Toán lớp 7: Bài giảng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

BÀI GIẢNG: CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC VUÔNG
CHUYÊN ĐỀ: TAM GIÁC – TOÁN LỚP 7
THẦY GIÁO: ĐỖ VĂN BẢO
1. Các trường hợp
*Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau thì
bằng nhau theo trường hợp c.g.c ( được gọi là hệ quả của
trường hợp c.g.c)

* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông bằng
nhau, góc nhọn liền kề bằng nhau thì bằng nhau theo trường
hợp cạnh góc vuông – góc liền kề ( được gọi là hệ quả của
trường hợp g.c.g)

* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh huyền bằng nhau,
góc nhọn bằng nhau thì bằng nhau theo trường hợp cạnh
huyền – góc nhọn (hệ quả 2 của trường hợp g.c.g)

* Hai tam giác vuông có một cặp cạnh góc vuông bằng
nhau, góc nhọn không kề bằng nhau thì bằng nhau theo
trường hợp cạnh góc vuông – góc liền kề ( được gọi là hệ
quả của hệ quả của trường hợp g.c.g)

Chứng minh: B  B '  C  C '
*Hai tam giác có cạnh huyền, và cạnh góc vuông bằng nhau, hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.c.c (Áp
dụng định lý Pytago). Trường hợp này được gọi là bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


2. Bài tập
Dạng 1: Xác định trường hợp
Bài tập 1:

a) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ AC  A ' C ' (c.g.c)
+ B  B ' (g.c.g)
+ BC  B ' C ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
+ C  C ' ( hệ quả - hệ quả 1 g.c.g)

b) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ C  C ' ( cạnh huyền – góc vuông)
+ B  B ' ( cạnh huyền – góc vuông)
+ CA  C ' A ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
+ BA  B ' A ' ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Bổ sung 1 yếu tố để hai tam giác bằng nhau:
+ AC  A ' C ' ( g.c.g)
+ BC  B ' C ' ( cạnh huyền – góc nhọn)
+ AB  A ' B ' ( hệ quả - hệ quả 1 g.c.g)

Bài tập 63 (SGK/136)

ABC cân tại A, đường cao AH
a) Chứng minh rằng HB  HC
b) Chứng minh BAH  CAH
Giải

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


a) Chứng minh rằng HB  HC
Xét AHB và AHC có:
AH là cạnh chung

AB  AC ( giả thiết)

 AHB  AHC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 HB  HC ( hai cạnh tương ứng)
b) Chứng minh BAH  CAH

AHB  AHC ( chứng minh trên)
 BAH  CAH ( hai góc tương ứng)
Bài tập 65 (SGK/137)

ABC cân tại A, đường cao BH và CK .
a) Chứng minh rằng AH  AK
b) BH  CK  I  . Chứng minh AI là tia phân giác
c) IBC cân
d) AI  BC
e) KH BC
Giải
a) Chứng minh rằng AH  AK
Xét AHB và AKC có:

A chung
AB  AC ( giả thiết)
 AHB  AKC ( cạnh huyền – góc nhọn )

 AH  AK ( hai cạnh tương ứng)
b) BH  CK  I  . Chứng minh AI là tia phân giác
Xét AKI và AHI có:
AI là cạnh chung
AH  AK ( chứng minh trên)

 AKI  AHI ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 A1  A2 ( hai góc tương ứng)
3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 AI là tia phân giác của góc A( điều phải chứng minh)

c) IBC cân
Cách 1:
Xét AIB và AIC có:
AI là cạnh chung

AB  AC ( giả thiết)
A1  A2 ( chứng minh trên)

 AKI  AHI (c.g.c)

 IB  IC ( cạnh tương ứng)
 IBC cân( điều phải chứng minh)
Cách 2:
Xét KBC và HCB có:
BC là cạnh chung

B  C ( tính chất tam giác cân ABC )

 KBC  HCB (cạnh huyền – góc nhọn )
 B2  C2 ( hai góc tương ứng)

 IBC cân( điều phải chứng minh)

d) AI  BC
Xét AMB và AMC có:

AB  AC ( giả thiết)
AM là cạnh chung

A1  A2 ( chứng minh trên)

 AMB  AMC (c.g.c)
 M1  M 2 ( hai góc tương ứng)
Mà M1  M 2  180 ( kề bù)

 M1  M 2  90

 AM  BC
 AI  BC ( điều phải chứng minh)
e) KH BC
Cách 1:
4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Xét AJK và AJH có:
AH  AK ( chứng minh trên)

A1  A2 ( chứng minh trên)
AJ chung

 AJK  AJH ( c.g.c)
 AJK  AJH ( hai góc tương ứng)
Mà AJK  AJH  180 ( kề bù)

 AJK  AJH  900

 AJ  KH
Mà AM  BC ( chứng minh trên )
 KH BC ( điều phải chứng minh)

Cách 2:
AKH 

180  BAC
2

ABC 

180  BAC
2

 AKH  ABC
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
 KH BC ( điều phải chứng minh)

Bài tập 69 (SGK/137)
Xác định các tam giác bằng nhau theo hình vẽ
Giải
+ ADM  AEM ( cạnh huyền – góc nhọn)
AM là cạnh chung

A1  A2

 MD  ME ( hai cạnh tương ứng)
+ MBD  MCE (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
MD  ME ( chứng minh trên)

MB  MC

 B  C ( hai góc tương ứng)
5 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 M1  M 2 ( hai góc tương ứng )
+ ABM  ACM ( g.c.g)

A1  A2
AM là cạnh chung

AMB  AMC
Bài tập 96 (SBT/151)

ABC ; AB  AC ; I là giao điểm của hai đường trung trực của AB và AC.
a) Chứng minh AI là phân giác
b) Chứng minh AI  BC
c) Chứng minh MN BC
Giải
a) Chứng minh AI là phân giác
Xét IMA và INA có:
AI là cạnh chung

AM  AN ( tính chất đường trung trực)
 IMA  INA ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 A1  A2 ( hai góc tương ứng)
 AI là phân giác BAC

b) Chứng minh AI  BC

AI  BC  H 
Xét AHB và AHC có:

AB  AC ( giả thiết)
AH là cạnh chung

A1  A2 ( chứng minh trên)

 AHB  AHC (c.g.c)
 H1  H 2 ( hai góc tương ứng)
Mà H1  H 2  180 ( kề bù)

 H1  H 2  90
6 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 AH  BC

 AI  BC ( điều phải chứng minh)
c) Chứng minh MN BC
Xét AJM và AJN có:

AM  AN ( tính chất đường trung trực)
A1  A2 ( chứng minh trên)
AJ chung

 AJM  AJN ( c.g.c)

 AJM  AJN ( hai góc tương ứng)
Mà AJM  AJN  180 ( kề bù)

 AJM  AJN  900

 AJ  MN
Mà AH  BC ( chứng minh trên )
 MN BC ( điều phải chứng minh)

Bài tập 1:
Cho một tam giác có đường đồng thời là phân giác, đường cao, đồng thời là trung tuyến. Chứng minh tam giác
đó là tam giác cân
GT
KL

ABC ; A1  A2
MB  MC
ABC cân
Giải

Hạ ME  AB; E  AB
Hạ MD  AC; D  AC
Xét MAE và MAD có:
AM là cạnh chung

A1  A2

 MAE  MAD ( cạnh huyền – góc nhọn )
 ME  MD ( hai cạnh tương ứng)
Xét MEB và MDC có:
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


MB  MC ( giả thiết)
ME  MD ( chứng minh trên)

 MEB  MEC ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
 B  C ( hai góc tương ứng)

 ABC cân ( điều phải chứng minh)

8 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!