HSG lớp 8 vòng 1.doc

đề thi khảo sát học sinh giỏi
Năm học 2005-2006
Môn: toán 8
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (2đ):
a/. Chứng minh rằng: Với x, y nguyên thì
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y
4
là một số chính phơng.
b/. Cho x > y > z. Chứng minh rằng:
P = x
4
(y z) + y
4
(z x) + z
4
(x y) luôn là số dơng
Câu 2 (2đ):
a/. Cho a, b, c 0; a
2
+ 2bc 0; b
2
+ 2c 0; c
2
+ 2ab 0 và ab + bc + ca 0
Tính giá trị của biểu thức:
b/. Cho biểu thức với x Z
b1/. Rút gọn
b2/. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Câu 3 (2đ):
a/. Cho 2 số x, y thoả mãn

Tìm x, y để tích x.y đạt giá trị nhỏ nhất
b/. Tìm tất cả các tam giác vuông có cạnh là các số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi
Câu 4 (2đ):
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Lấy điểm K trên AM sao cho AK:AM = 1:3, biết
BK cắt AC tại N.
a/. Tính diện tích tam giác AKN , biết diện tích tam giác ABC là S.
b/. Một đờng thẳng qua K cắt cạnh AB và AC ở I và J. Chứng minh rằng:
Câu 5 (2đ):
Tìm tất cả các số chính phơng có không ít hơn 3 chữ số, biết rằng khi bỏ bớt 2 chữ số
của nó thì số còn lại (giữ nguyên thứ tự) cũng là 1 số chính phơng.
đáp án đề thi khảo sát học sinh giỏi
abc
c
acb
b
bca
a
S
222
2
2
2
2
2
2
+
+
+
+
+

=
242
22
234
234
+
+
=
xxxx
xxxx
S
4
4
1
2
2
2
2
=++
y
x
x
6
AC
AI
AB
=+
AJ
Năm 2005-2006
Môn: toán 8

Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (2đ):
a/. A = {( x + y) (x + 4y)}{ (x + 2y)(x + 3y)}
= (x
2
+ 5xy + 4y
2
) (x
2
+ 5xy + 6y
2
)
= (x
2
+ 5xy + 4y
2
)
2
+ 2(x
2
+ 5xy + 4y
2
).y
2
+ y
4
= (x
2
+ 5xy + 5y
2

)
2
Vậy A là số chính phơng
b/. P = x
4
( y x +x z ) + y
4
( z x ) + z
4
(x y)
= ( x- y) ( z
4
x
4
) + ( z x ) ( y
4
x
4
)
= ( x- y ) ( z x ) ( z + x ) ( z
2
+ x
2
) + ( z x ) ( y x ) ( y + x ) ( x
2
+ y
2
)
= ( x- y ) ( z x ) [( x + z ) ( z
2

+ x
2
) ( y + x ) ( x
2
+ y
2
) ]
= ( x- y ) ( z x ) ( xz
2
+ x
3
+ z
3
+ x
2
z yx
2
y
3
x
3
xy
2
)
= ( x- y ) ( z x ) ( xz
2
xy
2
+ x
2

z yx
2
+ z
3
y
3
)
= ( x- y ) ( z x ) [ x( z y ) ( z +y ) + x
2
( z y) + ( z y ) ( z
2
+ zy + y
2
) ]
= ( x- y ) ( z x ) ( z y ) ( x
2
+ y
2
+ z
2
+ xy + yz + zx )
= ( x- y ) ( y z ) ( x z ) [ ( x +y )
2
+ ( y + z )
2
+ ( z +x)
2


]

2
Vì x > y > z P > 0.
Câu 2 : a) Phân tích a
2
+ 2bc = a
2
2ab 2ac = a( a- 2b -2c ) = a [ 3a -2( a+b + c ) ]
b
2
+ 2ac = b
2
- 2ab - 2bc = b( b - 2a - 2c ) = b [ 3b 2 (a+b+c) ]
c
2
+ 2ab = c
2
- 2bc - 2ca = c(c-2b - 2a ) = c [ 3c 2( a+b +c ) ]

+ Ta có S =
Với t = 2 ( a + b +c )
P =

=
=

0.25
0.25
0.25
0.25
0.75

0.25
0.25
tc
c
tb
b
ta
a

+

+

333
)3)(3)(3(
)3)(3()3)(3()3)(3(
tctbta
tbtactctatctba

++
)3)(339(
)3)(3()3)(3()3)(3(
2
tctbtatab
tbctactcbtabtcatab
+
++
3222
222
33939927

339339339
tctbtbctatactabtabc
ctbctactabcbtbctabtabcatactabtabc
+++
+++++
32
2
)(3)(927
)()(627
tcbatcabcabtabc
cbatcabcabtabc
+++++
+++++
=
V× ab +bc +ca = 0
Nªn P =
b. TS = x
4
+x
3
+ x
2
–– 2x-2 = x
2
(x
2
+ x +1) – 2 (x
2
+x +1) = (x
2

- 2)(x
2
+ x +1)
MS = x
4
-2x
2
+ 2 x
3
– 4x + x
2
-2 = (x
2
- 2) ( x +1 )
2
⇒ P = ( víi
1,
−≠∈
xZx
)
Ta cã P =
DÊu “ = ” khi
VËy P
min
=3/4 khi x = 1
C©u 3 :
a, Ta cã 2x
2
+
v×

DÊu “=” khi
Khi ®ã xy
min
= -2
b) Gäi x, y, z lµ c¹nh ∆ vu«ng
Ta cã 1≤ x ≤ y ≤ z theo bµi ta cã x
2
+ y
2
= z
2
(1)
vµ xy = 2 ( x + y +z) (2)
Tõ (1) ⇒ z
2
= ( x +y )
2
– 2xy = ( x +y)
2
- 4 ( x+y +z)
⇔ ( x+y )
2
- 4 ( x+y ) + 4 = z
2
+ 2z +4
⇔ ( x +y -2 )
2
= ( z +2)
2

⇒ x +y -2 = z +2 ( Do x+y ≥ 2 )
⇔ z = x +y - 4. Thay vµo (2) ta cã : ( x – 4) ( y – 4 ) = 8 v× x – 4 ≤ y – 4 nªn

0.75
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
[ ]
1
)(27
)(27
)(2)(327
)(27
2
2
2
2
=
+++
+++
=
++−+++
+++

cbatabc
cbatabc
cbacbatabc
cbatabc
( )
2
2
1
1
+
++
x
xx

4
3
4
3
1
1
2
1
)1(
1
1
1
1
)1(
1)1(12
2

22
2
≥+






+
−=
+
+
+
−=
+
++−++
x
x
x
x
xxx
1
1
1
2
1
=⇔
+
=

x
x
.2020
2
,0
1
2
2
1
2
4
1
24
4
1
22
22
2
2
2
2
2
2
−≥⇒≥+⇒≥







+≥






−
+=






++






−⇔
+=









+++






+−⇔=+
xyxy
y
x
x
x
xy
y
x
x
x
xy
y
xyx
x
x
y
x




=
=
⇒



=−
=−
⇒
12
5
84
14
y
x
y
x










=
−=




−=
=
⇔



−=
=
⇔



=+
=−
2
1
2
1
2
1
02/
0/1
2
y
x
y
x
xy

x
yx
xx
hoặc



=
=
44
24
y
x
hoặc



=
=
8
6
y
x
Vậy ( x, y , z) = ( 5, 12, 13) hoặc ( 6 , 8, 10)
Câu4 :
b/. Kẻ BD // IJ; CE // IJ; D, E AM
Ta có BMD = CME MD = ME
Ta có AE + AD = AM MD + AM + ME = 2AM
áp dụng định lý Talet vào AIK, AKJ với IK // BD, KJ // CE ta có:
6

2
;
==+=+==
AK
AM
AK
AE
AK
AD
AJ
AC
AI
AB
AK
AE
AJ
AC
AK
AD
AI
AB
Câu 5:
+ Gọi số cần tìm là x
2
= Mab
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25

0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
B
C
M
P
K
Gọi P là trung điểm NC MP là đường trung bình của BNC
MP // BN, KN // MP và AN = NP = PC
Đồng thời AKN AMP
S
AKN
/ S
AMP
= (AK/ AM )
2
= (1/3)
2
= 1/9
S
AKN
= 1/9 S
AMP
Mặt khác S
AMP
= 2/3 S
AMC

; S
AMC
= 1/2 S
ABC
S
AMP
= 1/3 S
ABC
Do đó :S
AKN
= 1/27 S
ABC
I
J
D
E
A
N
(M, a, b , x ∈ N, M > 0, a, b lµ c¸c ch÷ sè)
⇒ M = y
2
, ( y ≥ 1)
+ Ta cã x
2
= (10y)
2
+ ab
⇒ x ≥ 10y
+ NÕu y ≥ 5 ⇒ (10y)
2

≤ x
2
≤ (10y)
2
+ 20y +1 = (10y + 1)
2
⇒ x
2
= (10y)
2
⇔ ab = 0
⇒ x
2
cã d¹ng y
2
00
+ NÕu y < 5 , thö 4 trêng hîp:
. víi y = 1 ⇒ 100 ≤ x
2
≤ 199 ⇒ x
2
= 100; 121; 144; 169; 196

. víi y = 2 ⇒ 400 ≤ x
2
≤ 499 ⇒ x
2
= 400; 441; 484
. víi y = 3 ⇒ 900 ≤ x
2

≤ 999 ⇒ x
2
= 900; 961
. víi y = 4 ⇒ 1600 ≤ x
2
≤ 1699 ⇒ x
2
= 1600; 1681
+ KL : Sè cÇn t×m lµ tÊt c¶ c¸c sè d¹ng y
2
00 ; (y ≥ 1) vµ c¸c sè 121; 144; 169; 196; 441;
484; 961; 1681.

0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25