Đề thi Khá khó, giải chi tiết - Dành tham khảo cho thi GVG và HSG

A. Trình bày lời giải đề thi sau.
Câu 1: Cho một biểu thức :
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
+
=
+
1. Tìm x để biểu thức có nghĩa
2. Rút gọn A.
Câu 2 :
a. Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1
P
a b b c c a
= + +

là số hữu tỉ.
b. Tính giá trị biểu thức :
( )
3 3
P x y 3 x y 2008= + + +
Biết :
3 3 3 3
x 3 2 2 3 2 2; y 17 12 2 17 12 2= + + = + +
Câu 3 : Giải phơng trình :
x 1 3
x 1 2 x 1

4 2 2
=

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 6 cm, AD = 4 cm. M là một điểm bất kì
trên cạnh AB (M không trùng với Avà B). Qua M kẻ các đờng thẳng d, d lần lợt
song song với AC, BD, chúng cắt các cạnh BC, AD theo thứ tự tại N, Q. Qua N kẻ đ-
ờng thẳng song song với BD cắt CD tại P. Tìm vị trí của M trên AB để diện tích tứ
giác MNPQ lớn nhất.
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Gọi O là tâm hình vuông ABCD, M là
trung điểm của cạnh OB, N là trung điểm cạnh CD. H là chân đờng cao hạ từ M của
tam giác AMN. Chứng minh AMN là tam giác vuông cân, từ đó tính độ dài đoạn AH
theo a.
B. Trên cơ sở lời giải trên, xây dựng hớng dẫn chấm cho đề thi với thang điểm nh
sau:
Câu 1: 4 điểm Câu 2: 5 điểm
Câu 3: 4 điểm Câu 4: 3 điểm Câu 5 :4 điểm
1
A. Trình bày lời giải :.
Câu 1: T biểu thức :
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 5 x 4 x 1 4 x
+
=
+
1. Để biểu thức có nghĩa, khi và chỉ khi :
( ) ( )
x 0
x 0

x 0 x 0
x 0
x 1 x 4 0
x 5 x 4 0
x 1 0 x 1 x 1
x 1 0
x 1 0
x 16
x 4 0 x 4
4 x 0
x 4 0











+

2. Rút gọn A :
Với
x 0;x 1;x 16
, ta suy ra đợc :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 x 11 x 2 2 x 1
A
x 1 x 4
x 1 x 4
2 x 11 x 2 x 4 2 x 1 x 1
A
x 1 x 4

2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1
A
x 1 x 4
2 x 11 x 4 x 2 x 8 2x 2 x x 1
A
x 1 x 4
x 1 x 2
x x 2
A
x 1 x 4 x 1 x 4
x 2
A
x 4
+
= +


+ +
=

+ + +
=

+ + + +
=

+
+
= =

+
=

Câu 2 :
a. Với a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau, ta đợc biểu thức P có nghĩa.
Biến đổi biểu thức P, ta đợc :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2
b c c a a b c a a b b c
P
a b b c c a
+ +
=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a b c a b c a
P
a b b c c a

+ +

=

2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2
a b c a c b a b c a
P
a b b c c a
 
− − + − − + −
 
⇒ =
− − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
a b c a a b c a a b c a
P

a b b c c a
a b c a a b c a 2 a b c a . a b c a
P
a b b c c a
a b c a 2 a b c a . a b c a a b c a
P
a b b c c a
a b c a a b c a
P
 
− − + − + − − + −
 
 
 
⇒ =
− − −
   
− − + − + − + − − − + −
   
⇒ =
− − −
   
− − + − − − + − + − + −
   
   
   
⇒ =
− − −

− − + − + −

 
 

⇒ =
{ }
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
a b b c c a
a b c a a b c a
P
a b b c c a


− − −
 
 
 
− − + − + −
 
 
 
⇒ =
− − −
V× a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ, nªn suy ra :
⇒
( ) ( ) ( ) ( )

2 2
a b c a a b c a
 
− − + − + −
 
 
 
vµ
( ) ( ) ( )
a b b c c a− − −
còng lµ c¸c sè
h÷u tØ.
Do ®ã :
⇒
P lµ mét sè h÷u tØ (®pcm).
b. Víi :
3 3 3 3
x 3 2 2 3 2 2; y 17 12 2 17 12 2= + + − = + + −
Ta cã :
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
3
3 3 3 33
3 3 2
3 3 3 3
2
3 3 3 3
3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
x 3x 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
3 2 2 + 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
+3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2. 3 2 2
3 3 2 2 3 2 2. 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
− = + + − − + + −
= + − + + − +
+ − − + − −
= + + − + + + − +
+ − + − − + − −

3

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
3 3
3 3 3
3
3 3 3
3
3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
= + + + + + +
+ + +
( )
( )
2
3
2
3
2
3 3 32
3
3 3 3 3
3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2
3 3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
3 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2
= 3+3=6
= + + + + +

+ +
= + + + + + +
Tơng tự, ta cũng đợc :
3
y 3y 17 17 34 = + =
Biến đổi biểu thức P, ta dợc :

( )
( ) ( )
3 3
3 3
P x y 3 x y 2008
= x 3x y 3y 2008
= + + +
+ +

Vậy, giá trị của biểu thức P bằng :
P = 6 + 34 + 2008 = 2048
Câu 3 : Từ phơng trình :
x 1 3
x 1 2 x 1
4 2 2
=

Ta có điều kiện xác định của phơng trình là :
x 1 0 x 1
Phơng trình đã cho tơng đơng với :
( )
( )
2

1 3
x 2 x 1 2 x 1
4 2
1 3
x 1 2 x 1 1 2 x 1
2 2
x 1 1 4 x 1 3
x 1 1 4 x 1 3
x 1
3 9 9
x 1 x 1 1
4 16 16
x 1
x 1 1 4 x 1 3
4 x 1 3 0
x 1
x 1 1 4 x 1 3
9
x 1
x 1 1 3 4 x 1
16
x 1 1 3 4 x 1
=
+ =
=
=

+ =








=










=

=







=


4
9 9
x 1 x 1
9
16 16
x 1
16
2 4 4
x 1 x 1 1
3 x 1 2
3 9 9
9 9 9
x 1 x 1 x 1
16 16 16
4 16 16

5 x 1 4
x 1 x 1 1
5 25 25













= = + =

=

=





= = + =





+ Trờng hợp thứ nhất :
4 9
x 1 1
9 16
=
(loại)
+ Trờng hợp thứ hai :
16 9
x 1 1
25 16
=
(thoả mãn)
Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là :

16
x 1
25
=
.
Câu 4:
k
j
i
x
y
4-y
6-x
d'
d
P
q
O
M
N
C
D
BA
Bài làm :
Gọi O, I, J, K lần lợt là tâm của hình chữ nhật ABCD, giao điểm của MN với BD, ,
giao điểm của MQ với AC, giao điểm của NP với AC.
Gọi khoảng cách từ điểm M đến điểm A là x (cm), thì khoảng cách từ điểm M đến
điểm B là : 6 - x (cm).
Gọi khoảng cách từ điểm Q đến điểm A là y (cm), thì khoảng cách từ điểm Q đến
điểm D là : 4 - y (cm).

Vì :
d' BD, hay : MQ BDP P
và:
d AC, hay : MN ACP P
nên suy ra :
AM AQ x y x 6 x x 6 x 6 3
AB AD 6 x 4 y y 4 y y 4 y 4 2
+
= = = = = =
+
hay suy ra :
2
y x
3
=
Vì : O là trung điểm của BD (tính chất hình chữ nhật)
5