ca si o 2

C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
PhÇn 1: d¹ng to¸n vỊ ph©n sè - sè thËp ph©n:
I. LÝ thut:
1) TÝnh chÊt cđa sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn:
Sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn gäi lµ ®¬n nÐu chu k× b¾t ®Çu ngay sau dÊu phÈy
VÝ dơ: 0,(21); Sè thËp ph©n t¹p nÕu chu k× b¾t ®Çu kh«ng tõ ch÷ sè sau dÊu phÈy phÇn
®øng tríc chu k× ®ỵc gäi lµ phÇn bÊt thêng.
VÝ dơ :
( )
7
0,3181818... 0,3 18
22
= =
2) C«ng thøc ®ỉi STPVHTH (sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn) ra ph©n sè:
- §èi víi sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn ®¬n:
( )
1 2 3
1 2 3
....
0, ....
999...9
n
n
n
a a a a
a a a a
=
1 2 3

- §èi víi sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn t¹p:

( ) ( )
( )
{
{
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
...
, ... ... , ... ...
99...900...0
n
m n m n
n m
c c c
A b b b c c c A b b b c c c= +
VÝ dơ 1:
§ỉi c¸c sè TPVHTH sau ra ph©n sè:
+)
( )
6 2
0, 6
9 3
= =
+)
( )
231 77
0, 231
999 333
= =
+)
( )

18 7
0,3 18 0,3
990 22
= + =
+)
( )
345
6,12 345 6,12
99900
= +
VÝ dơ 2:
NÕu F = 0,4818181... lµ sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn víi chu kú lµ 81.
Khi F ®ỵc viÕt l¹i díi d¹ng ph©n sè th× mÉu lín h¬n tư lµ bao nhiªu?
Gi¶i:
Ta cã: F = 0,4818181... =
( )
81 53
0,4 81 0,4
990 110
= + =
VËy khi ®ã mÉu sè lín h¬n tư lµ: 110 - 53 = 57
VÝ dơ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hồn 3,15(321).
ĐS :
16650
52501
Gi¶i:
Ta đặt 3,15(321) = a
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006

Vậy
315006 52501
99900 16650
a = =
§¸p sè:
52501
16650

Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:
315321 315 315006 52501
99900 99900 16650
−
= =
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
1
Các máy tính đợc sử dụng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Chú ý :
Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra đợc số thập
phân ta nên nhập số thập phân cho nhanh.
Ví dụ: 4/5 = 0,8
II. Các dạng bài tập:
I. Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:
a)
( )
( )
4 2 4
0,8: 1,25 1,08 :
4

5 25 7
1,2.0,5 :
1
1 2
5
0,64
6, 5 3 .2
25
4 17
A


ữ ữ

= + +



ữ

Đáp số: A =
53
27

b) B =
( )
( )
( )
( )
21

4
:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2
1,02,0:3
:26
+








+
+

x
x
B =
26
1
27

c) C =
[ ]

3
4
:)
3
1
2
5
2
()
25
33
:
3
1
3(:)2(,0)5(,0 xx

C =
293
450

Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức:
a)
1 3 3 1 3 4
:
2 4 7 3 7 5
7 3 2 3 5 3
:
8 5 9 5 6 4
A

+ +
ữ ữ ữ



=


+ +
ữ ữ ữ



b)
2 0 3 0 2 0 3 0
3 0 3 0
sin 35 .cos 20 15 40 . 25
3
sin 42 : 0,5cot 20
4
tg tg
B
g
+
=
Đáp số: A = . . . . . . . . . . . Đáp số: B = . . . . . . . . . .
Ví dụ 3: Tớnh giỏ tr ca biu thc(chỉ ghi kết quả):
a)
A 321930 291945 2171954 3041975= + + +

b)
2 2 2 2
(x 5y)(x 5y) 5x y 5x y
B
x y x 5xy x 5xy

+ +
= +
ữ
+ +

Vi x = 0,987654321; y =
0,123456789
Đáp số: A = Đáp số: B =
Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức:
a)
1 3 3 1 3 4
:
2 4 7 3 7 5
7 3 2 3 5 3
:
8 5 9 5 6 4
A


+ +
ữ ữ ữ

=


+ +
ữ ữ ữ



b)
2 0 3 0 2 0 3 0
3 0 3 0
sin 35 .cos 20 15 40 . 25
3
sin 42 : 0,5cot 20
4
tg tg
B
g
+
=
Đáp số: A = ? Đáp số: B =
Giải toán trên MTBT-CASIO Fx MS
Phạm văn Hiệu -THCS Hồng Hng
2
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Bµi tËp ¸p dơng:
1. Bµi 1:

( ) ( )

− + −
=
2 2
1986 1992 1986 3972 3 .1987
A
1983.1985.1988.1989

( )
 
− +
 
=
 
+ −
 ÷
 
1
7 6,35 : 6,5 9,899... .
12,8
B
1 1
1,2 : 36 1 : 0,25 1,8333... .1
5 4
A =1987
5
12
B =
a) TÝnh 2,5% cđa
 
−

 ÷
 
7 5 2
85 83 : 2
30 18 3
0,04
b) TÝnh 7,5% cđa
7 17 2
8 6 : 2
55 110 3
2 3 7
:1
5 20 8
 
−
 ÷
 
 
−
 ÷
 
a)
11
24
b)
9
8
2. Bµi 2:
a) Cho bốn số A = [(2
3

)
2
]
3
, B = [(3
2
)
3
]
2
; C =
3
2
3
2
; D =
2
3
2
3
.
Hãy so sánh A với B; C với D
b) E = 0,3050505… là số thập phân vô hạn tuần hoàn được viết dưới dạng phân
số
tối giản. Tổng của tử và mẫu là (đánh dấu đáp số đúng)
A. 464 B. 446 C. 644 D. 646 E. 664 G. 466
3. Bµi 3: a) TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc:
3 2
1 3 4 6 7 9
21 : 3 . 1

3 4 5 7 8 11
5 2 8 8 11 12
3 . 4 :
6 5 13 9 12 15
A
 
     
+ − +
 
 ÷  ÷  ÷
     
 
 
=
 
     
+ + −
 ÷  ÷  ÷
 
     
 
KQ: A ≈ 2.526141499
4. Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau
a) A =
( )
( )
( )
( )
21
4

:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2
1,02,0:3
:26
+






−
−
+
+
−
x
x
b) B = (649
2
+ 13x180
2
)
2
- 13x(2x649x180)
2

c) D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7
14:)62(,143,0
+
−+

d) C =
7
1
6
2
5
3
4
4
3
5
2
6
7

+−+−+−
(ChÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n)
5. Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
3
Các máy tính đợc sử dụng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
a) A =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2.
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0

25,1
5
4
:8,0
x
+














+








b) B =

1 1 1 2 2 2
1 2
91919191
3 9 27 3 9 27
182 :
4 4 4 1 1 1
80808080
4 1
7 49 343 7 49 343
x
+ + + + + +
ì
+ +
c) C =
[ ]
1 33 2 1 4
0,(5) 0,(2) : (3 : ) ( 2 ) :
3 25 5 3 3
ì ì
d) S =
)2008(00,0
5
)2008(0,0
5
)2008(,0
5
++

6. Bài 6: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-
2006- Hải Dơng)

Cho
5312,1
=

tg
. Tính


sin2sin3sincoscos
cos2cossincos3sin
323
233
++
+
=
A
Trả lời: A = -1,873918408
Cho hai biểu thức P =
1003020065
142431199079
23
2
+
++
xxx
xx
; Q =
5
2006
2

+
+
+
x
c
x
bax
1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x 5. 2) Tính giá trị của P khi
2006
2005
=
x
.
Trả lời: 1) a = 3 ; b = 2005 ; c = 76 (4 điểm)
2) P = - 17,99713 ; khi
2006
2005
=
x
(4 điểm)
7. Bài 7: Thực hiện phép tính.
a)
082008200820
072007200720
.
200.197
.....
17.1414.1111.8
399

4
.....
63
4
35
4
15
4
3333
2222














++++
++++
=
A
.
b)

109...4.33.22.1
++++=
B
c)
...0020072008,0
2008
...020072008,0
2007
...20072008,0
2006
++=
D
8. Bài 8: Tính giá trị của biểu thức
a) A =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2.
4
1
3
9
5
6
7
4
:

25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
x
+














+

b) B =
1 1 1 2 2 2
1 2
91919191
3 9 27 3 9 27
182 :
4 4 4 1 1 1
80808080
4 1
7 49 343 7 49 343
+ + + + + +
ì ì
+ +
Giải toán trên MTBT-CASIO Fx MS
Phạm văn Hiệu -THCS Hồng Hng
4
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
c) C =
[ ]
1 33 2 1 5
0,(5) 0,(2) : (3 : ) ( 2 ) :11
3 25 5 3 7
× − ×
9. Bµi 9: TÝnh gi¸ trÞ cđa c¸c biĨu thøc sau
a) A =

( )
( )
( )
( )
21
4
:
3
2
15,2557,28:84,6
481,3306,34
2,18,05,2
1,02,0:3
:26
+






−
−
+
+
−
x
x
b) B = (649
2

+ 13x180
2
)
2
- 13x(2x649x180)
2
c) D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2
1
11
7
14:)62(,143,0
+
−+
d) C =
7
1
6
2
5
3
4
4

3
5
2
6
7
+−+−+−
( ChÝnh x¸c ®Õn 6 ch÷ sè thËp ph©n)
11. Bµi 11: THI KHU VỰC GIẢI MÁY TÍNH TRÊN MÁY TÍNH CASIO 2007
a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân :

N= 321930+ 291945+ 2171954+ 3041975
b) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25
0
30', β = 57
o
30’

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
M= 1+tgα 1+cotg β + 1-sin α 1-cos β . 1-sin 1-cos β
α
 
 
(Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân)
KÕt qu¶: a) N = 567,87 1 điểm
b) M = 1,7548 2 điểm
12. Bµi 12: TÝnh tỉng c¸c ph©n sè sau:
a)
49.47.45
36

........
7.5.3
36
5.3.1
36
+++=
A
.
b)
.
10000
1
1........
16
1
1.
9
1
1.
3
1
1






−







−






−






−=
B
c)
  
n
C 333.......333.......3333333333
+++++=
.
II. TÝnh gi¸ trÞ biĨu thøc cã ®iỊu kiƯn:
1. Bµi 1:
Tính giá trò của biểu thức:

( )
( )
( )
2 3 2 2
2 2 4
. 3 5 4 2 . 4 2 6
. 5 7 8
x y z x y z y z
A
x x y z
− + + − + + −
=
+ − + +
tại
9
4
x =
;
7
2
y =
;
4z =
2. Bµi 2:
a) Tính gần đúng giá trò của biểu thức M = a
4
+ b
4
+ c
4

nếu a + b + c = 3, ab = -2, b
2
+ c
2
= 1
b) Cho
( )
= < <
0 0
cos 0,8157 0 90x x
. Tính x theo độ , phút , giây và cotg x ( chính
xác đến 4 chữ số thập phân ) ?
r
1
= r
2
=
x = cotg x =
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
5
Các máy tính đợc sử dụng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Bài tập áp dụng:
1. Bài 1: 1) Tính giá trị của biểu thức: A(x) = 3x
5
-2x
4
+2x
2

-7x-3
tại x
1
=1,234 x
2
=1,345 x
3
=1,456 x
4
=1,567
2) Tìm nghiệm gần đúng của các phơng trình:
a/
02)12(3
2
=+
xx
b/
02552
23
=+
xxx
Giải:
1) Ghi vào màn hình:
37223
245
+
XXXX
ấn =
- Gán vào ô nhớ: 1,234
SHIFT STO X

, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức rồi ấn
=
đợc A(x
1
) (-4,645914508)
Tơng tự, gán x
2
, x
3
, x
4
ta có kết quả
A(x
2
)= -2,137267098
A(x
3
)= 1,689968629
A(x
4
)= 7,227458245
2) a/ Gọi chơng trình:
MODE MODE 1 2
Nhập hệ số:
( )
3 2 1 2= = =

03105235,1;791906037,0(
21

xx
)
b/ Gọi chơng trình:
MODE MODE 1 3
Nhập hệ số:
2 5 5 2= = = =
(
710424116,0;407609872.1;1
321
=
xxx
)
2. Bài 2:
a/ Tìm số d khi chia đa thức
743
24
+ xxx
cho x-2
b/ Cho hai đa thức:
P(x) = x
4
+5x
3
-4x
2
+3x+m
Q(x) = x
4
+4x
3

-3x
2
+2x+n
Tìm giá trị của m và n để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3
Giải:
a/ Thay x = 2 vào biểu thức x
4
- 3x
2
- 4x + 7

Kết quả là số d
Ghi vào màn hình: X
4
- 3X
2
+ 4X + 7
Gán:
2

Shift

STO

X
di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức, ấn
=
Kết quả: 3
b/ Để P(x) và Q(x) cùng chia hết cho x-3 thì x=3 là nghiệm của P(x) và Q(x)
Ghi vào màn hình: X

4
+5X
3
-4X
2
+3X ấn
=
-Gán:
3

Shift

STO

X
, di chuyển con trỏ lên dòng biểu thức và ấn
=
đợc kết quả 189

m = -189
3. Bài 3: (Đề thi HSG giải toán trên máy tính casio lớp 9 - Năm 2005-2006
- Cẩm Giàng)
a) Cho X =
3
3
33
538
57
201264538
+ì

+
; Y =
3
4
3
4
3
3
812
992
23
29


+
+

Tính X.Y chính xác đến 0,001 ?
Giải toán trên MTBT-CASIO Fx MS
Phạm văn Hiệu -THCS Hồng Hng
6
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
b) TÝnh
C =
)2005(00,0
5
)2005(0,0
5
)2005(,0
5

++
4. Bµi 4:
a) TÝnh GTBT: C =
xyzzyyzxzx
xyzzxyzxyx
−−+
−+−
3222
422222
432
2745
Víi x= 0,52, y =1,23, z = 2,123
C = 0.041682
b) TÝnh GTBT: C =
3222
422222
432
745
zyyzxzx
zxyzxyx
−+
+−
Víi x = 0,252, y = 3,23, z = 0,123
C = 0.276195
5. Bµi 5:
a) TÝnh : D = 0,3(4) + 1,(62) : 14
1 1
7 90
2 3
:

11 0,8(5) 11
+
−
b) Cho biÕt
13,11; 11,05; 20,04a b c
= = =
. TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc M biÕt
r»ng:
M = (a
2
- bc)
2
+ (b
2
- ca)
2
+ (c
2
- ab)
2
+ (ab + bc + ca)
6. Bµi 6:
a) Tính giá trò của biểu thức M =
− +
2
1,25
11
z
x y
chính xác đến 0,0001 với:

=
 
− −
 ÷
+
 
1
6400
0,21 1 0,015
6400 55000
x


= + + +3 2 3 3 3y

 
+
 ÷
 
=
× ×
+
2
1 3
1,72 :3
4 8
3 150
0,94
5

5
3:
4
7
9
z
d) Tính gần đúng giá trò của biểu thức : N =
+ +
−
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4
1 2

Ghi kết quả vào ô vuông
m = A = B =
7. Bµi 7:
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
7
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Cho

ϕ
=
20
cot
21
. Tính
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+
=
−
2
2cos cos
3
sin 3sin2
2
B
đúng đến 7 chữ số thập phân .
a) Tính giá trò biểu thức D với x = 3,33 ( chính xác đến chữ số thập phân thứ
tư )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3 2 5 6 7 12 9 20 11 30
D
x x x x x x x x x x x x
= + + + + +
+ + + + + + + + + + +

Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
A = B = C = D =
8. Bµi 8:
b) Tính giá trò biểu thức D với x = 8,157
2 1 1
1 1 1
x x x x
D x
x x x x x
  
+ +
= − −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− + + +
  

Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
A = B = r = D =
9. Bµi 9: a) Tính giá trò biểu thức
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
1 2
1 :
1

1 1
x x
D
x
x x x x x
với
=
9
4
x

b) Tính gần đúng giá trò của biểu thức : N =
+ +
−
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4
1 2

10. Bµi 10:
a) Tính
=

9
8
7
6
5
4
3
9 8 7 6 5 4 3 2A
.
b) Tính C = 5322,666744 : 5,333332 + 17443,478 : 17,3913
11. Bµi 11:
a. Tính
( )
 
× + × − × +
 ÷
 
=
+ × +
2
4
22 4
10,38 7,12 10,38 1,25 1,25 32,025
35 7
9
11,81 8,19 0,02 : 13
11,25
A
b. Tính C =
2 2 2

0,(1998) 0,0(1998) 0,00(1998)
+ +
12. Bµi 12: a) Tính
= + − + − ×
3 3
2007 243 108 5 243 108 5 72364A
b) Cho
α
=
3
sin
5
.Tính
+ +
=
+
2 2
2
2cos 5sin2 3tan
5tan 2 6 t 2
x x x
B
x co x
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
8
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
13. Bµi 13: a) Tính
3
4

8
9
2 3 4 8 9A = + + + + +L
b) Cho
α
=tan 2,324
. Tính
− +
=
− +
3 3
3 2
8cos 2sin tan3
2cos sin sin
x x x
B
x x x
c) Tính giá trò biểu thức:
+ +
= + +
+ + −
−
3
2 1 1
1 1
1
x x
C
x x x
x

với x = 9,25167
Tính và ghi kết quả vào ô vuông .
14. Bµi 14: Cho A =
20...202020
++++
; B =
3
3
3
3
24...242424
++++
Mçi sè ®Ịu cã 2005 dÊu c¨n. T×m
[ ]
BA
+
? ( Trong ®ã
[ ]
BA
+
lµ phÇn nguyªn cđa A+B )
III. T×m x biÕt:
1. VÝ dơ 1: T×m x biÕt:
( )
2,3 5: 6,25 .7
4 6 1
5 : :1,3 8,4. . 6 1
7 7 8.0,0125 6,9 14
x
 

+ 
 
+ − =
 
 
+
 
 
 
 §¸p sè: x = -20,38420
2. VÝ dơ 2: Tính giá trị của x từ phương trình sau

3 4 4 1
0,5 1 1,25 1,8 3
7 5 7 2 3
5,2 2,5
3 1 3
4
15,2 3,15 2 4 1,5 0,8
4 2 4
:
:
:
x× ×
× × ×
 
   
− − +
 ÷  ÷
 

 
   
 
= −
 ÷
 
 
− +
 ÷
 
§¸p sè: x = −903,4765135
3. VÝ dơ 3: T×m x biÕt:
a)
1 3 1
4 : 0,003 0,3 1
1
2 20 2
: 62 17,81:0,0137 1301
1 1 2 1
20
3 2,65 4 : 1,88 2
20 5 55 8
x x
x x
 
   
− −
 ÷  ÷
 
   

 
− + =
   
 
− +
 ÷  ÷
 
   
 
b)






−+






−−
=
−
25,3
2
1
58,02,3

5
1
1
2
1
2:
66
5
11
2
44
13
7,14:51,4825,02,15
x
x
x
x
4. VÝ dơ 4: T×m nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh viÕt díi d¹ng ph©n sè:

4 1 2
4
1 8
2 1
1
9
3
2 4
4
2 1
4 1

1 2
7
5
1
8
x
+ = +
 
+ +
 ÷
 
+
 ÷
 ÷
 ÷
+ − +
 ÷
 ÷
 ÷
+ +
 ÷
 
+
 ÷
 
§¸p sè: NghiƯm cđa ph¬ng tr×nh viÕt díi d¹ng ph©n sè:
70847109 1389159
64004388 1254988
x = =
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS

Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
9
Các máy tính đợc sử dụng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
4. Ví dụ 4: 4
Bài tập áp dụng:
Số thập phân vô hạn tuần hoàn:
Ví dụ 1: Phõn s no sinh ra s thp phõn tun hon 3,15(321).
Giải:
S :
16650
52501
Ví dụ 2: Viết các bớc chứng tỏ :
A =
...0020072007,0
223
...020072007,0
223
...20072007,0
223
++
là một số tự nhiên và tính giá trị
của A
Giải:
Đặt A
1
= 0,20072007...

10000 A
1
= 2007,20072007... = 2007 + A

1


9999 A
1
= 2007

A
1
=
2007
9999
Tơng tự, A
2
=
1
1
A ;
10

3 1
1
A A
100
=



1 2 3
1 1 1 9999 99990 999900

A 223. 223.
A A A 2007 2007 2007


= + + = + +
ữ
ữ



111
223.9999. 123321
2007
= =
Tính trên máy
Vậy A = 123321 là một số tự nhiên
Ví dụ 3: Cho số tự nhiên A =
2 2 2
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
+ +
.
Số nào sau đây là ớc nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.
Giải:
A=1111=11.101
Ví dụ 4:
Giải:
84
Phần 1: dạng toán về phân số - số thập phân:
J. Lí thuyết:
3) Tính chất của số thập phân vô hạn tuần hoàn:

Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn néu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy
Giải toán trên MTBT-CASIO Fx MS
Phạm văn Hiệu -THCS Hồng Hng
10
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
VÝ dơ: 0,(21); Sè thËp ph©n t¹p nÕu chu k× b¾t ®Çu kh«ng tõ ch÷ sè sau dÊu phÈy phÇn
®øng tríc chu k× ®ỵc gäi lµ phÇn bÊt thêng.
VÝ dơ :
( )
7
0,3181818... 0,3 18
22
= =
4) C«ng thøc ®ỉi STPVHTH (sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn) ra ph©n sè:
- §èi víi sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn ®¬n:
( )
1 2 3
1 2 3
....
0, ....
999...9
n
n
n
a a a a
a a a a
=
1 2 3

- §èi víi sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn t¹p:

( ) ( )
( )
{
{
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
...
, ... ... , ... ...
99...900...0
n
m n m n
n m
c c c
A b b b c c c A b b b c c c= +
VÝ dơ 1:
§ỉi c¸c sè TPVHTH sau ra ph©n sè:
+vvvv+)
( )
6 2
0, 6
9 3
= =
+)
( )
231 77
0, 231
999 333
= =
+)

( )
18 7
0,3 18 0,3
990 22
= + =
+)
( )
345
6,12 345 6,12
99900
= +
VÝ dơ 2:
NÕu F = 0,4818181... lµ sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn víi chu kú lµ 81.
Khi F ®ỵc viÕt l¹i díi d¹ng ph©n sè th× mÉu lín h¬n tư lµ bao nhiªu?
Gi¶i:
Ta cã: F = 0,4818181... =
( )
81 53
0,4 81 0,4
990 110
= + =
VËy khi ®ã mÉu sè lín h¬n tư lµ: 110 - 53 = 57
VÝ dơ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hồn 3,15(321).
ĐS :
16650
52501
Gi¶i:
Ta đặt 3,15(321) = a
Hay : 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)

Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta có : 99900 a = 315006
Vậy
315006 52501
99900 16650
a = =
§¸p sè:
52501
16650

Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:
315321 315 315006 52501
99900 99900 16650
−
= =
 Chó ý :
Khi thùc hiƯn tÝnh to¸n ta cÇn chó ý c¸c ph©n sè nµo ®ỉi ra ®ỵc sè thËp
ph©n ta nªn nhËp sè thËp ph©n cho nhanh.
 VÝ dơ: 4/5 = 0,8
Bµi tËp ¸p dơng:
Sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn:
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
11
Các máy tính đợc sử dụng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Ví dụ 1: Phõn s no sinh ra s thp phõn tun hon 3,15(321).
Giải:
S :
16650
52501
Ví dụ 2: Viết các bớc chứng tỏ :

A =
...0020072007,0
223
...020072007,0
223
...20072007,0
223
++
là một số tự nhiên và tính giá trị
của A
Giải:
Đặt A
1
= 0,20072007...

10000 A
1
= 2007,20072007... = 2007 + A
1


9999 A
1
= 2007

A
1
=
2007
9999

Tơng tự, A
2
=
1
1
A ;
10

3 1
1
A A
100
=



1 2 3
1 1 1 9999 99990 999900
A 223. 223.
A A A 2007 2007 2007


= + + = + +
ữ
ữ



111
223.9999. 123321

2007
= =
Tính trên máy
Vậy A = 123321 là một số tự nhiên
Ví dụ 3: Cho số tự nhiên A =
2 2 2
0,19981998... 0,019981998... 0,0019981998...
+ +
.
Số nào sau đây là ớc nguyên tố của số đã cho: 2; 3; 5; 7 ; 11.
Giải:
A=1111=11.101
b) Tính
C =
)2005(00,0
5
)2005(0,0
5
)2005(,0
5
++
c) D =
( )
11
90
:
)5(8,0
3
1
2

1
11
7
14:)62(,143,0
+
+

...0020072008,0
2008
...020072008,0
2007
...20072008,0
2006
++=
D
Phần 2: Dạng toán tìm số và chữ số
I. Dạng Tìm chữ số:
Bài 1: a) Tìm chữ số hàng đơn vị của số:
2006
103N =
b) Tìm chữ số hàng trăm của số:
2007
29P =

c) Tỡm ch s cui cựng ca
2008
17
Giải:
a) Ta có:
1 2

103 3(mod10); 103 9(mod10);


3
103 3 9 27 7(mod10); ì =


4
103 21 1(mod10);



5
103 3(mod10);
Nh vậy các luỹ thừa của 103 có chữ số tận cùng liên tiếp là: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4).
2006 2(mod 4)
, nên
2006
103
có chữ số hàng đơn vị là 9.
Giải toán trên MTBT-CASIO Fx MS
Phạm văn Hiệu -THCS Hồng Hng
12
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
b) T×m ch÷ sè hµng tr¨m cđa sè:
2009
29P =

1 2
29 29( 1000); 29 841(mod1000);Mod≡ ≡

3 4
5 6
29 389(mod1000);29 281(mod1000);
29 149(mod1000);29 321(mod1000);
≡ ≡
≡ ≡

( )
2
10 5 2
29 29 149 201(mod1000);= ≡ ≡

20 2
29 201 401(mod1000);≡ ≡

40 80
29 801(mod1000);29 601(mod1000);≡ ≡

100 20 80
29 29 29 401 601 1(mod1000);= × ≡ × ≡

( )
20
2000 100 20
29 29 1 1(mod1000);= ≡ ≡

2009 2000 6 3
29 29 29 29 1 321 389(mod1000) 869(mod1000)= × × ≡ × × =
Ch÷ sè hµng tr¨m cđa sè:

2009
29P =
lµ 8
c) Ta cã:
( )
5
17 1419857 7 mod10= ≡

⇒

( )
( ) ( )
2
10 5 2
17 17 7 mod10 9 mod10= ≡ ≡
⇒

( )
( ) ( )
10
100 10 10
17 17 9 mod10 1 mod10= ≡ ≡

⇒

( )
( ) ( )
10
1000 100 10
17 17 1 mod10 1 mod10= ≡ ≡

Mµ
( )
8
17 6975757441 1 mod10= ≡

⇒

( ) ( ) ( )
2008 2000 8
17 17 17 1 mod10 1 mod10 1 mod10= × ≡ × ≡
VËy ch÷ sè ci cïng cđa sè
2008
17
lµ 1
Bµi 2: Từ 10000 đến 99999 có bao nhiêu số chia hếùt cho 3 mà không chia hết cho
5.
Tính tổng tất cả các số này
Gi¶i:
* Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 10000 đến 99999 là10002; 10005 ; . . . .
. ;99999.
Tất cả có : (99999 – 10002) : 3 + 1 = 30000 số
Tổng của tất cả các số này là : 10002 + . . . . . + 99999 = 1650015000
* Các số vừa chia hết cho 3 và cho 5 trong khoảng từ 10000 đến 99999 là
10005 ; 10020 ; . . . . .; 99990
Tất cả có : (99990 – 10005) : 15 + 1 = 6000 số
Tổng của tất cả các số này là : 10005 + . . . . . + 99990 = 329985000
Vậy từ 10000 đến 99999 có 30000 – 6000 = 24000 số chia hết cho 3 mà không
chia hết cho 5
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng

13
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Tổng của tất cả các số này là :1650015000 – 329985000 = 1320030000.
Bµi 3: Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa:
4
( )ag a g= ∗∗∗∗∗

Trong đó
*****
là những chữ số khơng ấn định điều kiện
Gi¶i:
ĐS : 45 ; 46

( )
4
*****ag a g=
gồm 7 chữ số nên ,ta có :
999.999.9)(000.000.1
4
≤≤
ag
5731
<<⇒
ag
.Dùng phương pháp lặp để tính ta có :
n 31 SHIFT STO A
Ghi vào màn hình : A = A + 1 : A ^ 4 ấn = . . . = để dò
Ta thấy A = 45 và 46 thoả điều kiện bài toán
ĐS : 45 ; 46
 Hay từ

31 57ag< <
ta lí luận tiếp
( )
4
*****ag a g=
⇒
g chỉ có thể là 0 , 1 , 5 ,6 do đó ta chỉ dò trên các số 31, 35, 36, 40, 41, 45,
46, 50, 51,55, 56
ĐS : 45 ; 46
 Dùng toán lí luận (lời giải của thí sinh Lê Anh Vũ – Học Sinh Trường Thực
Nghiệm Giáo Dục Phổ Thông Tây Ninh), ta có
5731
<<
ag

53
<<⇒
a
5999999)(3000000
4
≤≤⇒
ag
5041
<<⇔
ag

4
=⇒
a

Kết hợp với g chỉ có thể là 0 , 1 , 5 ,6 nên có ngay 45 ; 46 là kết quả
ĐS : 45 ; 46
Bµi 4:
a) T×m ch÷ sè thËp ph©n thø
2007
13
sau dÊu phÈy trong phÐp chia
250000 19
÷
b) Khi ta chia 1 cho 49. Ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu phÈy lµ ch÷ sè nµo?
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17
Gi¶i:
a) Ta có
250000 17
13157
19 19
= +

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ
2007
13
sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19
Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:
89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )
Ta tính tiếp 17 – 19 × 89473684 EXP – 8 = 4 ×
8
10
−
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS

Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
14
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Tính tiếp 4 ×
8
10
−
÷ 19 = 2.105263158 ×
9
10
−
Ta được 9 số tiếp theo là : 210526315
4 ×
8
10
−
– 19 × 210526315 ×
17
10
−
= 1.5 ×
16
10
−
1,5 ×
16
10
−
÷ 19 = 7.894736842 ×
18

10
−
Suy ra 9 số tiếp theo nữa là : 789473684
Vậy :
18
17
0,89473684210526315789473684
19
=
1 4 4 442 4 4 4 43

Kết luận
17
19
là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số .
Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia
2007
13
cho 18
Số dư khi chia
2007
13
cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số
thập phân.
Ta có :
)18(mod11)13(13
)18(mod113
66966932007
3
=≡=

≡
Kết quả số dư là 1 , suy ra số cần tìm là số đứng ở vò trí đầu tiên trong chu
kì gồm 18 chữ số thập phân .
Kết quả : số 8
b) (§Ị thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2004-2005- H¶i D¬ng)
Khi ta chia 1 cho 49. Ch÷ sè thËp ph©n thø 2005 sau dÊu phÈy lµ ch÷ sè nµo?
Gi¶i:
1 chia cho 49 ta ®ỵc sè thËp ph©n v« h¹n tn hoµn chu kú gåm 42 ch÷ sè 0,
(020408163265306122448979591836734693877551) vËy ch÷ sè 2005 øng víi ch÷
sè d khi chia 2005 cho 42; 2005 = 47.42+31 do ®ã ch÷ sè 2005 øng víi ch÷ sè thø 31
lµ sè
c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61
d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17
Gi¶i:
Bµi 5:
a) Tìm bốn chữ số tận cùng của số
13
a = 4151162 - 11
(§/S: 6261)
b) Tìm 4 chữ số tận cùng của số
3
a = 20022135 + 5
? (§/S: 0380)
Gi¶i:
a) Ta cã:
( )
4151162 1162 mod 10000≡
Mµ
( ) ( )
2 2

4151162 1162 mod 10000 0244 mod 10000≡ ≡

( ) ( )
3 3
4151162 1162 mod 10000 3528 mod 10000≡ ≡


⇒
( ) ( ) ( )
5 5 2 3
4151162 1162 mod 10000 =1162 1162 0244 3528 mod 10000 0832 mod 10000≡ × ≡ × ≡
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
15
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
⇒

( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2
10 10 5
4151162 1162 mod 10000 1162 0832 mod 10000 2224 mod 10000≡ = ≡ ≡


⇒

( ) ( )
13 10 3

4151162 4151162 4151162 2224 3528 mod1000 6272 mod1000× ≡ × ≡
VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cđa sè
13
a = 4151162 - 11
lµ
6272 - 11 = 6261
b) Ta cã:
( )
20022135 2135 mod 10000≡
Mµ
( ) ( )
2 2
20022135 2135 mod 10000 8225 mod 10000≡ ≡

( ) ( )
3 2
20022135 =20022135 20022135 8225 2135 mod 10000 0375 mod 10000× ≡ × ≡


⇒

( ) ( ) ( )
3
a = 20022135 + 5 0375 mod 10000 5 mod 10000 0380 mod 10000≡ + ≡
VËy 4 ch÷ sè tËn cïng cđa sè
3
a = 20022135 + 5
lµ
0380

Bµi 6:
a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 10 chữ số .Biết số đó chia 19 dư 13, chia 31 dư 12.
b) Tìm số nhỏ nhất có 10 chữ số sao cho số đó chia cho 17 dư 2 ,cho 29 dư 5
Bµi 7:
a) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 2
1000
cho 25
b) Tr×nh bµy c¸ch t×m 2 ch÷ sè tËn cïng cđa
1000
2
Gi¶i:
a) Tìm và tìm số dư khi chia
1000
2
cho 25 L thõa cđa 2 s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ
10
2 1024 1(mod 25)= ≡
⇒

( )
100
1000 10 100
2 2 1 (mod25) 1(mod 25)= ≡ ≡
VËy sè d cđa phÐp chia
1000
2
cho 25 lµ 1.
b) Tr×nh bµy c¸ch t×m 2 ch÷ sè tËn cïng cđa
1000
2

§Ĩ t×m 2 ch÷ sè tËn cïng cđa sè
1000
2
chÝnh lµ t×m sè d cđa phÐp chia
1000
2
cho 100.
Tríc hÕt ta xÐt sè d cđa phÐp chia
1000
2
cho 25
L thõa cđa 2 s¸t víi mét béi sè cđa 25 lµ
10
2 1024 1(mod 25)= ≡
⇒

( )
100
1000 10 100
2 2 1 (mod25) 1(mod 25)= ≡ ≡
Do ®ã sè d cđa phÐp chia
1000
2
cho 25 lµ 1.
Sè chia cho 25 d 1 cã 2 ch÷ sè tËn cïng lµ 01; 26; 51; 76.
Mµ sè
1000
2 4M
nªn sè
1000

2
kh«ng thĨ cã 2 ch÷ sè tËn cïng b»ng 01; 26; 51.
VËy 2 ch÷ sè tËn cïng cđa sè
1000
2
lµ 76.
Bµi 8: a) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của
3411
7
. Đ/S :
743
b) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của
236
8
. Đ/S :
2256
c) Tìm hai chữ số tận cùng của số
2009
3

Gi¶i:
a) Ta có:
10
7 249(mod1000)≡

( )
( )
2
2
100 10 4 2

7 249 249 249 001 001 001(mod1000)≡ ≡ × ≡ × =

3400
7 001(mod1000)≡

3411 3400 10
7 7 7 7 001 249 7 743(mod1000)≡ × × ≡ × × ≡
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
16
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
VËy 3 ch÷ sè ci cïng bªn ph¶i cđa sè
3411
7
lµ: 743
Khi thực hành ta thực hiện phép tính như sau cho nhanh

)1000(mod74377
113411
≡≡

b) Dễ thấy:
( )
10
8 1824 mod10000≡

( ) ( )
2
20
8 1824 6976 mod10000≡ ≡

( ) ( )
2
40
8 6976 4576 mod10000≡ ≡

( )
50 40 10
8 8 8 4576 1824 6624 mod10000≡ × ≡ × ≡

( )
( ) ( ) ( ) ( )
4
4 2 2
200 50
8 8 6624 6624 6624 7376 7376 5376 mod10000≡ ≡ ≡ × ≡ × ≡
Mµ
( )
( )
3
36 10 6 3 6
8 8 8 1824 8 4224 2144 6256 mod10000= × ≡ × ≡ × ≡
Cuối cùng :
( )
236 200 36
8 8 8 5376 6256 2256 mod10000= × ≡ × ≡
Đ/S : 2256
c) Ta cã:
( )
9

3 83 mod100≡
;
( )
10
3 49 mod100≡
⇒

( )
( ) ( )
5
50 10 5
3 3 49 mod100 49 mod100= ≡ ≡

⇒

( )
( ) ( )
2
100 50 2
3 = 3 49 mod100 01 mod100≡ ≡
⇒

( )
( ) ( ) ( )
10
10
1000 100
3 = 3 01 mod100 01 mod100≡ ≡
⇒

( )
( ) ( ) ( )
2
2
2000 1000
3 = 3 01 mod100 01 mod100≡ ≡
⇒

( ) ( )
2009 2000 9
3 =3 3 01 83 mod100 83 mod100× ≡ × ≡
VËy hai ch÷ sè ci cïng cđa sè
2009
3
lµ: 83
Bµi 9:
a) T×m sè d cđa phÐp chia sau:
200708
102007 :111007
.
b) Chøng minh r»ng: 1)
2004 2006
(2001 2003 ) 10+ M
; 2)
2
3 2008
... ) 400
(7 7
7 7
+ + +

+
M
c) T×m ch÷ sè tËn cïng cđa sè sau:
20072008
20072008
.
d) T×m hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè sau:
9
9
9
9 9
9 9
+
.
Gi¶i:
d) Ta cã :
( )
9
89 mod100
9
≡

( )
( ) ( ) ( )
3
3
9
89 mod100 69 mod100
9
⇒ ≡ ≡

( )
( ) ( ) ( )
9
3
3
3
9 9
69 mod100 09 mod100
9 9
 
⇒ = ≡ ≡
 ÷
 
( ) ( )
9
9
9
9
09 mod100 89 mod100
9
⇒ ≡ ≡
VËy hai ch÷ sè tËn cïng cđa sè
9
9
9
9 9
9 9
+
lµ: 09 + 89 = 98
Bµi 10:

Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
17
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
a) Giả sử a là một số tự nhiên cho trước. Để bình phương của a có tận cùng là
89 thì a phải có hai chữ số tận cùng là bao nhiêu ?
b) Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng là 4 và luỹ thừa bậc năm
của một số tự nhiên
Bµi 11:
a) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
2

b) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số
999
3
c) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 6
2005

Bµi 12:
a) Tìm hai chữ số tận cùng của 208
1994
b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của
3411
7
. ĐS : 743
c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của
236
8
.

d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x
8
trong triển khai (-x
3
+ x
2
+ 1)
9
.
TÝnh tổng các chữ số của a
5
.
Bµi 13:
a) T×m sè d khi chia
1964
1963
cho 7
b) Trình bày cách tìm và tìm số dư r của
7349
3
khi chia cho 19
Gi¶i:
a) Ta cã:
( )
1963: 7 3 mod 7≡

⇒
( )
1964 1964
1963 3 mod7≡

Khi ®ã ta cÇn t×m sè d cđa phÐp chia
1964
3 7cho
Mµ
( )
( ) ( ) ( )
654
654
1964 2 3
3 3 3 9 28 1 9 7 1 7 9 7 5 5 mod 7bs bs bs= × = × − ≡ × − ≡ − ≡ + ≡
VËy sè d cđa phÐp chia
1964
1963
cho 7 lµ 5
b) Ta cã:
( )
4
3 81 5 mod19= ≡

⇒

( )
( ) ( )
= × ≡ × ≡
1837
7349 4
3 3 3 3 5 mod19 15 mod19
VËy sè d cđa phÐp chia
7349
3

cho 19 lµ 15
Ii. D¹ng T×m sè:
Bµi 1: : (§Ị thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006 -
CÈm Giµng)
a) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ĩ
22199
2
+−−
xx
lµ mét sè chÝnh ph¬ng ch½n?
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
18
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
(§Ị thi HSG gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio líp 9 - N¨m 2005-2006-
H¶i D¬ng)
b) T×m sè tù nhiªn n tho¶ m·n ®¼ng thøc:
][...]3[]2[]1[ n
++++
= 805
([x] lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng vỵt qu¸ x)
Tr¶ lêi: n = 118
Gi¶i:
a) Gäi sè chÝnh ph¬ng cÇn t×m lµ
2
y
Khi ®ã ta cã:
2 2
199 2 2y x x= − − +

Khi ®ã ta cã:
2
199 2 2y x x= − − +
Dùng máy tính : Ấn 1 SHIFT STO X
Ghi vào màn hình :
x = x + 1:
2
199 2 2y x x= − − +
Ấn = . . . = cho đến khi màn hình hiện Y là số nguyên dương p thì dừng .
Kết quả Y = 2 ứng với X = 13
VËy sè chÝnh ph¬ng ch½n lµ : 4
Bµi 2: T×m cỈp sè nguyªn
( )
;x y
nguyªn d¬ng víi sè x nhá nhÊt tho¶ m·n ph¬ng tr×nh:

3 2 2 2
156 807 (12 ) 20 52 59x x y x+ + = + +
Gi¶i:
Theo đề cho :
3 2 2 2
156 807 (12 ) 20 52 59x x y x+ + = + +


⇔

32 2 2
20 156 807 (12 ) 52 59y x x x= + + − −
Suy ra:
3

2 2
156 807 (12 ) 52 59
20
x x x
y
+ + − −
=
Dùng máy tính : Ấn 0 SHIFT STO X
Ghi vào màn hình :
X = X + 1 :
3
2 2
156 807 (12 ) 52 59
20
x x x
y
+ + − −
=
Ấn = . . . = cho đến khi màn hình hiện Y là số nguyên dương p thì dừng .
Kết quả Y = 29 ứng với X = 11
ĐS : x = 11 ; y = 29
Bµi 3:
a) Tìm tất cả các cặp số ngun dương (x; y) có hai chữ số thoả mãn:
3 2
x - y = xy
b) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x
2
+ y
2
= 2009 và x > y

(x = 35, y = 28)
Gi¶i:
b) G¸n x = 1 Ghi lªn mµn h×nh :
1x x
= +
:
2
2009y x
= −

Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
19
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
råi Ên “=” liªn tiÕp ®Õn khi x; y lµ nh÷ng sè nguyªn th× dõng l¹i vµ ta ®ỵc kÕt qu¶
x = 35; y = 28
Bµi 4 :
a) Viết qui trình ấn phím để tính
1 2 3 4 99 100
...
2.3 3.4 4.5 5.6 100.101 101.102
S = − + − + + −
b) Tính gần đúng S
c) Tính
3 3 3 3
S = 1 + 2 + 3 + . . . + 2008


d) TÝnh :
13 C/S 3

P = 3 + 33 + 333 + . . . + 33 . . . 33
142 43
(Nêu cách tính)
Gi¶i:
Bµi 5:
a) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng
3 3
1ab = a +b +1
Víi c¸c sè nguyªn a,b 0 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9
3 3 3
153 = 1 + 5 +3
b) T×m tÊt c¶ c¸c sè tù nhiªn cã d¹ng
3 3 3
4ab = 4 +a +b
Víi c¸c sè nguyªn a, b sao cho
0 9a
≤ ≤
;
0 9b
≤ ≤

3 3 3
407 = 4 + 0 +7
c) Tìm các chữ số a, b , c , d biết :
× =1 2004ab cd
d) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :
× =5 2712960ab cdef

e) Tìm các chữ số a, b, c trong phép chia
× =5 761436ab c bac

biết hai chữ số a, b
hơn
kém nhau một đơn vò
f) Tìm các chữ số a, b , c , d, f biết :
× =5 2712960ab cdef
g) Tìm số tự nhiên n
( )
≤ ≤500 1000n
để
= +2004 15
n
a n
là số tự nhiên n = 580
c) Biết số có dạng
= M12345679 4 24N x y
. Tìm tất cả các số N ?
Gi¶i:
Bµi 6: So s¸nh c¸c cỈp sè sau:
a)
5555
222
×=
A
vµ
4442
333
×=
B

b)

1
1
2007
2006
2008
2007
+
+
=
A
vµ
1
1
2008
2007
2009
2008
+
+
=
B
.
c)
( )
1.20082.2007.....2006.32007.22008.1
)2008....321(....)321(211
+++++
+++++++++++
=
A

vµ B = 1.
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
20
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Bµi 7:
1) Tìm giá trò của x , y viết dưới dạng phân số ( hoặc hỗn số ) từ các phương trình
sau:
a)
5
2 5
5 1
3 4
5 2
4 3
5 3
1
5
5
6
x x
+ =
+ +
+ +
+ +
+
b)
2
5 1
3 7

4 1
2 3
5 1
2 3
4
4
2
5
2
3
y y
+ =
+ +
+ +
+ +
+
+

2) Cho x và y là hai số dương thoả mãn điều kiện :
2 2
1,025
2,135
x
y
x y

=




− =

a) Trình bày lời giải tìm giá trò của x và y
b) Tính giá trò của x và y và điền kết quả vào ô vuông
Gi¶i:
BiÕn ®ỉi hƯ ph¬ng tr×nh vµ dïng m¸y tÝnh gi¶i ta cã kÕt qu¶:
2 2
1,025
2,135
x
y
x y

=



− =


⇔

( )
2
2
1,025
1,025 2,135
x y
y y
=




− =



⇔

2
1,025
0,050625 2,135
x y
y
=


=


⇔
2
1,025
42,17283951
x y
y
=


=


⇔

1,025
2 854
9
x y
y
=



= ±



⇔

6,656413412
2 854
9
x
y
= ±



= ±



Bµi 8:
a) Tính giá trò của biểu thức
= − +
2
1,25
11
z
M x y
chính xác đến 0,0001 với:
=
 
− −
 ÷
+
 
1
6400
0,21 1 0,015
6400 55000
x
;
= + + +3 2 3 3 3y
;
 
+
 ÷
 
=
× ×
+

2
1 3
1,72 :3
4 8
3 150
0,94
5
5
3:
4
7
9
z
b) Tìm số nguyên x biết nếu nhân số đó với 12 rồi cộng thêm 0,5 số đó thì được
bình phương số đó cộng với 21
c) Tính gần đúng giá trò của biểu thức:
+ +
−
=
−
+
4
3
3
3
13
2006 25 2005
3 4
2006
2005 4

1 2
N

Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
21
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Bµi tËp ¸p dơng:
1. Bµi 1: Cho
( )
= < <
0 0
cos 0,8157 0 90x x
. Tính x theo độ , phút , giây và cotg x
( chính xác đến 4 chữ số thập phân ) ?
Gi¶i:
Dïng m¸y tÝnh Casio ta Ên
SHIFT

cos
vµ nhËp c¸c sè
0,8157
råi Ên
o,,,
ta cã kÕt
Qu¶
0
35 20'36.11"
khi ®ã ta ®ỵc
=

0
35 21'x
Ta cã
= ≈
0
cot cot 35 21' 1,4097gx g

2. Bµi 2
a) Cho biết tỷ số của 7x – 5 và y + 13 là hằng số và y = 20 khi x = 2 . Hỏi khi y =
2005 thì x bằng bao nhiêu ? ( Trình bày cách tính và tính )
3. Bµi 3:
a) Tìm số tự nhiên n
( )
≤ ≤1010 2010n
sao cho với mỗi số đó thì
= +20203 21
n
a n

là số tự nhiên
b) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x
2
+ 2y
2
= 2377
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
+ + − = 7920x y x y
d) Tìmsố tự nhiên n
( )
≤ ≤20349 47238n

để 4789655 – 27 n là lập phương của
một số tự nhiên ?
e) Biết số có dạng
= M12345679 4 24N x y
. Tìm tất cả các số N ?
Gi¶i:
c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: Ta cã:
+ + − = 7920x y x y

⇔
( ) ( )
+ + − =
2 2
7920x y x y
⇔

( ) ( )
( )
− + + + + − =
2
2 7920x y x y x y x y

⇔

( ) ( )
+ + − =2 2 7920x x y x y
⇔

− = −
2 2

3960x y x

⇔

( )
− = −
2
2 2
3960x y x

⇔

( )
= − −
2
2
3960y x x
d ) Tìm số tự nhiên n
( )
≤ ≤20349 47238n
để 4789655 – 27 n là lập phương của
một số tự nhiên ? Ta cã n = 343 th×
PhÇn 3 C¸c bµi to¸n sè häc:
I. Sè nguyªn tè:
1. LÝ thut:
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
22
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
§Ĩ kiĨm tra mét sè nguyªn a d¬ng cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia sè nguyªn

tè tõ 2 ®Õn
a
. NÕu tÊt c¶ phÐp chia ®Ịu cã d th× a lµ sè nguyªn tè.
VÝ dơ 1: §Ĩ kiĨm tra sè 647 cã lµ sè nguyªn tè hay kh«ng ta chia 647 lÇn lỵt cho c¸c
sè 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. c¸c phÐp chia ®Ịu cã d khi ®ã ta kÕt ln sè
647 lµ sè nguyªn tè.
VÝ dơ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số
tự
nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó.
Gi¶i:
C¸c sè tù nhiªn cã 3 ch÷ sè ®ỵc lËp tõ 3 sè 1; 2; 3 lµ: 27 sè
111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;
211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233
311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;
VÝ dơ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số,
được viết ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia
hết cho 2.
H·y tính các số n, k, m.
Gi¶i:
VÝ dơ 4
Bài 4: Có 3 thùng táo có tổng hợp là 240 trái . Nếu bán đi
2
3
thùng thứ nhất ;
3
4

thùng thứ hai và
4
5

thùng thứ ba thì số táo còn lại trong mỗi thùng đều bằng nhau.
Tính số táo lóc đầu của mỗi thùng ? Điền các kết quả tính vào ô vuông :
Thùng thứ nhất là 60 Thùng thứ hai là
Thùng thứ ba là
Gi¶i:
Gäi sè t¸o cđa 3 thïng lÇn lỵt lµ: a; b; c (qu¶) §iỊu kiƯn
( )
0 ; ; 240a b c< <
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
23
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Theo bµi ra ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:
240
1 1 1
3 4 5
a b c
a b c
+ + =



= =



⇔

240
1 1

3 4
1 1
4 5
a b c
a b
b c


+ + =


=



=



⇔

240
1 1
0 0
3 4
1 1
0 0
4 5
a b c
a b c

a b c


+ + =


− + =



+ − =



Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh nµy ta ®ỵc: a = 60 ; b = 80; c = 100
VËy Thïng thø nhÊt cã 60 (qu¶); Thïng thø hai cã 80 (qu¶); Thïng thø ba cã 100 (qu¶).
II. ¦CLN; BCNN:
1. LÝ thut: §Ĩ t×m ¦CLN, BCNN cđa hai sè A vµ B ta rót gän ph©n sè
A a
B b
=
Tõ ®ã : ¦CLN (A; B)
= A : a

BCNN(A; B) = A .b
=
A ×B
UCLN(A,B)
2. VÝ dơ: Cho hai số A = 1234566 và B = 9876546
a) Tìm ƯCLN(A, B) và BCNN(A,B) ?

b) Gọi D = BCNN(A,B) Tính giá trò đúng của D
3
? Tính và ghi kết quả vào ô
vuông.
¦CLN(A, B) = BCNN(A,B) =
D
3
=
a) VÝ dơ 1: T×m ¦CLN; BCNN cđa A = 209865 vµ B = 283935
Gi¶i:
Ta cã:
209865 17
283935 23
A a
B b
= = =

⇒
¦CLN (A; B)
= A : a
= 209865: 17 = 12345
BCNN (A; B)
= A .b
= 209865.23 = 4826895.
 §¸p sè:
(A; B)= 12345
;
[ ]
; 4826895A B
=

Ta cã Gọi D = BCNN(A,B)=
4826895
⇒

3 3
D = 4826895

§Ỉt
a = 4826
⇒

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 3 2
2 3
3 3 3 3 3
D = a. 10 + 895 a. 10 3 a. 10 .895 3. a. 10 . 895 895= + + +

b) VÝ dơ 2: T×m UCLN cđa 40096920, 9474372 vµ 51135438
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
24
C¸c m¸y tÝnh ®ỵc sư dơng: Fx-220MS. Fx - 500A. Fx-500MS. Fx-570MS. Fx-500ES. Fx-570ES
Gi¶i:
(Nªu ®ỵc c¬ së lý thut vµ c¸ch gi¶i 2 ®iĨm; KÕt qu¶ 3 ®iĨm)
Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình
này
để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN)
Ta có :
b

a
B
A
=
(
b
a
tối giản)
ƯSCLN(A;B) = A ÷ a
Ấn
9474372 : 40096920 =

Ta được: 6987
:
29570
ƯSCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 ÷ 6987 = 1356
Ta đã biết : ƯSCLN(a ; b ; c ) = ƯSCLN(ƯSCLN( a ; b ) ; c )
Do đó chỉ cần tìm ƯSCLN(1356 ; 51135438 )
Ấn 1356
:
51135438 =
⇒
Ta được: 2
:
75421
Kết luận : ƯSCLN của 9474372 ; 40096920 và 51135438
là : 1356 ÷ 2 = 678
ĐS : 678
c) VÝ dơ 3: Cho ba số A = 1193984 ; B = 157993 ; C = 38743
a) Tìm UCLN của A , B , C

b) Tìm BCNN của A , B , C với kết quả đúng.
Gi¶i:
a) Đáp số: D = UCLN(A,B) = 583 ; UCLN(A,B,C) = UCLN(D,C) = 53
b)
( , )E BCNN A B= = ⇒
A ×B
= 323569644; BCNN(A,B,C) = BCNN(E,C) = 326529424384
UCLN(A,B)
Bµi tËp ¸p dơng:
1. Bµi 1: Tìm ƯCLN và BCNN của hai số A = 1234566 và B = 9876546
(ƯCLN = 18; BCNN = 677402660502)
2. Bµi 2: T×m ¦CLN vµ BCNN cđa c¸c cỈp sè sau:
a) 12356 vµ 546738 b) 20062007 vµ 121007 c) 2007 vµ 2008 vµ 20072008.
3. Bµi 3:
Tìm UCLN, BCNN của A = 45563, B = 21791, C = 182252 .
Gi¶i
Gi¶i to¸n trªn MTBT-CASIO Fx MS
Ph¹m v¨n HiƯu -THCS Hång Hng
25