tìm m để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước tiết 2

BÀI GIẢNG: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN MỘT KHOẢNG CHO TRƢỚC
(TIẾT 2)
"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlƣợnggiác dc ko ạ"

CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. LÝ THUYẾT – PHƢƠNG PHÁP LÀM BÀI
I. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
1. Đặt vấn đề

y  f  x; m  

ax  b
 ad  bc  0, a  0, c  0  .
cx  d

Tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng  ;   .
+ D

 d
\   .
 c

+ y '  f '  x; m  

ad  bc

 cx  d 

2

.

2. Giải quyết bài toán
a) Hàm số đồng biến trên  ;   .

ad  bc  0

 y '  0 x   ;  
 d  

 d
  c



;




 d
 c
  
  c
b) Hàm số nghịch biến trên  ;   .

ad  bc  0

 y '  0 x   ;  
 d  

 d
  c
    ;  
 d
 c
  
  c
1 Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Tƣơng tự
Khi hàm số đơn điệu trên  ;   thì:

d
d
d
   ;       hoặc    .
c
c
c
Khi hàm số đơn điệu trên  ;  thì 

d
d
  ;      .

c
c

Khi hàm số đơn điệu trên  ;   thì 

d
d
  ;       .
c
c

II. HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT

y  f  x; m  

ax 2  bx  c
.
dx  e

a. Hàm số đồng biến trên  ;   .
a ' x 2  b ' x  c '  0 x   ;  

 e
    ;  
 d

a. Hàm số nghịch biến trên  ;   .
a ' x 2  b ' x  c '  0 x   ;  

 e

    ;  
 d

III. HÀM PHÂN THỨC CHỨA LƢỢNG GIÁC
y  f  x; m  

au  x   b
; trong đó u  x   sin x, cos x, tan x, cot x...
cu  x   d

Tìm m để hàm số đơn điệu trên khoảng  ;  
Cách 1: Tính đạo hàm trực tiếp
Chú ý đạo hàm hàm hợp: y '  f '  u  .u '  x  .
Dấu của y ' phụ thuộc vào tích dấu f '  u  và u '  x  .

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Cách 2: Đổi biến
Đặt t  u  x  , với x   ;   thì t  D   t1; t2  .
+ Nếu t '  u '  x   0 x   ;   thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y  f  t  đơn điệu cùng chiều đề bài
trên D .
+ Nếu t '  u '  x   0 x   ;   thì yêu cầu bài toán trở thành tìm m để y  f  t  đơn điệu ngƣợc chiều đề
bài trên D .
B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
DẠNG 1: HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

x 1
đồng biến trên khoảng  ; 10  .
x  2m

Giải
+ D

\ 2m .

+ Ta có: y ' 

2m  1

 x  2m 

2

.

+ Hàm số đồng biến trên  ; 10 

1

2m  1  0
1
 y '  0 x   ; 10 
m  




2  5  m   .
2
2m  10
2m   ; 10 
m  5

1
+ Kết luận: 5  m   .
2
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

xm2
nghịch biến trên khoảng  5;   .
xm

Giải
+ D

\ m .

+ Ta có: y ' 

3

2m  2

 x  m

2

.

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Hàm số nghịch biến trên  5;  


2m  2  0
m  1
 y '  0 x   5;  



1 m  5.
m

5
m

5
m

5;








+ Kết luận: 1  m  5 .
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y 

x2
đồng biến trên nửa khoảng  ; 10 .
x  5m

Giải
+ D

\ 5m .

+ Ta có: y ' 

5m  2

 x  5m 

2

.

+ Hàm số đồng biến trên  ; 10

2

 y '  0 x   ; 10 5m  2  0
2
m 




5   m  2.
5
5m  10 m  2
5m   ; 10

Do m   m  1.
+ Kết luận: Có duy nhất 1 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y 

mx  20
nghịch biến trên nửa khoảng  0;   .
x  m 1

Giải
+ D

\ 1  m .

+ Ta có: y ' 

m2  m  20

 x  m  1

2

.

+ Hàm số nghịch biến trên  0;   .


m2  m  20  0
4  m  5
 y '  0 x  0;  



1 m  5 .
m

1
1

m

0
1

m

0;









4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Kết hợp m   m 2;3; 4 .
+ Kết luận: Có 3 giá trị nguyên m thỏa mãn.
Bài 5: Tính tổng các giá trị nguyên của m để hàm số y 

mx  2m  3
đồng biến trên khoảng 1;3 .
xm

Giải
+ D

\ m .

+ Ta có: y ' 

 m 2  2m  3

 x  m

2

.

+ Hàm số đồng biến trên 1;3 .
  m 2  2m  3  0
1  m  3
y
'

0

x

1;3







 m  1
 m  1
 1  m  1 .
m

1;3



m  3
m  3





Kết hợp m   m 0;1  S  0  1  1 .
+ Kết luận: S  1 .
Bài 6: Biết rằng tập  a; b  chứa tất cả các giá trị m thỏa mãn hàm số y 

 0; 2  . Tính giá trị biểu thức

mx  4m
nghịch biến trên khoảng
xm

P  a b .
Giải

+ D

\ m .

+ Ta có: y ' 

m 2  4m

 x  m

2

.

+ Hàm số nghịch biến trên  0; 2  .
 m 2  4m  0
0  m  4
y
'

0

x

0;
2







   m  0
 m  0  0  m  4 .
m   0; 2 
  m  2


  m  2


5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Vậy tập giá trị m thỏa mãn là  0;4   a  0, b  4
+ Kết luận: P  4 .
Bài 7: Cho hàm số y 
khoảng 1;   .

x  2m
. Tìm tập hợp S gồm tất cả các giá trị m thỏa mãn để hàm số đồng biến trên
mx  8

Giải
TH1: m  0 .
Khi đó y 

x
là hàm đồng biến trên
8

, do đó đồng biến trên 1;   . Vậy m  0 thỏa mãn.

TH2: m  0 .
+ D

 8
\   .
 m

+ Ta có: y ' 

8  2m 2

 mx  8

2

.

+ Hàm số đồng biến trên 1;   .
2  m  2
 y '  0 x  1;  
8  2m2  0



 8
 8
   m  8  0  m  2 .


1


1;






m  0
 m
 m


+ Kết hợp m   m  1 .
+ Kết luận: S  0;1 .
Bài 8: Cho hàm số y 

m2 x  5
. Tính tổng tất cả các giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến trên  3;   .
2mx  1
Giải

TH1: m  0 .
Khi đó y  5 là hàm hằng trên

, do đó không thể nghịch biến trên  3;   . Vậy m  0 bị loại.

TH2: m  0 .

6

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ D

 1 
\ 

.
 2m 

+ Ta có: y ' 

m2  10m

 2mx  1

2

.

+ Hàm số đồng biến trên  3;   .

0  m  10
 y '  0 x   3;  
m2  10m  0

1



 1
 1
 m  
 0  m  10 .
6
3
  3;  




 2m
 2m
  m  0
+ Kết hợp m   m 1; 2;3;...;9 .
+ Kết luận: T  45 .
DẠNG 2: HÀM PHÂN THỨC BẬC HAI TRÊN BẬC NHẤT
mx 2   6m  5 x  2 1  3m 
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 
nghịch biến trên 1;   .
x 1

Giải
+ D

\ 1 .

+ Hàm số nghịch biến trên 1;    y '  0 x  1 .



mx 2  2mx  7

 x  1

2

 0 x  1 .

 mx 2  2mx  7  0 x  1
 m  x 2  2 x   7 x  1  x 2  2 x  0 x  1
7
 g  x  x  1
x  2x
 m  min g  x 
m

2

1; 

+ Xét hàm số g  x   

7

7
x  1
x  2x
2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


g ' x 

7  2x  2

 x2  2 x 

2

 0 x  1 .

7
Yêu cầu bài toán  m   .
3

7
Kết luận: m   .
3
Bài 10: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

2 x 2  1  m  x  1  m
đồng biến trên 1;   .
xm

Giải
\ m .

+ D

+ Hàm số đồng biến trên 1;    y '  0 x  1 .



2 x 2  4mx  m2  2m  1

 x  m

2

 0 x  1 .

2 x 2  4mx  m2  2m  1  0 x  1

1
m

1

Cách 1:
+ Xét hàm số g  x   2 x2  4mx  m2  2m  1, x  1.
Ta có: g '  x   4 x  4m  4  x  m   4  x  1  0 .
 g  x  đồng biến trên 1;   .

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


m  3  2 2
2

min
g
x

0





g
1

m

6
m

1

0




Do đó 1  1; 

   m  3  2 2  m  3  2 2 .

m  1
m  1


m  1

Kết luận: m  3  2 2 .

Cách 2:

x  1;    m  1;    m  1.
Xét phương trình y '  0  2 x2  4mx  m2  2m  1  0
TH1: Hàm số đã cho ĐB trên

*

 '  0

 4m 2  2  m 2  2m  1  0
 2m 2  m 2  2m  1  0
 m 2  2m  1  0
  m  1  0
2

  m  1  0
2

 m  1  tm 
TH2: Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2   '  0  m  1.
Hàm số đã cho ĐB trên 1;   x1  x2  1
 x1  x2  2
2m  2


 x1 x2   x1  x2   1  0
 x1  1 x2  1  0
m  2


  m 2  2m  1
 2m  1  0


2
m  2
 2
 m  2m  1  4m  2  0
m  2

m  2
 2
 m  3  2 2
 m  6m  1  0

  m  3  2 2
 m  3  2 2.

Kết hợp 2 TH ta được m  3  2 2 thỏa mãn bài toán.

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


DẠNG 3: HÀM PHÂN THỨC CHỨA LƢỢNG GIÁC
Bài 11: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

tan x  2
đồng biến trên

tan x  m

 
 0;  .
 4

Giải
Cách 1: Đạo hàm trực tiếp
+ ĐK: tan x  m .
 
Khi x   0;   tan x   0;1 .
 4

+ Khi đó y ' 

m  2

 tan x  m 

2

.

1
.
cos 2 x

 
+ Hàm số đồng biến trên  0;  .
 4

m  2
m  2  0
y'  0
m  0



  

x   0;    
 m  0  

 4 
m   0;1
 tan x  m 
1  m  2

m  1



m  0
+ Kết luận: 
.
1  m  2
Cách 2: Đổi biến
 
+ Đặt t  tan x , với x   0;  thì t   0;1 .
 4

+ Ta có t '  x  

1
 
 0 x   0;  .
2
cos x
 4

+ Khi đó hàm số đã cho trở thành y 

t 2
, t   0;1 .
t m

+ Yêu cầu bài toán  Tìm m để hàm số y  f  t  đồng biến trên  0;1 .

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


m  2

m  2  0
m  0
 f ' t   0




 t   0;1   m   0;1  m  0  1  m  2 .



t  m

m  1


m  0
+ Kết luận: 
.
1  m  2
Bài 12: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

m cos x  2
nghịch biến trên
2cos x  m

  
 ; .
3 2

Giải
Cách 1: Đạo hàm trực tiếp
+ ĐK: cos x 

m
.
2

  
 1
Khi x   ;   cos x   0;  , sin x  0 .
3 2
 2

+ Khi đó y ' 

m2  4

 2cos x  m 

.  sin x 
2 

m


2

 4  sin x

 2cos x  m 

2

.

  

+ Hàm số nghịch biến trên  ;  .
3 2
2  m  2
m2  4  0
y'  0
 2  m  0



   

x   ;    
 m  0


 3 2 
2 cos x  m 
1  m  2
m   0;1
m  1



 2  m  0
+ Kết luận: 
.
1  m  2
Cách 2: Đổi biến
  
 1

+ Đặt t  cos x , với x   ;  thì t   0;  .
3 2
 2
  
+ Ta có t '  x    sin x  0 x   ;  .
3 2

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


+ Khi đó hàm số đã cho trở thành y 

mt  2
 1
, t   0;  .
2t  m
 2

 1
+ Yêu cầu bài toán  Tìm m để hàm số y  f  t  đồng biến trên  0;  .
 2
2  m  2
m2  4  0
 f ' t   0 
 2  m  0




 1 
.

 m  0

 t   0; 2    


2t  m 
1  m  2
m   0;1

m  1



 2  m  0
+ Kết luận: 
.
1  m  2
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 

2x  7
nghịch biến trên khoảng  2;   .
xm

Đáp số: 6
Bài 2: Biết tập  a; b  chứa tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

 ; 2  . Tính giá trị biểu thức

mx  3
nghịch biến trên khoảng
xm

P  ba.

Đáp số: P  2 3 .
Bài 3: Biết tập  a; b  chứa tất cả các giá trị thực của m thỏa mãn để hàm số y 

x  m4
đồng biến trên khoảng
xm

 1

  ;   . Tính giá trị biểu thức S  a  b .
 2


Đáp số: S 

3
.
2

Bài 4: Cho tập hợp S  m  : 100  m  100 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xac suất để số m được
chọn thỏa mãn điều kiện hàm số y 

Đáp số: P 

12

mx  3m  2
đồng biến trên khoảng  2;   .
xm

100
.
199

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 5: Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên âm m thỏa mãn hàm số y 

m3 x  16
đồng biến trên  5;   .
xm

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn là số lẻ.
Đáp số: P 

2
.
3

Bài 6: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

2 x  3m  2
nghịch biến trên khoảng 1; 2  .
xm

Đáp số: m  2 .
Bài 7: Tính tổng S tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y 

x  2m  3
đồng biến trên  ; 14  .
x  3m  2

Đáp số: S  10 .

x 2  5 x  m2  6
Bài 8: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 
đồng biến trên khoảng 1;   .
x3

\ 3

TXĐ: D 

Ta có:

2 x  5 x  3  x 2  5 x  m2  6

y' 
2
 x  3



x 2  6 x  m2  9

 x  3

2

Hàm số đã cho ĐB trên 1;   y '  0 x  1
 x 2  6 x  m 2  9  0 x  1
 m 2  x 2  6 x  9 x  1
 m 2   x  3 x  1
2

 m 2  Min  x  3

2

1;  

 m  16
2

 4  m  4.

Vậy 4  m  4 .
Bài 9: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 

Đáp số: m  

13

mx 2  6 x  2
nghịch biến trên khoảng 1;   .
x2

14
.
5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 10: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 

\  2

TXĐ: D 
Ta có: y ' 

x 2   2m  1 x  1
nghịch biến trên khoảng  0;1 .
x2

 2 x  2m  1 x  2   x 2   2m  1 x  1
2
 x  2



x 2  4 x  4m  3

 x  2

2

Hàm số đã cho NB trên  0; 1

 y '  0 x   0; 1
 x 2  4 x  4m  3  0 x   0; 1
 4m  x 2  4 x  3 x   0; 1
 4m  Max  x 2  4 x  3
 0; 1

Xét hàm số f  x   x 2  4 x  3 trên  0; 1
Sử dụng Mode 7 ta được Max  x 2  4x  3  3
 0;1

 4m  3  m  

3
2

3
Vậy m   .
2
Bài 11: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 

sin 2 x  1
đồng biến trên khoảng

sin 2 x  m

 
 0;  .
 4

Đáp số: m  1.
Bài 12: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 

2cos x  3
nghịch biến trên khoảng
2cos x  m

 
 0;  .
 3

Đáp số: m  3 .
Bài 13: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 

cot x  1
  
đồng biến trên khoảng  ;  .
m cot x  1
4 2

Đáp số: m  1 .

14

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y 

m sin 2 x  16
nghịch biến trên khoảng
cos 2 x  m  1

 
 0;  .
 2

Đáp số: 7.
Bài 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc  2022;2022 thỏa mãn hàm số y 

m 1 x  4
đồng biến
1 x  m

trên khoảng  0;1 .
Đáp số: 4040.

15

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!