Bài giảng cơ lưu chất - Chương 4

ÑOÄNG LÖÏC HOÏC LÖU
CHAÁT
CHÖÔNG 4
CHAÁT
V PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG LÝ
TƯỞNG CHUYỂN ĐỘNG (P.Tr EULER)
dt
ud
)p(gradF
r
=
ρ
−
1





















∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
ρ
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂

==
∂
∂
ρ
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
==
∂
∂
ρ
−
⇔
)3(
z
u
u
y
u
u
x

u
u
t
u
dt
du
z
p1
F
)2(
z
u
u
y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
y
p1
F
)1(
z
u
u

y
u
u
x
u
u
t
u
dt
du
x
p1
F
z
z
z
y
z
x
zz
z
y
z
y
y
y
x
yy
y
x

z
x
y
x
x
xx
x
Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler:
x
u
u
x
u
u
z
z
y
y
∂
∂
±
∂
∂
± và
Sau khi sắp xếp, trên phương x ta được:
xx ∂∂
zyyz
2
x
x

y
y
zx
z
2
z
2
y
2
xx
x
)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
y
u
x
u
u
x
u
z
u
u
2
u
2
u

2
u
xt
u
x
p1
F
−+








∂
∂
+
∂
∂
=









∂
∂
−
∂
∂
−






∂
∂
−
∂
∂
+








++
∂
∂
+

∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
Sau khi sắp xếp, trên phương x ta được:
Ta biến đổi tương tự cho p.tr (2) và (3).





−=∧
−=∧
−=∧
⇔=∧
yxxyz
xzzxy
zyyzx
zyx
zyx
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
)u(rotu)u(rotu)u)u(rot(
uuu
)u(rot)u(rot)u(rot
kji
u)u(rot

rr
rr
rr
rr
Cuối cùng ta được Dạng Lamb-Gromeco của phương trình Euler:
u)u(rot
2
u
grad
t
u
pgrad
1
F
2
rr
r
∧+








+
∂
∂
=

ρ
−
II TÍCH PHÂN P. TR. LAMB-GROMECO→
→→
→ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLIII TÍCH PHÂN P. TR. LAMB-GROMECO→
→→
→ PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI
+























×−+








∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
×−+








∂
∂

+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
×−+








∂
∂
+
∂
∂
=
∂
∂
ρ
−
dz)u(rotu)u(rotu
2
u

zt
u
z
p1
F
dy)u(rotu)u(rotu
2
u
yt
u
y
p1
F
dx)u(rotu)u(rotu
2
u
xt
u
x
p1
F
yxxy
2
z
z
xzzx
2
y
y
zyyz

2
x
x
•Đối với dòng ổn đònh, lưu chất nằm trong trường trọng lực, không nén đựợc:
zyx
zyx
2
uuu
)u(rot)u(rot)u(rot
dzdydx
2
u
ρ
p
gzd =








++−
Trong một số các trường hợp cụ thể sau, ta có tích phân phương
trình trên với vế phải = 0 ⇒
⇒⇒
⇒P. tr. Bernoulli
upup
22

Lưu chất chuyển động thế toàn miền: rot(u)=0 :(C là hằng số cho toàn miền)
Tích phân dọc theo đường dòng (C là hằng số trên đường dòng)
Tích phân dọc theo đường xoáy (C là hằng số trên đường xoáy).
Tích phân dọc theo đường xoắn ốc (C là hằng số trên đường xoắn ốc)
C
g2
up
zhayC
2
up
gz
22
=+
γ
+=+
ρ
+
•Trong trường hợp dòng chảy lưu chất không nén được, ổn đònh với
rot(u)≠
≠≠
≠0, xét trên phương pháp tuyến n với đường dòng:
Nếu lực khối là một hàm có thế, ta đưa hàm thế π vào với đònh nghóa sau:
π−=
∂
π∂
−=
∂
π∂
−=
∂

π∂
−= gradFhay
z
F;
y
F;
x
F
zyx
r
Viết lại phương trình vi phân dạng Lamb-Gromeco:
u)u(rot
u
grad
t
u
pgradgrad
rr
∧+








+
∂
∂

=
ρ
−π−
2
1
2
Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r):Trên phương pháp tuyến n với đường dòng (ngược chiều với phương bán kính r):
r
u
r
u
r
u
r
u
n
r
u
)u,sin(.u.
u
n
p
n
2222
2
22
2
2
−=−=−
∂

∂
ω−=
ωω−








∂
∂
−=








ρ
+π
∂
∂
r
u
ρ
p

π
r
2
=








+
∂
∂
⇒
Nếu lưu chất chòu tác dụng của lực trọng trường:
r
u
ρ
p
gz
r
2
=









+
∂
∂
⇒
Nhận xét:
γ
+
p
z
Khi r
→∝
→∝→∝
→∝
;
const
p
z =
γ
+
áp suất phân bố trên mặt cắt ướt theo
quy luật thủy tónh (khi ấy các đường
dòng song song và thẳng, m/c ướt là mặt
phẳng) - đây là trường hợp chất lỏng
chuyển động đều hoặc biến đổi dần
Theo phương r (hướng từ tâm quay ra): r càng lớn,
càng lớn
•Ý nghóa năng lượng của phương trình Bernoulli:

γ
+
p
z
: là thế năng của một đơn vò trọng lượng lưu chất
(bao gồm vò năng đơn vò z và áp năng đơn vò p/γ).
g2
u
2
: là động năng của một đơn vò trọng lượng lưu chất.
γ
p
z
γ
p
z)a
D
D
A
A
+=+
γ
p
z
γ
p
z)b
D
D
C

C
+=+
pp
D
A
B
C
Dòng chảy với các đường dòng như hình vẽ, ta có:
Bình luận:
γ
p
z
γ
p
z)c
B
B
C
C
+=+
γ
p
z
γ
p
z)d
B
B
A
A

+=+
Câu nào đúng?
III. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHO CHẤT LỎNG THỰC CHUYỂN
ĐỘNG (P.Tr Navier-Stokes)
dt
ud
)u(div(gradu)p(gradF
r
rr
=ν+∇ν+
ρ
−
3
11
2
Tích phân phương trình Navier-Stokes cho toàn dòng chảy, ta được phương trình
Bernoulli viết cho toàn dòng chất lỏng thực không nén được chuyển động ổn
đònh. Đây là một dạng của phương trình năng lượng, mà ta chứng minh được
bằng pp TTKS trong chương động học:
IV. PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
∫∫∫∫∫
ρ
ρ
++++ρ
ρ
+++
∂
∂
=−
A

nu
w
u
dAu)
p
gzue(dw)
p
gzue(
tdt
dW
dt
dQ
22
2
1
2
1
Đây chính là phương trình năng lượng cho dòng chất lỏng không ổn đònh
có khối lượng riêng
ρ
thay đổi.
1.Đối với dòng ổn đònh, không có sự trao đổi nhiệt với môi trường bên ngoài:
∫∫
ρ
ρ
+++=−
A
nu
dAu)
p

gzue(
dt
dW
2
2
1
∫∫∫∫
+−=+⇒
A
n
2
n
A
u
dAuρ)gZu
2
1
(
dt
dW
dAuρe
chú ý rằng:
Z = z+p/
γ
γγ
γ
là thế năng đơn vò
dt
dW
dAue

n
A
u
+ρ
∫∫
Nhận xét thấy: là phần biến đổi năng lượng do
chuyển
động của các phần tử bên trong khối lưu chất gây ra và do ma sát của khối lưộng của các phần tử bên trong khối lưu chất gây ra và do ma sát của khối lưu
chất với bên ngoài. Đại lượng này khó xác đònh được bằng lý thuyết, thông
thường, nó được tính từ thực nghiệm, tuỳ theo trường hợp cụ thể. Ta đặt:
Qgh
dt
dW
dAue
fn
A
u
ρ=+
∫∫
đây chính là năng lượng bò mất đi của lưu chất qua
thể tích W trong một đơn vò thời gian.
h
f
là mất năng trung bình của một đơn vò trọng lượng lưu chất.
∫∫
+−=⇒
A
n
2
f

dAuρ)gZu
2
1
(Qhγ
Nếu xét cho một đoạn dòng chảy vào mặt cắt 1-1 và ra tại m/c 2-2 (
ρ
ρρ
ρ
=const)








ρ+−ρ+−=ρ
∫∫∫∫
dAu)gZu(dAu)gZu(Qgh
n
A
n
A
f 1
1
2
2
2
2

2
1
2
1
Ta tính riêng các tích phân:
•Nếu trên m/c ướt A, áp suất
phân bố theo quy luật thủy
tónh.
Q)
p
gz(QgZdQ)gZ(
A
ρ
ρ
+=ρ=ρ
∫∫
Vthật
A
n
ĐNQVĐNdAuu =ρ>=ρ
∫∫
22
2
1
2
1
•Tích phân thành phần
động năng:.
11
Đưa vào hệ số hiệu chỉnh động năng α:

Vthật
A
n
ĐNQVĐNdAuu α=ρα==ρ
∫∫
22
2
1
2
1
với α
tầng
=2; α
rối
=1,05 - 1,1
Qρ)gZVα
2
1
(Qρ)gZVα
2
1
(Qghρ
2
2
221
2
11f
+−+=
21
2

222
2
2
111
1
22
−
+
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
f
h
g
Vp
z
g
Vp
z
hay:
Như vậy:
Đây chính là ph.tr. năng lượng cho toàn dòng chảy ổn đònh chất lỏng thực không
nén được nằm trong trường trọng lực từ m/c/1 tới m/c 2 (không có nhập hoặc tách
lưu)
Nếu dòng chảy có nhập hoặc tách lưu (

ρ
ρρ
ρ
=const)
∑∑∑
=ρ+α−ρ+α
fjjjj
jra
iiii
ivào
HQ)gZV(Q)gZV(
22
2
1
2
1
Σ
ΣΣ
ΣH
f
là tổng năng lượng dòng chảy bò mất đi khi chảy từ các m/c vào đến các m/c ra
(trong 1 đ.vò thời gian).
2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được
bơm cung cấp năng lượng H ; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho
2. Trong trường hợp dòng chảy có sự trao đổi năng lượng với bên ngoài (được
bơm cung cấp năng lượng H
b
; hay dòng chảy cung cấp năng lượng Ht cho
turbine), thì ph. tr trên có dạng tổng quát hơn:
21

2
222
2
2
111
1
22
−
+
α
+
γ
++=
α
+
γ
++
fTB
h
g
Vp
zH
g
Vp
zH
H
b
là năng lượng do bơm cung cấp cho một đơn vò trọng lượng dòng chảy khi
dòng chảy qua bơm - Ta gọi là cột áp bơm .
H

t
là năng lượng mà một đơn vò trọng lượng dòng chảy cung cấp cho turbine khi
qua turbine.
V. ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH NĂNG LƯNG
B’
h
A
B
A’
Ví dụ 1: Đo lưu tốc điểm của dòng khí bằng ống Pito vòng
Áp dụng ph.tr Bernoulli trên đường dòng từ A tới B
(bỏ qua mất năng):
g
up
z
g
up
z
B
k
B
B
A
k
A
A
22
22
+
γ

+=+
γ
+
với u
B
=0, suy ra:








γ
+−








γ
+=
k
A
A
k

B
B
A
p
z
p
z
g
u
2
2
Áp dụng phương trình thuỷ tónh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trườngÁp dụng phương trình thuỷ tónh lần lượt cho các cặp điểm AA’ (trong môi trường
khí), A’B’ (trong môi trường lỏng); BB’ (trong môi trường khí) ta có:















γ
+=









γ
+








γ
+=








γ
+

k
B
B
k
'B
'B
k
A
A
k
'A
'A
p
z
p
z
p
z
p
z
Suy ra








−

γ
γ
=
γ
γ
+−=
γ
−
+−=








γ
+−








γ
+
1

k
l
k
l
k
'A'B
'A'B
k
A
A
k
B
B
h
h
h
pp
)zz(
p
z
p
z
Như vậy:









−
γ
γ
= 12
k
l
A
ghu
Thực tế do mất năng nên vận tốc
thực tại điểm A lớn vận tốc tính từ
công thức bên.
Ví dụ 2: Đo Lưu lượng qua ống Ventury
D
d
1
1
2
2
h
γ
γγ
γ
n
γ
γγ
γ
d
A
B

Áp dụng p. tr năng lượng cho dòng chảy
từ m/c 1-1 đến 2-2 (bỏ qua mất năng):
g
Vp
z
g
Vp
z
nn
22
2
222
2
2
111
1
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
(α1,α2=1): Suy ra:









γ
+−








γ
+=








−
p
z
p
z
AA
g

Q
2
2
1
1
22
2
11
2




γ




γ




nn
AA
g
21
2
1
2

2
2
Hay:








γ
γ
−








−
=
n
d
gh
AA
AA
Q 12

2
2
2
1
2
1
2
2
Lưu lượng Q ở trên tính được không kể tới tổn thất năng lượng,
Thực tế lưu lượng Q
thực
nhỏ hơn, nên cần hiệu chỉnh lại lưu lượng sau khi
tính Q
tính
Hiệu chỉnh bằng công thức trên như sau: Q
thực
= CQ
tính
với C<1 là hệ số hiệu chỉnh Ventury (do mất năng sinh ra).
Ví dụ 3: Dòng chảy ổn đònh qua lỗ thành mỏng:
H
c
c
A
0
0
f
ccc
c
h

g
Vp
z
g
Vp
z +
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
22
22
000
0
Năng lượng của dòng chảy từ bình ra ngoài chủ
yếu bò mất đi là do co hẹp khi qua lỗ, đây là loại
mất năng cục bộ, nó tỷ lệ với V
c
2
tại mặt cắt co
hẹp c-c (học trong chương đường ống). Ta có thể
viết lại:
g
V
g
Vp

z
g
Vp
z
cccc
c
222
222
000
0
ξ+
α
+
γ
+=
α
+
γ
+
ggg
222 γγ
V
0
=0, p
0
=0; Suy ra:
gH2CgH2
1
V
Vc

=








ξ+α
=
với C
V
< 1 gọi là hệ số lưu tốc.
Lưu lượng:
gH2ACgH2ACgH2CAgH2
1
AVAQ
dVVcccc
=ε==








ξ+α
==

Với A là diện tích lỗ tháo, ε
εε
ε là hệ số co hẹp,
C
d
(<C
V
) là hệ số lưu lượng
Ví dụ 4: Dòng chảy ổn đònh qua đập tràn thành mỏng:
H
θ
θθ
θ
h
dh
0
B
h
Xem dòng chảy là tập họp của những
dòng chảy qua lỗ thành mỏng có bề rộng
B, cao dh nằm ở toạ độ h trên trục toạ độ
Oh như hình vẽ.
Lưu lượng qua lỗ tháo:
dh)hH(g2)h(
2
tg2C)hH(g2BdhCdQ
dd
−







θ
=−=
2

∫
−






θ
=
H
d
dh)hH(g)h(tgCQ
0
2
2
2
Để lấy tích phân trên ta đặt:
dh)hH(dv;hu −==
Kết quả cho:
gHHtgCQ
d

2
215
8
2






θ
=