Toán lớp 12: 16 tích phân hàm ẩn (tiết 1)

BÀI GIẢNG: TÍCH PHÂN HÀM ẨN (TIẾT 1)
CHUYÊN ĐỀ: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN QUỐC CHÍ
+) Định nghĩa:
b

 f '  x  dx  f  x 

b
a

 f b  f a 

a

+) Tính chất:
b

a

 f  x  dx   f  x  dx
a

b

b

c

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
a

a

b

b

b

c

a

a

a

 f  x  dx   f  t  dt   f  u  du
+) Phƣơng pháp đổi biến
+) Phƣơng pháp từng phần
DẠNG 1: PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Dấu hiệu:
+) Khi biểu thức trong ngoặc khác x
VD: f  3x  ; f  tan x  ;f ...
2

Câu 1: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên đoạn 1; 2 , f 1  1 và f  2   2 . Tính I   f '  x  dx

1

A. I 

7
2

B. I  1

C. I  1

D. I  3

Hƣớng dẫn giải
2

 f '  x  dx  f  x 

2
1

 f  2   f 1  2  1  1

1

4

2

0

0

Câu 4: Nếu f  x  liên tục và  f  x  dx  10 thì  f  2x  dx bằng:
Hƣớng dẫn giải

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


2

+) Xét  f  2x  dx
0

Đặt 2x  t  2dx  dt  dx 

dt
2

x  0  t  0
Đổi cận 
x  2  t  4
2

4

4

4

dt 1
1
1
  f  2x  dx   f  t    f  t  dt   f  x  dx  .10  5
2 20
20
2
0
0

* Công thức nhanh:

1

 f  ax  b  dx  a  f  x  dx
2

4

1
1
0 f  2x  dx  2 0 f  x  dx  2 .10  5
5

2

2

1

Câu 5: Cho  f  x  dx  3 . Tính I   f  3x  1 dx
Hƣớng dẫn giải
2

5

1
1
+) Xét I   f  3x  1 dx   f  x  dx  .3  1
32
3
1
* HÀM CHẴN, LẺ
*) Phƣơng pháp thế:
+) Hàm chẵn: f  x   f  x 
+) Hàm lẻ: f  x   f  x 
Câu 12: Cho f  x  là hàm số lẻ và

0

2

2

0

 f  x  dx  2 . Giá trị của  f  x  dx

là :

Hƣớng dẫn giải
2

2

0

0

0

0

2

2

+) Xét  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    f  x  dx  2

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Câu 14: Cho y  f  x  là hàm số chẵn, có đạp hàm trên đoạn

 6;6 .

2

Biết rằng

 f  x  dx  8

và

1
3

6

1

1

 f  2x  dx  3 . Tính I   f  x  dx
Hƣớng dẫn giải :
3

3

6

6

1

+) Xét  f  2x  dx   f  2x  dx   f  x  dx  3   f  x  dx  6
22
1
1
2
6

2

6

1

1

2

) I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  8  6  14

1

4

0

0

Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R, thỏa mãn  f  x  dx  1 . Tính I    tan 2 x  1 .f  tan x  dx
Hƣớng dẫn giải :


+) Xét I    tan 2 x  1 .f  tan x  dx
4

0

Đặt tan x  t 

1
dx  dt   tan 2 x  1 dx  dt
2
cos x

x  0  t  0

Đổi cận 

 x  4  t  1
1

1

0

0

 I   f  t  dt   f  x  dx  1

Câu 17 : Cho hàm số f  x  liên tục trên R thỏa mãn

9


1

f

  dx  4 và
x

x


2

 f  sin x  cos xdx  2 . Tính tích
0

3

phân I   f  x  dx
0

Hƣớng dẫn giải
9

+) Xét I1  
1

Đặt

f

 x  dx
x

x  t  x  t 2  dx  2tdt

x  1  t  1
Đổi cận 
x  9  t  3

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


3
3
f t
 I1  
.2tdt  2 f  t  dt  4   f  x  dx  2
t
1
1
1
3



2

+) Xét I2   f  sin x  cos xdx
0

Đặt sin x  t  cos xdx  dt

x  0  t  0

Đổi cận 

 x  2  t  1
1

1

 I 2   f  t  dt  2   f  x  dx  2
0

0

3

1

3

0

0

1

 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2  2  4


x 2f  x 
Câu 18 : Cho hàm số f  x  liên tục trên R và  f  tan x  dx  4;  2
dx  2 . Tính giá trị của tích phân
x 1
0
0
4

1

1

I   f  x  dx .
0

Hƣớng dẫn giải

4

Xét I1   f  tan x  dx
0

x  0  t  0


Đặt tan x  t , đổi cận 

 x  4  t  1
1
dt
dx  dt  1  tan 2 x  dx  dt  1  t 2  dx  dt  dx  2
2
cos x
t 1
1
f x
dt
 I1   f  t  . 2
  2 dx  4
t 1 0 x 1
0
1

1

I2  
0

x 2f  x 
dx  2
x2 1
1

 I1  I 2  
0

1

 42  
0

1
f x
x 2f  x 
dx

0 x 2  1 dx
x2 1

f  x  1  x 2 
x2 1

1

dx   f  x  dx  I
0

I6

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

DẠNG 2: PHƢƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
Dấu hiệu
+) Trong tích phân chứa 2 loại hàm khác nhau
+) Có sự xuất hiện của f ' .
VD :

2

 x sin xdx
0

x  u
dx  du


sin xdx  dv  cos x  v





2

2

  x sin xdx   x cos x    cos xdx
2
0

0



0


2



 sin x 02  


2

1

Câu 21 : Cho hàm số f(x) thỏa mãn

1

1

0

0

  x  1 f '  x  dx  10 và 2f 1  f  0  2 . Tính I   f  x  dx

Hƣớng dẫn giải :

1

Xét I1    x  1 f '  x  dx
0

x  1  u
dx  du


Đặt 

f '  x  dx  dv 
f  x   v

1

1

0

0

 I1   x  1 f  x  0   f  x  dx  2f 1  f  0     f  x  dx
1

 10  2  I  I  8

Câu 23: Cho

2

1

0

0

 1  2x  f '  x  dx  3f  2   f  0   2016 . Tích phân I   f  2x  dx bằng :

Hƣớng dẫn giải :
1

+) I   f  2x  dx 
0

2

1
f  x  dx
2 0

2

+) Xét I1   1  2x  f '  x  dx
0

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!



1  2x  u
2dx  du
Đặt 

f '  x  dx  dv
f  x   v


2

2

0

0

 I1  1  2x  f  x  0  2  f  x  dx   3f  2   f  0    2  f  x  dx
2

 2016  2016  4I
 I  1008.
1

Câu 32: Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  0;  f '  x   dx  7 và
2

0
1

1

1

 x f  x  dx  3 . Tích phân  f  x  dx
2

bằng :

0

0

Hƣớng dẫn giải
1

+) Xét

 x f  x  dx
2

0

f '  x  dx  du

f  x   u
 3

Đặt  2
 x
x
dx

dv

 v

3
1

1

1

1

1

x3
x3
1
x3
  x f  x  dx  f  x    f '  x  dx   x 2f  x  dx  f 1   f '  x  dx
3
3
0
0 3
0

0 3
0
2

1



1

1 1
1
 .0   x 3f '  x  dx   x 3f '  x  dx  1
3 3
30
0

* 

1

 *  x3 f  x   3 x 2 f  x  dx  1
1

0

0


1

Ta có :

1

 x dx  7
6

0

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


1

1

2
2
2
   f '  x    14x 3f '  x   49  x 3   dx   f '  x   7x 3  dx


0
0
1

 7  14  7   f '  x   7x 3  dx
2

0

1

  f '  x   7x 3  dx  0
2

0

 f '  x   7x 3  0  f '  x   7x 3
7x 4
 f  x     7x dx  
C
4
3

7
7
7x 4 7
 C  0  C   f x  

4
4
4
4
1
1

4
 7x
7
7
  f  x  dx    
  dx 
4
4
5
0
0 
Ma f 1  0 

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!