Ước lượng khoảng cách biên soạn Nguyễn Tiên Tiến

MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

1

ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH
GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA TAM GIÁC
I. MỞ ĐẦU
Khi nghiên cứu các tính chất của tam giác, ta thấy có một số điểm đóng
vai trị đặc biệt và chúng có quan hệ mật thiết với nhau. Chẳng hạn, mối quan hệ
giữa các điểm: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác
uuu uuu uuu
r
r
r
biểu thị qua hệ thức OG : GH : OH = 1: 2 : 3 ; khoảng cách giữa hai tâm đường
tròn ngoại tiếp, nội tiếp và các bán kính R, r của chúng biểu thị qua hệ thức
Euler đẹp đẽ: IO 2 = R 2 - 2Rr .
Một vấn đề được đặt ra là với những điểm nêu trên ta có thể xác định được
khoảng cách còn các điểm đặc biệt khác của tam giác như: tâm đường tròn nội
tiếp, tâm đường tròn bàng tiếp, điểm Lemoine, điểm Naghen, điểm Gergone thì
hệ thức liên hệ giữa chúng như thế nào? Có xác định được không? Bài tập này
xin được giới thiệu về cách xác định những khoảng cách đó và một số hệ thức
giữa những khoảng cách này. Đồng thời, thông qua nghiên cứu các khoảng cách
đó ta cũng đưa ra được một số đánh giá về các yếu tố liên quan đến tam giác
như: chu vi, bán kính đường trịn nội tiếp, bán kính đường trịn ngoại tiếp. Cũng
thơng qua bài tập này chúng ta có thể thấy một số cặp phạm trù của triết học
được vận dụng trong quá trình nghiên cứu như: cái chung và cái riêng; nội dung
và hình thức; chủ quan và khách quan.
MỘT SỐ KÝ HIỆU
ABC

: tam giác ABC

G

: trọng tâm tam giác ABC

H

: trực tâm tam giác ABC

I

: tâm đường tròn nội tiếp tam giác

O

: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ia , Ib ,Ic

: tâm đường trịn bàng tiếp tương ứng với góc A, B, C

L

: điểm Lemoine của tam giác

N

: điểm Naghen của tam giác

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

J

: điểm Gergone của tam giác

p

: nửa chu vi của tam giác

S

: diện tích của tam giác

R, r

: bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác

ra , rb , rc

2

: bán kính đường trịn bàng tiếp ứng với góc A, B, C

å ab = ab + bc + ca ; å a b = a b
åa = a + b + c ; åa = a + b
2 2

3

3

3

3

4

2 2

4

4

+ b2c2 + c2a 2 ;

åa

2

= a 2 + b 2 + c2

+ c4

II. MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN

1.

2.
3.
4.
5.
6.

Trước hết, ta nhắc lại các kết quả sau:(dễ dàng chứng minh được)
uuu uuu uuu r
r
r
r
GA + GB + GC = 0
uu
r
uu
r
uu r
r
aIA + bIB + cIC = 0
uuu uuu uuu
r
r
r
uuu
r
HA + HB + HC = 2HO
uuu uuu uuu uuu
r
r
r

r
OA + OB + OC = OH
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu uuu
r
OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO
uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu
r
r
r r
r
r r
r
r
AH = OB + OC; BH = OC + OA; CH = OA + OB

7. S =

abc
= pr = (p - a ) ra = (p - b) rb = (p - c) rc
4R

8. S = p (p - a )(p - b)(p - c) =

2 (å a 2 b 2 ) - (å a 4 )
16

9. 2(å ab) - (å a 2 ) = 4r 2 + 16Rr

å ab = p + r + 4Rr
11. å a = 2p - 2r - 8Rr
12. å a = 2p (p - 3r - 6Rr )
2

10.

2

3

2

2

2

2

2

13. (p - a )(p - b) + (p - b)(p - c) + (p - c)(p - a ) = r (4R + r )
4p (R - r )
a2
b2

c2
14.
+
+
=
p-a p-b p-c
r
Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

15. GA =

2(b 2 + c2 ) - a 2

2(c 2 + a 2 ) - b 2

3

2 (a 2 + b 2 ) - c 2

;GB =
;GC =
9
9
9
uuu uuu 2
r
r

16. HA 2 = OB + OC = 4R 2 - a 2 ; HB2 = 4R 2 - b 2 ; HC2 = 4R 2 - c2
2

(

2

2

)

17. IA 2 = r 2 + (p - a ) = bc - 4Rr ; IB2 = ca - 4Rr; IC2 = ab - 4Rr
2

III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG CÁCH GIỮA CÁC ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA
TAM GIÁC
Bây giờ chúng ta sử dụng các kết quả trên để ước lượng khoảng cách giữa
các điểm đặc biệt trong tam giác.
1. Khoảng cách giữa các điểm đặc biệt
uuur uuur uuur
uuur
Trước hết, xuất phát từ hệ thức MA + MB + MC = 3.MG , ta có:
uuur 2
uuur uuu uuur 2
r
9MG = MA + MB + MC

(

)

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= MA 2 + MB2 + MC2 + 2 MA.MB + MB.MC + MC.MA

(

= 3(MA 2 + MB2 + MC2 ) - (a 2 + b 2 + c2 )

)

uuur uuur
uuur uuur
(do 2MA.MB = MA 2 + MB2 - AB2 ;2MB.MC = MB2 + MC2 - BC2 ;
uuur uuur
2MC.MA = MC2 + MA 2 - CA 2 ).

Do đó, MG 2 =

1
1
(MA 2 + MB2 + MC2 ) - 9 (å a 2 )
3

(I)

* Khi M º O , ta có:
1.1) OG 2 =

1
1

1
(OA 2 + OB2 + OC2 ) - 9 (å a 2 ) = R 2 - 9 (å a 2 )
3

4
2
1
= R 2 - p 2 + (å ab) = (9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2 )
9
9
9

* Khi M º H , ta có:
1.2) HG 2 =

1
1
4
(HA 2 + HB2 + HC2 ) - 9 (å a 2 ) = 4R 2 - 9 (å a 2 )
3

= 4R 2 -

16 2 8
4
p + (å ab) = (9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2 )
9
9
9

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

4

* Khi M º I , ta có:
1.3) IG 2 =

1
1
1
(IA 2 + IB2 + IC2 ) - 9 (å a 2 ) = 9 éêë3(å ab -12Rr ) - (å a 2 )ùúû
3

1
1
= éê5(å ab) - 4p 2 ùú - 4Rr = (p 2 + 5r 2 -16Rr )
û
9ë
9
uuu
r
uuu
r
* Từ hệ thức OH = 3OG , ta có:

1.4) OH 2 = 9OG 2 = 9R 2 + 2r 2 + 8Rr - 2p 2

uuu uuu uuu
r
r
r
uuu
r
Cũng có thể tính OH xuất phát từ các hệ thức HA + HB + HC = 2HO và
uuu uuu uuu uuu
r
r
r
r
OA + OB + OC = OH .
uuur
uuur
uuur
uur
Tiếp tục, xuất phát từ hệ thức aMA + bMB + cMC = (a + b + c) MI , ta

có:

uuur
uuur
uuur
(a + b + c) MI = aMA + bMB + cMC
2

2

(

)

2

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
= a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c 2 MC2 + 2 abMA.MB + bcMB.MC + caMC.MA

(

= (a + b + c)(aMA 2 + bMB2 + cMC2 - abc)

Do đó, MI2 =
Û MI 2 =

)

1
abc
(aMA 2 + bMB2 + cMC2 ) - a + b + c
a +b+c

1
(aMA 2 + bMB2 + cMC2 ) - 2Rr
a +b+c

(II)

* Khi M º O , ta có:
1.5) OI 2 =

1
(aOA 2 + bOB2 + cOC2 ) - 2Rr = R 2 - 2Rr (Hệ thức Ơle)
a +b+c

* Khi M º H , ta có:
1.6) HI2 =
=

1
(aHA 2 + bHB2 + cHC2 ) - 2Rr
a +b+c
1
é 4(a + b + c) R 2 - ( a 3 )ù - 2Rr
å úû
a + b + c êë

= 4R 2 - 6Rr - (å a 2 - å ab) - 2Rr = 4R 2 + 4Rr + 3r 2 - p 2

2. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến tâm đường tròn bàng tiếp
Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

5

Gọi Ia , I b , Ic lần lượt là tâm đường trịn bàng tiếp góc A, B, C của tam

giác ABC. Khi đó dễ dàng chứng minh được các hệ thức sau:
uuu
r
uuu
r
uuu r
r
uuur
uuur
uuur
uuur
i) -aIa A + bIa B + cIa C = 0 ; -aMA + bMB + cMC = (-a + b + c) MIa
uuu
r
uuu
r
uuu r uuur
r
uuu
r
uuur
uuur
ii) aI b A - bIb B + cI bC = 0 ; aMA - bMB + cMC = (a - b + c) MI b
uuu
r
uur
uur r uuur
uuur
uuur
uuur

iii) aIc A + bIc B - cIcC = 0 ; aMA + bMB - cMC = (a + b - c) MIc .
Xuất phát từ hệ thức i), ta có:
uuur
uuur
uuur
2
2
(-a + b + c) MIa = -aMA + bMB + cMC

(

)

2

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
= a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c 2 MC2 - 2 abMA.MB - bcMB.MC + caMC.MA

(

= (-a + b + c) éêë-aMA 2 + bMB2 + cMC2 + abcùúû

2
Þ (-a + b + c) MIa = -aMA 2 + bMB2 + cMC2 + abc

)

(III)

* Khi M º O , ta được:
2
2.1) OIa =

1
abc
(-aOA 2 + bOB2 + cOC2 + abc) = R 2 + -a + b + c
(-a + b + c)

= R 2 + 2Rra

Tương tự, ta có:
OI 2 = R 2 +
b

abc
abc
2
= R 2 + 2Rrb ; OIc = R 2 +
= R 2 + 2Rrc
a -b+c
a + b-c

* Khi M º H , ta được:
2
2.2) HIa =

1
(-aHA 2 + bHB2 + cHC2 + abc)

-a + b + c

a 3 - b3 - c3 + abc
= 4R +
= 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rra + 2bc
-a + b + c
2

Tương tự, ta có:
HI2 = 4R 2 +
b

b3 - c3 - a 3 + abc
= 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rrb + 2ca ;
a-b+c

c3 - a 3 - b3 + abc
HI = 4R +
= 4R 2 - 3p 2 + r 2 + 4Rr + 8Rrc + 2ab
a + b-c
2
c

2

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

6

* Khi M º I , ta được:
2
2.3) I Ia =

=

1
(-aIA 2 + bIB2 + cIC2 + abc)
-a + b + c

2abc
- 4Rr = 4R (ra - r )
-a + b + c

Tương tự, ta có:
2
I I 2 = 4R (rb - r ) ; I Ic = 4R (rc - r )
b

* Khi M º G , ta được:
2
2.4) GIa =

1
(-aGA 2 + bGB2 + cGC2 + abc)
-a + b + c

2

a 3 - b3 - c3 + 3abc 1
2
= (å a ) +
= (6bc - 5p 2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rra
9
3(-a + b + c)
9

Tương tự, ta có:
GI 2 =
b

1
(6ca - 5p2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rrb
9

2
GIc =

1
(6ab - 5p2 - r 2 - 4Rr ) + 4Rrc
9

* Khi M º A , ta được:
bAB2 + cAC2 + abc
bcp
2.5) AI =
=
= bc + 4Rra
p-a

(-a + b + c)
2
a

Tương tự, ta có:
BI 2 =
b

cap
abp
2
= ca + 4Rrb , CIc =
= ab + 4Rrc .
p-b
p-c

* Khi M º B , ta có:

-aBA 2 + cBC2 + abc ca (p - c)
2.6) BI =
=
-a + b + c
p-a
2
a

2
Tương tự, ta có: CIa =

AI 2 =

b

ab (p - b)
p-a

bc(p - c)
ab (p - a )
bc(p - b) 2 ca (p - a )
2
, CI 2 =
, AIc =
, BIc =
b
p-b
p-b
p-c
p-c

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

7

* Khi M º I b , ta được:
2
2.7) I b Ia =

-aI b A 2 + bI b B2 + cIb C2 + abc

abc 2
=
= 4R (ra + rb )
-a + b + c
(p - a )(p - b)

Tương tự, ta có:
a 2 bc
ab 2c
2
II =
= 4R (rb + rc ) ; Ic Ia =
= 4R (rc + ra )
(p - b)(p - c)
(p - c)(p - a )
2
b c

3. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Lemoine(Lomoan) của tam
giác
Điểm Lemoine.
Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC, lấy các điểm C1 ,A1 ,B1 tương
AC1 b 2 BA1 c2 CB1 a 2
ứng sao cho
= ;
= ;
= . Khi đó các đường thẳng
C1B a 2 A1C b 2 B1A c2
AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm L(điểm L được gọi là điểm Lemoine của

tam giác)
Chứng minh:
Gọi L là giao điểm của hai đường thẳng AA1 , CC1 . Áp dụng định lý Menelauyts
cho tam giác ABA1 , ta có:

AC1 BC A1L
.
.
= 1.
C1B CA1 LA

AC1 b 2 BC b 2 + c 2
Với
= ;
=
nên ta có;
C1B a 2 CA1
b2
A1L
a2
LA
b 2 + c2
=
Þ
=
.
LA b 2 + c2
AA1 a 2 + b 2 + c2

Mặt khác, từ hệ thức

uuur
uuur
BA1 c 2
= 2 ta có b 2 BA1 = c2 A1C . Từ đó, ta có hệ thức:
A1C b
uuuu
r
AA1 =

r
r
b 2 uuu
c2 uuu
AB + 2
AC
b 2 + c2
b + c2
uuu
r
uur
uur r
Do vậy: a 2 LA + b 2 LB + c2 LC = 0 .

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

8

Tương tự, giao điểm của hai đường thẳng BB1 và CC1 cũng thỏa mãn hệ thức
này. Điểm L được xác định duy nhất theo hệ thức này, vì vậy ba đường thẳng
AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại điểm L thỏa mãn hệ thức trên☺.

Xuất phát từ hệ thức trên, ta tính khoảng cách từ L đến các điểm G, H, O,
I, Ia , I b , Ic .

uuur
uuur
uuur
uuu
r
2
2
2
Với mọi điểm M, ta có hệ thức: a MA + b MB + c MC = (å a ) ML . Do vậy,
2

ta có:
uuur
uuur
uuur
2
a 2 ) ML2 = a 2 MA + b 2 MB + c 2 MC
(å

(

)

2

uuur uuu
r
uuur uuur
uuur uuur
= a 4 MA 2 + b 4 MB2 + c 4 MC2 + 2 a 2 b 2 MA.MB + b 2c 2 MB.MC + c 2a 2 MC.MA

(

= (å a 2 )(a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c2 MC2 ) - 3a 2 b 2c 2

Þ ML2 =

a 2 MA 2 + b 2 MB2 + c2 MC2 3a 2 b 2c2
2
a2 )
(å
(å a 2 )

)

(IV)

* Khi M º O , ta có:

a 2OA 2 + b 2OB2 + c2OC2 3a 2 b 2c2
3a 2 b 2c 2
2

3.1) OL =
=R 2
2
(å a 2 )
a2 )
(å
(å a 2 )
2

* Khi M º G , ta có:

a 2GA 2 + b 2GB2 + c2GC2 3a 2 b 2c2
3.2) GL =
2
(å a 2 )
(å a 2 )
2

é( a 4 )( a 2 ) + 9a 2 b 2c2 ù
å
2
êå
úû
= (å a 2 ) - ë
2
9
3( a 2 )

å
2(å a ) - 3(å a )(å a ) - 27 (abc)

=
9 (å a )
2

3

4

2

2

2 2

6(å a 2 )(å a 2 b 2 ) - (å a 2 ) - 27 (abc)
3

=

2

9 (å a 2 )

2

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

9

* Khi M º H , ta có:
a 2 HA 2 + b 2 HB2 + c2 HC2 3a 2 b 2c2
3.3) HL =
2
(å a 2 )
(å a 2 )
2

= 4R

2

(å a 4 )(å a 2 ) + 3a 2b2c2
2
(å a 2 )

= 4R - (å a ) +
2

2

2(å a 2 )(å a 2 b 2 ) - 3(abc)

2

(å a 2 )

2

* Khi M º I , ta có:

a 2 IA 2 + b 2 IB2 + c 2 IC2 3a 2 b 2c2
3.4) IL =
2
(å a 2 )
(å a 2 )
2

abc éê(å a )(å a 2 ) - 3abcùú
4Rr 2
é p 2 (R + r ) - r (4R + r )2 ù
ë
û - 4Rr =
=
2
2 ê
úû
(å a 2 )
(p2 - r 2 - 4Rr ) ë

* Khi M º Ia , ta có:

abc(2p 2 - 2bc) 3a 2 b 2c 2
a 2 Ia A 2 + b 2 Ia B2 + c 2 Ia C2 3a 2 b 2c 2
3.5) Ia L =
=
2 2
a2 )

(p - a )(å a 2 ) (å a 2 )2
(å
(å a )
2

Tương tự, ta có:
IbL =
2

abc (2p 2 - 2ca )

(p - b)(å a 2 )

* Khi M º A , ta có:

-

3a 2 b 2c2

(å a )

2 2

, Ic L =
2

abc(2p 2 - 2ab)

(p - c)(å a 2 )

-

3a 2 b 2c2

(å a 2 )

2

b 2c 2 (2å a 2 - 3a 2 )
b 2 AB2 + c2 AC2 3a 2 b 2c2
3.6) AL =
=
2
2 2
a2 )
(å
(å a )
(å a 2 )
2

Tương tự, ta có:
BL =
2

c2a 2 (2å a 2 - 3b 2 )

(å a )

2 2

, CL =
2

a 2 b 2 (2å a 2 - 3c 2 )

(å a 2 )

2

4. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Gergone của tam giác
Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

10

Điểm Gergone.
Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt
tại A1 ,B1 ,C1 . Khi đó các đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại một điểm
J(điểm J được gọi là điểm Gergone).
Ta có AC1 = AB1 = p - a;BC1 = BA1 = p - b;CA1 = CB1 = p - c .
Bằng cách chứng minh tương tự như điểm Lemoine, ta có điểm Gergone
uur
uu
r
uu r
r
thỏa mãn hệ thức: (p - b)(p - c) JA + (p - c)(p - a ) JB + (p - a )(p - b) JC = 0 .
Để thuận tiện trong việc tính tốn ta đặt:

x = (p - b)(p - c); y = (p - c)(p - a ); z = (p - a )(p - b)
uuur
uuur
uuur
uur
Khi đó, với mọi điểm M ta có: xMA + yMB + zMC = ( x + y + z ) MJ .

Do vậy:
uuur

uuur

uuur

(x + y + z) MJ 2 = ( xMA + yMB + zMC)
2

2

uuur uuur
uuu uuur
r
uuur uuur
= x 2 MA 2 + y 2 MB2 + z 2 MC2 + 2 xyMA.MB + yzMB.MC + zxMC.MA

(

= ( x + y + z)( xMA 2 + yMB2 + zMC2 ) - ( xyc 2 + yza 2 + zxb 2 )

xMA 2 + yMB2 + zMC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2

Þ MJ =
2
x+y+z
( x + y + z)
2

)

(V)

Ta có:
xyc2 + yza 2 + zxb 2

(x + y + z)

2

=

(p - a )(p - b)(p - c) éêë p(å a 2 ) - (å a 3 )ùúû

* Khi M º O , ta có:

é r (4R + r )ù 2
ë
û

=

4p 2 r (R + r )

(4R + r )

2

4p 2 r (R + r )
xOA 2 + yOB2 + zOC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2
2
4.1) OJ =
=R 2
2
x+y+z
( x + y + z)
(4R + r )
2

* Khi M º G , ta có:
4.2) GJ 2 =

xGA 2 + yGB2 + zGC2 xyc 2 + yza 2 + zxb 2
2
x+y+z
( x + y + z)

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

11

2
2
2
4 p (4R + 8Rr - 5r ) - r (4R + r )
= .
2
9
(4R + r )

3

* Khi M º H , ta có:
xHA 2 + yHB2 + zHC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2
4.3) HJ =
2
x+y+z
(x + y + z)
2

= 4R 2

8p 2 R (2R - r )

(4R + r )

2

* Khi M º I , ta có:
xIA 2 + yIB2 + zIC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2

3p 2 r 2
2
4.4) IJ =
=r 2
2
x+y+z
(x + y + z)
(4R + r )
2

* Khi M º L , ta có:
xLA 2 + yLB2 + zLC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2
4.5) LJ =
2
x+y+z
(x + y + z)
2

2 éê 4Rrp 2 (å ab) + (å a 3b3 ) - p 2 (å a 2 b 2 )ùú 3(abc)2 4p 2 r (R + r )
û= ë
2
2
2
r (4R + r )(å a )
(4R + r )
a2 )
(å

* Khi M º A , ta có:

yAB2 + zAC2 xyc2 + yza 2 + zxb 2
4.6) AJ =
2
x+y+z
( x + y + z)
2

2
pr ỉ c 2
b 2 ư 4p r (R + r )
ữỗ
ữ
=
+
ỗ
ữ
ữ
4R + r ỗ p - b p - c ø (4R + r )2
è

Tương tự, ta có:
2
pr ỉ c2
a 2 ư 4p r (R + r )
ữỗ
ữ
JB =
+
ỗ
ữ

ữ
4R + r ỗ p - a p - c ø (4R + r )2
è
2

2
pr æ a 2
b 2 ử 4p r (R + r )
ữỗ
ữ
JC =
+
ỗ
ữ
ữ
4R + r ỗ p - b p - a ứ (4R + r )2
è
2

5. Khoảng cách từ các điểm đặc biệt đến điểm Naghen của tam giác
Điểm Naghen.
Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

12

Các đường tròn bàng tiếp của tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB
tương ứng tại A1 ,B1 ,C1 . Khi đó các đường thẳng AA1 , BB1 ,CC1 đồng quy tại

một điểm N(điểm N được gọi là điểm Naghen).
Ta có C1B = CB1 = p - a;A1C = AC1 = p - b;B1A = A1B = p - c .
Bằng cách chứng minh tương tự như điểm Lemoine, ta có điểm Naghen
uuu
r
uuu
r
uuu r
r
thỏa mãn hệ thức: (p - a ) NA + (p - b) NB + (p - c) NC = 0 .
uuur
uuur
uuur
uuur
Với mọi điểm M, ta có (p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MC = pMN .
Vì vậy:
uuur
uuur
uuur 2
p 2 MN 2 = éê(p - a ) MA + (p - b) MB + (p - c) MCùú
ë
û

= p éêë(p - a ) MA 2 + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ùúû

- éêë(p - a )(p - b)c2 + (p - b)(p - c)a 2 + (p - c)(p - a ) b 2 ùúû

Ta có:
é(p - a )(p - b)c 2 + (p - b)(p - c)a 2 + (p - c)(p - a ) b 2 ù
êë

úû
= 4r (R - r )
2
p

Þ MN =
2

(p - a )MA 2 + (p - b)MB2 + (p - c)MC2
p

- 4r (R - r )

(VI)

* Khi M º O , ta có:
5.1) ON 2 = R 2 - 4r (R - r ) = (R - 2r )

2

* Khi M º G , ta có:
5.2) GN =
2

=

(p - a )GA 2 + (p - b)GB2 + (p - c)GC2
p

- 4r (R - r )

4 2
(p + 5r 2 -16Rr )
9

* Khi M º H , ta có:
5.3) HN =
2

(p - a ) HA 2 + (p - b) HB2 + (p - c) HC2
p

- 4r (R - r ) = 4R (R - 2r )

* Khi M º I , ta có:
Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

5.4) IN =
2

(p - a )IA 2 + (p - b) IB2 + (p - c) IC2
p

13

- 4r (R - r ) = p 2 + 5r 2 -16Rr

* Khi M º L , ta có:
5.5) LN =
2

(p - a )LA 2 + (p - b) LB2 + (p - c) LC2
p

- 4r (R - r )

2 2 2
2 é 4
2
3
ù - 48p r R - 4r (R - r )
=
p - 2p r (6R - r ) + r (4R + r )úû
2
a 2 êë
å
( a2 )

å

* Khi M º J , ta có:
5.6) JN =
2

=

(p - a )JA 2 + (p - b) JB2 + (p - c) JC2

p

- 4r (R - r )

é p 2 (R + r ) - r (4R + r )2 ù
ê
úû
(4R + r ) ë
16R

2

* Khi M º A , ta có:
5.7) AN =
2

(p - b) AB2 + (p - c) AC2
p

- 4r (R - r ) = (b - c) + 4r 2
2

Tương tự, ta có:
BN 2 = (c - a ) + 4r 2 , CN 2 = (a - b) + 4r 2
2

2

6. Hệ thức liên hệ các khoảng cách giữa các điểm đặc biệt
Như nhận xét ở trên, bây giờ ta tìm các hệ thức liên hệ các khoảng cách

giữa các điểm đặc biệt OG 2 , HG 2 , IG 2 ,OH 2 , HI 2 ,OI 2 .
r
uuu
r
uuu
r
uuu
r
uuu uuu
r
Từ các hệ thức OH = 3OG; 3HG = 2HO = 6GO ta có:
6.1) OH 2 - 9OG 2 = 0
6.2) GH 2 - 4OG 2 = 0
6.3) 9HG 2 - 4OH 2 = 0
Ta xuất phát từ đẳng thức:
xOG 2 + yOH 2 + zOI 2 + tGH 2 + kGI 2 + qIH 2

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

14

4
= ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R 2 - 2(z + 2k + 4q ) Rr - ( x + 9y + 4t + k + 9q ) p 2
9
1
+ (2x + 18y + 8t + 5k + 27q )(ab + bc + ca )
9

1
= ( x + 9y + z + 4t + 4q ) R 2 + (2x + 18y + 5k + 27q + 8t ) r 2
9
1
1
+ (8x + 72y -18z -16k + 36q + 32t ) Rr + (-2x -18y + k - 9q - 8t ) p 2
9
9

trong đó x, y, z, k, t, q là các số thực.
* Lấy q = -1;z = 4;x = y = t = k = 0 , ta được:
6.4) 4OI 2 - IH 2 = 4p 2 - 3(å ab) = p 2 - 3r 2 -12Rr

* Lấy k = -1;z = 2;x = y = t = q = 0 , ta được:

4
5
1
6.5) 2OI 2 - GI 2 = 2R 2 + p 2 - (å ab) = (18R 2 - 5r 2 - 20Rr - p 2 )
9
9
9

* Lấy t = -1;z = 4;x = y = k = q = 0 , ta được:
6.6) 4OI 2 - GH 2 =

16 2 8
8
p - (å ab) - 8Rr = (p 2 - r 2 -13Rr )
9

9
9

* Lấy t = 3;q = -2;k = 6;z = -4; x = y = 0 , ta được:
6.7) 3GH 2 + 6IG 2 = 2IH 2 + 4IO 2
* Lấy x = 6; y = t = 0;z = -2;k = 3;q = -1 , ta được:

6.8) 3(2OG 2 + GI 2 ) = 2OI 2 + IH 2 .

* Lấy x = 4;q = -1; y = z = t = k = 0 , ta được:
6.9) 4OG 2 - IH 2 = 8Rr +
=

20 2 19
4abc
5
p - (å ab) =
+ (å a 2 ) - (å ab)
9
9
a +b+c 9

5(å a 3 ) + 9abc - 4 éë ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a )ùû
9 (a + b + c )

=

1 2
(p -19r 2 - 4Rr )
9

* Lấy y = 1;q = -2;x = z = t = k = 0 , ta được:
6.10) OH 2 - 2IH 2 = R 2 + 16Rr + 4p 2 - 3(å ab)

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

15

= R 2 + 16Rr + å a 2 - 2(å ab) = R 2 - 4r 2

* Lấy x = y = z = 0, t = 1, k = q = -1 , ta được:

8
8
4
6.11) GH 2 - GI 2 - IH 2 = 12Rr + p 2 - (å ab) = r (R - 2r )
3
3
3

* Lấy x = t = k = 0, y = 1, z = -1,q = -2 , ta được:
6.12) OH 2 - OI 2 - 2IH 2 = 18Rr + 4p 2 - 4(å ab) = 2r (R - 2r )
7. Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt
* Từ 6.4) và bất đẳng thức
7.1) IH £ 2IO

åa

* Từ 1.4), 6.5) và bất đẳng thức
7.2) IG £ 2 OI
* Từ bất đẳng thức

åa

2

2

³ å ab , ta có được:

åa

2

³ å ab , ta được:

³ å ab ; bất đẳng thức

å ab ³ 18Rr

và 6.6),

ta được:
7.3) GH £ 2OI
2
* Từ các đẳng thức HG = 2OG; HG = OH và 7.3), ta được:
3

7.4) OG £ OI; OH £ 3OI
* Từ 7.1), 7.2), 7.3), 7.4), ta có:

{

}

7.5) max 3IH,3 2IG,6OG, 2OH £ 6OI
* Từ đẳng thức 2(å ab) - (å a 2 ) = 4r 2 + 16Rr và 6.10), 1.5) với chú ý
OI2 ³ 0 , ta được:

7.6) OH ³ 2IH
* Từ các bất đẳng thức:
2(a 3 + b3 + c3 ) ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ;

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

16

a 3 + b3 + c3 + 3abc ³ ab (a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) và 6.9), hoặc từ các bất

đẳng thức p 2 ³ 16Rr - 5r 2 ; R ³ 2r , ta được:
7.7) HI £ 2OG
8. Một số kết quả khác khai thác được từ các khoảng cách trên
Từ các công thức xác định khoảng cách giữa các điểm đặc biệt ta sẽ khai thác
một số kết quả cơ bản. Cụ thể như sau:

* Từ 1.5) ta có:
8.1) R ³ 2r
* Từ 1.1) ta có:
8.2) 2p 2 £ 9R 2 + 2r 2 + 8Rr
* Từ 1.3) ta có:
8.3) p 2 ³ 16Rr - 5r 2
* Từ 1.6) ta có:
8.4) p 2 £ 4R 2 + 4Rr + 3r 2 (đánh giá này mạnh hơn 8.2))
* Từ 8.1) và 8.3) ta có:
8.5) p 2 ³ 12Rr + 3r 2
* Từ 8.1) và 8.4) ta có:
8.6) 3p 2 £ (4R + r )

2

* Từ 4.1) và 5.6) ta có:
r (4R + r )
R 2 (4R + r )
2
8.7)
£p £
R +r
4r (R + r )
2

2

* Từ 4.3) ta có:
R (4R + r )
8.8) p £

2(2R - r )

2

2

* Từ 8.3) và 8.4) ta có:
8.9)

1
1
1
1
(R - 2r )(R + 2r ) £ OG 2 = OH 2 = GH 2 £ (9R 2 - 24Rr + 12r 2 )
9
9
4
9

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

17

* Từ 4.1), 8.5) và 8.6) ta có:
12r 2 (R + r )
4
2

2
8.10) R - r (R + r ) £ OJ £ R 3
4R + r
2

* Từ 1.3), 8.4) và 8.5) ta có:
8.11)

4
1
1
4
R (2R - r ) £ GI2 = NI 2 = GN 2 £ (R 2 - 3Rr + 2r 2 )
9
9
4
9

* Từ 1.6) và 8.5) ta có:
8.12) HI2 £ 4(R 2 - 3Rr + 2r 2 )
* Từ 6.11) và 8.1) ta có:
8.13) GH 2 ³ GI2 + IH 2
* Từ 6.12) và 8.1) ta có:
8.14) OH 2 ³ OI2 + 2IH 2
* Từ 4.1) và 8.8) ta có:
8.15) OJ 2 ³

R (R - 2r )(2R + r )
2R - r

* Từ 3.1), 8.3) và 8.4) ta có:
8.16) OL ³
2

8R 3 (R - 2r )
3(2R - r )

2

* Từ 1.5), 5.1) và 8.15) ta có:
OJ 2 5OI 2 - ON 2
8.17)
³
OI2 3OI 2 + ON 2

* Từ 1.5), 5.1) và 8.16) ta có:
OL
2
OI 2
8.18)
³4 .
OI
3 3OI2 + ON 2

Ngồi ra ta cũng tìm được các kết quả sau đây:
48Rr 4 (R - 2r )(2R - r )

2

8.19)

(4R + r ) (4R - 3Rr + 2r
2

2

)

2 2

£ IL £
2

R (R - 2r )(R + 2r )(4R + r )

2

36r (2R - r )

2

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com


MathVn.Com - Ước lượng khoảng cách giữa các điểm đặc biệt của tam giác

8.20) 4r 2 .

18

(R + r )(R - 2r )
(2R - r )(R - 2r )
£ IJ 2 £ 8r 2 .
2
2
(4R + r )
(4R + r )

8.21) NJ 2 £

16
16
R (R - 2r ) = OI 2
3
3

2
2
2
8.22) OIa + OI b + OIc + OI 2 = 12R 2
2
2
2
8.23) Ia Ib + I b Ic + Ic Ia = 8R (4R + r )
2
2
8.24) HIa + HI 2 + HIc - 7HI 2 = 16(R - r )(R + r )
b

48R 2 + 16Rr + r 2 - 3p 2

8.25) GI + GI + GI =
3
2
a

2
b

2
c

8.26) I Ia .I I b .I Ic = 16R 2 r
8.27) 4p £ Ia I b + Ib Ic + Ic Ia £
8.28) 12r £

3
(17R + 2r )
3

4 3
p £ I Ia + I Ib + I Ic £ 7R - 2r
3

8.29) Với mọi điểm M, ta có: aMA 2 + bMB2 + cMC2 ³ abc
3a 2 b 2c 2
8.30) Với mọi điểm M, ta có: a MA + b MB + c MC ³ 2
a + b 2 + c2
2

2

2

2

2

2

8.31) Với mọi điểm M, ta có:

(p - a ) MA 2 + (p - b) MB2 + (p - c) MC2 ³ 4pr (R - r )
MA 2 MB2 MC2 4p (R + r )
8.32) Với mọi điểm M, ta có:
+
+
³
p-a p-b p-c
4R + r

8.33) Với mọi điểm M nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác ABC, ta có:
aMA 2 + bMB2 + cMC2 = 2pr (2R + r )

8.34) Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì:
6(å a 2 )(å a 2 b 2 ) ³ (å a 2 ) + 27 (abc)
3

8.35)

2

3.sin A.sin B.sin C £ 1 + cos A.cos B.cosC .

Thầy Nguyễn Tiên Tiến, THPT Gia Viễn B, Ninh Bình – gửi đăng ở www.mathvn.com