Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 theo chuyên đề
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (12.84 MB, 65 trang )
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Bài 2:
N). Ta có
n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*)
2
+ 3n = t (t N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2
= (n2 + 3n + 1)2
Vì n N nên n2 + 3n + 1
Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2)
Ta có k(k+1)(k+2) =
k(k+1)(k+2).4 =
=
k(k+1)(k+2).[(k+3)
k(k+1)(k+2)(k+3) -
S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 +
k(k+1)(k+2)(k-1) =
(k-1)]
k(k+1)(k+2)(k-1)
.2.3.4.5 -
k(k+1)(k+2)(k+3) -
k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1
Bài 4:
n
-
= 4.
10 n 1
10 n 1
. 10n + 8.
+1=
9
9
=
2
=
n
2
n-
Bài 5:
2
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
2
2
;
B=
;
2
C=
Bài 6:
n-
a.
n+2
A = 224.102n
+ 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + 102n 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n 90.10n + 9
= ( 15.10n 3 ) 2
n
=
. 10n + 5.
+1=
2
=
=
Bài 7:
3
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n
Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
2
Vì n2
5.( n2
6
Bài 8: C
n4 + 2n3 + 2n2
N và n>1 không
n6 n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ]
= n2[ (n+1)(n3 n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2 2n+2)
N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n 1 )2
và n2 2n + 2 = n2 2(n - 1) < n2
1)2 < n2 2n + 2 < n2
n2
Bài 9:
hàng
2
2
a2 4
a 2
Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52
76, 96
Bài 10:
N)
a + b = (2k+1) + (2m+1) = 4k + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1
= 4(k2 + k + m2
N)
2
2
2
2
2
2
+ b2
- 1 và p + 1
Bài 11:
.
m2 (m
N)
2
m
4
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1
p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)
b.
p+1 = 4k2 + 4k + 1
pp-
Bài 12:
a.
2NCó 2N 3
2Nb.
1
2N-
-1 = 3k+2 (k
N)
c.
Bài 13:
2008
+5
2
ab+1 =
=
2008
+1=
=
2
=
10 2008 2
3 nên
3
N hay
Cách 2: b =
5
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
0
ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2
=
= 3a + 1 N
:
B.
Bài1:
a. n2 + 2n + 12
c. 13n + 3
b. n ( n+3 )
d. n2 + n + 1589
2
a. Vì n2 + 2n + 12
+ 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2
k2 (n+1)2 = 11
(k+n+1)(k-n-1) = 11
-n(k+n+1)(k-n-1) = 11.1
k+n+1 = 11
k=6
k n-1=1
n=4
2
2
2
2
(n N)
n + 3n = a
4n + 12n = 4a2
(4n2 + 12n + 9) 9 = 4a2
(2n + 3) - 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 2a)= 9
n + 3 + 2a > 2n + 3
2a) = 9.1
2n + 3 + 2a = 9
n=1
2n + 3 2a = 1
a=2
2
3 = y ( y N)
13(n 1) = y2 16 13(n 1) = (y + 4)(y 4)
(y + 4)(y 4)
13 ho
4 13
y = 13k
N)
13(n 1) = (13k 4 )2 16 = 13k.(13k 8)
n = 13k2 8k + 1
2
d.
2
+ n + 1589 = m2 (m
N)
(4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n +1)(2m 2n -1) = 6355
6
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
2n 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Bài 2:
a.
b.
c.
a2 + a + 43
a2 + 81
a2 + 31a + 1984
b. 0; 12; 40
c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3:
2
2.3 = 9 = 32
Bài 4: Tìm n
a. n2 + 2004
b. (23 n)(n 3)
c. n2 + 4n + 97
d. 2n + 15
Bài 5:
2
2
2
2
n2 = 2006
= m2 (m
(m + n)(m - n) = 2006
N)
n = 2m
m + n và m
(m + n)(m - n)
2
7
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
-1) 2 = (x-2)xx(x-1)
Bài 6:
N
2
= 5776
Bài 7:
Bài 8:
2
Vì n+1 và 2n+
m = 2a+1
, 2n+1 = m2 (k, m
N)
m2 = 4a (a+1) + 1
n=
=
= 2a(a+1)
N)
k2 = 4b(b+1) +1
n = 4b(b+1)
n 8 (1)
Ta có k2 + m2 = 3n + 2
2 (mod3)
, m2
2
+ m2
2 (mod3) thì k2 1 (mod3)
m2 1 (mod3)
m2 k2 3 hay (2n+1) (n+1) 3
n 3 (2)
Mà (8; 3) = 1 (3)
n 24.
8
Bài 9:
+ 211 + 2n
8
+ 211 + 2n = a2 (a N) thì
2n = a2 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(aN ; p+q = n và p > q
2
8
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
a+48 = 2p
2p 2q = 96
2q (2p-q -1) = 25.3
a- 48 = 2q
q = 5 và p-q = 2
p = 7 n = 5+7 = 12
8
+ 211 + 2n = 802
C.
Bài 1:
2
B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2
N và 32 < k < m < 100
a, b, c, d
2
Ta có
A = abcd = k
B = abcd + 1111 = m2
m2 k2 = 1111
(m-k)(m+k) = 1111 (*)
-k)(m+k) > 0 nên mVà m-k < m+k < 200 nên
-k)(m+k) = 11.101
k == 11
m = 56
A = 2025
m + k = 101
n = 45
B = 3136
Bài 2:
2
ta có ab cd = 1 và k
Suy ra 101cd = k2 100 = (k-10)(k+10)
Mà (k-10; 101) = 1
k +10 101
k +10
k+10 = 101
-10 101
k = 91
2
abcd = 91 = 8281
Bài 3:
2
Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
11
a + b 11
a+b = 11
2
= 112
9
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
b=4
Bài 4:
2
3
= y3
N
2
Vì y = x
y = 16
abcd = 4096
Bài 5:
d
2
{ 0,1,4,5,6,9}
d=5
< 10000
2
k = 45
abcd = 2025
Bài 6:
2
2
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 ( 10b + a )2 = 99 ( a2 b2 ) 11
Hay ( a-b )(a+b ) 11
Vì 0 < a 11
a + b = 11
2
2
2
2
- ba = 3 . 11 . (a - b)
2
2
-b=4
a = 6, b = 5, ab = 65
2
562 = 1089 = 332
-
10
a2 - b2 11
THCS
-b = 1
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Bài 7:
Bài 8:
2
3
(t
3
N),a+b=l2(l
(10a+b)2 = ( a + b )3
N)
ng nhau.
Bài 9:
Ta có
-1, 2n+1, 2n+3 ( n
N)
A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
2
12n( n + 1 ) = 11(101a 1 )
101a 1 3
2a 1 3
a
{ 2; 5; 8 }
a=5
n = 21
1
{ 3; 9; 15 }
Bài 10:
ab (a + b ) = a3 + b3
10a + b = a2 ab + b2 = ( a + b )2 3ab
3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b 1 )
a + b và a + b 1
a + b 1 = 3a
a +b 1=3+b
a+b=3+b
11
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
37.
:
f(x,y...)
-
o,yo
... sao cho:
f( xo,yo...) =
M
(2)
f(x,y...)
-
o,yo
... sao cho:
f( xo,yo...)
- 1)2 + ( x
A = x2
A = 2
3)2
2x + 1 + x2 6x + 9 = 2( x2 4x + 5) = 2(x
x -2 = 0
0
2)2 + 2
x=2
II/
2
+ bx + c .
12
THCS
2
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
0.
a
2
-
=k . Do ( x +
)2
0 thì a( x +
)2
-
+ bx +c = a( x2 +
0
0 nên :
-
)2
0 thì a( x +
-
A = x( x-3)(x 4)( x
2
2
)2 + c -
x ) + c = a( x +
7)
- 7x)( x2 7x + 12)
7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36
minA = -36
y = 0
x2 7x + 6 = 0
-36
x1 = 1, x2 = 6.
.
.=
1)2
0 nên (3x
=
2
(3x 1) 2
4
.
1) 2 +4
b thì
A
minA = -
3x
1=0
x=
-
.
:
13
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
1.
.
2
HD
.
Cách 1
A =
= 2 +
( x 2) 2
( x 1) 2
2
minA = 2 khi và chi khi x = 2.
Cách 2
1 = y thì x = y + 1 ta có :
A =
minA = 2
=3y = 1
x
1=1
+
x=2
:
b,
V
14
THCS
=(
-1)2 + 2
Giáo án BDHSG Toán 9
A =
-2016
=
-1
Min A= -
-1
2
Tìm GTLN A =
=4-
4
:
b,
3, (35, 3
0
III/
3
+ y3
A = (x + y)( x2 xy +y2) + xy = x2
xy - y2 + xy = x2 + y2
Cách 1
x2 + 2xy + y2 = 1
x+y =1
Mà
(x
y)2
0 Hay: x2 - 2xy + y2
2
+ y2 )
1
0
(1)
(2)
x2 + y2
15
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
minA =
Cách 2
1 vào A
A = x2 + (1 x)2 = 2(x2
x) +1 = 2(x2 -
)2 +
minA =
Cách 3
+ a thì y =
x2 + y 2 = (
+ a)2 + (
2
- a)2 =
+ y2
+2 a2
=> MinA =
a=0
1: Tìm Min A =
Cách 1 Ta có: A=
a 1
2
b 1
2 a 1
2
b 1
4
2
3 b 1
4
2
2011
Min A = 2011 khi
Cách 2:
Min 2A = 4022 khi
=> Min A = 2011
Bài 1 CMR
16
THCS
x=y =
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Bài 2 CMR
Ta có:
Bài 3:
1)
2)
Ta có:
Bài 4: CMR
Ta có:
Bài 5: CMR
Ta có:
a)
)
b)
)
c)
)
d)
)
17
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Bài 7
(*)
Ta có :
1, Chú ý 1
1)2 + ( x
3)2
2
2
y=0
+ (y 1)2 =2y2 +2 2
minA=
x=2
2 Chú ý 2
: >0
Ta có :
=
1
18
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
min
3,Chú ý 3
b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c
c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c
d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn
Cô si: a + b
2
; a2 + b2
- nha -
2ab ; (a + b)2 4ab ; 2( a2 + b2)
xki : (a2 + b2) ( c2 + d2)
( a+ b)2
(ac + bd)2
Cho x2 + y2
2
( 22+32 ).52
( 2x + 3y )2
13.13.4
2x + 3y
Thay y =
vào x2 + y2
2
+ 9x2 = 52.4
x2 = 16
-4
0 x = -4 ,y = -
0
x =4 , y = 6
3/
t x,y
: Ta có 4xy = (x + y)2
(x
N
y)2 = 20052 - (x y)2
x
x
Do 1
Ta có min(x y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002
y
x
2004 nên 1
x-y
max(x y) = 2003 khi x =2004 , y = 1
Do
Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1
19
2003
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
6
VD1: cho x, y là c
ta có:
(2 )
và (2) suy ra :
:
: Vì x + y = 1 nên
Ta có :
20
THCS
(1)
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Ta có:
(1)
Ta có:
(2)
8 => Min A = 8
2
Ta có :
+ y2 = (x + y)2
8 + +4 =
2xy
1-
=>Min A =
=
:
VD1
A=
x
2
1
6 x 17
khi
1
8
.
21
=
THCS
(1)
khi x=y
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
2
VD2
+ y2
Ta có : A = x2 + y2
2
2
4x
4 => x2
x2 = 4x 4
(x
2
=4
: Ta có x + y =4
2 )2 = 0
=0
x =2
x =0
(1)
(2)
2
+ y2 )
=> A = x2 + y2
i
VD1
:x+
=
sau khi c/m f(x)
f(x)=
(vô lí )
là
=> Min A = 0
VD2:
=1
22
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
ta có :
=>
là :
( vô lí )
: Ta có :
(1)
(2)
hay:
Max A =
khi
VD3
Ta có:
N
thì không có: A =
: Ta có
.
+a+b=
23
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
min A =
-2016
khi và chi khi
.
VD1
Do x > 0, y > 0 nên
ta có:
Hay
VD2
=>
:
Ta có:
-
ta có :
Max A = 2 khi
VD3
24
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
Cách 1
Cách 2 : Ta có :
(do x, y > 0) nên
(1)
(1)
xy + z2
yz
xy + z2
y(x
z)
z(x
(x
z)(y
.
VD 4
1.
(1)
(2)
max A =
.
VD 5:
:
.
25
THCS
Giáo án BDHSG Toán 9
-2016
.
VD 6:
Ta có:
Ta có:
=>
VD 7: : Cho
: Ta có :
ta
có:
Ta có:
Hay :
Ta có:
Hay :
.
-
VD 8: : Cho x, y
Ta có: S =
= 1+4+9+
y
x
4x
y
26
4z
y
9y
z
9x
z
z
x
THCS
