Toán lớp 12: 5 tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước (tiết 2)

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG. TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
(PHẦN 2)
Ví dụ 3: Tìm số phức z thỏa mãn:
a) z  1  2i  5 và z.z  34.
b) z  2  i  z  1  2i và
c)

1
1

.
z
10

z i
 1 và ( z  3)( z  3i)  9.
z 1

Giải
a) z  1  2i  5 và z.z  34.
Gọi z  a  bi (a, b  )
+) z  1  2i  5  a  bi  1  2i  5  (a  1)2  (b  2)2  5  (a  1)2  (b  2)2  25.
 a2  b2  2a  4b  20 (1)

+) z.z  34  (a  bi)(a  bi)  34  a 2  b2  34 (2)
2
2

a  b  2a  4b  20

Từ (1) và (2) ta có hệ  2
2

a  b  34

Thế a 2  34  b2 vào (1) ta được 34  2a  4b  20  a  2b  7  a  2b  7
Thế a  2b  7 vào (2) ta được:
b  5  a  3
(2b  7)  b  34  5b  28b  15  0  
b  3  a   29
5
5

2

2

2

Vậy số phức cần tìm là z1  3  5i; z2  
b) z  2  i  z  1  2i và

29 3
 i.
5 5

1
1

.

z
10

Gọi z  a  bi (a, b  )
+) z  2  i  z  1  2i  a  2  bi  i  a  1  bi  2i

 (a  2)2  (b  1)2  (a  1) 2  (2  b) 2
 (a  2)2  (b  1)2  (a  1) 2  (2  b) 2  4a  4  2b  1  2a  1  4b  4

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!


 2a  2b  0  a  b  0 (1)
+)

1
1
1
1

 
z
10
10
z



1

1

 a 2  b2  10  a 2  b2  10 (2)
a  bi
10

a  b  0
Từ (1) và (2) ta có hệ  2
2
a  b  10
a  5  b   5
Thế a  b vào (2) ta được 2a 2  10  a 2  5  
 a   5  b  5
Vậy số phức cần tìm là z1  5  5i; z2   5  5i.
c)

z i
 1 và ( z  3)( z  3i)  9.
z 1

Gọi z  a  bi (a, b  )
+)

z i
 1  z  i  z 1
z 1

 a  bi  i  a  bi  1  a 2  (b  1)2  (a  1)2  b2  a 2  (b  1)2  (a  1)2  b2

 2b  1  2a  1  a  b  0  a  b

+) ( z  3)( z  3i)  9  z  3 . z  3i  9

 a  3  bi . a  (b  3)i  9  (a  3) 2  b2 . a 2  (b  3) 2  9
Thế b  a ta được

(a  3)2  a 2 . a 2  (a  3) 2  9  a 2  (a  3) 2  9

a  0  b  0
 2a 2  6 a  0  
 a  3  b  3
Vậy số phức cần tìm là z1  0; z2  3  3i.
Ví dụ 4:
a) Tìm số phức z thỏa mãn z  2  4i  z  2i và z  1  2i min
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của z biết (2  z )(1  z ) là thuần ảo.
Giải
a) +) z  2  4i  z  2i

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!


Gọi z  a  bi (a, b  ) . Điều kiện đã cho trở thành

a  bi  2  4i  a  bi  2i  (a  2)2  (b  4)2  a 2  (b  2) 2
 4a  4  8b  16  4b  4  4a  4b  16

 a b  4  b  4a
+) z  1  2i  a  bi  1  2i  (a  1)2  (b  2)2
Thế b  4  a ta được

(a  1)2  (2  a) 2  2a 2  2a  5

Ycbt  2a 2  2a  5 min  2a 2  2a  5 min
Xét hàm số y  2a 2  2a  5
Có y ' 

4a  2
2. 2a  2a  5
2

 y'  0  a 

a

1
2





y'



1
2

0



y

Từ bảng biến thiên  a 
Vậy z 

1
1
7
thì z  1  2i min. Thay a  vào b  4  a  b  .
2
2
2

1 7
 i.
2 2

b) (2  z )(1  z ) = 2  2 z  z  z.z
Gọi z  a  bi (a, b  ) . Điều kiện đã cho trở thành:
2  2(a  bi)  (a  bi)  (a 2  b2 )  2  a  a 2  b2  3bi

Ycbt  a2  b2  a  2  0  b2  a 2  a  2.
Vì b2  0  a2  a  2  0  1  a  2

z  a 2  b2 thay b2  a 2  a  2 ta được z  a 2  a 2  a  2  a  2
Vì 1  a  2  1  a  2  4  a  2  1
Dấu “=” xảy ra khi a  2  1  a  1  b  0
Vậy min z  1 khi a  1; b  0 .

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn –
Anh – Sử - Địa - GDCD tốt nhất!