tim m để hàm số đơn điệu trên r hoặc trên từng khoảng xác định

BÀI GIẢNG: TÌM m ĐỂ HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN R HOẶC TRÊN TỪNG
KHOẢNG XÁC ĐỊNH
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
MÔN TOÁN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. LÝ THUYẾT – PHƢƠNG PHÁP LÀM BÀI
I. HÀM ĐA THỨC BẬC BA
1. Nhắc lại lý thuyết dấu tam thức bậc hai
Cho g  x   ax 2  bx  c .





g  x   0 x 

 a  b  0

c  0
.

 a  0

   0

g  x   0 x 

 a  b  0

c  0
.


 a  0

   0

2. Điều kiện để hàm số tăng hoặc giảm trên

.

Cho y  f  x; m   ax3  bx 2  cx  d  a  0 .

y '  f '  x; m   3ax 2  2bx  c có  '  b2  3ac .
a) Hàm số đồng biến trên

 y '  0 x 

.

a  0

  0

b) Hàm số nghịch biến trên

 y '  0 x 

.

a  0


.
  0

Chú ý: Nếu hệ số của a có chứa m thì phải xét thêm một trường hợp a  0 xem khi đó giá trị m tìm được
thay vào có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không?

1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Ta nhớ chỉ thỏa mãn khi a  b  0, c  0  c  0  .
II. HÀM PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT
Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định
y  f  x; m  

ax  b
cx  d

y '  f '  x; m  

ad  bc

 cx  d 

2

.

a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng của D
 y '  0 x  D  ad  bc  0

b) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của D
 y '  0 x  D  ad  bc  0

III. MỘT SỐ HÀM KHÁC
1. Hàm phân thức bậc hai/ bậc nhất

ax 2  bx  c
dx  e
a ' x2  b ' x  c '
y '  f '  x; m  
2
 dx  e 
y  f  x; m  

a) Hàm số đồng biến trên từng khoảng của D

 y '  0 x  D  a ' x 2  b ' x  c  0 x  D
b) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng của D

 y '  0 x  D  a ' x 2  b ' x  c  0 x  D
2. Hàm số chứa lƣợng giác

y  f  x; m  chứa lượng giác sin x, cos x...
Yêu cầu bài toán: y '  f '  x; m   0   0  x 
Có thể đặt ẩn phụ t  sin x, cos x ...  t   a; b .
Đưa yêu cầu bài toán về một trong các dạng:

2

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


+ g  t   m đúng với mọi t   a; b  min g  t   m .
a ;b

+ g  t   m đúng với mọi t   a; b  max g  t   m .
a ;b

B. BÀI TẬP ÁP DỤNG
DẠNG 1: HÀM ĐA THỨC BẬC BA
1
Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y  x3  mx 2  4 x  3 đồng biến trên
3

.

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '  x 2  2mx  4
+ Hàm số đã cho đồng biến trên R  y '  0 x 

.


a  0
1  0  luon dung 


 2
 2  m  2 .
m

4

0
 '  0 

+ Kết luận: Vậy m  2;2  thỏa mãn yêu cầu bài toán.
1
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y   x3  2 x 2   2m  1 x  2 giảm trên
3

.

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '   x 2  4 x  2m  1
+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R  y '  0 x 

.

1  0  luon dung 
a  0
5




m .
2
 4  2m  1  0
 '  0

5

+ Kết luận: Vậy m   ;   thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2


Bài 3: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y  2 x3  3mx2  6mx  2 đồng biến trên

.

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.

3

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


+ y '  6 x 2  6mx  6m

 x2  mx  m  0 x 

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R  y '  0 x 

.


a  0
1  0  luon dung 

 2
 0  m  4.
 '  0

 m  4m  0
Do m

 m 0;1;2;3;4;5 .

+ Kết luận: Vậy m0;1;2;3;4;5  thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 4: Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hàm số y   x3  3mx 2  3m2 x  1 nghịch biến trên

.

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '  3x 2  6mx  3m2  3   x 2  2mx  m 2 

  x2  2mx  m2  0 x 

+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R  y '  0 x 

.

  '  0  m2  m2  0  2m2  0  m  0 .

+ Kết luận: Vậy có duy nhất một giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 5: Cho y  mx3  3  m  1 x 2  12mx  1. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên thuộc [2022;20222] để hàm số đồng biến trên R. Tìm số phần tử của S.
Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '  3mx 2  6  m  1 x  12m
+ Hàm số đã cho đồng biến trên R  y '  0 x 

 y '  mx2  2  m  1 x  4m  0 x 

1 .

TH1: Xét a  0  m  0
Khi đó (1): 2 x  0  x  0 không thỏa mãn x 

.

Vậy m  0 loại.
TH2: Xét a  0  m  0 .

4

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


m  0



m  0
a  0
1

m  0
Khi đó 1  




m    m  1 .
2
2
2
3
 '  0

3m  2m  1  0

 m  1  4m  0
  m  1


m  1, m 
Kết hợp giả thiết  
 m  1; 2;...; 2022 .

m   2022; 2022
Kết luận: Có tất cả 2022 giá trị m thỏa mãn.
1

 m  2 x3   m  2  x 2   m  8 x  3 . Tìm giá trị m nguyên lớn nhất để hàm số đã cho
3
nghịch biến trên .

Bài 6: Cho y 

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '   m  2 x2  2  m  2 x  m  8
+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R  y '  0 x 

  m  2 x2  2  m  2  x  m  8  0 x 

 1

.

TH1: Xét a  0  m  2
Khi đó (1): 10  0 x 

(luôn đúng).

Vậy m  2 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
TH2: Xét a  0  m  2 .



a  0
m  2
m  2


 m  2 .

Khi đó 1  

2

 '  0

10  m  2   0
 m  2    m  2  m  8  0
Tổng kết 2 trường hợp ta có m  2 . Vậy giá trị m nguyên lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là m  2 .
Bài 7: Cho y   m2  1 x3   m  1 x 2  x  4 . Tính tổng S các giá trị m nguyên thỏa mãn để hàm số đã cho
nghịch biến trên khoảng  ;   .
Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên R.
+ y '  3  m2  1 x 2  2  m  1 x  1

5

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


+ Hàm số đã cho nghịch biến trên R  y '  0 x 
3  m2  1 x 2  2  m  1 x  1  0 x 

1 .

TH1: Xét a  0  m  1.

+ Với m  1  1 :  1  0 x 

(luôn đúng).

 m  1 thỏa mãn.
+ Với m  1  1 :  4 x  1  0  x  

1
không thỏa mãn nên m  1 loại.
4

TH2: Xét a  0  m  1 .

1  m  1
m2  1  0

a  0
1
1  m  1



 1
   m  1.
Khi đó 1  
2
2
2
  m 1


 '  0  m  1  3  m  1  0
2  m  1 2m  1  0

 2
1
Tổng kết 2 trường hợp ta có   m  1 .
2

Vậy có 2 giá trị m nguyên thỏa mãn là m  0, m  1.
Kết luận: S  0  1  1 .
DẠNG 2: HÀM PHÂN THỨC
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

mx  4
nghịch biến trên từng khoảng xác định.
xm

Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên
+ y' 

m2  4

 x  m

2

\ m .

.

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
 y '  0 x  D
 m2  4  0  2  m  2

+ Kết luận: Vậy m  2;2  thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 9: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số y 

6

mx  2
đồng biến trên từng khoảng xác định.
x  m 1

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Giải
+ Hàm số đã cho xác định trên
+ y' 

m  m  1  1.  2 

 x  m  1

2



\ m  1 .

m2  m  2

 x  m  1

2

.

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 y '  0 x  D
 m2  m  2  0  1  m  2

+ Do m   m  0, m  1.
+ Kết luận: Vậy m  0, m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 10: Tìm số giá trị m nguyên thuộc  10;10  để hàm số y 

mx  1
nghịch biến trên các khoảng xác
mx  2

định.
Giải
* Xét m  0  y  

1
là hàm hằng không thỏa mãn.
2

Vậy m  0 bị loại.
* Xét m  0 , khi đó:
+ TXĐ: D 

+ y' 

2
\  .
m

2m  m

 mx  2 

2



3m

 mx  2 

2

.

+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định
 y '  0 x  D
 3m  0  m  0

Vậy m  0 .
* Tổng kết 2 trường hợp: m  0 .


m  0
 0  m  10 .
+ Kết hợp giả thiết 

m   10;10 

7

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


nên 1  m  9  Có 9 giá trị m.

+ Do m

+ Kết luận: Vậy có 9 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 11: Tìm số giá trị m nguyên để hàm số y 

x  m 1
đồng biến trên các khoảng xác định.
mx  2

Giải
* Xét m  0  y 

x 1
là hàm đồng biến trên R.
2

Vậy m  0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
* Xét m  0 , khi đó:
+ TXĐ: D 

+ y' 

 2
\   .
 m

2  m  m  1

 mx  2 

2



m2  m  2

 mx  2 

2

.

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định
 y '  0 x  D
 m2  m  2  0  2  m  1

Vậy 2  m  1, m  0 .
* Tổng kết 2 trường hợp: 2  m  1.

2  m  1
 m  1, m  0. .
+ Kết hợp giả thiết 
m 
+ Kết luận: Vậy có 2 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 12: Tìm m để hàm số y 

x 2   m  1 x  2m  1
đồng biến trên các khoảng xác định của nó.
xm

Giải
+ TXĐ: D 
+ y' 

\ m .

x 2  2mx  m2  m  1

 x  m

2

.

+ Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

8

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


 y '  0 x  D
 x 2  2mx  m 2  m  1  0 x  D
 '  0
 m2   m 2  m  1  m  1  0  m  1
+ Kết luận: Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
DẠNG 3: HÀM LƢỢNG GIÁC
Bài 13: Tìm m để hàm số y  sin x  mx  c nghịch biến trên R (c là hằng số).
Giải
+ TXĐ: D 

.

+ y '  cos x  m .
+ Hàm số nghịch biến trên R  y '  0 x 

 cos x  m  0 x 
 cos x  m x 
1 m
+ Kết luận: Vậy m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 14: Tìm m để hàm số y  x  m cos x đồng biến trên R.

Giải
+ TXĐ: D 

.

+ y '  1  m sin x .
+ Hàm số đồng biến trên R  y '  0 x 

 1  m sin x  0 x 
 m sin x  1 x 

*

TH1: Với m  0 thì (*) luôn đúng.
TH2: Với m  0 thì *  sin x 

1

1
x  .
m

1
 0  m  1.
m

9

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

TH3: Với m  0 thì *  sin x 

 1 

1
x  .
m

1
 1  m  0 .
m

+ Kết luận: Vậy 1  m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2:

 y '  1  m sin x
+ Hàm số đồng biến trên R  y '  0  x 

.

 1  m sin x  0 x 
Đặt t  sin x, t   1;1
Yêu cầu bài toán  g  t   1  mt  0 t   1;1 .
Do đồ thị hàm số y  g  t  , t   1;1 là một đoạn thẳng nên yêu cầu bài toán


1  m  0
m  1

 g  1  0



 1  m  1
1  m  0
m  1

 g 1  0
+ Kết luận: Vậy 1  m  1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 15: Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b dể hàm số y  2 x  a sin x  b cos x đồng biến trên R.
Giải
+ TXĐ: D 

.

+ y '  2  a cos x  b sin x .
Ta có: 2  a 2  b2  y '  2  a 2  b2 .
+ Hàm số đồng biến trên R  y '  0 x 

 2  a 2  b2  0
 a 2  b2  4
Kết luận: Vậy a, b thỏa mãn a 2  b2  4 .
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

10

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!

Bài 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3x 2  3  m  2  x  3m  1 đồng biến trên R.
Bài 2: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y   x3  3x 2  3  m2  1 x  3m2  1 nghịch biến trên R.
Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

1
 3  m  x3   m  3 x 2   m  2  x  3 luôn tăng trên
3

R.

3
Đáp số:   m  1 .
2
Bài 4: Cho hàm số y   x3  mx 2   4m  9  x  5 . Tìm tất cả các giá trị m nguyên để hàm số nghịch biến
trên R.
Đáp số: 9  m  3 .

1
Bài 5: Cho hàm số y   x3  2mx 2  2  m  6  x  2 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m nguyên để hàm số
3
nghịch biến trên tập xác định của nó. Tính tổng các phần tử của S.
Đáp số: m1;0;1; 2  Tổng = 2.
Bài 6: Cho hàm số y 

m 3
x  2 x 2   m  3 x  m . Tìm giá trị m nhỏ nhất để hàm số đồng biến trên
3

.

Đáp số: m  1 .
Bài 7: Cho hàm số y 

1
 m  1 x3   m  3 x 2   m  5 x  1 . Tìm các giá trị thực m để hàm số đồng biến
3

trên tập xác định.

1
Đáp số: m  .
3
Bài 8: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

x 1
đồng biến trên từng khoảng xác định.
x  2m

1
Đáp số: m   .
2
mx  4m
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên
xm
từng khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.
Bài 9: Cho hàm số y 

Đáp số: 0  m  4  3 giá trị.

11

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!


Bài 10: Cho hàm số y 

 m  1 x  20 . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch

xm
biến trên từng khoảng xác định. Tìm tổng các phần tử của S.
Đáp số: -4

4  5m  mx
. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m  10;10 để hàm
xm
số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Tính tổng các phần tử của S.
Bài 11: Cho hàm số y 

Đáp số: -10
Bài 12: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y 

x 2  mx  1
nghịch biến trên các khoảng xác định.
1 x

Đáp số: m  0 .
Bài 13: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y  sin 2 x  mx  c đồng biến trên

.

Đáp số: m  2 .
Bài 14: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y   4m  5 cos 2 x   2m  3 x  m2  3m  1 giảm trên
Đáp số:

.

7
13
m .
6
10

Bài 15: Tìm các giá trị thực của m để hàm số y  m sin x  cos x   m  1 x đồng biến trên

.

Đáp số: m  0 .

12

Truy cập trang để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử
- Địa – GDCD tốt nhất!