D07 nguyên hàm có điều kiện (chỉ biến đổi) muc do 3

Câu 43: [2D3-1.7-3] (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - Lần 1 - 2017 - 2018 - BTN) Cho hàm số
1
. Biết rằng f  3  f  3  0 .
y  f  x  xác định trên \ 1;1 và thỏa mãn f   x   2
x 1
Tính T  f  2  f  0   f  4  .

1
1
1
B. T  ln 3  ln 5  2 . C. T  ln 5  ln 3  1 . D. T  ln 5  ln 3  2 .
2
2
2
Lời giải

1
A. T  ln 5  ln 3 .
2
Chọn A
Ta có:
f  x   f  x d x  

1
1  1
1 
d x  

d x
x 1
2  x 1 x 1 

2

1 1
1
 1 x 1
dx
C .
d x   ln


2  x 1
x 1  2 x 1
Do đó:
1
 1 1

f  3  f  3  0   ln 2  C    ln  C   0  C  0 .
2
 2 2



1 x 1
Như vậy: f  x   ln
.
2 x 1

1
1 2 1
  ln 3 ;

f  2   ln
2
2 2 1
1 0 1
f  0   ln
 0;
2 0 1
1 4  1 1
  ln 5  ln 3 .
f  4   ln
2 4  1 2
1
1
1
Từ đó: T  f  2  f  0   f  4    ln 3  0   ln 5  ln 3  ln 5  ln 3 .
2
2
2

Câu 32. [2D3-1.7-3] (SỞ GD-ĐT HẬU GIANG-2018-BTN) Cho hàm số f  x  xác định trên
mãn

f  0  5

f   x   e x  e x  2 ,

và

 1
f  ln   0 .

 4

Giá

trị

của

S  f   ln16   f  ln 4  bằng
A. S 

31
.
2

B. S 

9
.
2

C. S 

5
.
2

7
D. S   .
2

Lời giải
Chọn C
Ta có f   x   e x  e x  2 

ex 1

x

 2x
2
 2e  2e  C1
Do đó f  x   
x
x
2e 2  2e 2  C

2

ex

x

 2x
2
e

e

 x

x
e  2  e 2


khi

x0

khi

x0

khi

x0

khi

x0

.

Theo đề bài ta có f  0   5 nên 2e0  2e0  C1  5  C1  1 .

.

biểu

thỏa
thức

 f  ln 4   2e

ln 4
2

 2e



ln 4
2

1  6

 1
Tương tự f  ln   0 nên 2e
 4

 f   ln16   2e



  ln16
2

 2e

1

ln  
4
  
2

  ln16
2

 2e

1
ln  
4
2

 C2  0  C2  5 .

7
5   .
2

5
.
2

Vậy S  f   ln16   f  ln 4  

Câu 38: [2D3-1.7-3] (SỞ GD-ĐT PHÚ THỌ-Lần 2-2018-BTN) Cho hàm số f  x  xác định trên

\ 0 và thỏa mãn f   x  

1
, f 1  a và f  2   b . Tính f  1  f  2  .
x  x5
3

A. f  1  f  2   a  b .

B. f  1  f  2   a  b .

C. f  1  f  2  a  b .

D. f  1  f  2   b  a .
Lời giải

Chọn A
Ta có: f   x  

1
1 1
x
.
 3  2
5
x x
x x x 1
3

1
 1

2
 2 x 2  ln x  2 ln  x  1  C1
 f  x  
 1  ln x  1 ln  x 2  1  C
2
 2 x 2
2

 x  0
 x  0

1
1 1
1
Ta có: f 1  a  C1  a   ln 2 , f  2   b  C2  b   ln 2  ln 5
8
2 2
2

Ta có: f  1  f  2  

1 1
1
1
 ln 2  C2   ln 2  ln 5  C1  a  b .
2 2
8
2

Câu 400: [2D3-1.7-3] [TRẦN HƯNG ĐẠO – NB – 2017] Một đám vi trùng tại ngày thứ t có số lượng

4000
là N  t  Biết rằng N   t  
và lúc đầu đám vi trùng có 250000 con. Hỏi sau 10 ngày số
1  0,5t
lượng vi trùng là bao nhiêu?
A. 258 959 con .
B. 253 584 con .
C. 257 167 con .
D. 264 334 con .
Lời giải
Chọn D

4000
t  8 000.ln 1  0,5t  C
1  0, 05t
Mà số lượng vi trùng ban đầu bằng 250000 con nên C  250 000 .
Ta có: N  t    N   t  dt  

Do đó: N  t   8000.ln 1  0,5t  250 000 .
Vậy sau 10 ngày số lượng vi trùng bằng: N 10  8000.ln 6  250 000  264 334 con.


Câu3566:[2D3-1.7-3] [THPTChuyênKHTN - 2017] Cho hàm số y  f ( x) thỏa mãn f   x    x  1 e x
và

 f  x  dx   ax  b  e

A. a  b  2 .
Chọn D

Ta sử dụng kết quả
Do đó ta có

x

 c, với a, b, c là các hằng số. Khi đó
C. a  b  3 .
Lời giải

B. a  b  1.

  g  x   g  x e dx  g  x  .e
x

x

D. a  b  0 .

.

a  1
f  x    f   x  dx    x  1 e x dx  x.e x   f  x  dx    x  1  1 e x dx   x  1 e x  
.
b  1
Do đó a  b  0 .
Câu 3685: [2D3-1.7-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế - 2017] Cho hàm số f  x  

a



 cos 2 x . Tìm tất cả các

1
  
giá trị của a để f  x  có một nguyên hàm F  x  thỏa mãn F  0   , F    .
4
4 4

A.


1 .
2

B.


2.
2

C.   2 .

D.   1 .

Lời giải
Chọn B
Ta

có

1
a

a 1

 a 1
F  x    f  x dx     cos 2 x  dx     1  cos 2 x  dx     x  sin 2 x  C .
4


 2

 2

1
1


1

 F  0   4
C  4
C  4



 a  2.
Theo giả thiết 
2

 F     
 a  1    1 sin   C  
a    2

  4  4
  2  4 4
2
4
2
Câu 37: [2D3-1.7-3] (Toán Học Tuổi Trẻ - Lần 6 – 2018) Cho hàm số f  x  xác định trên
thỏa mãn f   x  
A. S  1 .

\ 1

1
, f  0   2017 , f  2   2018 . Tính S  f  3  f  1 .
x 1
B. S  ln 2 .
C. S  ln 4035 .
D. S  4 .
Lời giải

Chọn A
Ta có

 f  x  dx   x  1 dx  ln  x  1   C .
1

 f  x   ln  x  1   2017 khi x  1

Theo giả thiết f  0   2017 , f  2   2018 nên 
.
 f  x   ln  x  1   2018 khi x  1

Do đó S  f  3  f  1  ln 2  2018  ln 2  2017  1 .
Câu 36:

[2D3-1.7-3]

(Sở Quảng Bình - 2018 - BTN – 6ID – HDG)Cho hàm số y  f  x  liên

  5
 thỏa mãn f   x   tan x , x    ;
2
 4 4
 2 
 
f    1 . Tỉ số giữa f 
 và f   bằng:
 3 
4

tục trên đoạn

0;   \ 



  
\  ,

 2

f  0  0 ,


A. 2  log 2 e  1

B. 2

C.

11  ln 2 
2  ln 2

D. 2 1  log 2 e 

Lời giải
Chọn A


 ln cos x  C1


Ta có f  x    tan x dx   ln cos x  C  
 ln   cos x   C
2



f  0   0  C1  0 và f    1  C2  1.


 ln cos x
Khi đó f  x   
 ln   cos x   1

 2
Suy ra f 
 3

khi 0  x 

2 .

khi
 x 
2

  1

   ln 2  1 và f    ln 2 .
4 2


Vậy tỉ số cần tìm là 2  log 2 e  1



khi 0  x 
khi


2



2 .
 x 