Toán lớp 12: 6 điểm biểu diễn số phức

CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC

BÀI GIẢNG. TẬP HỢP ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC
I. Lý thuyết
+) Số phức z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y).
Phương pháp tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức
Bước 1: Gọi số phức z  x  yi có điểm biểu diễn là M ( x; y)
Bước 2: Thay z vào đề bài  Sinh ra một phương trình:
+) Đường thẳng: Ax  By  C  0.
+) Đường tròn: x2  y 2  2ax  2by  c  0.
+) Parabol: y  a.x 2  bx  c
+) Elip:

x2 y 2

1
a
b

II. Bài tập
Ví dụ 1: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của z biết:
a) z  1  i  z  2i .
b) z  z  1  i  2 .
c) z 2 là số thuần ảo.
Giải
a) z  1  i  z  2i
+) Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành
x  yi  1  i  x  yi  2i  ( x  1) 2  (1  y ) 2  x 2  ( y  2) 2
 2x 1 2 y 1  4 y  4  2x  6 y  2  0
 x  3y 1  0

Tập hợp điểm biểu diễn của z là đường thẳng x  3 y  1  0.
b) z  z  1  i  2
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  ( x  yi)  1  i  2  2 yi  1  i  2  12  (2 y  1) 2  2

1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 1  (2 y  1) 2  4  4 y 2  4 y  2  0

1 3
y 
2


1 3
y 

2
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là hai đường thẳng y 

1 3
1 3
;y
.
2
2

c) z 2 thuần ảo.
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y)
 z 2  ( x  yi)2  x2  y 2  2 xyi

x  y  0
z 2 thuần ảo  x 2  y 2  0  ( x  y )( x  y )  0  
x  y  0
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là hai đường thẳng x  y  0; x  y  0.
Ví dụ 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z.
a) z  1  2i  4.

b)

z  3i
 2.
z

c) z  1  2.
Giải
a) z  1  2i  4
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  1  2i  4  ( x  1)2  ( y  2) 2  4
 ( x  1)2  ( y  2) 2  16
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I (1; 2) bán kính R  4.
b)

z  3i
z  3i
 2  z  3i  2 z

2 
z
z

Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  3i  2. x  yi  x 2  ( y  3) 2  2. x 2  y 2
 x 2  ( y  3)2  4( x 2  y 2 )  3x 2  3 y 2  6 y  9  0
 x2  y 2  2 y  3  0

2 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


 Đường tròn có tâm I (0; 1) bán kính R  (1)2  02  3  2.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường tròn tâm I (0; 1) bán kính R  2.
c) z  1  2.
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  1  2  ( x  1)2  y 2  2  ( x  1)2  y 2  4.
Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là hình tròn tâm bán kính R  2.
Ví dụ 3: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức z.
a) 2. z  i  z  z  2i .
b) z  4i  z  4i  10.
Giải
a) 2. z  i  z  z  2i .
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

2 x  yi  i  x  yi  x  yi  2i  2 x 2  ( y  1) 2  (2 y  2) 2
 4  x 2  ( y  1) 2   4( y  1) 2  x 2  y 2  2 y  1  y 2  2 y  1

 x2  4 y  0  y 

1 2
x
4

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là parabol có đỉnh là I (0;0).
b) z  4i  z  4i  10.
Gọi z  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  4i  x  yi  4i  10  x 2  ( y  4) 2  x 2  ( y  4) 2  10
 x 2  ( y  4) 2  10  x 2  ( y  4) 2
 x 2  ( y  4) 2  100  20 x 2  ( y  4) 2  x 2  ( y  4) 2
 20 x 2  ( y  4) 2  100  16 y  5 x 2  ( y  4) 2  25  4 y
 25  x 2  ( y  4) 2   625  200 y  16 y 2
 25 x 2  25 y 2  200 y  400  625  200 y  16 y 2
 25 x 2  9 y 2  225
x2 y 2


1
9 25

3 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!


Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường elip

x2 y 2


 1.
9 25

Ví dụ 4: Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức w  (3  4i) z  i biết z  4.
Giải
Gọi w  x  yi ( x, y  ) có điểm biểu diễn là M ( x; y) . Điều kiện đã cho trở thành

x  yi  i
3  4i
( x  yi  i )(3  4i )
3x  4 xi  3 yi  4 y  3i  4
z
z
(3  4i)(3  4i)
9  16
x  yi  (3  4i ) z  i  z 

z

3x  4  4 y 3 y  4 x  3

i
25
25

 3x  4  4 y   3 y  4 x  3 
 z  
 
 4

25
25

 

2

2

 (3x  4 y  4) 2  (3 y  4 x  3) 2  16.625  10000
 25 x 2  25 y 2  25  24 xy  24 x  32 y  24 xy  18 y  24 x  10000
 25 x 2  25 y 2  50 y  10000  25
 x 2  y 2  2 y  399  0

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của số phức w là đường tròn tâm I (0;1) , bán kính R  20.

4 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa –
Sinh – Văn – Anh – Sử - Địa – GDCD tốt nhất!