Bài 1 lũy thừa

TỰ HỌC ĐIỂM 9 MÔN TOÁN
Fanpage: Tài liệu KYS

Group: Kyser ôn thi THPT

CHƯƠNG II: LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT
BÀ I 1: LŨY THỪA

I – LÝ THUYẾT
1. KIẾN THỨC CƠ BẢN
a. Định nghĩa lũy thừa và căn

- Cho số thực b và số nguyên dương n ( n ≥ 2) . Số a được gọi là căn bậc n của số b nếu a n = b .
- Chú ý: ° Với n lẻ và b ∈  : Có duy nhất một căn bậc n của b , kí hiệu là

n

b.

b < 0 : Không tồn tại căn bậc n của b .
Với n chẵn:

°

b = 0 : Có một căn bậc n của b là số 0 .
b > 0 : Có hai căn bậc n của a là hai số đối nhau, căn có giá trị dương ký hiệu
là

n

b , căn có giá trị âm kí hiệu là − n b .

Số mũ α

Cơ số a

Lũy thừa a α

α = n ∈ *

a∈

aα = a n= a ⋅ a  a ( n thừa số a )

α =0

a≠0

α
0
a=
a=
1

−n, (n ∈ * )
α=

a≠0

α
−n

a=
a=

α=

m
, ( m ∈ , n ∈  * )
n

a>0

α

m
n

a= a=

1
an
n

am ,

( n a = b ⇔ a = bn )

=
α lim rn ,( rn ∈ , n ∈ * )

a>0

aα = lim a rn

b. Một số tính chất của lũy thừa
- Giả thuyết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa:

aα ⋅ a β =
aα + β ;

α

−α

α

aα
aα  a 
b
a
α −β
α β
α .β
α
α
α
=
a
;
(
a

)
=
a
;
=
⋅
(
ab
)
a
b
;

  ⋅
  = α ;  b=
β
a
b
 
a
b

- Nếu a > 1 thì aα > a β ⇔ α > β ; Nếu 0 < a < 1 thì aα > a β ⇔ α < β .
- Với mọi 0 < a < b , ta có: a m < b m ⇔ m > 0 ; a m > b m ⇔ m < 0
- Chú ý:

°

Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.

°

Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 .

°

Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

c. Một số tính chất của căn bậc n
- Với a, b ∈ ; n ∈ * , ta có:
°

2n

a 2 n =,∀
a a;°

2 n +1

a 2 n +1 = a,∀a .

Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng

1


°

2n

° 2n

ab=

a 2 n
b , ∀ab ≥ 0 ; °
⋅

2n

=
ab

2 n +1

a


2n

a
+1
, ∀ab ≥ 0, b ≠ 0 ; ° 2 n=
2n
b
b


a
=

b

a ⋅ 2 n +1 b ,∀a, b .

2 n +1

2 n +1
2 n +1

a
,∀a, ∀b ≠ 0 .
b

-Với a, b ∈ , ta có:
am
=

°

n

°

n m

°

(n a)

a=

Nếu

nm

m

, ∀a > 0 , n nguyên dương, m nguyên.

a , ∀a ≥ 0 , n , m nguyên dương.

p q
=
thì
n m

n

p
a=

m

a q , ∀a > 0, m, n nguyên dương, p, q nguyên. Đặc biệt:

n

a = m⋅n a m .

( Yêu cầu: Vận dụng thành thạo định nghĩa, tính chất của lũy thừa.)

II – DẠNG TOÁN
1. Da ̣ng 1: Biến đổi biểu thức liên quan
Phương pháp giải
- Tư ̣ luâ ̣n thuầ n túy
- Trắ c nghiêm
̣ (Cách nhâ ̣n xét bài toán, meọ mư ̣c để lo ̣a trừ)
- Casio, Công thức giải nhanh
…
Vı́ du ̣ điể n hın
̀ h
Ví dụ 1: Kết luận nào đúng về số thực a nếu (2a + 1) −3 > (2a + 1) −1

 1
− A.  2
.

 a < −1

0 < a < 1
C. 
.
 a < −1

1
B. − < a < 0 .
2

D. a < −1 .

Lời giải
Chọn A

 1
 0 < 2a + 1 < 1  − < a < 0
⇔ 2
Do −3 < −1 và số mũ nguyên âm nên (2a + 1) > (2a + 1) khi 
.

 2a + 1 < −1
 a < −1
−3

−1

Ví dụ 2: Khẳng định nào sau đây đúng:
m

n
A. a − n xác định với mọi ∀a ∈  \ {0} ; ∀n ∈ N . B. a=

n

a m ; ∀a ∈  .
m

C. a 0 = 1; ∀a ∈  .

D.

n

a m= a n ; ∀a ∈ ; ∀m, n ∈ 

Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất của lũy thừa với số mũ thực ta có đáp án A là đáp án chính xác.
2. Da ̣ng 2: Rút gọn biểu thức
Ví dụ 3: Đơn giản biểu thức
A. −9a 2 b .

81a 4b 2 , ta được:
B. 9a 2 b .

C. 9a 2b .

D. 3a 2 b .

Lời giải
Thi thử hàng tuần tại nhóm Kyser ôn thi THPT

2


Chọn B
Phương pháp tự luận.
1
 1

Ví dụ 4: Cho K = x 2 − y 2 




2

b)
( 9a=

4 2
81a=
b

2


y y
+ 
1 − 2
x
x


2

−1

với x > 0, y > 0 . Biểu thức rút gọn của K là?
C. x + 1 .

B. 2x .

A. x .

9=
a 2b 9a 2 b .

D. x − 1

Lời giải
Chọn A
Giải theo tự luận
2

1
 1

Rút gọn  x 2 − y 2  = x − y



(

)

2

−1

−2
2

−1
 y  2 
 y− x


y y
x 
+  = 
− 1  = 
Rút gọn 1 − 2
 = 


x
x
x
x 
y − x 










2


x 
Vậy K =
x− y 
x
=
 y − x 



(

)

2

Giải theo casio
1
 12

Ta hiểu nếu đáp án A đúng thì K = x hay hiệu  x − y 2 



2

−1


y y

+  − x bằng 0 với mọi
1 − 2
x x 


giá trị x; y thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
- Nhập hiệu trên vào máy tính Casio
(Q)^a1R2$$pQn^a1R2$$)d(1p2saQnRQ)$$+aQnRQ)$)^p1pQ)

Chọn 1 giá trị X = 1.25 và Y = 3 bất kì thỏa x > 0, y > 0 rồi dùng lệnh gán giá trị CALC
r1.25=3=

- Ta đã tính được giá trị x vậy dễ dàng tính được giá trị y = 12log9 x
12^i9$Qz=

Vậy ta khẳng định 90% đáp án A đúng
- Để cho yên tâm ta thử chọn giá trị khác, ví dụ như
=
X 0.55,
=
Y 1.12
r0.55=1.12=
Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng

3


Kết quả vẫn ra là 0, vậy ta chắc chắn A là đáp số chính xác
Chú ý: Nếu 1 khẳng định ( 1 hệ thức đúng ) thì nó sẽ đúng với mọi giá trị x, y thỏa mãn điều
kiện đề bài. Vậy ta chỉ cần chọn các giá trị X , Y > 0 để thử và ưu tiên các giá trị này hơi lẻ,

tránh số tránh (có khả năng xảy ra trường hợp đặc biệt)
3. Da ̣ng 3: Dạng khác
Ví dụ 5: Một người gửi số tiền M triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 0,7% / tháng. Biết rằng
nếu người đó không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được nhập
vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Sau ba năm, người đó muốn lãnh được số tiền là 5
triệu đồng, nếu trong khoảng thời gian này không rút tiền ra và lãi suất không đổi, thì người đó
cần gửi số tiền M là:
A. 3 triệu 600 ngàn đồng.

B. 3 triệu 800 ngàn đồng.

C. 3 triệu 700 ngàn đồng.

D. 3 triệu 900 ngàn đồng.

Lời giải
Chọn A
Giải theo tự luận
Áp dụng công thức trên với Tn = 5 , r = 0,007, n = 36 , thì số tiền người đó cần gửi vào ngân
hàng trong 3 năm (36 tháng)=
là: M

Tn
5
=
≈ 3,889636925 triệu đồng.
n
(1 + r )
(1,007 )36

VÍ DỤ TỔNG HỢP
Ví dụ 1. Cho f ( x ) =

x 3 x2
khi đó f (1,3) bằng:
6
x

A. 0,13 .

B. 1,3 .

C. 0, 013 .

D. 13 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B
Phương pháp tự luận.
1

2

x 3 x 2 x 2 .x 3
1,3 .
= =
x ⇒ f (1,3) =
1
6
x

x6

x 1,3 > 0 nên ta có: =
Vì =
f ( x)

Ví dụ 2. Cho f ( x ) = 3 x 4 x 12 x 5 . Khi đó f (2, 7) bằng
A. 0, 027 .

B. 0, 27 .

C. 2, 7 .

D. 27 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C
Phương pháp tự luận.
Vì=
x 2, 7 > 0 nên ta có:
=
f ( x)

1

3

1

5

4 12 5
3
2, 7 .
x=
x x
x=
.x 4 .x 12 x ⇒ f ( 2, 7 ) =

Thi thử hàng tuần tại nhóm Kyser ôn thi THPT

4


Ví dụ 3. Đơn giản biểu thức

81a 4b 2 , ta được:

A. −9a 2 b .

B. 9a 2 b .

D. 3a 2 b .

C. 9a 2b .
Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B
Phương pháp tự luận.
Ví dụ 4. Đơn giản biểu thức

4

b)
( 9a=

4 2
b
81a=

2

2

a 2b 9a 2 b .
9=

x8 ( x + 1) , ta được:
4

B. − x 2 ( x + 1) .

A. x 2 ( x + 1) .

C. x 2 ( x − 1) .

D. x 2 ( x + 1) .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D

Phương pháp tự luận.
Ví dụ 5. Đơn giản biểu thức

3

4

x8 ( x + 1) =
4

4

x 2 ( x + 1) = x 2 ( x + 1) = x 2 x + 1 .
4

x 3 ( x + 1) , ta được:
9

C. x ( x + 1) .

B. x ( x + 1) .

A. − x ( x + 1) .
3

3

3

D. x ( x + 1) .

3

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B
Phương pháp tự luận.

3

x3 ( x + 1) =
9

3

(

x ( x + 1)

)

3 3

= x ( x + 1) .
3

Ví dụ 6. Khẳng định nào sau đây đúng
−1

A. a 0 = 1∀a .

C. 2 3 < 3 2 .

B. a 2 > 1 ⇔ a > 1 .

2

1
1
D.   <   .
4
4

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C
Đáp án A và B sai do áp dụng trực tiếp lí thuyết.
Dùng máy tính để kiểm tra kết quả đáp án A và. D.

(2
Ví dụ 7. Nếu

)

3 −1

a+ 2

< 2 3 −1

A. a < −1 .

thì

B. a < 1 .

C. a > −1 .

D. a ≥ −1 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A

(

)

Do 2 3 − 1 > 1 nên 2 3 − 1

a+2

< 2 3 − 1 ⇔ a + 2 < 1 ⇔ a < −1 .

Ví dụ 8. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?
A. ( 0, 01)

− 2

> (10 )

− 2

. B. ( 0, 01)

C. ( 0, 01)

− 2

= (10 )

− 2

. D. a 0 = 1, ∀a ≠ 0 .

− 2

< (10 )

− 2

.

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B
Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng

5


Dùng máy tính kiểm tra kết quả.
Ví dụ 9. Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào đúng?

)

) (
(
C. ( 4 − 2 ) < ( 4 − 2 ) .

A. 2 − 2

3

(
D. (

4

< 2− 2 .

3

B.

4

) (
)
2) < ( 3 − 2) .
6

11 − 2

>

5

4

3−

7

11 − 2 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C
Dùng máy tính kiểm tra kết quả.

(
Ví dụ 10. Nếu
A. m >

3− 2

)

2 m− 2

< 3+ 2

3
.
2

thì

B. m <

1
.
2

C. m >

1
.
2

D. m ≠

3
.
2

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C

3 +=
2

Ta có

1
⇒

3− 2

(

3− 2

)

2m−2

<

(

3− 2

)

−1

⇔ 2m − 2 > −1 ⇔ m >

1
.
2

Ví dụ 11. Cho n nguyên dương ( n ≥ 2 ) khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
1

A. a n = n a ∀a > 0 .

1

C. a n = n a ∀a ≥ 0 .

1

B. a n = n a ∀a ≠ 0 .
1

D. a n = n a ∀a ∈  .
Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A
Áp dụng định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Ví dụ 12. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

ab = a b ∀a, b . B.

A.
C.

2n

2n

a 2 n ≥ 0 ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) .

a 2 n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 1) .

D.

4

a 2 = a ∀a ≥ 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
Áp dụng tính chất căn bậc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.
Ví dụ 13. Cho a > 0, b < 0 , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.
C.

4

a 4b 4 = ab .

B.

a 2b 2 = ab .

D.

3

a 3b3 = ab .
a 4b 2 = − a 2b .
Hướng dẫn giải

Chọn đáp án A
Áp dụng tính chất căn bâc n ta có đáp án A là đáp án chính xác.

Ví dụ 14. Tìm điều kiện của a để khẳng định
A. ∀a ∈  .

B. a ≤ 3 .

Thi thử hàng tuần tại nhóm Kyser ôn thi THPT

(3 − a ) 2 =−
a 3 là khẳng định đúng?

C. a > 3 .

D. a ≥ 3 .
6


Hướng dẫn giải
Chọn đáp án D

a − 3 neu a ≥ 3

2
.
(3 − a ) = a − 3 ⇔ 
−a + 3 neu a < 3


Ta có

Ví dụ 15. Cho n ∈ N ; n ≥ 2 khẳng định nào sau đây đúng?

1

1

A. a n = n a , ∀a ≠ 0 .
1
n

B. a n = n a , ∀a > 0 .
1
n

C. a = a , ∀a ≥ 0 .

D. a = n a , ∀a ∈  .

n

Lời giải:
Chọn đáp án B
Đáp án B đúng. Đáp án A, C, D sai vì điều kiện của a .
Ví dụ 16. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?

ab = a b ∀a, b . B.

A.
C.

2n

2n

a 2 n ≥ 0 ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 2 ) .

a 2 n = a ∀a , n nguyên dương ( n ≥ 2 )

.

D.

4

a 2 = a ∀a ≥ 0

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A

a ≥ 0
Vì đẳng thức chỉ xáy ra khi 
.
b ≥ 0
Ví dụ 17. Cho a > 0, b < 0 , khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A.

4

a 4b 4 = ab .

B.

3

a 3b3 = ab .

C.

a 2b 2 = ab

.

D.

a 2b 4 = ab 2

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
Do a > 0, b < 0 nên
1
2

1
6

Ví dụ 18. Nếu a > a và b

4

2

a 4b 4 =

4

(ab) 4 = ab = −ab . Đáp án A là đáp án chính xác.

> b 3 thì
B. a > 1; b < 1 .

A. a > 1;0 < b < 1 .

C. 0 < a < 1; b < 1 .

D. a < 1;0 < b < 1

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
Do
Vì

1
1
1 1
> nên a 2 > a 6 ⇒ a > 1 .
2 6

2 < 3 nên b

2

>b

3

⇒ 0 < b < 1 vậy đáp án A là đáp án chính xác.

(
Ví dụ 19. Cho a , b là các số dương. Rút gọn biểu thức P =
3

A. ab 2 .

B. a 2b .

Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng

4

a 3 .b 2
12

)

a .b

C. ab .

4

được kết quả là :

6

D. a 2b 2 .
7


Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C

(

=
P

)

4

a 3 .b 2
=
12 6
a .b

4

3

a 3 .b 2
a 3 .b 2
= =

ab . Vậy đáp án C là chính xác.
6 12 6
a 2 .b
a .b

α

Ví dụ 20. Cho 3 < 27 . Mệnh đề nào sau đây là đúng?

α < −3
A. 
.
α > 3

B. α > 3 .

D. −3 < α < 3 .

C. α < 3 .
Hướng dẫn giải

Chọn đáp án D
α

α

Ta có 3 < 27 ⇔ 3 < 33 ⇔ α < 3 ⇔ −3 < α < 3 . Vậy đáp án D là đáp án chính xác.
Ví dụ 21. Giá trị của biểu thức A = ( a + 1) + ( b + 1)
−1

A. 3.

−1

với

B. 2.

(2 + 3)

a=

−1

và b=

(2 − 3)

C. 1.

−1

D. 4.

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C

) + (2 −

(

A = ( a + 1) + ( b + 1) = 2 + 3 + 1
−1

−1

)

−1

−1

1
1
+
=1
3+ 3 3− 3

+1
3=

Vậy đáp án C là đáp án chính xác.
Ví dụ 22. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức
2
 a+b
 (3
3
3
)
−

−
P = 3
ab
:
a
b

 a+3b


A. −1 .

B. 1 .

D. −2 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

Chọn đáp án B
 ( 3 a )3 + ( 3 b )3

2
2
 a+b
 (3
3
3
3
3

3


)
(
)
P = 3
−
ab
:
a
−
b
=
−
ab
:
a
−
b



3
a+3b
 a+3b



 ( 3 a + 3 b )( 3 a 2 − 3 a 3 b + 3 b2 )


2
3
3
3

−
ab
 : ( a − b )
3
3
a+ b



=

(

3

a − 3 ab + 3 b − 3 ab ) : ( 3 a − 3 b ) =( 3 a − 3 b ) : ( 3 a − 3 b ) =1 .
2

2

2

2

2

Ví dụ 23. Cho các số thực dương a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức

(

)

1
1

a
b
P = a3 + b3 :  2 + 3 + 3 
b
a


3

A.

(

3

3

ab

a + b)
3

3

.

B.

3

ab .

C.

3

ab
.
a+3b

D.

3

ab ( 3 a + 3 b ) .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án C
Thi thử hàng tuần tại nhóm Kyser ôn thi THPT

8


(

)

1
1

a
b
P = a3 + b3 :  2 + 3 + 3  =
b
a


(

=

3

a+

3

(3 a + 3 b)
b ): 3 3

2

=

a b

3



( 3 a + 3 b )⋅

Ví dụ 24. Cho số thực dương x . Biểu thức
a
b

mũ hữu tỉ có dạng x , với
A. a + b =
509 .



( 3 a + 3 b ) :  2 + 3 a + 3 b  = ( 3 a + 3 b ) :  2
3

3

a

b

a3b

(3 a + 3 b)

2

=



3

a 3 b + 3 a 2 + 3 b2 

3
a3b


3
3

a3b
⋅.
a+3b

x x x x x x x x

được viết dưới dạng lũy thừa với số

a
là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa a và b là:
b

B. a + 2b =
767 .

C. 2a + b =
709 .

D. 3a − b =
510 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án B

x x=
x x x x x x

Cách 1:

x(x )
3
2

= x x x x x

1
2

Nhận xét:

x x x x x⋅x
31

3
2

7
8

31

63

x x x x ⋅ x16 = x x x x16 = x x xx 32 = x x x 32
127

127

255

255

255

đó a 255,
=
b 256 .

x ⋅ x 128 = x 128 = x 256 . Do =

x x ⋅ x 64 = x x 64 = x x 128=

=

= x x x x x x x

7

x x x x4
= x x=
15

15

= x x =
x x x8
63

x x x x x x x⋅x

1
2

28 −1

255

2

x x x x x x x=
x
x=
x 256 .
8

Ví dụ 25. Cho các số thực dương phân biệt a và b . Biểu thức thu gọn của biểu thức

=
P

a− b
4a + 4 16ab
=
P m 4 a + n 4 b . Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n
−
có dạng
4
4
4
4
a− b
a+ b

là:
A. 2m − n =−3 .

B. m + n =−2 .

C. m − n =

0.

D. m + 3n =
−1 .

Hướng dẫn giải
Chọn đáp án A
a− b
4a + 4 16ab ( 4 a ) − ( 4 b ) 2 4 a 4 a + 2 4 a 4 b
.
P=
−
=4
−
4
4
4
a−4b
a+4b
a−4b
a+4b
2

( 4 a − 4 b )( 4 a + 4 b )
4

a−4b

−

2

24 a ( 4 a + 4 b)
= 4 a + 4 b − 2 4 a = 4 b − 4 a . Do đó m =
−1; n =
1.
4
4
a+ b

Tài liệu KYS Chia sẻ tài liệu, đề thi chất lượng

9