tìm m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước tiết 1

TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƢỚC – TIẾT 1

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

MÔN TOÁN LỚP 12

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. LÝ THUYẾT – PHƢƠNG PHÁP LÀM BÀI
I. Hàm đa thức bậc ba
1. Đặt vấn đề
Cho y  f  x, m   ax3  bx 2  cx  d  a  0
Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  a; b  , tương tự cho đoạn  a; b hay khoảng

 ; a , b;   ...
Với K   a; b   , hàm số xác định và liên tục trên K .
Yêu cầu bài toán chính là tìm m để bất phương trình y '  0 hoặc y  0 đúng x  K .
2. Giải quyết bài toán
*) Hướng đi I: Tách được tham số m  Phương pháp cô lập tham số
Bước 1: Tính y ', xem yêu cầu bài toán y '  0 hay y '  0 x  K
Bước 2: Cô lập m và đưa bài toán về 1 trong 2 dạng:

h  m   g  x  đúng x  K
h  m   g  x  đúng x  K
Bước 3: Xét hàm số g  x  , tính g '  x  , giải g '  x   0 và kẻ bảng biến thiên để tìm max g  x  hoặc min g  x 
trên K .
Bước 4: Nhìn bảng biến thiên và kết luận theo quy tắc “Lớn hơn số lớn, bé hơn số bé”
h  m   g  x  x  K  h  m   max g  x 
K

h  m   g  x  x  K  h  m   min g  x 
K

Chú ý:
+ Dấu hiệu cô lập: nếu chỉ thấy m bậc nhất
+ Khi chia hai vế bất phương trình cần chú ý điều kiện của x
+ Hàm số đơn điệu trên  a; b  nếu liên tục tại a và b thì đơn điệu trên  a; b
+ Hàm số liên tục trên đoạn  a; b luôn tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất  max, min  trên đoạn đó

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Nếu hàm số luôn tăng hoặc giảm trên  a; b thì giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất đạt được tại hai đầu mút a và

b.
*) Hướng đi II: Không tách được tham số m  Phương thức tam thức bậc hai (Delta và Vi-et)
Ta có: y '  f '  x, m   Ax 2  Bx  C
TH1: Xét A  0 xem có thỏa mãn yêu cầu bài toán không?
TH2: Xét A  0, tính   B2  4 AC và chia các trường hợp:
)   0 : y ' luôn cùng dấu với A
A  0 thì y '  0 x 

nên hàm số đồng biến trên

A  0 thì y '  0 x 

nên hàm số nghịch biến trên

suy ra hàm số đồng biến trên  a; b 
suy ra hàm số nghịch biến trên  a; b 

)   0 thì y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và đổi dấu khi qua hai nghiệm. Sơ đồ miền nghiệm S của

bất phương trình như ở dưới, để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì  a; b   S

Lúc đó bài toán đưa về dạng “So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai f  x   Ax 2  Bx  C  0 với một số
thực  hoặc hai số thực    bất kì”.
  0

x2  x1     x1  x2  2
 x  x   0
 2 
 1
  0

x1  x2     x1  x2  2
 x  x   0
 2 
 1
  0
x1    x2  
 x1    x2     0
  0

x1      x2   A. f    0

 B. f     0

  0
2  x  x  2
1
2

  x1  x2    
 x1    x2     0
 x    x     0
2
 1

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Có thể thay thế  x1    x2    bởi A. f  
*) Với y '  Ax2  Bx  C  0 có hai nghiệm x1 , x2
Nếu đặt t  x  a, khi đó bài toán trở thành g  t   0 có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:
  0

x2  x1  0  t2  t1  0   S  0
P  0

  0

x1  x2  0  t1  t2  0   S  0
P  0


x1    x2  t1  0  t2  P  0

*) y '  Ax2  Bx  C  0
Trong trường hợp đặc biệt, ta có thể nhẩm nhanh ra các nghiệm nhờ các kí hiệu:
)  là số chính phương

+) Tổng và tích dễ đoán dạng X 2  SX  P  0
) A  B  C  0  x1  1 ; x2 

C
A

) A  B  C  0  x1  1 ; x2  

C
A

II. Hàm đa thức bậc bốn trùng phƣơng
1. Đặt vấn đề
Cho y  f  x, m   ax 4  bx 2  c  a  0
Tìm m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  a; b  , tương tự cho đoạn  a; b hay nửa khoảng

 ; a , b;   ...
Với K   a; b   , hàm số xác định và liên tục trên K
Yêu cầu bài toán chính là tìm m để bất phương trình y '  0 hoặc y '  0 đúng x  K .
2. Giải quyết bài toán
Hướng đi: Thường là tách được tham số m  Phương pháp cô lập tham số
Tương tự như đã xét với hàm bậc ba
Ngoài ra có thể xét các trường hợp về dấu các hệ số a, b,... , lập bảng biến thiên và nhờ vào tính chất của đồ thị
để làm bài.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Việc tìm max, min ngoài đạo hàm có thể nhờ vào bất đẳng thức, máy tính trợ giúp,…
Với một số hàm:
+ Hàm kết hợp đa thức, phân thức
+ Hàm chứa căn
+ Hàm lượng giác…
Ta vận dụng các phương pháp đã học kết hợp tính chất của từng hàm số để đánh giá.
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Dạng 1: Hàm đa thức bậc ba
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3x 2  mx  1 đồng biến trên khoảng

 0;   .
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên

, do đó xác định trên  0;  

Ta có: y '  3x 2  6 x  m
Cách 1: Cô lập m
+ Hàm số đồng biến trên  0;    y '  0 x   0;  
 3x 2  6 x  m  0 x   0;  
 m  3x 2  6 x  g  x  x   0;  
 m  max g  x 
 0; 

+ Xét hàm số g  x   3x 2  6 x, x   0;  

g '  x   6 x  6, g '  x   0  x  1
Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán: m  max g  x   m  3
 0; 

Vậy m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
*) Chú ý: Ta cũng có thể đánh giá bậc hai như sau:

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Ta có:

g  x   3x 2  6 x  3  x 2  2 x 
2
 3  x 2  2 x  1  1  3  x  1  1  3


 max g  x   3  x  1  0;  

 0; 

Cách 2: Sử dụng   Vi  et
Ta có: y '  3x 2  6 x  m
Hàm số đồng biến trên  0;    y '  0 x  0 1

Ta có:  ' y '  9  3m
+ TH1:  '  0  9  3m  0  m  3
Do a  3  0 nên y '  0 x 
Hàm số đồng biến trên

nên đồng biến trên  0;  

 m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
+ TH2:  '  0  9  3m  0  m  3
Khi đó y '  0 có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt  x1  x2 
Khi đó bất phương trình 1 có sơ đồ miền nghiệm là:

Ta có: y '  0 đúng x   0;     0;    S

 x1  x2  0   '  0, S  0, P  0
Do S  2  0 m nên trường hợp này loại
Vậy m  3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3  3x 2  3mx  1 nghịch biến trên khoảng

 0;  
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  0;  
Ta có: y '  3x2  6 x  3m

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Hàm số nghịch biến trên  0;    y '  0  x   0;  

 3x 2  6 x  3m  0 x   0;  
  x 2  2 x  m  0 x   0;  
 m  x 2  2 x  g  x  x   0;  
 m  min g  x 
 0; 

Xét hàm số g  x   x 2  2 x, x   0;  

g '  x   2 x  2, g '  x   0  x  1
Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  m  1
Kết luận: Vậy m  1.
1
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  x 2  mx  1 nghịch biến trên đoạn  0; 2.
3

Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  0; 2
Ta có: y '  x 2  2 x  m
Hàm số nghịch biến trên 0;2  y '  0 x  0;2
 x 2  2 x  m  0 x   0; 2
 m  x 2  2 x  g  x  x   0; 2
 m  max g  x 
0;2

Xét hàm số g  x   x 2  2 x, x  0;2

g '  x   2 x  2, g '  x   0  x  1 0;2

Bảng biến thiên:

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Yêu cầu bài toán  m  8
Kết luận: Vậy m  8.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  2mx 2   m  1 x  1 đồng biến trên nửa
khoảng  ; 1.
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  ; 1
Ta có: y '  3x2  4mx  m  1
Hàm số đồng biến trên  ; 1  y '  0 x   ; 1
 3x 2  1  4mx  m x   ; 1
 3x 2  1  m  4 x  1 x   ; 1

 4x 1  0

3x 2  1
 g  x  x   ; 1
4x 1
 m  max g  x 
m

  ;1

Xét hàm số g  x  
g ' x 

3x 2  1
, x  1
4x 1

12 x 2  6 x  4

 4 x  1

2

 0 x  1

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  m  

2
3

2
Kết luận: Vậy m   .
3
7 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3   m  1 x 2   m  3 x  4 đồng biến trên
3
khoảng  0;3 .

Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  0;3
Hàm số đồng biến trên  0;3  y '  0 x   0;3

  x2  2  m  1 x  m  3  0 x   0;3 1
Do hàm số liên tục tại x  0, x  3 nên 1  y '  0 x  0;3

 m  2 x  1  x 2  2 x  3 x   0;3

 2x  1  0

x2  2 x  3
 g  x  x   0;3
2x 1
 m  max g  x 
m

0;3

Xét hàm số g  x  
g ' x 

x2  2 x  3
, x   0;3
2x 1

2 x2  2 x  8

 2 x  1

2

 0 x   0;3

Bảng biến thiên:

Yêu cầu bài toán  m 
Kết luận: Vậy m 

12
7

12
.
7

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3   m  1 x 2   2m2  3m  2  x  2 đồng biến
trên nửa khoảng  2;   .
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  2;  

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Hàm số đồng biến trên  2;    y '  0 x   2;   1 (không cô lập được m )
 3x2  2  m  1 x   2m2  3m  2   0 x  2

Ta có:  ' y '   m  1  3  2m2  3m  2   7m2  7m  7  7  m2  m  1  0 m
2

Do đó phương trình y '  0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m
Giả sử x1  x2 : x1 

m 1  '
m 1  '
; x2 
3
3

Bất phương trình 1 có miền nghiệm S như sau:

Ta có: y '  0 đúng x   2;     2;    S  x1  x2  2
Cách 1: Giải bất phương trình chứa căn delta

m 1  '
 2   '  5  m   '  0 m 
3
5  m  0
m  5
 2
2  
2
 2m  m  6  0
7m  7m  7   5  m 
x2  2 

m  5

3


3  2  m 
2
2  m  2
Cách 2: Sử dụng dấu tam thức bậc hai + Vi-et
y '  3 x 2  2  m  1 x   2m 2  3m  2 
 '  0  m 
 x1  x2  4

x1  x2  2   x1  x2  4

 x1 x2  2  x1  x2   4  0
 x 2 x 2 0

 1  2
2
 3  m  1  4
m  5



2
2
2m  m  6  0
 2m  3m  2  4  m  1  4  0

3
3

m  5
2


2  2  m 
3
2  m  3

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


2
Kết luận: Vậy 2  m  .
3
1
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3   m  2  x 2  m  m  3 x  1 nghịch biến
3
trên khoảng  ;1 .

Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  ;1
Hàm số nghịch biến trên  ;1  y '  0 x   ;1

  x2  2  m  2 x  m  m  3  0 x  1 1
Ta thấy không cô lập được m về một bên
Ta theo hướng đi II là tính  ' kết hợp với Vi-et
Ta có:  ' y '   m  2   m  m  3  4  m
2

Ta lần lượt xét các trường hợp của  ' :
TH1:  '  0  m  4
Do a  1  0 nên y '  0 x  , khi đó hàm số nghịch biến trên

nên nghịch biến trên  ;1

Vậy m  4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
TH2:  '  0  m  4
Khi đó y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (giả sử x1  x2 )
Bất phương trình 1 có sơ đồ miền nghiệm S như sau:

Ta có y '  0 đúng x   ;1   ;1  S  1  x1  x2
Cách 1: Giải bất phương trình chứa căn delta

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


  m  2   '
 1   m  2   '  1
1
m  4

3  m  4
  '  m  3  m  3
 2
m  5m  5  0


2
4  m   m  3
3  m  4

  m  5  5
5 5
 

m4
2

2

m  5  5
 
2
x1  1 

Vậy

5 5
 m  4 thỏa mãn TH2
2

Cách 2: sử dụng dấu tam thức bậc hai + Vi-et

y '   x 2  2  m  2  x  m  m  3
 '  0
 '  0



1  x1  x2   x1  x2  2
  x1  x2  2
 x 1 x 1  0
x x  x  x 1  0
 1  2 
 1 2  1 2
m  4
m  4


 2  m  2   2
 m  3

m 2  5m  5  0

 m  m  3  2  m  2   1  0
3  m  4

  m  5  5
5 5
 

m4
2

2

m  5  5
 

2
Vậy

5 5
 m  4 thỏa mãn TH2
2

Tổng kết hai trường hợp:

5  5

5 5
 m  4m  4  m 
;  
2
 2


5  5

;   thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Kết luận: m  
 2

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3  m  1 x 2  3  m  2  x  1 đồng biến trên
mỗi khoảng có hoành độ thỏa mãn 1  x  2.

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

Giải:
Tập xác định: D 

1  x  2  x   2; 1  1; 2
y '  3x 2  6  m  1 x  3  m  2   m  6 x  3  3x 2  6 x  6
Hàm số đồng biến trên mỗi đoạn  2; 1 và 1;2  y '  0 x   2; 1  1;2

y '  m  6 x  3  3x 2  6 x  6  0
x2  2 x  2
+ Trên  2; 1 : y '  0  m 
1
2x 1
+ Trên 1; 2 : y '  0  m 

x2  2 x  2
 2
2x 1

Xét f  x  

x2  2 x  2
trên  2; 1  1;2
2x 1

Có f '  x  

2 x2  2 x  2

 2 x  1

2

 0 x   2; 1  1; 2

Do đó, 1  m  f  1  1 ;  2   m  f 1  1
Kết hợp ta có: m  1
Kết luận: m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 9: Cho hàm số sau: y  x3  3mx 2  3  m2  1 x  2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số
trên:
a) Đồng biến trên khoảng  ;0 

b) Đồng biến trên khoảng 1;  

c) Nghịch biến trên khoảng  0;1

d) Nghịch biến trên đoạn  1;1
Giải:

y  x3  3mx 2  3  m2  1 x  2

Hàm số đã cho xác định trên

y '  3x 2  6mx  3  m 2  1
y '  0  x 2  2mx  m 2  1  0
 '  m 2   m 2  1  1  0 m
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m

12

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Giả sử x1  x2 , ta có: x1  m  1 ; x2  m  1
Bảng biến thiên:

a) Hàm số đồng biến trên khoảng  ;0   y '  0 đúng x   ;0 

  ;0   ; x1   x1  0  m  1  0  m  1
Vậy m  1.
b) Hàm số đồng biến trên khoảng 1;    y '  0 đúng x  1;  

 1;     x2 ;    x2  1  m  1  1  m  0
Vậy m  0.
c) Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;1  y '  0 đúng x   0;1

x  0
m  1  0
m  1
  0;1   x1; x2    1


 0  m 1
m  0
 x2  1 m  1  1
Vậy 0  m  1.
d) Hàm số nghịch biến trên đoạn  1;1  y '  0 đúng x   1;1

 x  1 m  1  1 m  0

  1;1   x1; x2    1


m0
m  1  1
m  0
 x2  1
Vậy m  0.
Bài 10: Cho hàm số sau: y  2 x3  9mx 2  6  2m2  m  1 x  3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số
trên:
a) Nghịch biến trên khoảng  ;1

b) Nghịch biến trên khoảng  2;  

c) Đồng biến trên khoảng  0; 2 

d) Đồng biến trên đoạn  2; 2
Giải:

y  2 x3  9mx 2  6  2m2  m  1 x  3.

Hàm số đã cho xác định trên

13

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


y '  6 x 2  18mx  6  2m 2  m  1
y '  0  x 2  3mx  2m 2  m  1  0 1

  9m2  4  2m2  m  1  m 2  4m  4   m  2   0
2

+) Với m  2 thì   0, a  0 : Hàm số nghịch biến trên
Như vậy: m  2 thỏa mãn các câu a, b
+) Với m  2 thì 1 có hai nghiệm phân biệt: x  m  1 ; x  2m  1
Bảng biến thiên:

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;1  y '  0 đúng x   ;1   ;1   ; x1   x2  x1  1
Cách 1: Ta sử dụng Vi-et:
2

 x1  x2  2
3m  2


m 



m2
3
 m  2  .2m  0
 x1  1 x2  1  0



m  0  m  2

Vậy m  2 ; m  2.

Cách 2: x2  x1  1. Ta chia hai trường hợp và thay trực tiếp nghiệm

 m  2

 2m  1  m  1  1   m  2


m2
 m  1  2m  1  1  m  2

 m  0
Vậy m  2 ; m  2.
b) Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;    y '  0 đúng x   2;  

  2;     x2 ;    x1  x2  2
Cách 1: Ta sử dụng Vi-et:
4

m

x

x

4
3
m

4



1
 1 2


3



m
2


 m  3 2m  1  0
 x1  2  x2  2   0
m  1  m  3


2

14

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1
Vậy m  ; m  2.
2

Cách 2: x1  x2  2. Ta chia hai trường hợp và thay trực tiếp nghiệm:

 m  2

 m  2
 m  3
2
m

1

m

1

2

1

  m  2  
m
1
 2  m 
2

 m  1  2m  1  2

2
 m  1
 
2

1
Vậy m  ; m  2.
2

c) Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2   y '  0 đúng x   0; 2 

  0;2    x1; x2   x1  0  2  x2
Ta chia hai trường hợp và thay trực tiếp nghiệm:
 m  1  0

 2m  1  2

  2m  1  0

 m  1  2

Vậy

 m  1

 m  1
1
 
2

  m 1
2
 m   1
2


 m  3


1
 m  1.
2

d) Hàm số đồng biến trên đoạn  2;2  y '  0 đúng x   2; 2

  2;2   x1; x2   x1  2  2  x2
 m  1

 m  1  2
 m  1

2
m

1

2
 

2


 m 
Ta chia hai trường hợp và thay trực tiếp nghiệm 
 2m  1  2
3




m  
2

 m  1  2
 m  3

Vậy không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
DẠNG 2: HÀM BẬC BỐN TRÙNG PHƢƠNG

15

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x4  2  m  1 x 2  m  2 đồng biến trên khoảng

1;3 .
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên 1;3
Ta có: y '  4 x3  4  m  1 x
Hàm số đồng biến trên 1;3  y '  0 x  1;3

 x2   m  1  0 x  1;3  m  x 2  1  g  x  x  1;3
 m  min g  x  ( g  x  đồng biến trên 1;3 )
1;3

 m  g 1  2

Vậy m  2.
Bài 12: Tìm giá trị nguyên của m  20;20 để hàm số y   x 4  4  3m  2  x 2  2m  1 đồng biến trên khoảng

 ; 2 .
Giải:
Hàm số đã cho xác định trên  ; 2 
Ta có: y '  4 x3  8  3m  2  x
Hàm số đồng biến trên  ; 2   y '  0 x   ; 2

 x 2  2  3m  2   0 x   ; 2
 2  3m  2   x 2 x   ; 2
 2  3m  2   min x 2  4
  ;2

m

4
3

m   20; 20
 Có 22 giá trị m thỏa mãn.
Kết hợp với 
m 
DẠNG 3: MỘT SỐ HÀM KHÁC
Bài 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  mx 

1
đồng biến trên khoảng  0;   .
3x

Giải:

16

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Hàm số đã cho xác định trên  0;  
Ta có: y '  3x 2  m 

1
3x 2

Hàm số đồng biến trên  0;    y '  0 x  0
1 

 m    3x 2  2   g  x  x  0
3x 

 m  max g  x 
 0; 

Theo bất đẳng thức Cô-si: 3x 2 
Dấu “=” xảy ra khi 3x 2 

1
1
 2 3x 2 . 2  2
2
3x

3x

1
1
x
0
2
3x
3

1 

   3x 2  2   2  g  x   2
3x 

 max g  x   2  m  2
 0; 

Vậy m  2.
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 2  4mx  4m2  1 nghịch biến trên khoảng

 ; 2 .
Giải:
Ta có: x 2  4mx  4m2  1   x  2m   1  0 (luôn đúng) nên hàm số đã cho xác định trên
2

Ta có: y ' 

2 x  4m
2 x  4mx  4m  1

2

2



.

x  2m
x  4mx  4m2  1
2

Hàm số nghịch biến trên  ;2   y '  0 x  2
 x  2m  0 x  1  m  

x
x  2  m  1
2

Vậy m  1.
1
1
Bài 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx  sin x  sin 2 x  sin 3x đồng biến trên
4
9
.

Giải:
Hàm số đã cho xác định trên

17

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1
1
Yêu cầu bài toán  y '  m  cos x  cos 2 x  cos 3x  0 x 
2
3
 m  cos x 

1
1
2cos2 x  1   4cos3 x  3cos x   0 x 

2
3

Đặt u  cos x, u   1;1
4
1
Yêu cầu bài toán  m  g  u    u 3  u 2  đúng u   1;1
3
2

Ta có: g '  u   4u 2  2u
Giải g '  u   0  u  

1

; u0
2

Bảng biến thiên:
Yêu cầu bài toán  m  max g  u   g  1 
1;1

Vậy m 

5
5
m
6
6

5
6

C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3  6 x 2   4m  9  x  4 nghịch biến trên
khoảng  ; 1 .
3
Đáp số: m   .
4

Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  2 x3  2 x2  mx  1 đồng biến trên khoảng

1;   .
Đáp số: m  2.
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3x 2   m  1 x  4m nghịch biến trên đoạn

 1;1 .
Đáp số: m  10.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx3  x2  3x  m  2 đồng biến trên khoảng

 3;0  .
Đáp số: m  

4
.
27

Ta có: y '  3mx2  2 x  3

18

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


 y '  0  3mx 2  2 x  3  0 *

TH1: Với m  0  *  2 x  3  0  x 

3
2

3

 Hàm số đã cho ĐB trên  ;   m  0 thỏa mãn bài toán.
2



TH2: Với m  0

 y '  0 m

+) Hàm số đã cho ĐB trên

m  0
m  0
m  0
1




1 m .
9
 '  0
1  9m  0
m  9
m

1
thỏa mãn bài toán.
9

+) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  3;0  .

 y '  0 x   3; 0 

 3mx 2  2 x  3  0 x   3; 0 
 3mx 2  2 x  3 x   3; 0 
2x  3
x   3; 0 
3x 2
2x  3
 m  Max
 3; 0  3 x 2
m

Xét hàm số f  x  

f ' x  

2x  3
ta có:
3x 2

6 x 2  6 x  2 x  3
9x

4



6 x  12 x  18 2 x  6

9 x3
3x3

 f '  x   0  2 x  6  0  x  3   3; 0 

Ta có bảng xét dấu:

19

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


1
m .
3
Kết hợp 2 TH ta được m  

1
thỏa mãn bài toán.
3

1
Bài 5: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  mx3  2  m  1 x 2   m  1 x đồng biến trên
3
nửa khoảng  2;  

Đáp số: m 

9
.
13

1

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3   2m  1 x 2   m  1 x  2 nghịch biến
3
trên khoảng  0;1 .

y '  x 2  2  2m  1 x  m  1
 y '  0  x 2  2  2m  1 x  m  1  0 *
Hàm số đã cho NB trên  0; 1  * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  0  1  x2

 2m  12  m  1  0
 '  0


  x1 x2  0
 m  1  0
 x 1 x 1  0

 1  2 
 x1 x2   x1  x2   1  0

5
m  4

 4m 2  4m  1  m  1  0
 4 m 2  5m  0
m  0



 m  1
 m  1

 m  1  m  1
 m  1  2 2m  1  1  0
5m  0
m  0








Đáp số: m  1.
Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 
nửa khoảng  2;   .

y

m 3
x   m  1 x 2  3  m  2  x  1 đồng biến trên
3

m 3
x   m  1 x 2  3  m  2  x  1 đồng biến trên nửa khoảng  2;   .
3

20

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!

y  mx 2  2  m  1 x  3  m  2 
 y  0
 mx 2  2  m  1 x  3  m  2   0 *

TH1: m  0
 *  2 x  6  0  x  3

 Hàm số ĐB trên  3;   m  0 không thỏa mãn.
TH2: Với m  0
Phương trình (*) có:
   m  1  3m  m  2 
2

 m2  2m  1  3m2  6m
  2m 2  4m  1

+) Hàm số đã cho ĐB trên R
m  0
m  0


2
   0
2m  4m  1  0
m  0

  m  2  6
2 6
 

m
2
2
 
2

6
m 
 
2

m

2 6
thỏa mãn.
2

+) Hàm số đã cho ĐB trên  2;   * có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  2

21

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


m  0
m  0
   0
2m 2  4m  1  0





 x1  2  x2  2   0
 x1 x2  2  x1  x2   4  0
 x1  x2  4
 x1  x2  4
m  0



2 6
2 6
2  6  m  2  6
0  m 
0  m 
2
2
 2
2



  3m  6
 3m  6  4m  4  4m  0  3m  2
2m  2

2.

4


0

 2m  2  4m  0
2m  2
m
 m




 2m  2
 m  4
Kết hợp 2 TH ta được m 

2
thỏa mãn bài toán.
3

Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  3x 2   m  1 x  4m đồng biến trên mỗi
khoảng  ; 2  và  2;  

y '  3x 2  6 x  m  1
 y '  0  3 x 2  6 x  m  1  0  *
TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên

 '  0

 9  3 m  1  0  m  2

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên mỗi khoảng  ; 2  và  2;  

 * có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 2  x1  x2  2

 '  0
9  3  m  1  0


  x1  2  x2  2   0   x1 x2  2  x1  x2   4  0


 x1  2  x2  2   0
 x1 x2  2  x1  x2   4  0

6  3m  0
m  2

m 1


 2.2  4  0  m  1  0
3

m  25  0

m 1

2.2

4

0

 3
m  2

  m  1   1  m  2
m  25


22

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Kết hợp 2 TH ta được m  1 thỏa mãn bài toán.
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  mx 2   2m2  7m  7  x  2 đồng biến trên
nửa khoảng  2;   .
5
Đáp số: 1  m  .
2

Bài 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 
khoảng 1;3 ?

2 3
x   2m  3 x 2  2  m2  3m  x  1 nghịch biến trên
3

Đáp số: 2 giá trị, m 3; 4.
1
1
Bài 11: Cho hàm số y  x3   2m  1 x 2   m2  m  2  x  1 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên

3
2
để hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 2  . Tính tổng các phần tử của S .

Ta có:
y '  x 2   2m  1 x  m 2  m  2
 y'  0
 x 2   2m  1 x  m2  m  2  0 *

Hàm số đã cho NB trên 1; 2 
 * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  1  2  x2

  0

  x1  1 x2  1  0

 x2  2  x2  2   0
 2m  12  4  m 2  m  2   0

  x1 x2   x1  x2   1  0

 x1 x2  2  x1  x2   4  0
 4m 2  4m  1  4m 2  4m  8  0

  m 2  m  2  2m  1  1  0
 m 2  m  2  2 2m  1  4  0



9  0 m

0  m  3

 m 2  3m  0

 1  m  3.
1  m  4
m 2  5m  4  0

Lại có m   m  1; 2; 3  S  1  2  3  6.

23

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 12: Có tất cả bao nhiêu giá trị m nguyên dương để hàm số y  x3   3m  6  x 2   3m2  12m  x  4 đồng
biến trên khoảng  5;   ?
Đáp số: 1 giá trị, m  1.
Bài 13: Tìm số giá trị nguyên của m thuộc  20;20 để hàm số y  x3  3  m  1 x2   9m2  6m  x  1 nghịch
biến trên khoảng  2; 4  .
Ta có: y '  3x2  6  m  1 x  9m2  6m

y '  0  3x2  6  m  1 x  9m2  6m  0
 x2  2  m  1 x  3m2  2m  0 *

Hàm số đã cho NB trên  2; 4   y '  0 x   2; 4 

 y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  2  4  x2
  0


  x1  2  x2  2   0

 x1  4  x2  4   0
 m  12  3m 2  2m  0

  x1 x2  2  x1  x2   4  0

 x1 x2  4  x1  x2   16  0
m 2  2m  1  3m 2  2m  0

 3m 2  2m  2  2m  2   4  0

2
3m  2m  4  2m  2   16  0
4m 2  1  0 m

 3m 2  2m  8  0
3m 2  6m  24  0


4
m  3
 
m  4
   m  2  
 m  2
m  4

  m  2

m 
Lại có 
 m  20; 19;.....; 1; 2; 4; 5;....;19; 20
m   20; 20

 Có 36 giá trị của m thỏa mãn bài toán.

24

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 14: Tìm số giá trị nguyên của m thuộc  10;10 để hàm số y  2 x3  3  m  2  x 2  12mx  1 đồng biến
trên khoảng  3;   .
Đáp số: 14 giá trị.
Bài 15: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x 4  m2 x 2  m đồng biến trên khoảng  0; 4  .
Đáp số: m  0.
Bài 16: Tìm số giá trị nguyên của m thuộc  10;10 để hàm số y  x 4  8  m2  5 x 2  3m đồng biến trên
khoảng  3;   .





y  x 4  8 m 2  5 x 2  3m



 y  4 x 3  16 m 2  5



 y  0





 4 x3  16 m 2  5  0





 4 x x 2  4m 2  20  0 *
x  0
 2
2
 x  4m  20 1
TH1: Hàm số đã cho ĐB trên R
 1 vô nghiệm hoặc 1 có nghiệm kép x  0

 4m 2  20  0
 m2  5
 5m 5
 m  2; 1;0.

Lại có m 

TH2: Hàm số đã cho ĐB trên  3; 

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt $ \Leftrightarrow \left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt khác 0
 4m 2  20  0

 m2  5
m  5

 m   5

 x   4m2  20
Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt:  1
 x2  4m2  20
Hàm số đã cho ĐB trên  3; 

25

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!