SKKN hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z

Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Phần thứ nhất: ĐẶT VẤN ĐỀ:
1. Lý do chọn đề tài:
Toán học là một trong những môn khoa học cơ bản mang tính trừu
tượng, nhưng mô hình ứng dụng của nó rất rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh
vực của đời sống xã hội, trong khoa học lí thuyết và khoa học ứng dụng.
Toán học là một môn học giữ một vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ
thông. Tuy nhiên, nó là một môn học khó, khô khan và đòi hỏi ở mỗi học
sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức cho mình.
Chính vì vậy, đối với mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của
chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học.
Để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ
các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên.
Dạy học sinh học Toán nói chung, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nói
riêng không chỉ là cung cấp những kiến thức cơ bản, dạy học sinh giải bài tập
sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cho học
sinh phương pháp chung để giải các dạng toán, từ đó giúp các em tích cực
hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kĩ năng, kĩ xảo, hoàn thiện
nhân cách của mình.
Giải toán là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp giảng
dạy, bởi lẽ việc giải toán là một việc mà người học lẫn người dạy thường
xuyên phải làm, đặc biệt là đối với những học sinh bậc THCS thì việc giải
toán là hình thức chủ yếu của việc học toán.
Chính vì những lý do trên, để đào tạo nên những học sinh giải thành
thạo các dạng toán về dãy tỉ số bằng nhau thì người giáo viên không chỉ đổi
mới phương pháp dạy học ở trên lớp học sao cho học sinh lĩnh hội tri thức
một cách chủ động thông qua các hình thức tổ chức dạy học như dạy học
theo nhóm, dạy học theo lớp để các em có điều kiện trao đổi kiến thức, học
hỏi lẫn nhau và có tinh thần đoàn kết trong tập thể. Khi ở trên lớp giáo viên
chỉ là người cố vấn, hướng dẫn, suy nghĩ đặt câu hỏi một cách có hệ thống,

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

1


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
phù hợp với từng loại bài, từng đối tượng, kích thích học sinh phát huy hết
khả năng tư duy, khao khát tiến tới thắc mắc để tìm ra vấn đề mới. Từ đó học
sinh hình thành và khắc sâu kiến thức mới một cách chủ động dễ nhớ và khó
có thể phai mờ. Không những vậy, giáo viên cần phải có phương pháp để
hướng dẫn học sinh tự học ở nhà để tái hiện lại những tri thức đã rút ra trên
lớp bằng cách giải bài tập và tìm lời giải, phát triển và mở rộng cho bài toán.
Buộc học sinh không những hoạt động tích cực ở trên lớp mà còn tích cực,
ham mê giải toán ở nhà. Từ đó giúp các em sẽ đạt kết quả cao trong học tập.
Trong những năm qua, được sự phân công của chuyên môn nhà trường,
tôi giảng dạy môn toán 7. Trong những năm qua, qua quá trình giảng dạy bộ
môn Toán tôi thấy phần kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau hết sức cơ bản trong
chương trình Đại số lớp 7. Trong chương II, khi học về đại lượng tỉ lệ thuận,
tỉ lệ nghịch ta thấy tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là một phương tiện quan
trọng giúp ta giải toán những loại toán trên. Trong phân môn Hình học, để
học sinh giải được một số bài trong phần định lý Talet, tam giác đồng dạng
( Hình học lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về dãy tỉ số bằng nhau. Mặt
khác, khi học tính chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh
rất tốt giúp các em có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới. Bên
cạnh đó, tôi nhận thấy học sinh còn nhiều vướng mắc khi giải bài các dạng
toán vè tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Đa số học sinh khi giải còn thiếu
logic, chặt chẽ, thiếu trường hợp. Lý do cơ bản là các em vận dụng tính chất
của dãy tỉ số bằng nhau, tính chất cơ bản của phân số chưa chắc. Các em
chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác.

Mặt khác nội dung kiến thức ở lớp 7 những dạng này để áp dụng còn hạn chế
nên không thể đưa ra đầy đủ các phương pháp giải một cách có hệ thống và
phong phú được. Mặc dù chương trình sách giáo khoa sắp xếp rất hệ thống
và logic, có lợi thế về dạy học đặt vấn đề trong dạng toán này. Chính vì vậy,
để khắc phục cho học sinh những sai lầm khi giải bài toán về dãy tỉ số bằng
nhau. Bản thân đã nhiều năm suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng vào trong giảng
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

2


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
dạy thấy có hiệu quả cao. Do đó, tôi mạnh dạn nghiên cứu chuyên đề
“Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số
bằng nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z” với mục đích giúp cho
học sinh tự tin hơn trong làm toán.
2. Mục đích, nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu:
a. Mục đích nghiên cứu:
Thực hiện mục tiêu giáo dục: “Nâng cao dân trí – Đào tạo nhân lực –
Bồi dưỡng nhân tài” góp phần đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục, yêu cầu
của công cuộc CNH - HĐH đất nước phù hợp với nội dung của Hội nghị lần
thứ 6 ban chấp hành trung ương Đảng khóa IX “Phát triển quy mô giáo
dục cả đại trà và mũi nhọn”
Sau khi nhận thấy những tồn tại về phương pháp học, cách tiếp thu bài
của học sinh lớp 7A và 7E, tôi đã đi sâu nghiên cứu, khảo sát thực trạng học
tập ở các em. Thông qua đó tôi đã tìm ra biện pháp khắc phục những tồn tại
để hướng tới cho học sinh cách học tập có hiệu quả hơn.
b. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Trong quá trình công tác, bản thân tôi không ngừng học tập, nghiên cứu

và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Trong thời gian
qua, được sự cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo kịp thời của Ban giám
hiệu nhà trường, tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào
công tác giảng dạy của mình và thấy đạt hiệu quả khá cao.
- Nghiên cứu nội dung, chương trình và sách giáo khoa, sách tham khảo
Toán 7, trong đó những phần liên quan đến cách áp dụng tính chất của dãy tỉ
số bằng nhau.
- Tìm hiểu cơ sở thực tế về thực trạng giảng dạy sao cho phù hợp với
đối tượng học sinh.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về việc học toán và dạy toán 7.
c. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

3


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất
nhiều thiếu sót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài
tập, tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao. Tình trạng phổ biến hiện nay của học
sinh là khi làm toán không chịu nghiên cứu kỹ bài toán, không chịu khai thác
và huy động kiến thức để làm toán. Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn
cứ, trình bày cẩu thả, tùy tiện...
Trên cơ sở nghiên cứu lý luận, chương trình số học lớp 7, xây dựng
cách giải bài toán vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2. Phương pháp nghiên cứu:
Thông qua bài kiểm tra những năm học trước, kiểm tra vấn đáp những
kiến thức cơ bản, trọng tâm mà các em đã được học. Qua đó giúp tôi nắm

được những ''lỗ hổng” kiến thức của các em rồi tìm hiểu nguyên nhân và lập
kế hoạch khắc phục.
Trong quá trình dạy học giải toán, giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ
chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề, phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa
các kiến thức đã học trong một bài toán để từ đó tìm được cho mình phương
pháp giải quyết vấn đề tốt hơn. Chỉ trong quá trình giải toán thì tiềm năng
sáng tạo của học sinh mới được bộc lộ và phát huy hết. Các em có được thói
quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều
giả thiết khi lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi
xử lý một tình huống.
Phương pháp thống kê, khảo sát thực tế.
Phương pháp giao tiếp: Tìm hiểu ở học sinh về việc nắm bắt kiến thức ở
các em theo từng lớp.
Phương pháp so sánh đối chiếu, soạn giáo án dạy thực nghiệm vài tiết
để so sánh chất lượng đạt hiệu quả như thế nào?
Phần thứ hai: NỘI DUNG CỦA ĐỀ TÀI

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

4


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN
Ở nước ta việc dạy học Toán nói chung và bồi dưỡng nhân tài nói riêng
được chú trọng ngay từ khi dựng nước vì như Thân Nhân Trung đã nói “
Hiền tài là nguyên khí quốc gia, nguyên khí thịnh thế nước lên nguyên khí
suy thế nước xuống ”. Trong bài phát biểu bế mạc Hội nghị lần thứ VI Ban
Chấp hành Trung ương Đảng khoá XI, ngày 15 tháng 10 năm 2012, Tổng Bí

thư Nguyễn Phú Trọng cho biết: “Ban Chấp hành Trung ương tiếp tục
khẳng định, phát triển khoa học và công nghệ là quốc sách hàng đầu, là
một động lực quan trọng trong sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá”.
Nghị quyết TW VIII "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học. Bồi dưỡng năng
lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Ở nước ta cũng như hầu hết các nước trên Thế giới, vấn đề dạy học và
chất lượng dạy học nói chung, dạy học Toán nói riêng ngày càng trở thành
mối quan tâm hàng đầu của toàn xã hội.
Như vậy với kết luận “Phát triển quy mô giáo dục cả đại trà và mũi
nhọn” (Trích kết luận của Hội nghị lần thứ 6 Ban chấp hành Trung ương
Đảng khóa 9) thì giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu là một trong
những động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp CNH–HĐH đất nước, là điều
kiện phát huy nguồn lực con người. Đây là trách nhiệm của toàn Đảng, toàn
dân trong đó nhà giáo và cán bộ giáo dục là lực lượng nòng cốt có vai trò
quan trọng.
Hiện nay cùng với các nhà trường thuộc các cấp học bên cạnh việc chú
trọng nâng cao chất lượng giáo dục đại trà còn quan tâm đúng mức đến chất
lượng giáo dục mũi nhọn. Đó là công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh
giỏi các bộ môn, trong đó có bộ môn Toán.
Và còn có khả năng to lớn trong việc bồi dưỡng học sinh thế giới quan
khoa học và những quan điểm nhận thức đúng đắn, khả năng hình thành cho
học sinh nhân cách con người mới trong xã hội.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

5


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z

Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới như hiện nay, mỗi
giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen hiện có ở các em đó là
“Thầy đọc, trò chép”,“Thầy nói, trò ngồi nghe” sang thói quen chủ động. Để
đạt được mục tiêu của bài dạy theo hướng tích cực giáo viên cần chỉ ra cho
học sinh cách học, biết cách suy luận, biết cách xâu chuỗi kiến thức, biết tìm
tòi để phát hiện kiến thức mới. Học sinh cần được rèn luyện thao tác tư duy
cao như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, quy những điều lạ thành điều
quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có
thể đọc hiểu được nội dung của bài toán, tự làm được bài tập, nắm vững và
hiểu sâu các kiến thức cơ bản. Đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo
của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập, giúp các em
tìm hiểu nhiều, càng khám phá nhiều thì việc học tập ở các em sẽ đạt kết quả
khả quan hơn.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

6


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Chương II: THỰC TRẠNG KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP
1. Đặc điểm tình hình:
Trường tôi tuy mới được thành lập vào ngày 23 tháng 08 năm 2005,
mặc dầu là một ngôi trường có thời gian thành lập chưa lâu so với các trường
bạn trong huyện. Song dưới sự chỉ đạo, quan tâm của Phòng Giáo dục và
Đào tạo, sự lãnh đạo sát sao, sáng tạo của Ban giám hiệu nhà trường đã tạo ra
được thương hiệu cho ngôi trường của mình trong việc đào tạo, bồi dưỡng
học sinh giỏi trường có những thuận lợi và khó khăn sau :
2. Thuận lợi:

- Nhà trường có lực lượng giáo viên giảng dạy bộ môn Toán tương đối
đầy đủ, đạt trình độ trên chuẩn, giáo viên trẻ khỏe, nhiệt tình có trách nhiệm
cao trong công tác.
- Hầu hết giáo viên có có nhiều kinh nghiệm trong công tác bồi dưỡng
học sinh giỏi, có bề dày thành tích trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi
nhiều năm liền có học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.
- Có năng lực chuyên môn, phương pháp dạy tốt.
- Được sự quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ của các cấp lãnh đạo: Ban
giám hiệu nhà trường tổ chuyên môn, ủng hộ của bạn bè đồng nghiệp.
- Học sinh ngoan có ý thức phấn đấu, quyết tâm.
3. Khó khăn:
a. Đối với nhà trường:
Một số phụ huynh chưa có sự quan tâm đến việc học hành của con cái,
để các em tự do ngoài giờ lên lớp dẫn đến tình trạng mê trò chơi điện tử.
Điều đó có ảnh hưởng lớn đến thái độ học tập của các em và chất lượng
giảng dạy của giáo viên.
Ia Grai là huyện biên giới nằm trên địa bàn Tây Nguyên được thiên
nhiên ưu đãi về nhiều mặt. Song trình độ dân trí chưa đồng đều, tình hình
kinh tế xã hội của tỉnh chưa tương xứng với tiềm năng mà thiên nhiên ban
tặng.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

7


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
b. Đối với học sinh:
Nhà trường đã chọn lọc những học sinh khá, giỏi lập thành một lớp, các
lớp còn lại là đối tượng học sinh đại trà. Bởi vậy, việc học tập của các em gặp

không ít khó khăn.
- Một số học sinh chưa có sự ham mê học toán, vẫn còn lười học, coi
việc giải toán là một gắng lặng do đó chưa biết cách giải toán nhưng bên
cạnh đó cũng có một số học sinh mặc dù chăm học, nắm được kiến thức bài
học nhưng nắm kiến thức một cách mờ nhạt nên không biết cách làm bài tập
hoặc có làm được thì lại làm sai.
- Chưa đọc kỹ đề bài, chưa hiểu rõ bài toán đã lao ngay vào giải. Bởi
vậy, khi làm thì không biết bắt đầu từ đâu, khi gặp khó khăn thì không biết
làm cách nào để tháo gỡ.
- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không chịu
nghiên cứu, khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo
nhiều cách, không sử dụng hết các dữ kiện bài toán .
- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp
suy luận trong giải Toán, vận dụng một cách máy móc thiếu linh hoạt.
- Không chịu kiểm tra lại lời giải tìm được, bởi vậy có thể tính toán
nhầm hay vận dụng kiến thức một cách nhầm lẫn, không biết cách sửa lại.
- Không chịu suy nghĩ tìm các cách giải khác nhau cho một bài toán hay
mở rộng bài Toán. Do đó học sinh luôn bị hạn chế trong việc rèn luyện năng
lực giải Toán.
Vì vậy, sau một thời gian giảng dạy tại trường tôi trăn trở, suy nghĩ là
làm thế nào để các em nắm bắt kiến thức Toán một cách có hệ thống nhằm
giúp các em phần nào yêu thích học môn Toán nhiều hơn để làm nền tảng
mai này các em có điều kiện học cao hơn.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

8


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng

nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Chương III: NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA ĐỀ TÀI
1. Lý thuyết:
* Tính chất của dãy tỉ số thức bằng nhau:
Tính chất 1: Từ tỉ lệ thức

a c
a ac
 suy ra các tỉ lệ thức sau: 

b d
b bd

a c
, (b ≠ ± d).
bd
Tính chất 2: Từ

a a ce a ce
a c e
  suy ra 

(giả thiết các
b d f
b bdf bdf

tỉ số đều có nghĩa).
Tính chất 3: Khi có dãy tỉ số

a b c

  , ta nói các số a; b; c tỉ lệ với các
2 3 5

số 2; 3; 5 ta cũng viết a:b:c = 2:3:5 và ngược lại.
2.Chú ý:
Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức. Do đó,
từ tỉ lệ thức

a c

b d

2

2

�a � �c � a c
suy ra � � � � . ;
�b � �d � b d

a
c
k.  k.  k �0  ;
b
d

3
3
3
k1a k 2c

a c e
a
c
e
a c e
�
�
�
�
�
�

(k1 ,k 2 �0) ; từ   suy ra � � � � � � � � ;
k1b k 2d
b d f
�b � �d � �f � b d f

2

�a � c e
� � � .
�b � d f
Qua việc giải các bài tập đa dạng và phong phú các em đã nắm chắc
chắn và giải các bài toán áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Biến đổi
từ một tỉ lệ thức ra một tỉ lệ thức rất linh hoạt.
Thông qua việc giảng dạy học sinh tôi xin đưa ra một số dạng bài tập
sau:
3. Các dạng bài tập:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

9


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Dạng 1. Tìm x, y, biết

x y
 và x + y = m. Trong đó a + b �0 và a; b và
a b

m là các số cho trước.
Phương pháp: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta dễ dàng
tính được x; y.
Bài tập 1: Tìm x; y biết

x y
 và x + y = – 70
5 9

Giải:
Đặt vấn đề: Làm như thế nào để giải được bài toán trên?
? Em hãy nhắc lại tính chất của dãy tỉ số bằng nhau?
Áp dụng tích chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y x  y 70
 

 5
5 9 5  9 14

Do đó:

x
 5 . Suy ra: x = –25
5
y
 5 . Suy ra: y = – 45
9

Vậy: x = –25 và y = – 45.
Bài tập 2: Tìm x; y biết

x 3

và x – y = – 2
y 7

Bài này đã thuộc dạng trên chưa? Làm thế nào đưa được về dạng trên?
Từ

x 3
x y

 . Từ đó ta sẽ tính được x = –0,6 và y = 1,4.
suy ra
y 7
3 7

Bài tập 3: Tìm x; y biết 5x = 9y và x – y = 20
Làm thế nào đưa đẳng thức trên về dãy tỉ số bằng nhau?

Hướng dẫn học sinh đưa bài toán trên về dạng bài toán 1 rồi giải.
Từ đó ta sẽ tính được x = 45 và y = 25
Dạng 2: Tìm nhiều số chưa biết.
a) Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

10


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Tìm các số x; y; z thoả mãn

x y z
  (1) và x + y + z = d (2). Trong
a b c

đó a + b + c �0 và a; b; c; d là các số cho trước.
Phương pháp:
Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z xyz
d
  

a b c a bc a bc
a.d
b.d
c.d
�x 

; y
; z
abc
abc
abc
x y z
Cách 2: Đặt    k � x  k.a; y  k.b; z  k.c
a b c
Thay vào (2) ta được: k.a + k.b + k.c = d
� k  a  b  c  d � k 
Từ đó tìm được x 

d
abc

a.d
bd
cd
; y
; z
abc
abc
abc

b) Hướng khai thác từ bài trên như sau.
- Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi điều kiện (2) như sau:
* k 1x  k 2 y  k 3 z  e
* k 1x 2  k 2 y 2  k 3 z 2  f
*x.y.z = g
-Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi điều kiện (1) như sau:

x y y
z
 ;

a1 a 2 a 3 a 4
a 2 x = a1y; a 4 y = a 3z ; b1x  b 2 y  b3z
b1x  b3z b 2 y  b1x b3z  b 2 y


a
b
c

x  b1 y 2  b 2 z3  b3


a1
a2
a3
Thay đổi cả hai điều kiện.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

11


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Bài tập 1: Tìm ba số x; y; z biết

x y z
  và x + y + z = 27
2 3 4

Giải:
Cách 1.
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
x y z x  y  z 27
  

3
2 3 4 23 4 9
� x  2.3  6; y  3.3  9; z  4.3  12
Cách 2:
x y z
   k � x  2k, y  3k, z  4k
2 3 4
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2k  3k  4k  27 � 9k  27 � k  3
Đặt

Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy: x = 6; y = 9; z = 12.
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 2: Tìm các số x; y; z biết

x y z
  và 2x + 3y – 5z = –21
2 3 4

Giải:
Cách 1: Đặt
Cách 2: Từ

x y z
  = k. Sau đó áp dụng cách 2 của bài tập 1.
2 3 4
2x 3y 5z
x y z
  suy ra


2 3 4
4
9 20

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 3y 5z 2x  3y  5z 21




3
4
9 20
4  9  20
7
� x  6; y  9; z  12
x y z
  và x  2y  3z  35

3 4 5
Giải: Giả thiết cho x  2y  3z  35

Bài tập 3. Tìm x; y; z biết:

Đặt vấn đề: Làm như thế nào để sử dụng hiệu quả giả thiết trên?

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

12


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
? Em hãy nhắc lại tính chất cơ bản của phân số.
Từ

x y z 2y 3z x  2y  3z 35
x y z
  ta suy ra
  



 3,5
3 4 5
3 4 5 8 15
3  8  15 10

Do đó:

x
 3,5 � x = 3.3,5 = 10,5
3
y
 3,5 � y= 4.3,5 = 14
4
z
 3,5 � z = 5.3,5 = 17,5
5

Dạng 3. Tìm x; y; z biết

x y y z
 ;  và x + y + z = m. Điều kiện a;
a b c d

b; c; d �0
Phương pháp:
- Tìm BCNN(b; c).
- Chia BCNN(b; c) lần lượt cho b; c. Giả sử

BCNN  b; c 
k;
b

BCNN  b; c 
 k1 .
b
- Nhân 2 vế của

1
x y
y z
1
 và  lần lượt với
và
. Ta được:
k1
a b
c d
k

x
y
z
y
z
x
y




;
. (Với bk = ck1). Từ đó ta suy ra được:
.
ak bk dk1
ak bk ck1 dk1
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tìm được các giá trị cần

tìm.
Bài tập 1: Tìm x; y; z cho:

x y
y z
 và  và x  y  z  69
5 6
8 7

Giải:
Đưa bài này về dạng bài trên bằng cách nào?
Hãy nêu phương pháp giải (BCNN (6; 8)=?).

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

13


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Ta có:

x y
x
y
 �

5 6
20 24
y z

y
z
 �

8 7
24 21

x
y
z


20 24 21
Sau đó áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta tính được: x = 60; y
�

= 72; z = 63.
Bài tập 2: Tìm x; y; z biết 2x = 3y = 5z (1) và x + y – z = 95 (*)
Làm thế nào đưa bài toán trên về dạng 2?
Cách 1:
Từ 2x = 3y �
3y = 5z �

x y
 ;
3 2
y z

5 3

Đưa về cách giải giống bài tập 1 và cách này dài dòng.
Cách 2:
+ Nếu có tỷ lệ của x; y; z tương ứng ta sẽ giải được (*)
+ Làm thế nào để (1) cho ta (*)
+ Hướng dẫn học sinh cách giải dạng toán này là ta đi tìm BCNN của
các mẫu. Sau đó chia các tích cho BCNN ta được dãy tỉ số bằng nhau.
+ Cụ thể, chia cả hai vế của (1) cho BCNN (2; 3; 5) = 30
2x 3y 5z x
y z
x  y  z 95


   

5
30 30 30 15 10 6 15  10  6 19
Từ đó ta giải ra được: x = 75; y = 50; z = 30.
2x = 3y = 5z �

1
2
3
Bài tập 3: Tìm x; y; z biết: x  y  z  1 và x – y = 15
2
3
4
Giải:
Theo em, làm thế nào giải được bài toán này?
BCNN(1; 2; 3) = 6

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

14


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
x y z x  y 15
  
 5
12 9 8 12  9 3
Từ đó ta giải ra được: x = 2.15 = 60; y = 5.9 = 45; z = 8.5 = 40

Chia các vế của (1) cho 6 ta được:

Bài tập 4: Tìm x; y; z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
* Hướng dẫn: Bài toán trên thuộc cả 2 dạng toán 1 và 3. Do đó, việc
đầu tiên từ 2 đẳng thức em đưa về 2 tỉ lệ thức. Từ 2 tỉ lệ thức em đưa về dãy
tỉ số bằng nhau rồi giải.
Giải:
x y

2 3
x z
Từ 4x  2z � 
2 4
x y z
  sau đó giải như dạng 1.
Suy ra
2 3 4

Từ 3x  2y �

Bài tập 5: Tìm x; y; z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = –21
* Hướng dẫn: Bài toán này việc đầu tiên em tìm BCNN(6; 4; 3). Sau đó
em chia các vế cho BCNN đó rồi đưa về dãy tỉ số băng nhau rồi giải.
Giải: Từ 6x = 4y = 3z �

6x 4y 3z
x y z

 �  
12 12 12
2 3 4

Sau đó giải tiếp như bài tập 4.
Bài tập 6: Tìm các số x; y; z biết

6x  3z 4y  6x 3z  4y


và 2x
5
7
9

+3y – 5z = –21
Giải: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
6x  3z 4y  6x 3z  4y 6x  3z  4y  6x  3z  4y




0
5
7
9
579
� 6x  3z; 4y  6z; 3z  4y
Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 5
Bài tập 4: Tìm x; y; z biết:
a)

x 1 y  2 z  3


 1 và x + y +z = 24
1
2
3

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

15


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
2x y z
   2  và 2x – y + 3z = 95
3 2 6
Giải:

b)

a) Với giả thiết phần a) ta có cách giải tương tự bài nào?
Từ (1) ta có:

x  1 y  2 z  3  x  1   y  2    z  3



1
2
3
1 2  3


Do đó:

x  y  z  6 18
 3
6
6

x 1
 3� x  4
1
y2
 3� y 8
2
z 3

 3 � z  12
3

2x y z
   2  2x – y + 3z = 95
3 2 6
Đối với câu b) tử số các tỉ số khác 1. Liệu ta có đi tìm BCNN của các

b)

mẫu như các bài trước không?
Hướng dẫn học sinh đi từ (2) để đến kết quả:
2x y z 2x  y  3z 95
  

5
3 2 6 3  2  18
5
Do đó, 2x = 5.3=15. � x =

15
; y = 5.2=10; z = 5.6=30.
2

Ngoài cách đó ra, ta cũng có thể đi tìm BCNN nhưng không tìm BCNN
của các mẫu mà ta đi tìm BCNN của các tử rồi chia các vế cho BCNN đó.
Tóm lại, với dạng toán trên. Nếu tử các tỉ số bằng 1 thì ta đi tìm BCNN
của các mẫu rồi chia các vế cho BCNN đó. Tiếp theo ta áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau sẽ tìm được kết quả bài toán. Nếu tử các tỉ số khác 1 thì
ta có thể tìm BCNN của các tử hoặc các mẫu rồi thực hiện tương tự như trên.

Dạng 4. Tìm x; y biết

x y
 và x.y = m. Điều kiện a và b �0.
a b

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

16


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Phương pháp:
- Đặt

x y
 = k. Suy ra: x = a.k; y = b.k
a b

- Do đó: x.y = (a.k).(b.k)=a.b.k2=m
- Suy ra: k = �

m
ab

- Xét hai trường hợp của k ta tìm được x và y.
Bài tập 1: Tìm x; y biết rằng:
a)

x y
 và xy = 240 (2)
3 5

x y
 và x 2  y 2  4 (x, y > 0)
5 3
Giải:
? Làm như thế nào xuất hiện xy để sử dụng giả thiết.
b)

x y
 = k. Ta có: x = 3k; y = 5k.
3 5
Theo giả thiết, ta có: xy=240. Hay (3k).(5k) = 240

a) Đặt

Suy ra: k2 = 16 � k = �4
Với k = 4 thì x = 3k = 12 và y = 5k = 20
Với k = – 4 thì x = 3k = –12 và y = 5k = –20
Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20
*Chú ý: Ở đây, học sinh thường mắc sai lầm suy ra k = 4 mà phải suy ra
k= �4.
Ngoài cách giải trên ta có thể giải bài toán trên bằng cách khác như sau:
x y
x x y x
x 2 xy 240
 � .  . �



 16
3 5
3 3 5 3
9 15 15
Hay: x 2  9.16   3.4   122   12  � x  �12
2

2

Thay vào (2) ta được:
x  12 � y 

240
 20
12

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

17


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
x  12 � y 

240
 20
12

Vậy: x = 12 và y = 20 hoặc x = –12 và y = –20
x y
x 2 y2 x 2  y2 4 1
� 

 
b) 
5 3
25 9
25  9 16 4
� x2 

25
5
�x�
4
2

� y2 

9
3
�x�
4
2

Đối với câu b) giải theo cách khác cũng tương tự như câu a).
Bài tập 2: Tìm x, y, z biết rằng:

x y z

  và xyz = 810
2 3 5

Giải:
Cách 1:
x y z
  =k
2 3 5
Suy ra: x = 2k; y = 3k; z = 5k

Đặt

Do đó: xyz = 2k.3k.5k = 30k3
Hay: 30k3 = 810
� k3 = 27 � k = 3
� x = 2k = 2.3 = 6
y = 3k = 3.3 = 9
z = 5k = 3.5 = 15
Cách 2:
x y z
x x x x y z xyz
  � ��  ��
2 3 5
2 2 2 2 3 5 30
3

x3
�x � 810
� � �
 27 �  27

8
�2 � 30
� x 3  8.27  23.33   2.3

3

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

18


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
�x 6
Mà
và

x y
x.3 3.6

�y

9
2 3
2
2
y z
y.5 9.5
 �z 


 15
3 5
3
3

Bài tập 3. Tìm x; y; z biết

x y z
  và 2x 2  3y 2  5z 2  405
2 3 4

Giải:
Cách 1: Đặt
Cách 2: Từ

x y z
  =k
2 3 4
x y z
 
2 3 4

x 2 y2 z 2
Suy ra:


4
9 16
2x 2 3y 2 5z 2
�



8
27 90
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2x 2 3y 2 5z 2 2x 2  3y2  5z 2 405




9
8
27 90
8  27  90
45
x2
Do đó:
 9 � x 2  36 � x  �6
4
2
y
 9 � y 2  81 � y  �9
9
z2
 9 � z 2  144 � z  �12
16
Vậy x = 6; y = 9; z = 12 hoặc x = –6; y = –9; z = –12.
Dạng 5: Toán chia tỉ lệ
Phương pháp giải
Bước 1: Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết

Bước 2: Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3: Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4: Kết luận.
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

19


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
*Bài tập điển hình:
Bài tập 1:(Bài 76 SBT-Tr14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết
chu vi là 22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2; 4; 5.
Giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a; b; c (cm) (a; b; c  0 )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a + b + c = 22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 4; 5 nên ta có

a b c
 
2 4 5

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
a b c a  b  c 22
  

2
2 4 5 2  4  5 11
a
Do đó:  2 . Suy ra: a = 4

2
b
 2 . Suy ra: b = 8
4
c
 2 . Suy ra: c = 10
5
Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn.
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm, 8cm, 10cm.
Có thể thay điều kiện (2) như sau: Biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh
nhỏ nhất bằng 3. Khi đó ta có được c – a = 3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng tham gia lao động trồng cây, số cây mỗi lớp
trồng được tỉ lệ với các số 2; 4; 5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần
số cây của lớp 7B thì hơn số cây của lớp 7C là 119 cây. Tính số cây mỗi lớp
trồng được .
Giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là a; b; c (cây) (a; b;
c��* )
Theo bài ra ta có

a b c 2a 4b c 2a  4b  c 119
  

 

7
2 4 5 6 16 5 6  16  5
17

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

20


Hướng dẫn học sinh lớp 7 biết cách vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng
nhau để giải các dạng toán tìm các số x, y z
Do đó:
a
 7 � a  21
3
b
 7 � b  28
4
c
 7 � c  35
5
Thử lại các giá trị trên ta thấy thoả mãn.
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A, 7B, 7C lần lượt là 21 cây, 28 cây,
35 cây.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7; 8; 9 chuyển được 912 m 3
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7; 8; 9 theo thứ tự làm được 1,2 m 3; 1,4 m3;
1,6 m3.
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3; số học sinh khối 8 và khố 9
tỉ lệ với 4 và 5. Tính số học sinh của mỗi khối .
Giải:
Gọi số học sinh của khối 7; 8; 9 lần lượt là x; y; z (học sinh)( x; y; z là
số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2x
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4y

Số đất khối 9 chuyển được là 1,6z
Theo bài, ta có

x y y z
 ; 
1 3 4 5

Và 1,2x + 1,4y + 1,6z = 912. Giải ra ta được x = 80, y = 240, z = 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn.
Vậy số học sinh của khối 7; 8; 9 lần lượt là 80 học sinh, 240 học sinh,
300 học sinh.

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm To¸n 7

21