Cơ sở groebner của môđun con

ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH THỊ THẢO QUÝ

CƠ SỞ GROEBNER CỦA MÔĐUN CON

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2017


ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐINH THỊ THẢO QUÝ

CƠ SỞ GROEBNER CỦA MÔĐUN CON
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60460104

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THEO ĐỊNH HƯỚNG: Nghiên cứu

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS PHAN VĂN THIỆN

Thừa Thiên Huế, năm 2017
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của
riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu ghi trong
luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho
phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất
kì một công trình nào khác.
Đinh Thị Thảo Quý

ii


LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầy giáo, PGS.TS
Phan Văn Thiện. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và sự kính trọng đối với
Thầy. Thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập cũng
như hoàn thành luận văn này.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy cô Khoa Toán, các Thầy ở Đại học Huế
và Viện Toán học đã dạy dỗ và truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình
học tập.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường ĐHSP Huế, phòng Đào tạo
sau Đại học, khoa Toán trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện cho tôi trong suốt
khóa học.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, các anh chị Cao học Toán khóa
XXIV trường ĐHSP Huế chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số vì sự động viên,
giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua.
Ngày 15 tháng 09 năm 2017.

Học viên thực hiện
Đinh Thị Thảo Quý

iii


Mục lục
Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Lời nói đầu

3

1

Cơ sở Groebner của iđêan trong vành k[x1 , . . . , xn ]

1.1

1.2

1.3

Vành đa thức k[x1 , . . . , xn ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1

Đa thức và bậc của đa thức. Định lý Hilbert về cơ sở . .

5

1.1.2

Iđêan đơn thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.3

Thứ tự từ trong k[x1 , . . . , xn ] . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.1.4

Thuật toán chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

Cơ sở Groebner của iđêan trong k[x1 , . . . , xn ] . . . . . . . . . . .

18

1.2.1

Định nghĩa cơ sở Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.2.2

Cách tìm cơ sở Groebner của iđêan . . . . . . . . . . . .

20

Một số ứng dụng của cơ sở Groebner của iđêan . . . . . . . . .

23

1.3.1

Bài toán thử thành viên của iđêan . . . . . . . . . . . .

24

1.3.2

Bài toán thử hai iđêan bằng nhau . . . . . . . . . . . . .

26

1.3.3

Bài toán tìm các lớp đại diện của k[x1 , . . . , xn ]/I . . . . .

26

1.3.4

Bài toán tìm cơ sở của k-không gian véctơ k[x1 , . . . , xn ]/I

27

2 Cơ sở Groebner của môđun con
2.1

5

28

R-môđun Rm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.1

Đơn thức, đa thức của Rm . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.1.2

Môđun con đơn thức của Rm . . . . . . . . . . . . . . .

30

1


2.2

2.3

2.1.3

Thứ tự từ trên các đơn thức của Rm . . . . . . . . . . .

30

2.1.4

Thuật toán chia trong Rm . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Cơ sở Groebner của môđun con của R-môđun Rm . . . . . . . .

35

2.2.1

Cơ sở Groebner của môđun con . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.2

Cách tìm cơ sở Groebner của môđun con . . . . . . . . .

37

Ứng dụng của cơ sở Groebner của môđun con . . . . . . . . . .

39

2.3.1

Bài toán thử thành viên của môđun con . . . . . . . . .

39

2.3.2

Bài toán thử môđun con, thử hai môđun con bằng nhau

41

2.3.3

Bài toán tìm các lớp đại diện của môđun thương Rm /M

42

2.3.4

Bài toán tìm cơ sở của k-không gian véctơ Rm /M . . . .

43

2.3.5

Bài toán tìm giao và iđêan thương của hai môđun con

43

Kết luận

.

47

2


LỜI NÓI ĐẦU

Tính toán hình thức, hay còn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra)
xuất hiện khoảng bốn chục năm nay và hiện nay đã trở thành một chuyên ngành
độc lập.
Cơ sở Groebner là một lĩnh vực nghiên cứu chính trong Đại số máy tính và
Khoa học máy tính. Lý thuyết về cơ sở Groebner ngày càng thu hút sự quan
tâm của nhiều người bởi vì đã đưa ra một công cụ tính toán hữu ích có thể áp
dụng rộng rãi trong toán học, khoa học, kỹ thuật và khoa học máy tính.
Cơ sở Groebner được giới thiệu vào năm 1965 bởi nhà toán học người Áo
Bruno Buchberger với ý tưởng chính là tổng quát hóa lý thuyết vành đa thức
một biến. Điểm mấu chốt khởi đầu cho sự hình thành của lý thuyết cơ sở
Groebner là việc mở rộng thuật toán chia hai đa thức một biến sang trường hợp
đa thức nhiều biến. Vấn đề này đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà
toán học trong những năm vừa qua, tuy nhiên cơ sở Groebner của môđun con
và các ứng dụng của nó lại chưa được nghiên cứu nhiều. Vấn đề đặt ra là từ lý
thuyết cơ sở Groebner của iđêan trong vành đa thức k[x1 , . . . , xn ], với k là một
trường, thì ta sẽ mở rộng cho môđun con như thế nào, từ đó Cơ sở Groebner
của môđun con sẽ có những ứng dụng gì trong nghiên cứu.
Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài "CƠ SỞ GROEBNER
CỦA MÔĐUN CON" để nghiên cứu với hy vọng có thể làm phong phú hơn
vấn đề này.
Trong khuôn khổ luận văn cao học, ngoài việc tổng quan các kiến thức về cơ
sở Groebner của iđêan trên vành đa thức trên trường k, chúng tôi sẽ nghiên cứu
cơ sở Groebner cho môđun con của R-môđun Rm và đưa ra một số ứng dụng
của nó. Đây là nội dung chính của luận văn. Kết quả được trình bày trong luận
văn bao gồm hai chương:
Chương 1 : Cơ sở Groebner của iđêan trong vành k[x1 , . . . , xn ].
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản
nhất của cơ sở Groebner của iđêan trong vành đa thức nhiều biến và các ứng
dụng của nó. Đây là những nội dung cơ bản, từ đó chúng ta có thể thấy được
sự mở rộng của chương sau.

Chương 2 : Cơ sở Groebner của môđun con.
Chương 2 là chương chính của luận văn, gồm 3 mục. Mục 2.1, chúng tôi trình
3


bày định nghĩa R-môđun Rm . Tiếp theo, Mục 2.2 trình bày cơ sở Groebner của
môđun con của R-môđun Rm . Và cuối cùng, Mục 2.3, chúng tôi đưa ra một
số ứng dụng của cở sở Groebner của môđun con của R-môđun Rm . Những nội
dung được trình bày trong Chương 2 chính là sự mở rộng của Chương 1.
Tài liệu tham khảo chính của luận văn là [1], [2] và [3]. Ngoài ra, nếu muốn
tham khảo nhiều hơn về lý thuyết Cơ sở Groebner của môđun con, người đọc
có thể xem thêm các tài liệu [4] và [5].

4


Chương 1
Cơ sở Groebner của iđêan trong vành
k[x1, . . . , xn]
Trong suốt luận văn này, chúng tôi luôn giả sử k là một trường.
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản lý thuyết cơ
sở Groebner, cụ thể là hệ thống các kiến thức về vành đa thức, iđêan đơn thức,
thứ tự từ, cơ sở Groebner của iđêan trong vành đa thức n biến k[x1 , . . . , xn ] và
các ứng dụng.
Tài liệu tham khảo trong chương này là [1] và [2].

1.1 Vành đa thức k[x1, . . . , xn]
1.1.1 Đa thức và bậc của đa thức. Định lý Hilbert về cơ sở
Cho k là một trường, R = k[x1 , . . . , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k.
Nhắc lại rằng đơn thức là một biểu thức có dạng xa11 · · · xann , trong đó (a1 , . . . , an ) ∈

Nn được gọi là bộ số mũ của đơn thức. Nếu a1 = · · · = an = 0 thì đơn thức được
kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập các đơn thức được định nghĩa như sau:
(xa11 · · · xann )(xb11 · · · xbnn ) = xa11 +b1 · · · xann +bn .
Từ là biểu thức có dạng αxa11 · · · xann , trong đó α ∈ k được gọi là hệ số của từ.
Hai từ khác không αxa11 · · · xann và βxa11 · · · xann là đồng dạng với nhau.
Kí hiệu x = (x1 , . . . , xn ), a = (a1 , . . . , an ) ∈ Nn và xa = xa11 · · · xann . Đa thức
n biến x1 , . . . , xn trên trường k là một tổng của các từ:
αa xa ,

f (x) =
a∈Nn

trong đó αa ∈ k và chỉ có một số hữu hạn hệ số αa = 0. Từ αa xa với αa = 0
được gọi là từ của đa thức f (x) và xa là đơn thức của f (x).
5


αa xa và g(x) =

Hai đa thức f (x) =
a∈Nn
n

βa xa được xem là bằng nhau,
a∈Nn

nếu αa = βa với mọi a ∈ N .
Ta định nghĩa phép cộng đa thức như sau:
αa xa ) + (

(
a∈Nn

βa xa ) =
a∈Nn

(αa + βa )xa .
a∈Nn

Ta đồng nhất từ αxa với đa thức
βb xb ,
b∈Nn

trong đó βa = α và βb = 0 với mọi b = a. Như vậy tất cả các từ với hệ số 0
đều đồng nhất với một đa thức có tất cả hệ số bằng 0, ta gọi đa thức này là đa
thức không, kí hiệu là 0. Đa thức hằng α là đa thức tương ứng với từ α.1. Nếu
α1 xa1 , . . . , αp xap là tất cả các từ của f (x) thì có thể xem f (x) là tổng đa thức
của các từ này qua phép đồng nhất trên:
f (x) = α1 xa1 + · · · + αp xap ,
trong đó a1 , . . . , ap ∈ Nn là các bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này là duy nhất
và được gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f (x).
Phép nhân đa thức được định nghĩa như sau:
αa xa )(

(
a∈Nn

trong đó γa =

βa xa ) =

a∈Nn

γa xa ,
a∈Nn

αb βc .
b,c∈Nn ,b+c=a

Chú ý 1.1.1. (i) Khi n = 1, ta có vành đa thức một biến thông thường, đa
thức một biến thường được viết dưới dạng
f (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 (n ∈ N, a0 , . . . , an ∈ R).
(ii) Khi tập các biến đã được xác định, ta chỉ kí hiệu đa thức đơn giản là f, g, . . .
thay cho f (x), g(x), . . . .
αa xa là số

Bậc tổng thể của đa thức f (x) =
a∈Nn

degf (x) = max{a1 + · · · + an |αa = 0}.
Đối với đa thức một biến, bậc tổng thể chính là bậc thông thường. Đôi khi
bậc tổng thể của đa thức nhiều biến cũng gọi tắt là bậc, nếu như không có sự
hiểu nhầm nào xảy ra.
6


Chú ý 1.1.2. (i) Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0. Bậc tổng thể của đa thức
0 được quy ước là một số tùy ý.
(ii) Nhiều khi ta còn dùng bậc của đa thức đối với tập con các biến, chẳng hạn
{x1 , . . . , xm }, được định nghĩa như sau:

degx1 ···xm f (x) = max{a1 + · · · + an |αa = 0},
trong đó m < n cố định. Nói cách khác, đó là bậc tổng thể của đa thức f (x) xét
như đa thức của vành k[xm+1 , . . . , xn ][x1 , . . . , xm ].
Mệnh đề 1.1.3. [1, tr.32] Vành k[x] là miền nguyên.
Chứng minh. Xem [1, tr.32].
Cho f (x) ∈ k[x]. Với mỗi i ≤ degf (x), kí hiệu fi là tổng tất cả các từ có
bậc tổng thể là i trong biểu diễn chính tắc của f (x), fi được gọi là thành phần
thuần nhất thứ i cuả f (x). Khi đó f (x) = fp + · · · + f0 , trong đó p = degf (x)
và fp = 0.
Mệnh đề 1.1.4. [1, tr.33] Với mọi đa thức f (x), g(x) ∈ k[x] ta có:
deg(f (x)g(x)) = degf (x) + degg(x).
Chứng minh. Xem [1, tr.33].
Hệ quả 1.1.5. [1, tr.33] Vành đa thức k[x] trên trường k là miền nguyên và
bậc tổng thể của đa thức thỏa mãn mệnh đề trên.
Chứng minh. Xem [1, tr.33].
Nhắc lại rằng: Cho I là iđêan của vành R. Nếu tồn tại các đa thức f1 , f2 , . . . , fs ∈
R sao cho I = f1 , f2 , . . . , fs thì I được gọi là có tập sinh hữu hạn hay hữu hạn
sinh.
Định nghĩa 1.1.6. [2, tr.6] Vành giao hoán R được gọi là vành Noether nếu
mọi dãy tăng các iđêan I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In · · · của R tồn tại N sao cho IN =
IN +1 = IN +2 = · · · .
Định lý 1.1.7. [2, tr.6]. Cho vành R , các mệnh đề sau tương đương:
(i) Với mọi iđêan I ⊆ R tồn tại f1 , f2 , . . . , fs ∈ I sao cho I = f1 , f2 , . . . , fs .

7


(ii) Mọi dãy tăng các iđêan của R như sau:
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·
tồn tại N sao cho IN = IN +1 = IN +2 = · · · .

Tức là, vành R là Noether nếu và chỉ nếu mọi iđêan của R đều có tập sinh hữu
hạn.
Chứng minh. (i) =⇒ (ii) Đặt:
I1 ⊆ I2 ⊆ · · · ⊆ In ⊆ · · ·
∞

là dãy tăng các iđêan của R. Xét tập I =

In .
n+1

Khi đó, I cũng là một iđêan của R. Theo (i) ta có I = f1 , f2 , . . . , fs , với
f1 , f2 , . . . , fs ∈ R. Với mỗi i = 1, . . . , s, vì fi ∈ I nên tồn tại Ni sao cho fi ∈ INi .
Đặt N = max1≤i≤s Ni , ta có fi ∈ IN với mọi i = 1, . . . , s, do đó I ⊆ IN . Suy ra
I = IN .
(ii) =⇒ (i) Giả sử có iđêan I của R mà không có tập sinh hữu hạn gồm các
phần tử của R. Giả sử f1 ∈ I, khi đó tồn tại f2 ∈ I mà f2 ∈
/ f1 . Vì vậy
f1

f1 , f2 . Tiếp tục quá trình này ta thu được dãy tăng ngặt các iđêan của

R, mâu thuẫn với (ii).
Định lý 1.1.8. [2, tr.6](Định lý Hilbert về cơ sở) Nếu k là vành Noether thì
k[x] cũng là vành Noether.
Chứng minh. Xem [2, tr.6].
Hệ quả 1.1.9. [1, tr.34] Mọi iđêan của vành đa thức k[x] trên trường k là hữu
hạn sinh.
Chứng minh. Xem [1, tr.34].

1.1.2 Iđêan đơn thức
Định nghĩa 1.1.10. [1, tr.42] Iđêan I ⊆ k[x] là iđêan đơn thức nếu có tập con
A ⊂ Nn (có thể vô hạn) mà ở đó I bao gồm tất cả các đa thức là tổng hữu hạn
ha xa , trong đó ha ∈ k[x]. Trong trường hợp này ta viết

của dạng hình thức
I = (xa ; a ∈ A).

a∈A

Ví dụ 1.1.11. Iđêan đơn thức I = (x2 y 4 , x4 y 3 , x5 y 2 ).
8


Bổ đề 1.1.12. [1, tr.42] Cho I = (xa ; a ∈ A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb ∈ I
khi và chỉ khi xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A nào đó.
Chứng minh. Nếu xb chia hết cho một đơn thức xa với a ∈ A thì xb ∈ I theo định
s

b

hi .xa(i) , trong đó hi ∈ k[x]

b

nghĩa của iđêan. Ngược lại nếu x ∈ I thì x =
i=1

và a(i) ∈ A.
Xem hi như là tổng hữu hạn của các từ và khai triển vế phải của đẳng thức

trên ta thấy mỗi từ của nó phải chia hết cho xa(i) nào đó. Sau khi giản ước, sẽ
còn lại một từ trong số đó và từ đó phải bằng xb . Vậy xb phải chia hết cho xa(i)
nào đó.
Bổ đề 1.1.13. [1, tr.42] Cho I là iđêan đơn thức và f ∈ k[x]. Các điều kiện
sau tương đương:
(i) f ∈ I;
(ii) Mọi từ của f thuộc I;
(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên k của các đơn thức thuộc I.
Chứng minh. Xem [1, tr.42].
Hệ quả 1.1.14. [1, tr.42] Hai iđêan đơn thức trong một vành đa thức bằng nhau
nếu chúng chứa cùng một tập đơn thức.
Chứng minh. Xem [1, tr.42].
Bổ đề 1.1.15. [1, tr.43] Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f ∈ I,
các từ của f đều thuộc I.
Chứng minh. Điều kiện cần suy ra từ Bổ đề 1.1.13. Từ giả thiết suy ra tập tất
cả các đơn thức của các đa thức trong I sẽ sinh ra I. Do đó điều kiện đủ được
chứng minh.
Bổ đề 1.1.16. [1, tr.43] (Bổ đề Dickson) Mọi iđêan đơn thức I = (xa ; a ∈ A) bao
giờ cũng viết được dưới dạng I = (xa(1) , . . . , xa(s) ), trong đó a(1), . . . , a(s) ∈ A.
Nói riêng I là hữu hạn sinh.
Chứng minh. Xem [1, tr.43].

9


1.1.3 Thứ tự từ trong k[x1 , . . . , xn ]
Nhắc lại rằng, cho X là một tập hợp, S là một bộ phận của X × X. Thế thì
S được gọi là một quan hệ thứ tự (bộ phận) trong X nếu và chỉ nếu các điều
kiện sau thỏa mãn:
1. (Phản xạ) Với mọi x ∈ X : xSx;

2. (Phản đối xứng) Với mọi x, y ∈ X: nếu xSy và ySx thì x = y;
3. (Bắc cầu) Với mọi x, y, z ∈ X: nếu xSy và ySz thì xSz.
Thông thường thứ tự bộ phận được kí hiệu bởi ≤, ≥. Khi đó x ≤ y cũng được
gọi là "x nhỏ hơn hoặc bằng y". Nếu S là một thứ tự bộ phận thì quan hệ ngược
S −1 = {(x, y)|(y, x) ∈ S},
cũng là thứ tự bộ phận và gọi là thứ tự ngược của S. Nếu dùng ≤ để kí hiệu
thứ tự từ thì ≥ sẽ chỉ thứ tự ngược của nó.
Ta cũng sẽ dùng kí hiệu x < y chỉ quan hệ x ≤ y và x = y. Kí hiệu x > y là
thứ tự ngược của thứ tự đó.
Khi trên tập X có một thứ tự bộ phận ≤, ta nói X là tập được sắp (bộ phận).
Nếu x, y ∈ X mà x ≤ y hoặc y ≤ x thì ta nói x, y so sánh được với nhau. Trong
trường hợp còn lại x, y không so sánh được với nhau.
Quan hệ thứ tự ≤ trên X được gọi là thứ tự toàn phần nếu mọi cặp phần tử
của X đều so sánh được với nhau. Khi đó ta nói tập X là tập sắp hoàn toàn.
Nếu một quan hệ chỉ thỏa mãn tính chất phản xạ và bắc cầu trong định nghĩa
trên thì được gọi là giả thứ tự (bộ phận, toàn phần).
Ví dụ 1.1.17. a) Quan hệ nhỏ hơn hoặc bằng thông thường trên R là một thứ
tự toàn phần.
b) Kí hiệu P (X) là tập tất cả các tập con của X. Quan hệ bao hàm ⊆ là thứ
tự bộ phận trên P (X).
c) Quan hệ chia hết là thứ tự bộ phận trên N, nhưng chỉ là giả thứ tự bộ phận
trên Z.
Định nghĩa 1.1.18. [1, tr.74] Giả sử X là một tập hợp sắp thứ tự ≤. Phần tử
a ∈ X gọi là phần tử tối tiểu (phần tử tối đại) của X nếu quan hệ x ≤ a (x ≥ a)
kéo theo x = a. Phần tử a ∈ X gọi là phần tử nhỏ nhất (phần tử lớn nhất) của
10


X nếu, với mọi x ∈ X, ta có a ≤ x (x ≤ a).
Phần tử b là chặn trên (chặn dưới) của X nếu với mọi a ∈ X ta có a ≤ b

(b ≤ a).
Tập X được gọi là tập sắp thứ tự tốt nếu nó được sắp hoàn toàn và mọi tập
con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Khi đó ta nói thứ tự tương ứng là
thứ tự tốt.
Định nghĩa 1.1.19. [1, tr.76] Tập các đơn thức được kí hiệu là
Tn = {xα1 1 · · · xαnn |αi ∈ N, i = 1, . . . , n}.
Thứ tự từ là một thứ tự toàn phần ≤ trên tập Tn tất cả các đơn thức của
k[x] thỏa mãn các tính chất sau:
(a) Với mọi m ∈ Tn , 1 ≤ m;
(b) Nếu m1 , m2 , m ∈ Tn mà m1 ≤ m2 thì mm1 ≤ mm2 .
Bổ đề 1.1.20. [1, tr.76] Mọi thứ tự toàn phần ≤ trên Tn là thứ tự tốt khi và
chỉ khi mọi dãy đơn thức thực sự giảm:
m1 > m2 > m3 · · ·
sẽ dừng (sau hữu hạn phần tử).
Chứng minh. Nếu ≤ không là thứ tự tốt thì tồn tại tập con A ⊆ Tn không có
phần tử nhỏ nhất. Lấy m1 là một phần tử tùy ý từ A. Vì A không có phần tử
nhỏ nhất nên tìm được m2 < m1 trong A. Tiếp tục như vậy sau khi tìm được
n đơn thức m1 > m2 > m3 > · · · > mn trong A, ta lại tìm được mn+1 ∈ A sao
cho mn > mn+1 . Bằng quy nạp ta xây dựng được một dãy vô hạn các đơn thức
thực sự giảm.
Ngược lại, nếu có một dãy vô hạn các đơn thức thực sự giảm thì dãy đó không
có phần tử nhỏ nhất. Vì vậy thứ tự đã cho không phải là thứ tự tốt.
Bổ đề 1.1.21. [1, tr.76] Mọi thứ tự từ trên Tn là thứ tự tốt. Ngược lại mọi thứ
tự tốt trên Tn thỏa điều kiện (b) của Định nghĩa 1.1.19 là thứ tự từ.
Chứng minh. Xem [1, tr.76].
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một số thứ tự từ trong k[x1 , . . . , xn ]:
Cho ≤ là một thứ tự từ. Sau khi đổi chỉ số các biến luôn có thể giả thiết là
x1 > x2 > · · · > xn .
11

Định nghĩa 1.1.22. [1, tr.77] Thứ tự từ điển, kí hiệu là ≤lex , là thứ tự xác
định như sau:
xα1 1 · · · xαnn ≤lex xβ1 1 · · · xβnn ,
nếu hoặc với mọi 0 ≤ i ≤ n có αi = βi hoặc thành phần đầu tiên khác không kể
từ bên trái của véctơ (α1 − β1 , . . . , αn − βn ) là một số âm (tức là, nếu tồn tại
0 ≤ i < n sao cho α1 = β1 , . . . , αi = βi , nhưng αi+1 < βi+1 ).
Như vậy, trong trường hợp 2 biến x1 , x2 , ta có:
1 < x2 < x22 < x32 < · · · < x1 < x1 x2 < x1 x22 < · · · < x21 < · · · .
Nếu chỉ có một vài biến thì ta sử dụng biến x, y, z thay cho các biến ở trên.
Ví dụ, thứ tự từ điển với x > y, ta có:
1 < y < y 2 < y 3 < · · · < x < xy < xy 2 < · · · < x2 < · · · .
Định nghĩa 1.1.23. [1, tr.77] Thứ tự từ điển phân bậc, kí hiệu là ≤glex , là thứ
tự xác định như sau:
xα1 1 · · · xαnn ≤glex xβ1 1 · · · xβnn ,
nếu hoặc với mọi 0 ≤ i ≤ n có αi = βi hoặc

i=1

i=1

i=1

βi

αi =

βi hoặc

αi <

i=1

n

n

n

n

và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (α1 −β1 , . . . , αn −βn )
là một số âm. Nói cách khác, xα1 1 · · · xαnn ≤glex xβ1 1 · · · xβnn nếu α1 + · · · + αn <
β1 + · · · + βn hoặc α1 + · · · + αn = β1 + · · · + βn và xα1 1 · · · xαnn ≤lex xβ1 1 · · · xβnn .
Trong trường hợp 2 biến x1 và x2 , ta có:
1 < x2 < x1 < x22 < x1 x2 < x21 < x21 < x32 < x1 x22 < x21 x2 < x31 < · · ·
hay trên k[x, y] với x > y thì
1 < y < x < y 2 < xy < x2 < y 3 < xy 2 < x2 y < x3 < · · · .
Định nghĩa 1.1.24. [1, tr.78] Thứ tự từ điển ngược, kí hiệu là ≤rlex , là thứ tự
xác định như sau:
xα1 1 · · · xαnn ≤rlex xβ1 1 · · · xβnn ,
n

nếu hoặc với mọi 0 ≤ i ≤ n có αi = βi hoặc

n

αi <
i=1

n

βi hoặc
i=1

n

αi =
i=1

βi
i=1

và thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của véctơ (α1 −β1 , . . . , αn −βn )
là một số dương. Nói cách khác, xα1 1 · · · xαnn ≤rlex xβ1 1 · · · xβnn nếu α1 + · · · + αn <
12


β1 + · · · + βn hoặc α1 + · · · + αn = β1 + · · · + βn và tồn tại 1 ≤ i ≤ n sao cho
αn = βn , . . . , αi+1 = βi+1 , nhưng αi ≥ βi .
Trong trường hợp chỉ có 2 biến x1 và x2 thì thứ tự từ điển phân bậc và thứ
tự từ điển ngược là tương tự nhau. Tuy nhiên, nếu có từ 3 biến trở lên thì hai
thứ tự từ này không còn giống nhau, ví dụ:
x21 x2 x3 >glex x1 x32 với x1 > x2 > x3
nhưng
x21 x2 x3 <rlex x1 x32 với x1 > x2 > x3 .
Mệnh đề 1.1.25. [1, tr.78] Ba thứ tự kể trên là các thứ tự từ.
Chứng minh. Xem [1, tr.78].
Ví dụ 1.1.26. • x1 >lex x32 >lex x100
nhưng x1 3

3 .
• x1 x2 x4 >glex x1 x23 nhưng x1 x2 x4 Tiếp theo, ta sẽ định nghĩa từ khởi đầu, đơn thức đầu, iđêan khởi đầu của đa
thức f ∈ k[x1 , . . . , xn ].
Định nghĩa 1.1.27. [2, tr.21] Cho ≤ là một thứ tự từ và 0 = f ∈ k[x1 , . . . , xn ]
được viết như sau:
f = a1 xα1 + a2 xα2 + · · · + ar xαr ,
với 0 = ai ∈ k, xαi ∈ Tn , và xα1 > xα2 > · · · > xαr . Ta định nghĩa:
Đơn thức khởi đầu của f , kí hiệu là lp≤ (f ) = xα1 .
Hệ số dẫn đầu của f , kí hiệu là lc≤ (f ) = a1 .
Từ dẫn đầu của f , kí hiệu là lt≤ (f ) = a1 xα1 .
Quy ước lp(0) = lc(0) = lt(0) = 0.
Ví dụ 1.1.28. Cho f = x3 y 2 z + 5xyz − 3x4 + 7yz 3 − 2y 6 + z 4 . Viết theo thứ tự
các từ giảm dần, ta có:
a) Đối với thứ tự từ điển mà x > y > z:
f = −3x4 + x3 y 2 z + 5xyz − 2y 6 + 7yz 3 + z 4 và lt≤lex (f ) = −3x4 .
b) Đối với thứ tự từ điển phân bậc mà x > y > z:
f = x3 y 2 z − 2y 6 − 3x4 + 7yz 3 + z 4 + 5xyz và lt≤glex (f ) = x3 y 2 z.
c) Đối với thứ tự từ điển ngược mà x > y > z:
f = −2y 6 + x3 y 2 z − 3x4 + 7yz 3 + z 4 + 5xyz và lt≤rlex (f ) = −2y 6 .
13


Bổ đề 1.1.29. [1, tr.84] Cho f, g ∈ R và m ∈ Tn . Khi đó:
(a) lt(f g) = lt(f )lt(g);
(b) lt(mf ) = mlt(f );
(c) lp(f + g) ≤ max{lp(f ), lp(g)}. Dấu < xảy ra khi và chỉ khi lt(f ) = −lt(g).
Chứng minh. Vì lt(m) = m nên (b) được suy ra từ (a). Để chứng minh (a) và
(c), giả sử
f = lt(f ) + Σmi ; mi < lt(f ) và g = lt(g) + Σnj ; nj < lt(g),

trong đó mi và nj là các từ có thể bằng 0. Khi đó:
(a) Với mọi i, j: lt(f )lt(g) = 0, lt(f )nj < lt(f )lt(g) và mi lt(g) < lt(f )lt(g).
Do đó lt(f )lt(g) không giản ước được với các từ nào sau khi bỏ ngoặc của tích
f g và là từ lớn nhất. Vì vậy lt(f g) = lt(f )lt(g).
(c) Không mất tính tổng quát có thể giả thiết lt(f ) ≥ lt(g). Nếu lt(f ) > lt(g)
thì
f + g = lt(f ) + lt(g) + Σmi + Σnj .
Ta có lt(f ) > lt(g) > nj nên lt(f ) > nj . Theo định nghĩa từ khởi đầu ta lại
có lt(f ) > mi . Vậy từ lt(f ) lớn nhất trong tổng trên và không giản ước được với
các từ khác, nên
lp(f + g) = lp(f ) = max{lp(f ), lp(g)}.
Nếu lp(f ) = lp(g) và lc(f ) = −lc(g) thì
f + g = (lc(f ) + lc(g))lp(f ) + Σmi + Σnj .
Do lc(f ) + lc(g) = 0 và lp(f ) > mi , lp(f ) = lp(g) > nj nên ta có
lp(f + g) = lp(f ) = max{lp(f ), lp(g)}.
Nếu lt(f ) = −lt(g) thì f + g = Σmi + Σnj . Như vậy hoặc f + g = 0, hoặc
lp(f + g) = lp(mi ) < lp(f ), hoặc lp(f + g) = lp(nj ) < lp(g) (i, j nào đó). Vì vậy
lp(f + g) ≤ max{lp(f ), lp(g)}.
Chú ý 1.1.30. Bất đẳng thức ở khẳng định (c) ở trên cũng thường được viết
dưới dạng:
lt(f + g) ≤ max{lt(f ), lt(g)},
trong đó khi lp(f ) = lp(g) thì max{lt(f ), lt(g)} được hiểu như αlp(f ) với 0 =
α ∈ k nào đó.
14


Định nghĩa 1.1.31. [1, tr.85] Cho I là iđêan của R và ≤ là một thứ tự từ.
Iđêan khởi đầu của I, kí hiệu là Lt≤ (I), là iđêan của R sinh bởi các từ khởi đầu
của các phần tử của I, nghĩa là
Lt≤ (I) = lt≤ (f )|f ∈ I) .

Ta sẽ viết Lt(I) thay vì Lt≤ (I) nếu ≤ đã rõ.
Chú ý 1.1.32. Thấy rằng lt(f ) và lp(f ) chỉ khác nhau bởi một hằng số khác 0
nên Lt(I) = lp(f )|f ∈ I , và do đó Lt(I) là iđêan đơn thức.
Bổ đề 1.1.33. [1, tr.85] Cho ≤ là một thứ tự từ và I, J là hai iđêan của R. Khi
đó:
(a) Tập tất cả các đơn thức trong Lt(I) là tập {lp(f )|f ∈ I}.
(b) Nếu I là iđêan đơn thức thì Lt(I) = I.
(c) Nếu I ⊆ J thì Lt(I) ⊆ Lt(J). Hơn nữa nếu I ⊆ J và Lt(I) = Lt(J) thì
I = J.
(d) Lt(I)Lt(J) ⊆ Lt(IJ).
(e) Lt(I) + Lt(J) ⊆ Lt(I + J).
Chứng minh. (a) Do Lt(I) = {lp(f )|f ∈ I} là một iđêan đơn thức nên theo Bổ
đề 1.1.31(b) thì với mọi đơn thức m ∈ Lt(I) ta đều có m = lm(f ).m , trong
đó f ∈ I và m ∈ Tn . Lại theo Bổ đề 1.1.31(b), m = lp(f ).m = lp(m f ) và
m f ∈ I. Vậy m ∈ {lp(f )|f ∈ I}. Điều ngược lại đúng theo Chú ý 1.1.32.
(b) Vì I là iđêan đơn thức, nên I sinh bởi một tập đơn thức A nào đó. Với
mỗi m ∈ A, m = lt(m) ∈ Lt(I), nên A ⊆ Lt(I), do đó I ⊆ Lt(I).
Ngược lại, nếu f ∈ I là phần tử tùy ý thì theo các Bổ đề 1.1.12 và 1.1.13,
lt(f ) chia hết cho đơn thức m ∈ A nào đó. Lại theo Bổ đề 1.1.12, lt(f ) ∈ I. Suy
ra Lt(I) ⊆ I, tức là Lt(I) = I.
(c) Với mọi f ∈ I thì lt(f ) ∈ Lt(I). Do I ⊆ J nên f ∈ J. Suy ra lt(f ) ∈ Lt(J).
Do đó Lt(I) ⊆ Lt(J).
Giả sử Lt(I) = Lt(J). Nếu I = J, theo Bổ đề 1.1.23, có thể chọn được
f ∈ J \ I để
lp(f ) = min{lp(g)|g ∈ J \ I}.
Vì lp(f ) ∈ Lt(J) = Lt(I), nên tồn tại g ∈ I sao cho lp(f ) = lp(g). Thay f, g
bằng f /lc(f ), g/lc(g) ta có thể giả thiết lc(f ) = lc(g) = 1. Đặt h = f − g. Vì
15

f, g ∈ J nên h ∈ J. Nhưng f ∈
/ I và g ∈ I nên h ∈
/ I. Vậy h ∈ J \ I. Mặt khác,
theo Bổ đề 1.1.31(c) ta lại có lp(h) < lp(f ). Điều này mâu thuẫn với việc chọn
f . Vậy I = J.
(d) Vì Lt(I)Lt(J) sinh bởi các từ lt(f )lt(g), trong đó f ∈ I và g ∈ J, và theo
Bổ đề 1.1.31(a) lt(f g) = lt(f )lt(g), nên ta có lt(f )lt(g) ⊆ Lt(IJ).
(e) Với mọi f ∈ Lt(I) + Lt(J) thì tồn tại g ∈ I, h ∈ J sao cho
f = lt(g) + lt(h).
Mặt khác, g ∈ I ⊆ I + J và h ∈ J ⊆ I + J nên lt(g), lt(h) ∈ Lt(I + J).
Do đó f ∈ (I + J). Suy ra Lt(I) + Lt(J) ⊆ Lt(I + J).

1.1.4 Thuật toán chia
Định nghĩa 1.1.34. [2, tr.26] Cho f, g, h thuộc k[x1 , . . . , xn ] với g = 0, ta nói
f dẫn về h theo modulo g, kí hiệu
g

f −→ h,
nếu và chỉ nếu lp(g) chia hết một từ 0 = X ∈ f và
h=f−

X
g.
lt(g)

Ví dụ 1.1.35. Cho f = 6x2 y − x + 4y 3 − 1 và g = 2xy + y 3 là các đa thức của
Q[x, y]:
• Xét thứ tự từ điển với x > y, khi đó lt(g) = 2xy chia hết X = 6x2 y = lt(f )
nên
h=f−

X
g
lt(g)

= 6x2 y − x + 4y 3 − 1 −

6x2 y
(2xy + y 3 )
2xy

= −3xy 3 − x + 4y 3 − 1.
g

Như vậy f −→ h với h = −3xy 3 − x + 4y 3 − 1.
• Xét thứ tự từ điển phân bậc với x > y, thì lt(g) = y 3 chia hết X = 4y 3
(nhưng không là lt(f )), khi đó tính được h = 6x2 y − 8xy − x − 1.
Định nghĩa 1.1.36. [2, tr.27] Cho f, h và f1 , . . . , fs là các đa thức của k[x1 , . . . , xn ]
với fi = 0 (1 ≤ i ≤ s), và đặt F = {f1 , . . . , fs }. Ta gọi f dẫn về h theo modulo
F , và kí hiệu
F

f −→+ h,
16


nếu và chỉ nếu tồn tại dãy chỉ số i1 , i2 , . . . , it ∈ {1, . . . , s} và dãy các đa thức
h1 , . . . , ht−1 ∈ R sao cho
fi

fi

fit−1

fi

fi

1
2
3
t
f −→
h1 −→
h2 −→
· · · −→ ht−1 −→
h.

Ví dụ 1.1.37. Cho f1 = xy − x, f2 = x2 − y ∈ Q[x, y] và thứ tự từ điển phân
bậc với x > y. Đặt F = {f1 , f2 }, f = x2 y, khi đó
F

f −→+ y,
vì
f1

f2

x2 y −→ x2 −→ y.
Định nghĩa 1.1.38. [2, tr.27] Đa thức r được gọi là rút gọn đối với một tập

các đa thức khác không F = {f1 , . . . , fs } nếu r = 0 hoặc không có đơn thức nào
của r chia hết cho các lp(fi ), i = 1, . . . , s. Nói cách khác, r không thể dẫn về
theo modulo F .
F

Định nghĩa 1.1.39. [2, tr.27] Nếu f −→+ r và r là rút gọn đối với F , thì ta gọi
r là đa thức dư của f đối với F . Nói cách khác, cho f, f1 , . . . , fs ∈ k[x1 , . . . , xn ]
với fi = 0 (1 ≤ i ≤ s) thì ta có:
f = u1 f1 + · · · us fs + r,
với u1 , . . . , us ∈ k[x1 , . . . , xn ] là đa thức thương và r ∈ k[x1 , . . . , xn ] là đa thức
dư.

17


Ta có "Thuật toán chia đa thức nhiều biến" [2, tr.28]
INPUT: f, f1 , . . . , fs ∈ k[x1 , . . . , xn ] với fi = 0(1 ≤ i ≤ s)
OUTPUT: u1 , . . . , us , r sao cho f = u1 f1 + · · · us fs + r và
r rút gọn đối với {f1 , . . . , fs } và
max(lp(u1 )lp(f1 ), . . . , lp(us )lp(fs ), lp(r)) = lp(f ).
KHỞI TẠO: u1 := 0, u2 := 0, . . . , us := 0, r := 0, h := f
WHILE h = 0 DO
IF tồn tại i sao cho lp(fi ) chia hết lp(h) THEN
chọn i nhỏ nhất sao cho lp(fi ) chia hết lp(h)
lt(h)
ui := ui +
lt(fi )
lt(h)
fi
h := h −

lt(fi )
ELSE
r := r + lt(h)
h := h − lt(h)
Ví dụ 1.1.40. Xét đa thức f = x2 y −y ∈ Q[x, y] và iđêan I = f1 , f2 ⊆ Q[x, y],
với f1 = xy − x, f2 = x2 − y. Đặt F = {f1 , f2 }. Xét thứ tự từ điển phân bậc với
f1

f2

F

x > y và áp dụng Thuật toán chia, ta có f −→ x2 − y −→ 0, tức là f −→+ 0,
hơn nữa f = xf1 + f2 , do đó f ∈ I. Tuy nhiên nếu ta đảo thứ tự của f1 và f2
f2

thì lại có f −→ y 2 − y và y 2 − y là rút gọn đối với F , vì vậy đa thức dư khi chia
f bởi F là khác không, nhưng f vẫn thuộc iđêan f1 , f2 .

1.2 Cơ sở Groebner của iđêan trong k[x1, . . . , xn]
1.2.1 Định nghĩa cơ sở Groebner
Định nghĩa 1.2.1. [2, tr.32] Cho trước một thứ tự từ. Một tập các đa thức
khác không G = {g1 , . . . , gt } chứa trong một iđêan I, được gọi là cơ sở Groebner
của I nếu và chỉ nếu với mọi f ∈ I mà f = 0, tồn tại i ∈ {1, . . . , t} sao cho
lp(gi ) chia hết lp(f ).
Cho J là iđêan sinh bởi các các gi (1 ≤ i ≤ t), ta thấy tập G là một cơ sở
Groebner của J .
Định lý 1.2.2. [2, tr.32] Cho iđêan 0 = I ∈ R, tập các đa thức khác không
G = {g1 , . . . , gt } ⊆ I, các mệnh đề sau tương đương:
18

(a) G là cơ sở Groebner của I;
G

(b) f ∈ I nếu và chỉ nếu f −→+ 0;
t

(c) f ∈ I nếu và chỉ nếu f =

hi gi với lp(f ) = max1≤i≤t {lp(hi )lp(gi )};
i=1

(d) Lt(G) = Lt(I).
Chứng minh. Xem [2, tr.32].
Bổ đề 1.2.3. [2, tr.33] Nếu G = {g1 , . . . , gt } là một cơ sở Groebner của iđêan
I đối với một thứ tự từ nào đó, thì I = g1 , . . . , gt .
Chứng minh. Rõ ràng g1 , . . . , gt ⊆ I, vì mỗi gi đều thuộc I. Với mỗi f ∈ I.
G

Theo định lý 1.2.2, ta có f −→+ 0, nên f ∈ g1 , . . . , gt .
Bổ đề 1.2.4. [2, tr.33] Cho I là iđêan sinh bởi một tập S các từ khác không,
f ∈ k[x1 , . . . , xn ]. Khi đó f ∈ I nếu và chỉ nếu với mỗi từ X của f tồn tại Y ∈ S
sao cho Y chia hết X. Hơn nữa, tồn tại một tập con S0 hữu hạn mà I = S0 .
Chứng minh. Xem [2, tr.33].
Hệ quả 1.2.5. [2, tr.34] Mọi iđêan I khác không của k[x1 , . . . , xn ] đều có cơ sở
Groebner.
Chứng minh. Theo Bổ đề trên, iđêan dẫn đầu Lt(I) có một tập sinh hữu hạn có
dạng {lt(g1 ), . . . , lt(gt )} với g1 , . . . , gt ∈ I. Đặt G = {g1 , . . . , gt }, ta có Lt(G) =
Lt(I). Do đó G là cơ sở Groebner của I.

Định nghĩa 1.2.6. [2, tr.34] Tập con G = {g1 , . . . , gt } của k[x1 , . . . , xn ] được
gọi là một cơ sở Groebner nếu và chỉ nếu nó là cơ sở Groebner của iđêan G .
Định lý 1.2.7. [2, tr.34] Cho G = {g1 , . . . , gt } là tập các đa thức khác không
của k[x1 , . . . , xn ]. Khi đó G là một cơ sở Groebner nếu và chỉ nếu với mọi
f ∈ k[x1 , . . . , xn ], đa thức dư khi chia f bởi G là duy nhất.
Chứng minh. Xem [2, tr.34].
Ví dụ 1.2.8. Tiếp tục với Ví dụ 1.1.40. Xét f = x2 y − y, f1 = xy − y và
f2 = x2 − y. Đặt F = {f1 , f2 }.
F

Xét thứ tự từ điển phân bậc với x > y, theo Ví dụ 1.1.40, ta đã có f −→+ 0 và
F

f −→+ y 2 − y. Do đó theo định lý trên thì F không phải là một cơ sở Groebner.
Ta cũng có thể chứng minh bằng cách khác như sau:
19


F

Vì f = xf1 + f2 ∈ f1 , f2 và f −→+ y 2 − y nên ta có y 2 − y ∈ f1 , f2 . Nhưng
y 2 = lp(y 2 − y) không chia hết bởi cả lp(f1 ) = xy cũng như lp(f2 ) = x2 nên theo
định nghĩa của cơ sở Groebner, F không phải là một cơ sở Groebner.

1.2.2 Cách tìm cơ sở Groebner của iđêan
Định nghĩa 1.2.9. [2, tr.40] Cho 0 = f, g ∈ R = k[x1 , . . . , xn ]. Đặt L =
BCNN(lp(f ), lp(g)). Đa thức
S(f, g) =

L

L
f−
g,
lt(f )
lt(g)

được gọi là S- đa thức của f và g.
Ví dụ 1.2.10. Cho f = 2xy − x, g = 3x2 − y ∈ Q[x, y] và xét thứ tự từ điển
phân bậc với x > y. Khi đó:
x2 y
x2 y
1
1
1
1
2
L = x y, và S(f, g) =
f − 2 g = yf − xg = − y 2 + x2 .
2xy
3x
2
3
2
3
Bổ đề 1.2.11. [2, tr.40] Cho f1 , . . . , fs ∈ R = k[x1 , . . . , xn ] sao cho lp(fi ) =
s

ci fi với ci ∈ k, i = 1, . . . , s. Nếu

X = 0 với mọi i = 1, . . . , s. Đặt f =

i=1

lp(f ) < X, thì f là tổ hợp tuyến tính của S(fi , fj ) với hệ số trên k (1 ≤ i < j ≤
s).
Chứng minh. Xem [2, tr.40].
Định lý 1.2.12. [2, tr.40](Tiêu chuẩn Buchberger) Cho G = {g1 , . . . , gt } là tập
các đa thức khác không của k[x1 , . . . , xn ]. Khi đó G là cơ sở Groebner của iđêan
I = g1 , . . . , gt nếu và chỉ nếu với mọi i = j,
G

S(gi , gj ) −→+ 0.
Chứng minh. Xem [2, tr.41].
Ví dụ 1.2.13. Cho f1 = xy − y, f2 = y 2 − x ∈ Q[x, y] và xét thứ tự từ điển
phân bậc với x > y. Đặt F = {f1 , f2 }.
F

Khi đó S(f1 , f2 ) = yf1 − xf2 = x2 − y 2 −→ x2 − x, và f3 = x2 − x rút gọn
đối với F .
Ta thêm f3 vào F , và đặt F = {f1 , f2 , f3 }. Khi đó:
F

S(f1 , f2 ) −→ 0.

20


F

Ta có: S(f1 , f3 ) = xf1 − yf3 = 0 và S(f2 , f3 ) = x2 f2 − y 2 f3 = −x3 + xy 2 −→
F

xy 2 − x2 −→ 0.
Vì vậy {f1 , f2 , f3 } là cơ sở Groebner.
Thuật toán Buchberger [2, tr.43]
INPUT: F = {f1 , . . . , fs } ∈ k[x1 , . . . , xn ] với fi = 0 (1 ≤ i ≤ s)
OUTPUT: G = {g1 , . . . , gt } là cơ sở Groebner của f1 , . . . , fs
KHỞI TẠO: G := F, G := {{fi , fj }|fi = fj ∈ G}
WHILE G = ∅
Chọn bất kì {f, g} ∈ G
G := G \ {{f, g}}
G

S(f, g) −→+ h với h rút gọn đối với G.
IF h = 0 THEN
G := G ∪ {{u, h}|∀u ∈ G}
G := G ∪ {h}
Định lý 1.2.14. [2, tr.42] F = {f1 , . . . , fs } với fi = 0 (1 ≤ i ≤ s), Thuật toán
Buchberger sẽ tìm được một cơ sở Groebner của iđêan I = f1 , . . . , fs .
Chứng minh. Xem [2, tr.42].
Ví dụ 1.2.15. Cho f1 = x2 + xy + y 2 , f2 = x + y, f3 = y là các đa thức trong
Q[x, y] và xét thứ tự từ điển với x > y.
KHỞI TẠO: G := {f1 , f2 , f3 }, G := {{f1 , f2 }, {f1 , f3 }, {f2 , f3 }}.
Vòng lặp 1: Chọn {f1 , f2 }
G := {{f1 , f3 }, {f2 , f3 }}
S(f1 , f2 ) = y 2 (rút gọn đối với G)
Đặt f4 := y 2
G := {{f1 , f3 }, {f2 , f3 }, {f1 , f4 }, {f2 , f4 }, {f3 , f4 }}
G := {f1 , f2 , f3 , f4 }
Vòng lặp 2:
G := {{f2 , f3 }, {f1 , f4 }, {f2 , f4 }, {f3 , f4 }}

G

S(f1 , f3 ) −→+ 0
Vòng lặp 3:
G := {{f1 , f4 }, {f2 , f4 }, {f3 , f4 }}
S(f2 , f3 ) = y (rút gọn đối với G)
Đặt f5 := y
21