Phương pháp biến phân cho lớp bài toán dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x) – laplacian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
∗∗∗∗∗∗

∗∗∗∗∗∗

HÀ VĂN SƠN

PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN CHO
LỚP BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KIỂU
P (X)-LAPLACIAN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THÀNH CHUNG

Huế, Năm 2016
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan, luận văn này là công trình nghiên cứu
của tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Nguyễn
Thành Chung.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài luận văn, tôi đã kế

thừa thành quả khoa học của các nhà Toán học và các nhà
Khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Tác giả

Hà Văn Sơn

ii


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy giáo TS. Nguyễn Thành
Chung, cảm ơn những lời động viên, nhắc nhở của Thầy trong suốt quá
trình hướng dẫn khoa học cho tôi. Thầy đã giúp tôi vượt qua những
khó khăn để hoàn thành nhiệm vụ học tập và nghiên cứu của mình.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến quý Thầy - Cô giáo đã giảng
dạy lớp cao học Toán Khóa 23 của trường ĐHSP Huế cũng như toàn
thể các thầy cô trong khoa Toán trường ĐHSP Huế vì sự giảng dạy
tận tình và sự quan tâm, động viên, khích lệ tôi trong suốt quá trình
học tập và thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến BGH trường ĐHSP Huế, Phòng
Sau Đại học trường ĐHSP Huế đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành
công việc học tập, nghiên cứu của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những
thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý
thầy, cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân
và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Xin trân trọng cảm ơn!

iii


MỤC LỤC

Trang phụ bìa

i

Lời cam đoan

ii

Lời cảm ơn

iii

Mục lục

1

Mở đầu

2

1 Kiến thức bổ trợ

4
1,p(x)

1.1

Không gian Sobolev W0

(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2

Một số vấn đề về phương pháp biến phân . . . . . . . . . . . .

14

2 Bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)Laplacian

20

2.1

Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2

Sự tồn tại và tính đa nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Kết luận

51

Tài liệu tham khảo

52

1


MỞ ĐẦU
Như chúng ta đã biết, bài toán biên elliptic trong phương trình đạo hàm
riêng xuất phát từ những mô hình về các bài toán độc lập thời gian trong các
ngành khoa học kỹ thuật (xem [12]). Bên cạnh những bài toán biên elliptic
được mô tả trong không gian Sobolev với số mũ thường W 1,p (Ω), chúng ta
còn bắt gặp các mô hình bài toán không thuần nhất, chẳng hạn một số bài
toán liên quan đến chất lỏng điện biến (hay còn gọi là chất lỏng thông minh)
thường được các nhà toán học mô tả trong không gian Sobolev với số mũ
biến thiên W 1,p(x) (Ω), ở đó p(x) là một hàm số. Trong những năm gần đây,
có nhiều phương pháp được các nhà toán học đưa ra để nghiên cứu sự tồn tại
nghiệm yếu đối với các bài toán biên elliptic không tuyến tính, đó là phương
pháp bậc tô pô, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, phương pháp điểm
bất động, phương pháp biến phân,... Mỗi phương pháp có những ưu điểm và
hạn chế riêng do đó chỉ áp dụng được cho một lớp bài toán cụ thể.
Trong số những phương pháp kể trên, chúng tôi đặc biệt quan tâm đến
phương pháp biến phân. Về nguyên tắc, theo phương pháp này, để tìm nghiệm
yếu một bài toán biên elliptic ta quy về tìm điểm tới hạn của một phiếm hàm
nào đó trong một không gian hàm thích hợp. Cùng với sự phát triển mạnh
mẽ trong việc nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính, các công cụ

về phương pháp biến phân ngày càng được cải tiến. Ngoài các nguyên lí cực
tiểu thường áp dụng cho phiếm hàm bị chặn dưới, các nhà toán học đã phát
triển lý thuyết về sự tồn tại điểm tới hạn thông qua các định lí kiểu minimax.
Một trong những định lí như vậy được đề cập trong luận văn có tên là định
lí Qua núi được đề xuất và chứng minh bởi Ambrosetti và Rabinowitz [3] vào
năm 1973. Định lí này được các nhà toán học áp dụng rộng rãi khi nghiên
cứu sự tồn tại nghiệm đối với các bài toán biên elliptic không tuyến tính mà
phiếm hàm liên kết với nó không bị chặn dưới. Bên cạnh đó chúng tôi cũng
quan tâm đến một số công cụ khác như định lí Minty-Browder hay định lí về
sự tồn tại vô hạn nghiệm đối với phiếm hàm chẵn.

2


Nội dung chính của luận văn dựa trên việc tham khảo các kết quả nghiên
cứu trong bài báo [10]. Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận
văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Kiến thức bổ trợ. Chương này dành để trình bày những kiến
thức cơ bản liên quan được dùng trong luận văn như không gian Sobolev với
số mũ biến thiên và một số nguyên lí biến phân.
Chương 2. Bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic kiểu p(x)Laplacian. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lớp bài toán biên Dirichlet
kiểu p(x)-Laplacian có dạng như sau

 −∆p(x) u := −div(|∇u|p(x)−2 ∇u) = f (x, u),
 u = 0,

x ∈ Ω,

(1)

x ∈ ∂Ω,

ở đây, Ω là một miền bị chặn trong không gian Rd , d ≥ 2, p : Ω → R là một
hàm liên tục, p(x) > 1 với mọi x ∈ Ω và f : Ω×R → R là một hàm cho trước.
Với các giả thiết khác nhau được ấn định lên hàm f , chúng tôi nghiên cứu
sự tồn tại và tính đa nghiệm yếu đối với bài toán (1) bằng cách sử dụng các
nguyên lí biến phân được trình bày trong Chương 1.

3


Chương 1
Kiến thức bổ trợ
1.1

1,p(x)

Không gian Sobolev W0

(Ω)

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản
1,p(x)

của không gian Lebesgue Lp(x) (Ω) và không gian Sobolev W0

(Ω) với số

mũ biến thiên được sử dụng trong luận văn. Đây là những không gian hàm
được mở rộng một cách tự nhiên từ các không gian hàm đã biết với số mũ là

hằng số Lp (Ω) và W01,p (Ω). Những kết quả ở đây được tham khảo từ các tài
liệu [2], [3], [4], [5], [6], [7], [9], [10], [11], [13], [15], [16].
Giả sử d ∈ N∗ . Kí hiệu Rd := {x = (x1 , x2 , ..., xd ) : xj ∈ R, j = 1, 2, ..., d},
Ω là một miền (mở và liên thông) trong Rd .
Định nghĩa 1.1.1. Với mỗi hàm u xác định trên miền Ω ⊂ Rd , kí hiệu
supp (u) := {x ∈ Ω : u(x) = 0}
và gọi là giá của hàm u trên Ω. Không gian C0∞ (Ω) bao gồm các hàm khả vi
vô hạn và có giá là một tập compact chứa trong Ω. Không gian này thường
được gọi là không gian hàm thử.
Với p ∈ [1, +∞), kí hiệu Lp (Ω) là không gian các hàm đo được Lebesgue
u : Ω → R thỏa mãn điều kiện
p

|u| dx < +∞.
Ω

Khi đó, Lp (Ω) là một không gian Banach với chuẩn được xác định bởi

1/p
u

Lp (Ω)

p

= |u|p = 

|u| dx
Ω

4

.


Không gian L∞ (Ω) gồm các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R bị chặn
trên Ω là một không gian Banach với chuẩn
u
Không gian

Lploc (Ω),

L∞ (Ω)

= |u|∞ = ess sup |u (x)| .
x∈Ω

p ∈ [1, +∞] bao gồm các hàm u ∈ Lp (Ω ) với mọi

tập con compact Ω ⊂⊂ Ω. Như vậy ta luôn có Lp (Ω) ⊂ L1loc (Ω) với mọi
1 ≤ p ≤ +∞. Hơn nữa, nếu Ω là một miền bị chặn và 1 ≤ p1 < p2 < +∞ thì
Lp2 (Ω) ⊂ Lp1 (Ω).
Nếu 1 ≤ p < +∞ thì không gian Lp (Ω) là một không gian Banach tách
được. Không gian C0∞ (Ω) trù mật khắp nơi trong không gian Lp (Ω) với
1 ≤ p < +∞. Ngoài ra, với 1 < p < +∞, không gian Lp (Ω) là một không
gian Banach phản xạ. Liên quan đến không gian Lp (Ω) chúng ta còn có một
số kết quả sau (xem [7, Chương 4]).
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử Ω là một miền trong Rd và u ∈ L1loc (Ω) thỏa mãn
∀v ∈ C0∞ (Ω) .

uv dx = 0,
Ω

Khi đó ta có u = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Mệnh đề 1.1.3. (Bất đẳng thức H¨
older) Giả sử u ∈ Lp (Ω) , v ∈ Lp (Ω) với
1 1
1 ≤ p, p ≤ +∞ là cặp số mũ liên hợp, tức là + = 1. Khi đó, uv ∈ L1 (Ω)
p p
và
uvdx ≤ |u|p |v|p .
Ω

Mệnh đề 1.1.4. Giả sử 1 ≤ p < +∞ và {un } là dãy hàm trong Lp (Ω) hội
tụ theo chuẩn về hàm u ∈ Lp (Ω). Khi đó, tồn tại một dãy con {unk } và hàm
g ∈ Lp (Ω) sao cho
(i) unk (x) → u (x) hầu khắp nơi trên Ω.
(ii) |unk (x)| ≤ g (x), hầu khắp nơi trên Ω với mọi k ∈ N∗ .
Mệnh đề 1.1.5. (Bổ đề Fatou) Giả sử {un } là một dãy các hàm đo được
không âm trên tập đo được Ω ⊂ Rd . Khi đó ta có
lim un dx ≤ lim
n→∞

un dx.

n→∞
Ω

Ω

5


Mệnh đề 1.1.6. (Định lí Lebesgue về sự hội tụ bị chặn) Giả sử {un } là một
dãy các hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi đến hàm đo được u trên tập đo được
Ω ⊂ Rd và thỏa mãn |un (x)| ≤ g (x) hầu khắp nơi trên Ω, trong đó g là một
hàm khả tích. Khi đó ta có
lim

un dx =

n→∞
Ω

u (x) dx.
Ω

Ngoài Mệnh đề 1.1.6, trong trường hợp Ω có độ đo hữu hạn (µ(Ω) < +∞),
để chuyển giới hạn qua dấu tích phân chúng ta còn dùng đến định lí Vitali
liên quan đến một họ hàm đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân (hay còn
gọi là khả tích đều), xem [15, tr.151-159].
Định nghĩa 1.1.7. Giả sử {un } là một dãy các hàm xác định và khả tích
trên tập đo được Ω ⊂ Rd , µ(Ω) < +∞. Ta nói dãy {un } là đồng liên tục
tuyệt đối theo tích phân trên Ω nếu với mọi

> 0, tồn tại δ = δ( ) > 0 sao

cho với mọi tập con E ⊂ Ω có độ đo µ(E) < δ ta có
un dx < ,

∀n ∈ N∗ .

E

Nhận xét 1.1.8. Giả sử Ω ⊂ Rd là một tập đo được với độ đo µ (Ω) < +∞.
Từ Định nghĩa 1.1.7, ta có các khẳng định sau đây:
(i) Nếu {un } và {vn } là hai dãy các hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt
đối theo tích phân trên Ω thì dãy hàm {un + vn } khả tích và đồng liên tục
tuyệt đối theo tích phân trên Ω. Đặc biệt, nếu u là một hàm khả tích trên Ω
thì {un + u} cũng là dãy hàm khả tích và đồng liên tục tuyệt đối theo tích
phân trên Ω.
(ii) Giả sử {un } và {vn } là hai dãy các hàm không âm, khả tích trên Ω,
đồng thời thỏa mãn điều kiện
un ≤ Cvn ,

∀n ∈ N,

C > 0.

Khi đó, nếu dãy hàm {vn } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω
thì dãy hàm {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω.
6


Mệnh đề 1.1.9. (Định lí Vitali) Giả sử {un } là một dãy các hàm khả tích
hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm đo được
u. Nếu dãy {un } đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω thì u cũng là
hàm khả tích và ta có
lim

un dx =

n→∞
Ω

u dx.

(1.1)

Ω

Kết quả sau đây cho ta một điều kiện đủ để một dãy hàm là đồng liên tục
tuyệt đối theo tích phân.
Mệnh đề 1.1.10. Giả sử {un } là một dãy các hàm khả tích và u là một hàm
khả tích trên tập đo được Ω ⊂ Rd , µ(Ω) < +∞. Nếu với mọi tập con E ⊂ Ω
ta có đẳng thức tích phân
un dx =

lim

n→∞
E

u dx

(1.2)

E

thì dãy hàm {un } là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω.

Từ Mệnh đề 1.1.9 và Mệnh đề 1.1.10 ta có một biến dạng của Định lí
Vitali được phát biểu như sau.
Mệnh đề 1.1.11. Giả sử {un } là một dãy các hàm khả tích hội tụ hầu khắp
nơi trên tập đo được Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm khả tích u. Khi đó, đẳng
thức tích phân (1.2) xảy ra với mọi tập con E ⊂ Ω khi và chỉ khi dãy hàm
{un } là đồng liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω.
Trong trường hợp đặc biệt, nếu {un } là một dãy các hàm không âm thì ta
có kết quả sau nhờ Bổ đề Fatou (xem Mệnh đề 1.1.5).
Mệnh đề 1.1.12. Giả sử {un } là một dãy các hàm không âm, khả tích và
hội tụ hầu khắp nơi trên tập đo được Ω ⊂ Rd (µ(Ω) < +∞) đến hàm đo được
u. Khi đó, nếu đẳng thức tích phân (1.1) xảy ra thì dãy hàm {un } là đồng
liên tục tuyệt đối theo tích phân trên Ω.
Tiếp theo chúng ta sẽ nói về đạo hàm yếu và không gian Sobolev với số mũ
hằng. Đây là những khái niệm rất quan trọng trong lí thuyết phương trình
đạo hàm riêng, xem [2] hoặc [7, Chương 9].
7


Định nghĩa 1.1.13. Giả sử u ∈ L1loc (Ω) và đa chỉ số α = (α1 , α2 , ..., αd ),
d

αj . Ta nói hàm v ∈ L1loc (Ω) là đạo

αj ∈ N, j = 1, 2, .., d với môđun |α| =
j=1

hàm yếu cấp α của u nếu
|α|

uDα ϕ dx = (−1)

Ω

ϕ ∈ C0∞ (Ω)

ϕv dx,

(1.3)

Ω

trong đó
∂ |α| ϕ(x)
D ϕ = α1 α2 αd .
∂x1 ∂x2 ...∂xd
α

Kí hiệu đạo hàm yếu cấp α của hàm u là v = Dα u. Khi |α| = 1, các
∂u
,
đạo hàm yếu cấp 1 của hàm u theo biến xj được kí hiệu bởi Dxj u =
∂xj
j = 1, 2, ..., d sẽ thỏa mãn đẳng thức
uDxj ϕ dx = −
Ω

ϕDxj u dx,

ϕ ∈ C0∞ (Ω) .

(1.4)

Ω

Từ Định nghĩa 1.1.13, đạo hàm cổ điển Dα u cấp α của hàm u cũng là đạo
hàm yếu cấp α của u. Tuy nhiên, có thể tồn tại đạo hàm yếu Dα u cấp α của
u nhưng không tồn tại đạo hàm cổ điển của nó. Một đặc trưng của đạo hàm
yếu khác với đạo hàm cổ điển là nếu đạo hàm yếu cấp α của hàm u tồn tại
thì chưa chắc đã có đạo hàm yếu cấp thấp hơn. Trong khuôn khổ luận văn,
chúng tôi không đi sâu vào vấn đề này, đọc giả có thể tham khảo thêm trong
tài liệu [2].
Định nghĩa 1.1.14. Giả sử Ω là miền trong Rd , có biên ∂Ω và 1 < p < +∞.
Không gian Sobolev W 1,p (Ω) bao gồm tất cả các hàm u ∈ Lp (Ω) sao cho đạo
hàm yếu Dxj u ∈ Lp (Ω) với mọi j = 1, 2, .., d, tức là
W 1,p (Ω) = u ∈ Lp (Ω) | Dxj u ∈ Lp (Ω), ∀j = 1, 2, .., d .
Như chúng ta đã biết, W 1,p (Ω) là không gian Banach phản xạ và tách được
với chuẩn

1
p

d

u

W 1,p (Ω)

=

|u|pp +

|Dxj u|pp
j=1

8

.


Chuẩn này tương đương với chuẩn

u

1,p

 p1
(|u|p + |∇u|p )dx ,

=

(1.5)

Ω

trong đó
∂u
∂u ∂u
,
, ...,
∂x1 ∂x2
∂xd

∇u := (Dx1 u, Dx2 u, ..., Dxd u) =

,

1
2

d

|Dxj u|2

|∇u| =

.

j=1

Không gian W01,p (Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong không gian W 1,p (Ω).
Đây là một không gian Banach phản xạ với 1 < p < +∞ và là không gian
Banach tách được với 1 ≤ p < +∞. Hơn nữa, ta có nếu u ∈ W 1,p (Ω) với
1 ≤ p < +∞ và supp(u) là một tập compact trong Ω thì u ∈ W01,p (Ω), xem
[7, Chương 9].
Mệnh đề 1.1.15. (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử Ω là miền bị chặn và
1 ≤ p < +∞. Khi đó, tồn tại số C > 0 sao cho
∀u ∈ W01,p (Ω) .

|u|p ≤ C|∇u|p ,

(1.6)

Từ Mệnh đề 1.1.15, khi xét không gian W01,p (Ω), thay vì sử dụng chuẩn ở
đẳng thức (1.5) ta có thể dùng chuẩn tương đương sau
u

W01,p (Ω)

= u

p

1
p

|∇u|p dx

=

.

Ω

Thật vậy, từ (1.5) ta có
u

W01,p (Ω)

=

p

|u|p

+

p
|∇u|p

1
p

≥ |∇u|p .

Mặt khác, từ bất đẳng thức Poincaré (1.6), ta lại có
u

W01,p (Ω)

=

p
|u|p

+

p
|∇u|p

1
p

≤ C

p

p
|∇u|p

+

p
|∇u|p

1
p

1

= (C p + 1) p |∇u|p .

hay
u

W01,p (Ω)

≤ C |∇u|p

với C là một hằng số dương. Từ đó, suy ra hai chuẩn u
tương đương.
9

W01,p (Ω)

và |∇u|p là


Định nghĩa 1.1.16. Cho (X, . ) là một không gian Banach, hàm u : X → R
gọi là liên tục Lipschitz trên X nếu tồn tại L > 0, sao cho
|u (x) − u (y)| ≤ L x − y ,

∀x, y ∈ X.

Định nghĩa 1.1.17. Cho Ω là một miền bị chặn trong Rd với biên ∂Ω.
Ta nói Ω là một miền Lipschitz hay miền có biên Lipschitz nếu với mỗi điểm
z ∈ ∂Ω, tồn tại một lân cận Uz của z và một hàm liên tục Lipschitz ψz
sao cho
∂Ω ∩ Uz = {x = (x , xd ) ∈ Uz | xd = ψz (x ), x = (x1 , x2 , ..., xd−1 )} .
Định nghĩa 1.1.18. Cho X và Y là hai không gian Banach. Ta nói rằng,
không gian X nhúng liên tục vào không gian Y và được kí hiệu X → Y ,
nếu X ⊂ Y và tồn tại hằng số c > 0 sao cho u

Y

≤c u

X

với mọi u ∈ X.

Khi đó, ta có toán tử nhúng J : X → Y , u → J(u) ∈ Y là tuyến tính liên
tục. Nếu không gian X nhúng liên tục vào không gian Y và toán tử nhúng J

xác định như trên là compact thì ta nói phép nhúng là compact, kí hiệu
X →→ Y .
Sau đây chúng ta phát biểu định lí nhúng trong không gian Sobolev với
số mũ hằng (trường hợp miền Ω bị chặn), xem [7]. Đặt

 dp/(d − p) , p < d
∗
p =
 +∞, p ≥ d.
Mệnh đề 1.1.19. (Định lí nhúng Sobolev) Giả sử Ω là miền bị chặn, có biên
∂Ω Lipschitz và 1 ≤ p < +∞. Khi đó, với 1 ≤ q < p∗ thì phép nhúng từ
W 1,p (Ω) vào Lq (Ω) là liên tục và compact .
Chú ý rằng nếu chúng ta xét trong không gian W01,p (Ω) thì định lí nhúng
Sobolev vẫn đúng mà không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ∂Ω.
Tiếp theo, chúng ta sẽ trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản liên
1,p(x)

quan đến các không gian Lp(x) (Ω) và W0

(Ω) với p(x) là một hàm số liên

tục trên Ω. Đọc giả có thể xem thêm trong các tài liệu [9], [10], [11].
10


Trong phần này, chúng ta luôn giả thiết rằng Ω là một miền bị chặn trong
không gian Rd , (d ≥ 2) và Ω là bao đóng của Ω. Đặt
C+ (Ω) = h : h ∈ C(Ω), h(x) > 1, ∀x ∈ Ω .
Với h ∈ C+ (Ω), ta kí hiệu
h− := min h(x).

h+ := max h(x),
x∈Ω

x∈Ω

Định nghĩa 1.1.20. Với p ∈ C+ (Ω), ta có định nghĩa không gian Lp(x) (Ω)
được xác định bởi


p(x)
L
(Ω) = u : u là hàm thực đo được,

với chuẩn
|u|p(x)
Khi đó,



= inf λ > 0 :


Lp(x) (Ω) , |.|p(x)

u(x)
λ

p(x)

|u(x)|

dx < ∞



Ω

p(x)

Ω






dx ≤ 1 .


(1.7)

là một không gian Banach phản xạ và tách

được. Không gian C0∞ (Ω) là trù mật khắp nơi trong không gian Lp(x) (Ω).
p(x)

Tương tự với trường hợp số mũ hằng, không gian Lloc (Ω) bao gồm các
hàm u ∈ Lp(x) (Ω ) với mọi tập con compact Ω ⊂⊂ Ω. Như vậy ta luôn có
Lp(x) (Ω) ⊂ L1loc (Ω). Hơn nữa, nếu p1 , p2 ∈ C+ (Ω) thỏa mãn p1 (x) ≤ p2 (x) với

mọi x ∈ Ω thì Lp2 (x) (Ω) ⊂ Lp1 (x) (Ω). Đặc biệt, với mọi p ∈ C+ (Ω), ta có
−

Lp(x) (Ω) ⊂ Lp (Ω).
Nếu p(x) = p = const thì chuẩn (1.7) trong không gian Lp(x) (Ω) chính là
chuẩn thông thường trong không gian Lebesgue với số mũ hằng Lp (Ω).
Thật vậy, theo Định nghĩa 1.1.20, khi p(x) = p thì chuẩn trong Lp (Ω)
được xác định bởi
|u|p(x)



= |u|p = inf λ > 0 :


p

Ω




u(x)
dx ≤ 1 .

λ

Nếu u = 0 thì |u|p = 0 thỏa mãn. Ta xét trường hợp u = 0. Khi đó,
nếu chọn
 p1



|u(x)|p dx > 0

λ = |u|p = 
Ω

11


thì

p

u(x)
dx = 1.
λ
Ω

Suy ra


|u|p = inf λ > 0 :





p

u(x)
dx ≤ 1 ≤ 

λ

Ω

 p1



p
|u (x)| dx .
Ω

Mặt khác, nếu λ > 0 thỏa mãn
p

u(x)
dx ≤ 1
λ
Ω

thì

1/p


p

|u (x)| dx



≤ λ.

Ω

Do đó


|u|p = inf λ > 0 :





p

Ω

1/p



u(x)
dx ≤ 1 ≥ 

λ

p

|u (x)| dx

.

Ω

Từ đó suy ra
1/p


p

|u (x)| dx

|u|p = 

.

Ω

Mệnh đề 1.1.21. (Bất đẳng thức H¨
older) Giả sử p, q ∈ C+ (Ω) là cặp số mũ
1
1
liên hợp, tức là
+
= 1 với mọi x ∈ Ω. Khi đó, với mọi u ∈ Lp(x) (Ω)

p(x) p (x)
p (x)
và v ∈ L
(Ω), ta có
uv dx ≤

1
1
+
p− (p )−

|u|p(x) .|v|q(x) ≤ 2|u|p(x) .|v|p (x) .

Ω

Trường hợp p(x) = p = const, p (x) = p = const, u ∈ Lp (Ω), v ∈ Lp (Ω)
ta có bất đẳng thức H¨older trong không gian Lebesgue với số mũ hằng Lp (Ω)
(xem Mệnh đề 1.1.3). Để thực hiện các ước lượng tính toán trong không gian
Lp(x) (Ω) chúng ta cần đến hai mệnh đề sau đây (xem [10]).
12


Mệnh đề 1.1.22. Nếu ta kí hiệu
p(x)

|u|

ρ (u) =

∀u ∈ Lp(x) (Ω)

dx,

(1.8)

Ω

thì
(i) |u|p(x) < 1 (= 1, > 1) ⇔ ρ (u) < 1 (= 1, > 1)
p−

p+

(ii) |u|p(x) > 1 ⇒ |u|p(x) ≤ ρ (u) ≤ |u|p(x)
p−

p+

(iii) |u|p(x) < 1 ⇒ |u|p(x) ≥ ρ (u) ≥ |u|p(x)
(iv) |u|p(x) → 0 ⇔ ρ (u) → 0; |u|p(x) → +∞ ⇔ ρ (u) → +∞.
Mệnh đề 1.1.23. Nếu u, un ∈ Lp(x) (Ω), n = 1, 2... thì các khẳng định sau
đây là tương đương:
(i) lim |un − u|p(x) = 0
n→∞

(ii) lim ρ (un − u) = 0
n→∞

(iii) un → u theo độ đo trong miền Ω và lim ρ (un ) = ρ (u), ở đây
n→∞

p(x)

ρ:L

(Ω) → R được xác định bởi công thức (1.8).

Định nghĩa 1.1.24. Giả sử p ∈ C+ (Ω). Không gian Sobolev với số mũ biến
thiên W 1,p(x) (Ω) được định nghĩa bởi
W 1,p(x) (Ω) = u ∈ Lp(x) (Ω) : Dxj u ∈ Lp(x) (Ω), ∀j = 1, 2, ..., d
với chuẩn
u

W 1,p(x) (Ω)



= inf µ > 0 :


u (x)
µ

p(x)

∇u (x)
µ

+

p(x)

dx ≤ 1

Ω




.



Chuẩn này tương đương với chuẩn
u = |u|p(x) + |∇u|p(x) ,
1,p(x)

Không gian W0
1,p(x)

và W0

∀u ∈ W 1,p(x) (Ω) .

(1.9)

(Ω) là bao đóng của C0∞ (Ω) trong W 1,p(x) (Ω). W 1,p(x) (Ω)

(Ω) là những không gian Banach phản xạ và tách được.

Mệnh đề 1.1.25. (Bất đẳng thức Poincaré) Giả sử Ω là một miền bị chặn
trong Rd . Khi đó, tồn tại một hằng số dương C > 0 sao cho
|u|p(x) ≤ C|∇u|p(x) ,
13

1,p(x)

∀u ∈ W0

(Ω) .


Tương tự không gian Sobolev với số mũ hằng W01,p (Ω), từ Mệnh đề 1.1.25,
1,p(x)

khi xét không gian W0

(Ω) ta có thể sử dụng chuẩn tương đương sau
1,p(x)

u = |∇u|p(x) ,

u ∈ W0

(Ω) .

(1.10)

Đặt
p∗ (x) =


 dp(x)/(d − p(x)) ,
 +∞,

p(x) < d

p(x) ≥ d.

Mệnh đề 1.1.26. Giả sử Ω là một miền bị chặn, có biên ∂Ω Lipschitz và
p ∈ C+ (Ω). Nếu q ∈ C+ Ω và q (x) < p∗ (x) với mọi x ∈ Ω thì phép nhúng
từ W 1,p(x) (Ω) vào Lq(x) (Ω) là liên tục và compact.
1,p(x)

Nếu xét trong không gian W0

(Ω) thì Mệnh đề 1.1.26 vẫn đúng mà

không cần đến điều kiện Lipschitz của biên ∂Ω.

1.2

Một số vấn đề về phương pháp biến phân

Mục này giới thiệu sơ lược về phương pháp biến phân và một số định nghĩa,
mệnh đề được sử dụng ở chương 2. Trước hết, chúng tôi giới thiệu khái niệm
về tính khả vi đối với phiếm hàm xác định trên một không gian Banach.
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một không gian Banach, I : X → R là một
phiếm hàm xác định trên X. Ta nói I khả vi Fréchet tại điểm u ∈ X nếu tồn
tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là I (u) ∈ X ∗ = L(X, R) sao cho

|I(u + h) − I(u) − I (u)h|
= 0.
h X
X →0

lim
h

Nếu I khả vi Fréchet tại mọi điểm u ∈ X thì ta nói rằng phiếm hàm I
khả vi Fréchet trên X, ánh xạ I : X → X ∗ , u → I (u) được gọi là đạo hàm
Fréchet của I. Nếu phiếm hàm I khả vi Fréchet trên X thì I liên tục trên X.
Nếu I khả vi Fréchet trên X và đạo hàm Fréchet I : X → X ∗ liên tục thì
ta nói rằng I khả vi Fréchet liên tục trên X và kí hiệu I ∈ C 1 (X, R). Chuẩn
của I (u) được xác định bởi
I (u)

X∗

= sup {|I (u)(h)| : h ∈ X, h
14

X

= 1} .


Định nghĩa 1.2.2. Giả sử X là một không gian Banach, I : X → R là một
phiếm hàm xác định trên X. Ta nói I khả vi Gâteaux tại điểm u ∈ X nếu
tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục, kí hiệu là IG (u) ∈ X ∗ = L(X, R) sao cho
với mọi h ∈ X, ta có

I(u + th) − I(u)
= IG (u)h.
t→0
t

lim

Nếu I khả vi Gâteaux tại mọi điểm u ∈ X thì ta nói I khả vi Gâteaux
trên không gian X, ánh xạ IG : X → X ∗ được gọi là đạo hàm Gâteaux của
I. Để ý rằng tính chất khả vi Gâteaux không suy ra được tính chất liên tục
như đối với khả vi Fréchet.
Kết quả sau đây thường được sử dụng để chứng minh một phiếm hàm xác
định trên không gian Banach là khả vi Fréchet liên tục.
Mệnh đề 1.2.3. Nếu phiếm hàm I khả vi Fréchet tại u ∈ X thì I khả vi
Gâteaux tại u. Ngược lại, nếu phiếm hàm I có đạo hàm Gâteaux IG liên tục
trên X thì I khả vi Fréchet trên X và I ∈ C 1 (X, R).
Định nghĩa 1.2.4. Giả sử X là một không gian Banach, I : X → R là một
phiếm hàm xác định và khả vi Fréchet (hoặc Gâteaux) trên R với đạo hàm
I (u). Điểm u0 ∈ X thỏa mãn phương trình I (u0 ) = 0 được gọi là một điểm
tới hạn. Ngược lại, nếu I (u0 ) = 0 thì u0 được gọi là điểm chính quy của I.
Số thực c ∈ R được gọi là một giá trị tới hạn của phiếm hàm I nếu tồn tại
một điểm tới hạn u0 ∈ X sao cho
I(u) = c,

I (u0 ) = 0.

Chúng ta biết rằng khái niệm hàm Carathéodory thường được sử dụng
trong việc chứng minh tính khả vi của phiếm hàm. Kết quả sau đây được mở
rộng tự nhiên từ không gian Lebesgue với số mũ hằng (xem [10]).
Định nghĩa 1.2.5. Giả sử Ω ⊂ Rd . Hàm f : Ω × R → R được gọi là một

hàm Carathéodory nếu thỏa mãn các điều kiện: Với mỗi x ∈ Ω cố định, hàm
t → f (x, t) là liên tục trên R và với mỗi t ∈ R cố định, hàm x → f (x, t) là
đo được trên Ω.
15


Mệnh đề 1.2.6. Giả sử p1 , p2 ∈ C+ Ω . Nếu f : Ω × R → R là hàm
Carathéodory và thỏa mãn
p1 (x)/p2 (x)

|f (x, t)| ≤ a (x) + b|t|

,

∀x ∈ Ω,

t ∈ R,

trong đó a ∈ Lp2 (x) (Ω), a (x) ≥ 0 với mọi x ∈ Ω và b ≥ 0 là một hằng số.
Khi đó, toán tử Nemytskii xác định bởi
Nf (u (x)) = f (x, u(x))
là liên tục và bị chặn từ không gian Lp1 (x) (Ω) vào không gian Lp2 (x) (Ω).
Mệnh đề 1.2.7. (Định lí Divergence, xem [13]) Cho Ω là một miền bị chặn
trong Rd có biên là ∂Ω, V là một trường vectơ thuộc lớp C 1 (Ω) ∩ C 0 Ω .
Khi đó ta có
div (V ) dx =
Ω

V.ν dσ,
∂Ω

trong đó ν là vectơ pháp tuyến đơn vị phía ngoài với biên ∂Ω.
Định nghĩa 1.2.8. Giả sử X là một không gian Banach và X ∗ là không gian
đối ngẫu của X và A : X → X ∗ là một ánh từ X vào X ∗ .
(i) Ta nói rằng ánh xạ A là đơn điệu trên X nếu
(A (u) − A (v)) (u − v) ≥ 0,

∀u, v ∈ X.

Trong trường hợp
(A (u) − A (v)) (u − v) > 0,

∀u, v ∈ X,

u=v

ta nói ánh xạ A là đơn điệu ngặt trên X.
(ii) Ánh xạ A : X → X ∗ thỏa mãn điều kiện bức nếu với u ∈ X ta có
A (u) (u)
= +∞.
u
→+∞

lim
u

Mệnh đề 1.2.9. (Định lí Minty-Browder, xem [7, tr.145]) Cho X là không
gian Banach phản xạ và A : X → X ∗ là liên tục, bị chặn trên các tập bị
chặn, thỏa điều kiện bức và đơn điệu thì A là toàn ánh, tức là với mọi phiếm
hàm g ∈ X ∗ , tồn tại hàm u ∈ X sao cho

Au = g.
Hơn nữa, nếu A là đơn điệu ngặt thì hàm u được xác định duy nhất.
16


Định nghĩa 1.2.10. Giả sử X là không gian Banach, I : X → R là phiếm
hàm xác định trên X.
Phiếm hàm I : X → R được gọi là nửa liên tục dưới mạnh trên X nếu với
mọi dãy {un } hội tụ mạnh đến u trong X, ta có
I(u) ≤ lim inf I(un ).
n→∞

Phiếm hàm I được gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy
{un } hội tụ yếu đến u trong X, ta có
I(u) ≤ lim inf I(un ).
n→∞

Định nghĩa 1.2.11. (xem [16, Chương I]) Giả sử X là một không gian
Banach với chuẩn . . Phiếm hàm A : X → R được gọi là lồi trên tập lồi
C ⊂ X nếu
A (λx + (1 − λ)y) ≤ λA(x) + (1 − λ)A(y)
với mọi x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1].
Phiếm hàm A : X → R được gọi là lồi theo điểm giữa trên tập lồi C ⊂ X
nếu
A

x+y
2

1

1
≤ A(x) + A(y)
2
2

với mọi x, y ∈ C.
Mệnh đề 1.2.12. (xem [16, Chương I]) Giả sử X là một không gian Banach.
Nếu phiếm hàm A : X → R là liên tục và lồi theo điểm giữa trên tập lồi
C ⊂ X thì A lồi trên C.
Mệnh đề 1.2.13. (xem [6, Mục I.3 và Hệ quả III.8]) Giả sử X là không
gian Banach, I : X → R là một phiếm hàm xác định trên X.
(i) Phiếm hàm I là nửa liên tục dưới mạnh trên X nếu và chỉ nếu với mọi
u ∈ X và với mọi

> 0, tồn tại δ = δ(u, ) > 0 sao cho I(v) ≥ I(u) − với

mọi v ∈ X thỏa mãn u − v < δ.
(ii) Nếu I là phiếm hàm lồi trên X thì I là nửa liên tục dưới yếu khi và
chỉ khi nó là nửa liên tục dưới mạnh.
17


Mệnh đề 1.2.14. (xem [5, tr.2987]) Cho X là một không gian Banach phản
xạ, I : X → R là phiếm hàm nửa liên tục dưới yếu và thỏa mãn điều kiện
bức, tức là
lim

u →+∞

I (u) = +∞,

u ∈ X.

Khi đó, I có ít nhất một điểm cực tiểu trong X.
Định nghĩa 1.2.15. Giả sử I : X → R là phiếm hàm khả vi Fréchet liên tục
trên không gian Banach X. Ta nói I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale trong
X, nếu mọi dãy {un } trong X sao cho {I(un )} bị chặn và lim I (un ) = 0 đều
n→∞

có một dãy con hội tụ trong X.
Sau đây chúng ta giới thiệu định lí "Qua núi". Định lí này cho phép chúng
ta chứng minh sự tồn tại điểm tới hạn của những phiếm hàm không bị chặn
dưới.
Mệnh đề 1.2.16. (xem [3]) Giả sử X là không gian Banach và I ∈ C 1 (X, R).
Giả sử I thỏa điều kiện Palais-Smale, I(0) = 0 và các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) Tồn tại các hằng số r, α > 0 sao cho I(u) ≥ α với mọi u ∈ X thỏa
mãn u = r.
(ii) Tồn tại e ∈ X, e > r sao cho I(e) < 0.
Đặt
c = inf max I(γ(t)),
γ∈Γ t∈[0,1]

trong đó
Γ = {γ ∈ C([0, 1], X) | γ(0) = 0, γ(1) = e}.
Khi đó, c là một giá trị tới hạn của phiếm hàm I, tức là tồn tại điểm tới hạn
u ∈ X sao cho I (u) = 0 và I(u) = c ≥ α.
Cho X là một không gian Banach phản xạ và tách được, khi đó tồn tại
{ej } ⊂ X và e∗j ⊂ X ∗ sao cho
X = span {ej : j = 1, 2...},
và

e∗i , ej =

X ∗ = span e∗j : j = 1, 2...

 1, i = j
 0, i = j
18


ta kí hiệu
Xj = span {ej } ,

k

Yk = ⊕ Xj ,
j=1

∞

Zk = ⊕ Xj .
j=k

Mệnh đề 1.2.17. (xem [4]) Giả sử X là một không gian Banach phản xạ và
tách được, I ∈ C 1 (X, R) là phiếm hàm chẵn, các không gian con Xk , Yk , Zk
được xác định như trên. Nếu với mỗi k = 1, 2..., tồn tại ρk > γk > 0 sao cho
thỏa mãn
(i) bk := inf {I (u) : u ∈ Zk , u = γk } → ∞ khi k → ∞,
(ii) ak := max {I (u) : u ∈ Yk , u = ρk } ≤ 0
(iii) I thỏa mãn điều kiện Palais-Smale
thì I có một dãy điểm tới hạn {un } mà I (un ) → ∞.

19


Chương 2
Bài toán biên Dirichlet đối với
phương trình elliptic kiểu
p(x)-Laplacian
2.1

Giới thiệu bài toán

Trong chương này, chúng tôi sẽ nghiên cứu sự tồn tại và tính đa nghiệm
yếu đối với bài toán biên Dirichlet kiểu p(x)-Laplacian như sau

 −∆p(x) u := −div(|∇u|p(x)−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω,
 u = 0,

(2.1)

x ∈ ∂Ω,

trong đó
d
p(x)−2

−∆p(x) u := −div(|∇u|

∇u) = −
j=1

∂
∂xj

p(x)−2

|∇u|

∂u
∂xj

là toán tử p(x)-Laplacian, p ∈ C+ (Ω) và Ω là một miền bị chặn trong không
gian Rd , d ≥ 2, f : Ω × R → R là một hàm Carathéodory thỏa mãn một số
điều kiện nhất định.
Nếu p(.) = p ∈ (1, +∞) là một hằng số, bài toán (2.1) trở thành bài toán
biên Dirichlet đối với phương trình elliptic dạng p-Laplacian quen thuộc

 −∆p u := −div(|∇u|p−2 ∇u) = f (x, u), x ∈ Ω,
(2.2)
 u = 0, x ∈ ∂Ω.

20


Đặc biệt, khi p = 2 ta có bài toán biên elliptic với toán tử Laplacian

 −∆u = f (x, u), x ∈ Ω,
(2.3)
 u = 0, x ∈ ∂Ω.
Trong thời gian gần đây, các bài toán (2.2) và (2.3) đã được nhiều nhà toán

học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu bằng nhiều công cụ khác nhau.
Trong khuôn khổ luận văn, chúng tôi quan tâm đến việc áp dụng phương pháp
biến phân để nghiên cứu lớp bài toán này. Về nguyên tắc, theo phương pháp
này, để tìm nghiệm (yếu) của một bài toán biên elliptic, ta quy về tìm điểm
tới hạn của một phiếm hàm nào đó trong một không gian hàm thích hợp.
Để tìm điểm tới hạn, thông thường chúng ta sử dụng các nguyên lí cực tiểu.
Tuy nhiên, một hạn chế của nguyên lí cực tiểu thường bắt gặp là nó đòi hỏi
phiếm hàm liên kết với bài toán bị chặn dưới.
Năm 1973, trong bài báo nổi tiếng [3], Ambrosetti và Rabinowitz đã đề
xuất và chứng minh một kết quả liên quan đến sự tồn tại điểm tới hạn có tên
gọi là định lí Qua núi. Điểm tới hạn thu được khi áp dụng định lí này có dạng
điểm yên ngựa. Điều đặc biệt là định lí này có thể áp dụng cho các phiếm
hàm không bị chặn dưới. Các giả thiết của định lí Qua núi khá thuận tiện
cho việc kiểm tra nên nó đã trở thành một trong những công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu lớp các bài toán biên elliptic bằng phương pháp biến phân. Một
trong những giả thiết quan trọng do Ambrosetti và Rabinowitz đề xuất để
có thể áp dụng định lí Qua núi đối với bài toán (2.3) là: tồn tại các hằng số
θ > 2 và M > 0 sao cho
0 < θF (x, t) ≤ f (x, t)t
t

với mọi x ∈ Ω và mọi |t| ≥ M , trong đó F (x, t) =

f (x, s) ds.
0

Điều kiện này giúp chúng ta chứng minh phiếm hàm liên kết với bài toán
(2.3) thỏa mãn điều kiện Palais-Smale, đây là một trong những điều kiện
quan trọng của định lí Qua núi. Năm 1995, Mawhin và đồng nghiệp [14] đã
nghiên cứu mở rộng các kết quả của Ambrosetti và Rabinowitz [3] cho bài

toán biên elliptic (2.2) đối với toán tử p-Laplacian ∆p u = div(|∇u|p−2 ∇u).
21


Cùng với việc nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính (2.2)
và (2.3) trong không gian Sobolev với số mũ thường W 1,p (Ω), các nhà toán
học còn quan tâm nghiên cứu bài toán biên elliptic (2.1) trong không gian
Sobolev với số mũ biến thiên dạng W 1,p(x) (Ω), trong đó p : Ω → R là một
hàm liên tục. Đây là một chủ đề mới và thú vị khi nghiên cứu bài toán biên
elliptic không tuyến tính. Toán tử p(x)-Laplacian ∆p(x) u là một sự mở rộng
tự nhiên của toán tử p-Laplacian ∆p u trong trường hợp p(.) = p là hằng số.
Tuy nhiên, lớp toán tử ∆p(x) u phức tạp hơn lớp toán tử p-Laplacian ∆p u ở
chỗ nó không có tính thuần nhất. Chính điều này đã gây ra nhiều khó khăn
trong việc nghiên cứu bài toán biên elliptic (2.1), chẳng hạn, chúng ta không
thể sử dụng định lý nhân tử Lagrange trong nhiều bài toán liên quan đến lớp
toán tử này. Việc nghiên cứu bài toán (2.1) xuất phát từ các ứng dụng của
chúng trong cơ học đàn hồi, chất lỏng điện biến, xử lý ảnh, phép tính biến
phân, lí thuyết đàn hồi phi tuyến và các mô hình không thuần nhất trong
môi trường xốp (xem [1], [9]). Những nghiên cứu đó dựa trên sự phát triển
của lí thuyết không gian Sobolev với số mũ biến thiên W 1,p(x) (Ω). Trong bài
báo [10], Fan và đồng nghiệp đã lần đầu tiên nghiên cứu mở rộng những kết
quả của Ambrosetti và Rabinowitz [3], Mawhin [14] cho trường hợp p(.) là
một hàm liên tục. Bên cạnh việc áp dụng định lí Qua núi như đã nói ở trên,
Fan và đồng nghiệp cũng đã chỉ ra một số kết quả liên quan đến sự tồn tại
và tính đa nghiệm yếu của bài toán (2.1). Với mục đích bước đầu tìm hiểu
phương pháp biến phân và cách thức áp dụng phương pháp biến phân trong
việc nghiên cứu bài toán biên elliptic không tuyến tính kiểu p(x)-Laplacian,
chúng tôi sẽ trình bày lại chi tiết những nội dung chính và các kiến thức liên
quan của bài báo [10]. Sau đây chúng tôi giới thiệu một vài giả thiết được đề
cập đến trong luận văn:

(f0 ) f : Ω × R → R là một hàm Carathéodory và thỏa mãn điều kiện: tồn
tại C1 , C2 > 0 sao cho
α(x)−1

|f (x, t)| ≤ C1 + C2 |t|

trong đó α ∈ C+ Ω và α (x) < p∗ (x).
22

,

∀ (x, t) ∈ Ω × R,