Khóa luận tốt nghiệp toán học :BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HÌNH C†ẦU

Mục lục
Mở đầu 3
1 Kiến t hức chuẩn bị 5
1.1 Toán tử, toán tử Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Phương trình Laplace và các bài toán biên trong trong
trường hợp ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Phương trình Laplace trong tọa độ cầu, nghiệm cơ bản
của phương trình Laplace trường hợp ba biến . . . . . . . . 9
1.4.1 Phương trình Laplace trọng tọa độ cầu (r, ϕ, θ) . . . 9
1.4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường
hợp ba biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Phương pháp tách biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 Phương pháp biến thiên tham số . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Sử dụng phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet
đối với phương trình Laplace trong hình cầu 16
2.1 Xây dựng phương pháp hàm Green . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green 16
2.1.2 Xây dựng phương pháp hàm Green . . . . . . . . . 20
2.1.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green . . . . . . . . . 22
2.1.4 Hàm điều hòa. Biểu diễn Green . . . . . . . . . . . . 23
2.2 Thiết lập phương trình Laplace trong tọa độ cầu . . . . . . 28
1
2.3 Phương pháp hàm Green cho bài toán Dirichlet đối với
phương trình Laplace trong hình cầu . . . . . . . . . . . . . 29
2.3.1 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Kết luận 40
Phụ lục 1 42
Phụ lục 2 44
Tài liệu t ham khảo 47
2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình đạo hàm riêng là một học phần rất quan trọng trong chương
trình đào tạo. Giúp sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học
hiện đại trong vật lý. Học phần này có liên quan đến nhiều môn học
khác: Phương pháp toán lý, điện động lực, nhiệt động lực, cơ học lượng
tử, Việc nghiên cứu học phần này là cơ sở nghiên cứu các môn học
khác. Vì thế việc nghiên cứu nó gặp nhiều khó khăn. Học phần này có
nhiều dạng bài tập, mỗi dạng lại có nhiều phương pháp giải đòi hỏi sinh
viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp. Cụ thể là bài tập về bài
toán Dirichlet đối với phương trình Laplace có các phương pháp giải
như: phương pháp tách biến Fourier, phương pháp biến đổi Laplace,
phương pháp hàm Green, hàm Bessel, Mỗi phương pháp đều có ưu
điểm và hạn chế.
Trong học phần Phương trìnhđạo hàm riêng chủ yếu đi sâu vào phương
trình Laplace. Và một phần quan trọng là bài toán Dirichlet đối với
phương trình Laplace như: bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
trong hình tròn, trong hình vành khăn, trong hình trụ, hình cầu. Ở đây
ta đi sâu vào nghiên cứu bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace
trong hình cầu và áp dụng giải một số bài toán cụ t hể trong thực tế.
Với những lý do trên em chọn đề tài: "BÀI TOÁN DIRICHLET ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE TRONG HÌNH CẦU" làm khóa luận tốt
nghiệp của mình.
2. Đối tượng, mục đích, nhiệm vụ, phương pháp, phạm vi nghiên cứu,
giả t huyết khoa học
2.1. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của khóa luận là cơ sở toán học cho phương pháp
hàm Green với bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong
hình cầu.
2.2. Mục đích nghiên cứu

3
Tìm hiểu cơ sở toán học cho phương pháp hàm Green. Dùng phương
pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet đối với phương
trình Laplace trong hình cầu.
2.3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu cơ sở toán học cho việc xây dựng phương pháp hàm Green.
Xây dựng phương pháp hàm Green để tìm nghiệm của bài toán Dirich-
let đối với phương trình Laplace trong hình cầu.
Giải ví dụ bằng phương pháp hàm Green.
2.4. Phương pháp nghiên cứu
Do đặt ra nhiệm vụ như trên và do đặc thù bộ môn, em chọn phương
pháp lý thuyết, thảo luận Seminar, phương pháp toán học và phương
pháp phân tích.
2.5. Phạm vi nghiên cứu:
Bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu.
2.6. Giả t huyết khoa học
Nếu dùng phương pháp hàm Green thì có thể tìm được nghiệm của bài
toán Dirichlet đối với phương trình Laplace trong hình cầu.
3. Cấu trúc của khóa luận gồm
Mở đầu
Chương 1: Cơ sở lý luận của khóa luận
Chương 2: Sử dụng phương pháp hàm Green để giải bài toán Dirichlet
đối với phương trình Laplace trong hình cầu
Kết luận
4. Đóng góp của khóa luận
Có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên.
Góp phần nâng cao kết quả học tập học phần Phương pháp toán lý cho
sinh viên.
4
Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Toán tử, toán tử Laplace
Toán tử là một quy tắc toán học dùng để biến đổi một hàm này sang hàm
khác có cùng bản chất.

Aψ = ϕ
Trong đó

A là toán tử.

Aψ là toán tử

A tác dụng lên hàm ψ cho hàm ϕ.
Ví dụ 1.1. Toán tử tọa độ:

A =

x = x.
ϕ(x) =

xψ(x) = xψ(x). (1.1)
Ví dụ 1.2. Toán tử vi phân:

A =

d
dx
=
d
dx

.
ϕ(x) =

d
dx
ψ(x) =
d
dx
ψ(x) . (1.2)
Toán tử Laplace:

2
=
∂
2
∂x
2
+
∂
2
∂y
2
+
∂
2
∂z
2
ϕ(x) = 
2
ψ(x) =

∂
2
ψ
∂x
2
+
∂
2
ψ
∂y
2
+
∂
2
ψ
∂z
2
.
Tổng quát: 
2
=
n
∑
i=1
∂
2
u
∂x
2
i

.
Doψ, ϕ là những hàm phức nên các toán tử trong trường hợp tổng
quát cũng là những toán tử phức.
Toán tử

A được gọi là tóan tử tuyến tính nếu nó thỏa mãn:

A(C
1
ψ
1
+ C
2
ψ
2
) = C
1

Aψ
1
+ C
2

Aψ
2
,
5
trong đó C
1
, C

2
là những hằng số tùy ý, và ψ
1
, ψ
2
là hai hàm số tùy ý.
1.2 Phương trình Laplace và các bài toán biên trong trong trường
hợp ba biến
Phương trình Laplace
∂
2
u
∂x
2
+
∂
2
u
∂y
2
+
∂
2
u
∂z
2
= 0. (1.3)
Ta phát biểu bài toán biên của phương trình Laplace trong miền T ∈ R
3
,

giới hạn bởi mặt cong S.
Tìm hàm u(x, y, z) thỏa mãn với (x, y, z) ∈ T và một trong các điều kiện
sau:
u − f
1
trên S với f
1
= f
1
(x, y, z) cho trước. (1.4)
∂u
∂n
= f
2
trên S với f
2
= f
2
(x, y, z) cho trước. (1.5)
∂u
∂n
+ h(u −u
0
) trên S. (1.6)
Bài toán (1.3) và (1.4) được gọi là bài toán biến thứ nhất đối với phương
trình Laplace, thường gọi là bài toán Dirichlet.
Bài toán (1.3) và (1.5) được gọi là bài toán biên thứ hai đối vơi phương
trình Laplace, thường gọi là bài toán Neumann.
Bài toán (1.3) và (1.6) được gọi là bài toán biên thứ ba đối với phương
trình Laplace.

1.3 Bài toán biên
Xét phương trình vi phân tuyến tính có dạng:
L[y] ≡ a
0
(x).y
(n)
+ a
1
(x).y
(n)
+ . . . + a
n
(x) + y = F(x) (1.7)
trong đó a
0
(x), a
1
(x), . . ., a
n
(x) là các hàm liên tục trong khoảng a ≤x ≤b
và a
0
(x) = 0. Cách chung để giải phương trình (1.7) là trước hết giải
phương trình thuần nhất cấp n là L[y] = 0 thu được một tập nghiệm
6
cơ bản
{
y
1
(x), . . . , y

n
(x)
}
. Nghiệm tổng quát y
0
của phương trình thuần
nhất là một tổ hợp tuyến tính của tập nghiệm cơ bản.
y
c
= C
1
.y
1
(x) + C
2
.y
2
(x) + . . . + C
n
.y
n
(x), (1.8)
trong đó C
1
, C
2
, . . . ,C
n
là các hằng số tùy ý.
Tiếp theo tìm bất cứ nghiệm riêng y

p
nào của phương trình vi phân
không thuần nhất L(y) = F(x). Để giải phương trình này ta thường dùng
phương pháp hệ số bất định hoặc phương pháp biến thiên hàm số để
tìm nghiệm riêng. Khi đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.7) sẽ là
y = y
c
+ y
p
.
Trong các bài toán ứng dụng, nghiệm phương trình vi phân (1.7) đòi hỏi
phải thỏa mãn các điều kiện bổ sung nào đó. Số điều kiện này trong hầu
hết các ứng dụng bằng cấp cao nhất của phương trình. Ví dụ, đối với
phương trình vi phân cấp 2:
a
0
(x)
d
2
y
dx
2
+ a
1
(x)
dy
dx
+ a
2
(x) = 0, x ∈ [a, b] (1.9)

bị lệ thuộc bới điều kiện bổ sung tại x = a có dạng: y(a) = α, y

(a) = β,
với α, β là các hằng số.
Phương trình vi phân với điều kiện bổ sung được xem như là một bài
toán cho trước giá trị ban đầu. Bài toán giá trị ban đầu thường có nghiệm
duy nhất. Khi phương trình vi phân (1.9) bị hạn chế bới 2 điểm khác
nhau, tức là x = a và x = b phương trình có dạng



c
11
.y(a) + c
12
.y

(a) = α, c
2
11
+ c
2
12
= 0
c
21
.y(a) + c
22
.y


(a) = β, c
2
21
+ c
2
22
= 0
(1.10)
trong đó: c
11
, c
12
, c
21
, c
22
, α, β là các hằng số.
Điều kiện bổ sung (1.10) được gọi là điều kiện biên. Phương trình vi
phân (1.9) với điều kiện biên (1.9) được gọi là bài toán biên. Nghiệm
của bài toán biên phụ thuộc vào điều kiện biên. Bài toán biên không chỉ
7
có một nghiệm mà nó có vô số nghiệm. Điều kiện biên có dạng:



c
11
.y(a) + c
12
.y


(a) + c
13
y(b) + c
14
.y

(b) = α
c
21
.y(b) + c
22
.y

(b) + c
13
y(a) + c
14
.y

(a) = β
trong đó: c
ij
, i = 1, 2, j = 1, 2,3, 4 và α, β là các hằng số được gọi là điều
kiện biên hỗn hợp.
Bài tóan biên hỗn hợp thường khó giải.
Xét phương trình tuyến tính cấp 1:
L(y) =
dy
dx

+ p(x)y = q(x) (1.11)
để giải phương trình (1.11), trước hết giải phương trình thuần nhất:
L(y) =
dy
dx
+ p(x)y = 0 (1.12)
để thu được nghiệm tổng quát y
c
. Ta có thể tách biến phương trình (1.12)
có dạng:
dy
y
= −p(x)dx (1.13)
đặt:
P(x) =
x

0
p(ξ)dξ với
dP
dx
= p(x) (1.14)
tích phân (1.12) thu được:
ln y = −P(x) + C ⇒ e
ln y
= e
−P(x)
e
c
→ y = C

1
e
−P(x)
, C
1
= e
c
vậy nghiệm tổng quát của (1.11) là y
c
= C
1
e
−P(x)
dùng phương pháp biến
thiên hằng số và giả thiết một nghiệm riêng có dạng y
p
= u(x)e
−P(x)
,
trong đó C
1
ở trong nghiệm tổng quát đã được thay thế bằng hàm chưa
biết u(x), nghiệm giả định này có đạo hàm là:
dy
p
dx
= u(x)e
−P(x)
(−p(x)) +
du

dx
e
−P(x)
thay y
p
và
dy
p
dx
vào phương trình không thuần nhất (1.10) ta có
dy
p
dx
+ p(x)y
p
= q(x) ⇒
du
dx
e
−P(x)
= q(x) ⇒ u = u(x) =
x

0
q(ξ)e
P(ξ)
dξ
8
suy ra nghiệm riêng
y

p
= e
−P(x)
x

0
q(ξ)e
P(ξ)
dξ
Nghiệm tổng quát của phương trình 1.10 có dạng
y = y
c
+ y
p
= e
−P(x)
[C
1
+
x

0
q(ξ)e
P(ξ)
dξ (1.15)
1.4 Phương trình Laplace trong tọa độ cầu, nghiệm cơ bản của phương
trình Laplace trường hợp ba biến
1.4.1 Phương trình Laplace trọng tọa độ cầu (r, ϕ, θ)
Xét tọa độ cầu












x = rcos ϕsinθ
y = rsin ϕsin θ
z = rcosθ
Phương trình Laplace trong tọa độ cầu là:
1
r
2
∂
∂r

r
2
∂u
∂r

+
1
r
2
sin θ

∂
∂θ

sin θ
∂u
∂θ

+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂ϕ
2
= 0. (1.16)
1.4.2 Nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trường hợp ba biến
Xét trường hợp riêng khi nghiệm của phương trình Laplace có tính đối
xứng cầu. U = U(r) nghĩa là chỉ phụ thuộc vào một biến r =

x
2
+ y
2
+ z
2

.
Nghiệm này được xác định từ phương trình (1.16)
1
r
2
d
dγ

r
2
dU
dr

= 0 hay
d
dr

r
2
dU
dr

= 0.
Lấy tích phân hai vế theo r ta có:
r
2
dU
dr
= C
1

.
9
Từ đó
dU
dr
=
C
1
r
2
, hay dU =
C
1
dr
r
2
.
Lấy tích phân hai vế ta được
U =
−C
1
r
+ C
2
.
Với C
1
, C
2
là hằng số tùy ý. Lấy C

1
=
−1
4π
, C
2
= 0 ta được.
U =
1
4πr
; r =

x
2
+ y
2
+ z
2
(1.17)
U được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình Laplace trong không
gian.
1.5 Phương pháp tách biến
Phương pháp tách biến nhằm xây dựng một nghiệm µ của phương trình
đạo hàm riêng cho trước thông qua các hàm có biến số ít hơn. Nói cách
khác, ta phỏng đoán rằng µ có thể được viết dưới dạng tổng hoặc tích
của các hàm có biến số ít hơn và tách nhau, thay nó vào phương trình
đạo hàm riêng để chọn cá hàm đó phải đảm bảo µ thực sự là nghiệm
của phương trình.
Cho U ⊂R
n

là một miền bị chặn với biên trơn. Ta xét bài toán giá trị biên
ban đầu đối với phương trình truyền nhiệt.
Ví dụ 1.3.











µ
t
−∆µ = 0 trong U ×[0; ∞)
µ = 0 trên ∂U × [0;∞)
µ = g trên U ×{t = 0}.
(1.18)
Ở đây, g : U → R là hàm cho trước. Ta giả định tồn tại nghiệm dạng:
µ(x, t) = ϑ(t)ω(x), x ∈U, t ≥ 0. (1.19)
Có nghĩa là ta xét nghiệm của (1.19) như là tích của hàm số với x =
(x
1
, . . . , x
n
) ∈ U và biến t ∈ [0, T] tách ra với nhau.
Bây giờ ta đi tìm ϑ và ω. Để làm điều đó ta tính
10

µ
t
(x, t) = v

(t)w(x); ∆µ(x, t) = v(t)∆w(x).
Từ đó:
0 = µ
t
(x, t) − ∆µ(x, t) = v

(t)w(x) −v(t)∆w(x)
khi và chỉ khi
v

(t)
v(t)
=
∆w(x)
w(x)
. (1.20)
Với mọi x ∈U và t > 0 sao cho v(t), w (t) = 0. Chú ý rằng vế trái của (1.20)
chỉ phụ t huộc vào t và vế phải chỉ phụ thuộc vào x, điều này chỉ xảy ra
khi chúng là hằng số, tức là:
v

(t)
v(t)
=
∆w(x)
w(x)

= µ(t > 0, x ∈ U).
Khi đó:
v

= µv. (1.21)
∆w = µv . (1.22)
Ta giải các phương trình này để tìm các hàm chưa biết w, v và hằng số µ.
Trước hết để ý rằng, nếu µ đã biết, nghiệm của (1.21) là v = de
µt
với d là
hằng số tùy ý. Vì vậy ta chỉ cần nghiên cứu phương trình (1.22).
Ta nói rằng λ là một giá trị riêng của toán tử −∆ trong U (với điều kiện
biên bằng không) nếu tồn tại một hàm w = thỏa mãn:



−∆w = λw trong U
w = 0 trên ∂U.
Ta gọi hàm w là hàm riêng tương ứng, ta đặt µ = −λ để tìm
µ = −de
−λt
w (1.23)
Thỏa mãn:



µ
t
−∆µ = 0 trong U × (0, ∞)
µ = 0 trên ∂U ×(0, ∞).

(1.24)
11
Với điều kiện ban đầu µ(., 0) = dw, do đó hàm µ được xác định bởi (1.24)
thỏa mãn (1.21), với điều kiện g = dw. Tổng quát hơn nếu λ
1
, λ
2
, , λ
n
là
các giá trị riêng w
1
, , w
n
là các hàm riêng tương ứng, và d
1
, , d
n
là các
hằng số, thì:
µ =
n
∑
k−1
d
k
e
λ
t
k

w
k
. (1.25)
Thỏa mãn các điều kiện ban đầu µ(., 0) = µ =
∞
∑
k=1
d
k
w
k
. Nếu ta có thể tìm
được m, w
1
sao cho
∞
∑
k=1
d
k
w
k
= g (1.26)
trong U. Với các hằng số d
1
, d
2
, khi đó
µ =
n

∑
k−1
d
k
e
λ
t
k
w
k
(1.27)
sẽ là nghiệm của bài toán (1.21). Đây là một công thức biểu diễn nghiệm
rất đẹp, nhưng nó dựa vào khả năng tìm các giá trị riêng, các hàm riêng,
và các hằng số thỏa mãn (1.26). Chuỗi (1.27) hội tụ theo một nghĩa thích
hợp nào đó.
Ví dụ 1.4. Tiếp theo ta sử dụng kỹ thuật tách biến để tìm nghiệm của
phương trình môi trường tổ ong.
µ
t
−∆(µ
γ
) = 0 (1.28)
trong R
n
×(0, ∞).
Trong đó nghiệm µ  0 và γ  1 là hằng số. Đây là một phương trình
khuyết tán phi tuyến, với tốc độ khuyết tán của mật độ µ phụ thuộc vào
chính µ.
Như ở ví dụ trước ta tìm một nghiệm dạng
µ(x, t) = v(t)w(x); (x ∈ R

n
, t  0) (1.29)
Khi đó ta có:
v

(t)
v(t)
γ
=
∆w(x)
γ
w(x)
= µ (1.30)
12
với µ là hằng số tùy ý, ∀x ∈ R
n
, t  0 sao cho v(t), w(x) = 0. Ta giải
phương trình vi phân bình thường với v và tìm được v = ((1 −γ)µt +
λ)
1
1−λ
với hằng số λ > 0. Để tìm w ta xét phương trình đạo hàm riêng:
∆(w
γ
) = u w (1.31)
Ta dự đoán rằng nghiệm w có dạng w = |x|
α
, α xác định sau. Khi đó
uw −∆(w
γ

) = u |x|
α
−αγ(αγ = n −2)|x|
αλ−2
. (1.32)
Vì vậy để( 1.32) thỏa mãn trong R
n
trước hết α = αγ −2 và từ đó:
α
2
γ − 1
. (1.33)
Tiếp t heo ta đặt:
µ = αγ(αγ + n − 2) > 0. (1.34)
Tóm lại với mỗi λ > 0 hàm
µ = ( (1 − γ)ut + λ)
1
1−γ
|x|
α
thỏa mãn phương trình (1.28), các tham số α, µ được xác định bởi (1.33)
(1.34).
Trong các ví dụ trên, sự tách biến được thực hiện dựa vào tính thuần
nhất phi tuyến tương thích với hàm µ có dạng tích (1.29). Ở trường hợp
khác ta sẽ tìm nghiệm, trong đó các biến được tách dưới dạng một tổng
các hàm số.
Ví dụ 1.5. Xét phương trình Hamilton - Jacobi
µ
t
+ H(Du) = 0 (1.35)

trong R
n
×(0, ∞), và tìm một nghiệm µ có dạng
µ(x, t) = v(t) + w(x); (x ∈ R
n
, t > 0).
Khi đó:
0 = µ
t
(x, t) + H(Du(x, t)) = v

(t) + H(Dw(x))
13
khi và chỉ khi
H(Dw(x)) = −v

(t); (x ∈ R
n
, t > 0),
với hằng số µ nào đó. Vì vậy nếu H(D w) = µ,µ ∈ R thì µ(x , t) = w(x) −
ut + b sẽ thỏa mãn µ
tt
= H(Du) = 0, b là hằng số. Đặc biệt nếu chọn
w(x) = ax, a ∈ R
n
, đặt µ = H(a), tìm được nghiệm:
µ = ax − H(a)t = b.
Dựa vào tích phân đầy đủ và bao hàm tìm được nghiệm.
1.6 Phương pháp biến t hiên tham số
Để trực tiếp thu được nghiệm của phương trình

d
2
u
dx
2
= f (x) , ta xét bài
toán không thuần nhất tổng quát: L(u) = f (x) xác định trong khoảng
a < x < b phụ thuộc vào hai điều kiện thuần nhất, trong đó L là toán tử
Sturm - Liouville có dạng:
L =
d
dx

p
du
dx

+ q.
Khi p = 1, q = 0 ta được toán tử của phương trình truyền nhiệt trong
trạng thái dừng: L =
d
2
u
dx
2
.
Phương trình vi phân không thuần nhất có thể giải bằng phương pháp
biến thiên tham số nếu biết hai nghiệm của phương trình u
1
(x), u

2
(x).
Theo phương pháp biến thiên tham số nghiệm riêng của phương trình
L(u) = f (x) được tìm dưới dạng:
u = u
1
v
1
+ u
2
v
2
.
Khi đó u
1
, v
1
là hàm phụ thuộc vào x chưa được xác định. Phương trình
vi phân gốc có một hàm chưa biết, vì rằng có một bậc tự do thêm vào là
du
dx
. Nếu v
1
, v
2
là hằng số thì
du
dx
= v
1

du
1
dx
+ v
2
du
2
dx
.
14
Vì v
1
, v
2
không phải là hằng số nên:
u
1
dv
1
dx
+ u
2
dv
2
dx
= 0.
Vi phân L(u) = f (x) được thỏa mãn nếu:
dv
1
dx

p
du
1
dx
+
dv
2
dx
p
du
2
dx
= f (x).
Phương pháp biến thiên tham số tạo ra hai phương trình vi phân cho
các hàm chưa biết
dv
1
dx
và là:
dv
1
dx
=
−f u
2
p

u
1
du

2
dx
−u
2
du
1
dx

=
−f u
2
c
.
dv
2
dx
=
−f u
1
p

u
1
du
2
dx
−u
2
du
1

dx

=
−f u
1
c
.
Trong đó c = p

u
1
du
2
dx
−u
2
du
1
dx

, hằng số c phụ thuộc vào việc lựa chọn
u
1
, u
2
.
Nghiệm tổng quát L(u) = f (x) được cho bởi u = u
1
v
1

+ u
2
v
2
, ở đâu v
1
, v
2
được xác định bởi tích phân của
dv
1
dx
và
dv
2
dx
ở trên.
Ta định nghĩa Wronskian w là đại lượng:
W = u
1
du
2
dx
−u
2
du
1
dx
nó thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản
dW

dx
= u
1
d
2
u
2
dx
2
−u
2
d
2
u
1
dx
2
= −
dp
d
p

u
1
du
2
dx
−u
2
du

1
dx

= −
dp
d
p
W.
Trong đó, các phương trình vi phân thuần nhất L(u
1
) = 0 và L(u
2
) = 0
được dùng đến. Giải phương trình trên suy ra: W =
c
p
hay pW = c.
Tiểu kết: Trong chương này đã nêu lên khái niệm về bài tập vật lý, tầm
quan trọng của bài tập vật lý. Trình bày các cơ sở toán học cơ bản, cần
thiết cho việc xây dựng phương pháp hàm Green.
15
Chương 2
Sử dụng phương pháp hàm Green để
giải bài toán Dirichlet đối với phương
trình Laplace trong hình cầu
2.1 Xây dựng phương pháp hàm Green
2.1.1 Khái niệm hàm Green. Tính đối xứng của hàm Green
Để đưa vào khái niệm hàm Green, chúng ta bắt đầu với các toán tử vi
phân cấp 2 có dạng đồng nhất với hàm Green. Mọi toán tử vi phân cấp
2 có dạng

L
x
(y) = a
0
(x)
d
2
y
dx
2
+ a
1
(x)
dy
dx
+ a
2
(x)y (2.1)
các toán tử liên hợp đồng dạng với nó là:
L
∗
x
(y) =
d
2
dx
2
[
a
0

(x)y
]
−
d
dx
[
a
1
(x)y
]
+ a
2
(x)y
⇒ L
∗
x
(y) = a
0
(x)
d
2
y
dx
2
+

2a

0
(x) − a

1
(x)

dy
dx
+ a
2
(x)y .
(2.2)
Cho hai hàm u(x) và v(x) là hai hàm liên tục tùy ý cùng với đạo hàm
cấp 1 và cấp 2 của nó. Dùng hai toán tử (2.1) và (2.2) để xác định đồng
nhất thức Lagrange của hai hàm u(x) và v(x) như sau:
vL
x
(u) −uL
∗
x
(v) =
d
dx
[
P(u, v)
]
(2.3)
16
trong đó
P(u, v) =

a
0

(x)
du
dx
+ a
1
(x)u

v −

a
0
(x)
dv
dx
+ a

0
(x)v

u (2.4)
được gọi là hàm song tuyến.
Đồng nhất thức Largrange của 2 hàm khả vi u(x) và v(x) được xác định
trên miền I = {x/a ≤ x ≤ b}. Tích phân đồng nhất thức (2.3) ta có đồng
nhất thức các hàm Green.
[
vL
x
(u) −uL
∗
x

(v)
]
dx =
[
P(u, v)
]
|
b
a
(2.5)
trong đó
[
P(u, v)
]
|
b
a
=

a
0
(b)u

(b) + a
1
(b)u(b)

v(b) −

a

0
(b)v

(b) + a

0
(b)v(b)

u(b)
−

a
0
(a)u

(a) + a
1
(a)u(a)

v(a) −

a
0
(a)v

(a) + a

0
(a)v(a)


u(a)
định nghĩa tích hàm của đông nhất thức Green:
(v, L
x
(u)) =
b

a
vL
x
(u)dx. (2.6)
tích phân từng phần tích hàm thu được
(v, L
x
(u)) = (u, L
∗
x
(v)) + các hạng thức trên biên.
Sử dụng đồng nhất thức Green cho thích hợp để tìm nghiệm phương
trình với biên ở hai điểm như sau:



L
x
(y) = f (x)
B
1
(y) = g
1

; B
2
(y) = g
2
(2.7)
trong đó: L
x
là toán tử tuyến tính cho bởi (2.1); g
1
, g
2
là các hằng số và
B
1
, B
2
là các toán tử biên tuyến định dạng Robin:
B
1
(y) =

α
1
dy(x)
dx
+ β
1
y(x)

x=a

, B
2
(y) =

α
2
dy(x)
dx
+ β
2
y(x)

x=b
(2.8)
17
sử dụng đồng nhất thức Green để giải bài toán biên Dirichlet
L
x
= f (x) (2.9)
B
1
(y) = y(a) = 0; B
2
(y) = y(b) = 0 (2.10)
Để giải phương trình này, đổi biến x trong phương trình (2.1) và (2.5)
thành biến mới ξ và viết đồng nhất thức Green theo biến mới
b

a


v(ξ)L
ξ
(u) −u(ξ)L
∗
ξ
(v)

dξ =
[
P(u(ξ), v(ξ) )
]


b
a
(2.11)
trong phương trình (2.11), biến ξ được dùng như một biến giả của phép
lấy tích phân và vì thế các toán tử L
ξ
và L
∗
ξ
là toán tử đạo hàm đối với ξ.
Để giải phương trình (2.9) với điều kiện (2.10), đặt u(ξ) = y(ξ) là nghiệm
của phương trình (2.9) với x thay bằng ξ và u thay bằng y trong đồng
nhất thức Green. Như vậy, đồng nhất thức Green (2.11) thay L
ξ
(y) =
f (ξ) ta có
b


a
v(ξ) f (ξ)L
ξ
dξ −
b

a
y(ξ)L
∗
ξ
(v)dξ =
[
P(y(ξ), v(ξ) )
]
|
b
a
(2.12)
trong đó
[
P(y, v)
]
b
a
=

a
0
(b)y


(b) + a
1
(b)y(b)

v(b) −

a
0
(b)v

(b) + a

0
(b)v(b)

u(b)
−

a
0
(a)y

(a) + a
1
(a)y(a)

v(a) −

a

0
(a)v

(a) + a

0
(a)v(a)

y(a)
(2.13)
chọn v(ξ) = G
∗
(ξ; x) là hàm Green thỏa mãn điều kiện
L
∗
ξ
(
G
∗
(ξ; x)
)
= δ(δ −ξ), a ≤ ξ ≤ b. (2.14)
Nó là phương trình liên hợp với đạo hàm trong L
∗
ξ
(đạo hàm theo biến
ξ), δ (x −ξ) là hàm Delta Dirac có tính chất
ξ=x+ε

ξ=x−ε

y(ξ)δ(ξ − x)dξ = y(x). (2.15)
18
Thay v(ξ) = G
∗
(ξ; x) vào đồng nhất thức Green (2.12), rút gọn thành
b

a
G
∗
(ξ; x) f (ξ)d(ξ) −y(x) = P(y(b), G
∗
(b; x)) − P(y(a), G
∗
(a; x) ).
(2.16)
Nghiệm y(x) trong bài toán (2.9) có thể thu được bằng kết quả của tích
phân (2.16). Chúng ta sẽ nghiên cứu kỹ hơn tích phân (2.16). Hàm f (ξ)
đã cho từ phương trình (2.9), hàm G
∗
(ξ; x) thu được từ việc giải phương
trình (2.14) có dạng L
∗
ξ
(G
ξ
(ξ; x)) = δ(x −ξ). Theo điều kiện (2.10) ta có
[Py(ξ), G
∗
(ξ; x)]

|
b
a
= [a
0
(b)y

(b)G
∗
(b; x) −[a
0
(a)y

(a)]G
∗
(a; x)
B
∗
1
[G
∗
] = G
∗
(ξ; x) |
ξ=b
= 0, B
∗
2
[G
∗

] = G
∗
(ξ; x) |
ξ=a
= 0
(2.17)
Điều kiện biên này được gọi là điều kiện biên liên hợp. Từ đó ta có
nghiệm của (2.16) là
y(x) =
b

a
G
∗
(ξ; x) f (ξ)dξ (2.18)
trong đó G
∗
(ξ; x) là hàm Green thỏa mãn phương trình L
∗
ξ
(G
∗
(ξ; x)) =
δ(x −ξ), a ≤ ξ ≤ b, với các điều kiện biên
B
∗
1
[G
∗
] = G

∗
(a; x) = 0, B
∗
2
[G
∗
] = G
∗
(b; x) = 0 (2.19)
Như vậy, để tìm nghiệm của phương trình (2.19), ta đi tìm hàm Green G
và hàm Green liên kết G
∗
thỏa mãn các toán tử L
x
và L
∗
x
cho bởi phương
trình (2.20) và (2.21) như sau:
L
x
G(x; ξ) = δ(x −ξ), x ∈ [a; b ] (2.20)
L
∗
x
G
∗
(x; ξ) = δ(x −ξ), x ∈ [a; b] (2.21)
với các điều kiện biên:
B

∗
1
[G
∗
] = G
∗
(a; x) = 0, B
∗
2
[G
∗
] = G
∗
(b; x) = 0
trong các phương trình trên, các vi phân lấy theo biến x các toán tử
(L
x
, B
1
, B
2
) có dạng liên hợp là (L
∗
x
, B
∗
1
, B
∗
2

), điều kiện biên liên hợp
19
được chọn là P(G, G
∗
)
|
b
a
= 0. Hàm Green cho bởi phương trình (2.20) và
(2.21) thỏa mãn quan hệ đối xứng:
G
∗
(x; ξ) = G(ξ; x). (2.22)
Để chứng minh tính đối xứng trên, nhân phương trình (2.20) với G
∗
và sau đó thay biến ξ trong phương trình (2.21) bằng biến t, rồi nhân
phương trình (2.21) với G
∗
(x; ξ) ta thu được:
G(x; t)L
x
G(x; ξ) = δ(x − ξ), G(x; ξ)L
∗
x
G
∗
= δ(x − t), (2.23)
trừ hai phương trình trên và sau đó tích phân từ a đến b ta t hu được
đồng nhất thức Green:
P[G, G

∗
]
|
b
a
=
b

a
[G
∗
(x; t)]
L
x
G(x; ξ) − G
∗
(x; ξ)L
∗
x
G
∗
(x; t)] =
b

a
[G
∗
(x; t)δ(x −ξ) − G(x; ξ)δ(x −t)]
= G
∗

(ξ; t) − G
∗
(t; ξ) = 0
(2.24)
Từ đó suy ra (2.22), và gọi là tính chất đối xứng của hàm Green. Như vậy
nghiệm của bài toán Dirichlet (2.18) có dạng:
y(x) =
b

a
G
∗
(ξ; x) f (ξ)dξ =
b

a
G(x; ξ) f ( x)dx (2.25)
2.1.2 Xây dựng phương pháp hàm Green
Xét phương trình truyền nhiệt tổng quát có nguồn nhiệt, điều kiện biên
thuần nhất:












∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
+ Q(x, t), 0 < x < l.
u(0, t) = 0, u(l, t) = 0
u(x, 0) = ϕ(x)
(2.26)
20
Bước 1: Áp dụng phương pháp tách biến Fourier và phương pháp mở
rộng hàm riêng ta chọn nghiệm có dạng:
u(x, t) =
∞
∑
n=1
u
n
(t) sin
nπx
l
, Q(x, t) =
∞
∑
n=1

q
n
(t) sin
nπx
l
Bước 2: Thay vào phương trình (2.26), tìm nghiệm:
Phương trình truyền nhiệt
du
n
(t)
dt
+

nπa
l

2
u
n
(t) = q
n
(t).
Nghiệm có dạng:
u
n
(t) = u
n
(0)e
−
(

nπa
l
)
2
t
+ e
−
(
nπa
l
)
2
t
t

0
q
n
(τ)e
(
nπa
l
)
2
tdτ.
Dựa vài điều kiện ban đầu tìm hàm u
n
(0).
ϕ(x) =
∞

∑
n=1
u
n
(0)sin
nπx
l
⇒ u
n
(0) =
2
l
l

0
ϕ(ξ)sin
nπξ
l
dξ.
Q(x, t) =
∞
∑
n=1
q
n
(t) sin
nπx
l
⇒ q
n

(t) =
2
l
l

0
Q(ξ, τ)sin
nπξ
l
dξ.
Cuối cùng ta thu được
u(x, t) =
∞
∑
1




2
l
l

0
ϕ(ξ)sin
nπξ
l
dξ



e
−
(
nπa
l
)
2
t
+ e
−
(
nπa
l
)
2
t
t

0


2
l
l

0
Q(ξ, τ)sin
nπξ
l
dξ



e
(
nπa
l
)
2
t
dτ


sin
nπx
l
.
Đổi thứ tự giữa tổng và tích phân ta thu được
u(x, t) =
l

0
ϕ(ξ)

∞
∑
n=1
2
l
sin
nπξ

l
sin
nπx
l
e
−
(
nπa
l
)
2
t

dξ
+
l

0
t

0
Q(ξ, τ)

∞
∑
n=1
2
l
sin
nπxi

l
sin
nπx
l
e
−
(
nπa
l
)
2
(t−τ)

dτdξ.
Bước 3: Đưa ra hàm Green
G(x, t ; ξ, τ) =
∞
∑
n=1
2
l
sin
nπξ
l
sin
nπx
l
e
−
(

nπa
l
)
2
(t−τ)
.
21
Như vậy để tìm nghiệm của phương trình ta đi tìm hàm Green. Đó chính
là phương pháp tìm ghiệm mới được gọi là phương pháp hàm Green.
2.1.3 Hàm riêng, trị riêng cho hàm Green
Xét phương trình vi phần không thuần nhất Sturm - Liouville tổng quát
L(u) = f (x).
Giả thiết hai điều kiện biên là thuần nhất, ta đưa vào một bài toán giá trị
riêng tương ứng:
L(φ) = −λσφ
có cùng điều kiện biên thuần nhất, hàm σ có thể tùy ý. Ta tìm nghiệm
u(x) bằng cách khai triển vào chuỗi Fourier cả các hàm riêng:
u(x) =
∞
∑
n=a
a
n
φ
n
.
Ta tác động toán tử L và hai vế của đẳng thức trên, ta được
∞
∑
n=1

a
n
L(φ
n
) = −
∞
∑
n=1
a
n
λ
n
σφ
n
= f (x).
Ta có các hàm riêng trực giao nhau theo công thức
b

a
σφ
n
(x)φ
n

(x)dx =








0, n = n

b

a
σφ
2
n
dx, n = n

.
Suy ra
−a
n
λ
n
=
b

a
f (x)φ
n
dx
b

a
σφ
2

n
dx
.
Nghiệm của bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân không thuần
nhất là
u(x) =
b

a
f (ξ)
∞
∑
n=1
φ
n
(x)φ
n
(ξ)
−λ
n
b

a
σφ
2
n
dx
=
b


a
f (ξ)G(x, ξ)dξ.
22
Trong đó
G(x, , ξ) =
∞
∑
n=1
φ
n
(x)φ
n
(ξ)
−λ
n
b

a
σφ
2
n
dx
.
Áp dụng kết quả trên để giải bài toán:
d
2
u
dx
2
= f (x); u(0) = 0, u(l) = 0.

Ta có các giá trị riêng các hàm riêng tương ứng là:
λ
n
=

nπ
l

2
và X
n
(x) = sin
nπx
l
, với n = 1,2, . . .
Ta có
u(x) =
t

0
f (ξ)G(x, ξ)dξ
G(x, , ξ) = −
2
l
∞
∑
n=1
sin
nπx
l

sin
nπξ
l

nπ
l

2
2.1.4 Hàm điều hòa. Biểu diễn Green
Giả sử Ω là một miền trong R
n
, còn u là hàm thuộc lớp C
2
(Ω). Hàm
u(x) thảo mãn phương trình Laplaxơ: u = 0 với mọi x thuộc Ω được
gọi là hàm điều hòa trong Ω. Dạng không thuần nhất của phương trình
Laplaxơ được gọi là phương trình Poisson. Nghiệm của phương trình
Poisson trong miền Ω làm hàm u(x) thuộc lớp C
2
(Ω) sao cho
u = f (x) (2.27)
với bất kỳ x thuộc Ω. Nghiệm như thế còn được gọi là nghiệm cổ điểm
của phương trình Poison trong miền Ω.
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R
n
với biên ∂Ω thuộc lớp B
1
và giả
sử u(x), v(x) là các hàm thuộc lớp C
2

(Ω) ∩ C
1
(
Ω). Công thức Gauss-
Ostrograsky:

Ω
n
∑
j=1
∂u
j
∂x
j
dx =

∂Ω
n
∑
j=1
u
j
υ
j
dS .
23
Trong đó υ là pháp vectơ đơn vị ngoài tới ∂Ω, d S là phần thử diện tích
∂Ω .
Từ công thức này ta nhận được công thức tính tích phân từng phần:


Ω
v
∂
2
u
∂x
2
j
dx = −

Ω
∂v
∂x
j
∂u
∂x
j
dx +

∂Ω
v
∂u
∂x
j
υ
j
dS . (2.28)
Lấy tổng đẳng thức (2.28) theo j từ 1 đến n ta nhận được công thức Green
thứ nhất


Ω
udx = −

Ω
n
∑
j=1
∂v
∂x
j
∂u
∂x
j
dx +

∂Ω
v
∂u
∂υ
dS . (2.29)
Đổi vai trò u và v trong công thức (2.29), sau đó lấy (2.29) trừ đi công
thức vừa nhận được, ta có công thức Green thứ hai

Ω
(vu −uv)dx =

∂Ω

v
∂u

∂υ
−u
∂v
∂υ

dS . (2.30)
Các công thức (2.29) và (2.30) được sử đụng để nghiên cứu phương trình
Laplaxơ và phương trình Poisson.
Phương trình Laplaxơ có một nghiệm đối xứng xuyên tâm r
2−n
đối với
n > 2 và lnr đối với n = 2, ở đây r là khoảng cách đến một điểm cố định.
Ta cố định điểm y ∈ Ω và đưa vào một nghiệm cơ bản chuẩn tắc của
phương trình Laplaxơ.
Γ(x −y) = Γ(|x −y|) =



1
n(2−n)w
n
|x − y|
2−n
, n > 2,
1
2π
ln |x −y|, n = 2.
Ở đây w
n
là thể tích hình cầu đơn vị trong R

n
. Qua một số phép tính ta
thu được
D
x
i
Γ(x −y) =
1
nw
n
(x
i
−y
i
)|x − y|
−n
,
D
x
i
x
j
Γ(x −y) =
1
nw
n

|x − y|
2
δ

ij
−n(x
i
−y
j
)(x
j
−y
j
)

|x − y|
−n−2
.
Ở đây, δ
ij
= 1 nếu i = j và δ
ij
= 0 nếu i = j. Đương nhiên Γ là hàm điều
hòa khi x = y. Trong trường hợp khi x = y không thể thay thế hàm Green
24
trong công thức (2.30) bằng hàm Γ được. Tuy nhiên việc khó khăn này
có thể khắc phục được nhờ việc thay thế Ω bằng Ω \ B
ρ
, B
ρ
= B
ρ
(y) là
quả cầu tâm y bán kính ρ đủ nhỏ. Khi đó công thức (2.30) có dạng


Ω\B
ρ
Γudx =

∂Ω

Γ
∂u
∂υ
−u
∂Γ
∂υ

dS +

∂B
ρ

Γ
∂u
∂υ
−u
∂Γ
∂υ

dS . (2.31)
Hơn nữa









∂B
ρ
Γ
∂u
∂υ
dS







=







Γ(ρ)

∂B

ρ
∂u
∂υ
dS







≤ nw
n
ρ
n−1
|Γ(ρ)|max




∂u
∂υ




→ 0 khi ρ → 0.
Và

∂B

ρ
u
∂Γ
∂υ
dS = −Γ

(ρ)

∂B
ρ
udS = −u(x
ρ
) → −u(y) khi ρ → 0, x
ρ
∈ ∂B
ρ
.
Từ đó khi cho ρ → 0 trong đẳng thức (2.31) ta nhận được công thức
u(y) =

∂Ω

u
∂Γ
∂υ
(x − y) −Γ(x −y)
∂u
∂υ

dS +


Ω
Γ(x −y)udx , y ∈ Ω.
(2.32)
Nếu u = 0 trong c thì từ (2.32) ta rút ra
u(y) =

∂Ω

u
∂Γ
∂υ
(x − y) −Γ(x −y)
∂u
∂υ

dS , y ∈ Ω. (2.33)
Công thức (2.33) cho biểu diễn Green của hàm điều hòa thuộc lớp C
2
(Ω)
tại điểm bất kỳ y ∈Ω qua giá trị của u(x) trên ∂Ω và giá trị của đạo hàm
theo pháp tuyến
∂u
∂υ
trên ∂Ω.
Bởi vì trong đẳng thức (2.33) các hàm dưới dấu tích phân là các hàm khả
vi vô hạn, hơn nữa giải tích theo y, nên hàm u(y) cũng giả tích trong Ω.
Như vậy các hàm điều hòa giải tích trong toàn miền xác định của nó.
Do đó chúng được xác định đơn trị nhờ các giá trị của mình trên một
tập con mở bất kỳ của miền xác định. Tính chất đáng chú ý này của hàm

điều hòa cũng đúng cho lớp các phương trình Eliptic với các hệ số giải
25