀x ∈ [ − 1;0]; f '( x) = x + 2 x + . f '( x) = 0 ⇔ 
1
x=−
2
2
2
3



1 
 1  25
. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ
÷ = f  − ÷ =
 23  
 3  27


Suy ra Pmin = min f ( x) = min  f (−1); f (0); f  −


1
3

5
3

khi: x = y = − ; z = − .
Ví dụ 28. Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn x + y + z > 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

x3 + y 3 + 16 z 3
( x + y + z )3

Trường THPT Bình Sơn

25

GV: Phạm Văn Minh