dd - dãy, đặc trưng Euler - Poincaré và ứng dụng vào nghiên cứu cấu trúc một số lớp mở rộng của môđun Cohen - Macaulay : Luận án TS. Toán học: 62 46 05 01

▼ô❝ ▲ô❝
▼ë ➤➬✉

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

❈❤➢➡♥❣ ✶✳ ❈❤✉➮♥ ❜Þ

✶✵

✶✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣

✳

✳

✳

✶✳✷✳ ❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝

✶✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✵

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✸

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✶✹

❈❤➢➡♥❣ ✷✳ ❞❞✲❉➲② ✈➭ ❝➳❝ ➤➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦
✷✳✶✳ ❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞❞✲❞➲②

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✷✳✷✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ❝ñ❛ ♣❤ø❝ ❑♦s③✉❧

✷✳✸✳ ▲✐➟♥ ❤Ö ✈í✐ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣

✳

✳

✳

✳

✳

✶✻

✳

✳

✳

✳

✳

✶✼

✳

✳

✳

✳

✳

✷✺

✳

✳

✳

✳

✳

✸✸

❈❤➢➡♥❣ ✸✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②

✹✺

✸✳✶✳ ▲ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè tèt

✸✳✷✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✸✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✹✻

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✺✹

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✺✾

❈❤➢➡♥❣ ✹✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②
✹✳✶✳ ▼➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②

✳

✳

✹✳✷✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ ❊✉❧❡r✲P♦✐♥❝❛rÐ ❜❐❝ ❝❛♦ ✈➭ ❤➺♥❣ sè

✹✳✸✳ ➜➷❝ tr➢♥❣ t❤❛♠ sè

❑Õt ❧✉❐♥

✳

✳

✳

✳

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✳

✶

✼✵
✳

✳

✳

✳

IF (M )

✳

✳

✳

✳

✼✶

✳

✳

✳

✳

✼✽

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✽✺

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✾✸

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✳

✾✻


ở
ứ trú ủ t q ứ tí t ủ

ộ ủ ột ệ t số t ệ

từ tr số

ừ ữ ủ tế ỷ trớ rr

ỉ r ó tể ù ứ s ể tí ộ ủ ột ố ớ ột ệ

t số từ ó r ố ệ ữ ộ số ộ ớ ộ ủ

ồ ề s ố ệ ó ợ tế tụ ứ tr

trì ủ srs t ế ữ

ết q trở t tr số ể t ể

í

ớ ự

ý ệ

m M


R

ột ệ t số ủ

tr ó

x



( )

ộ

tứ r

(M/xM ) = e(x, M ) M


ị

ữ s ó ề

e(x, M )

ố ớ ệ t số

ột

ột

x = x1 , . . . , x d m

(M/xM )
M

(R, m)

t ét

M



tr

dim M = d



ó t ó

e(x, M )

số ộ ủ

ĩ tồ t

x

s

ợ ọ ó tể

ó ột tr ữ trú ợ

ứ ỹ ó ề ứ ụ t tr số ế

(M/xM ) = e(x, M )

t ũ ó

M

ớ ọ ệ t số



x

M

ủ

ở rộ t t ớ ủ ớ

ệ s t

s tồ t ột số

ớ ọ ệ t số

I(M ) = 0







r r ó

I(M )

tỏ

M

(M/xM )

t

(M/xM ) = e(x, M ) + I(M )

s ớ

t

e(x, M ) + C

tự

C

tồ t số





s ớ ọ ệ t số

số

ó t số s ủ

tí

M

t ọ ờ r

ét

M

x

u
ă

M



C

ỏ t ợ ý ệ

ủ

I(M )

ó rt ề





x

ợ

ọ








s rộ õ r s





trờ



ợ

r

ủ

s

rộ



ợ

t

trể

s

rt

rộ



ý

tr

tết

t

ỷ

ữ t ỷ ủ tế ỷ ở t ọ

ờ r t

...

s

ì ọ số ý ệ

u
ă

ó ề ứ ụ tr số

x(n) = xn1 1 , . . . , xnd d

s rộ tì

ớ

n1 , . . . , n d

r r t

ớ

n1 , . . . , n d > 0

(M/x(n)M ) = n1 . . . nd e(x, M ) + I(M )

ủ ớ ể ọ t sẽ ù ý ệ

(M/x(n)M )

M

ế

0

ó

M



ột s rộ r t ỏ

(M/x(n)M )

r

ó tứ t

ột tứ t

n1 , . . . , n d

n1 , . . . , n d

n1 , . . . , n d

n1 , . . . , n d

0





ó

ó tể tì ợ í ụ ỉ r tr ờ ủ ị ế ỏ tế

t ớ ề ệ tì

(M/x(n)M )

ó tứ

ột ề

ệ ủ ợ ờ r tr q ệ

ữ tr ũ ứ r tr trờ ợ tổ qt

(M/x(n)M )

t

ủ

ột

ột ệ t số

ý ệ





t

s



x

ủ

rst

M

s





ờ

(M/x(n)M )

a(M ) = a0 (M )a1 (M ) . . . ad1 (M )

ó



ị tr ở ột tứ

tử

ủ

t

r

ủ

tồ

ố

ột

t

ồ



ột

ệ

ề

ị

rst

t

ớ

từ

xi a(M/(xi+1 , . . . , xd )M ) i = 1, . . . , d




r





tồ

t

ai (M ) = Ann(Hmi (M ))
Hmi (M )

ột

ết

x = x1 , . . . , x d

số

r

R

ột tứ ụ tể



tì

ỉ



ủ

q

tỏ

M

ủ

R



tí

t

ột ệ t số ợ

t ờ ọ ột ệ t số t ữ ó

d

(M/x(n)M ) =

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ),





i=0
ột tứ ớ ọ

n1 , . . . , n d > 0

ệ ệ t số t

s ó ợ s sử ụ ột ụ t ốt ể t




ó ột t số ts t r từ ó r tr ờ

ị tết ủ r ề ề ệ tồ t ứ ố

ết q ó tú ệ ứ ỹ tí t ủ ệ t số

t ũ ứ ụ tr ứ trú ủ

t ệ t số t ó rt ề tí t tốt

ết tí t ề ệ t số tỏ tứ

ở

tr ì tr ú t t ề ứ tí t

ủ ệ t số tỏ

ũ ứ ụ ủ ú ệ

t số trờ ợ r ủ ệ ợ ị ĩ

tr

ột ở rộ ủ t ớ t

ệ s rộ

ọ

M

ột t ứ

s rộ ế tồ t ột ọ ủ

M

M0 M1 . . . Mt = M,
s



Mi /Mi1

(M0 ) < dim M0 < dim M1 < . . . < dim Mt = d

t

ứ



s



ỗ

rộ

ớ

i = 1, 2, . . . , t

ọ ợ ọ ọ t ứ

ọ

s

rộ



tố



ết

ủ

ú

s

ý

r

rộ

tỏ

tr









trộ







ĩ



dim R/p = dim M

dim R/p = 0

tr trờ ợ s rộ tì



tố





s



rộ

ết



ủ

ó



ố

ề





tù

ý

t

ổ

từ



0



ế



dim M

ột ể ệt ữ ớ trú

t ệ tự tr ứ ụ ủ số

t tổ ợ ợ t ị ĩ t tr

tr

trờ ợ tr ị ợ




ét ở ờ



ệ ệ

ứ trú t út sự q t ủ ề t ọ

ệt ứ ụ tr tổ ợ ý tết ồ tị

ó ệ ứ trú ủ

từ í số ũ ột ề q trọ t út

t ọ

trì t ể t ớ ó tể ể ế



t

ột tr ữ ết q q trọ t tr tí





q

tí

trệt

t



tí

t

ủ ố ts ủ ố ồ ề ị ột ở rộ

tự ủ ệ

s

rộ



tợ



ợ







tế

t

ủ

ờ

ú

t















tr







r

s

tr

rộ

ú

t





sẽ





ỉ





r

ố

r

ố ớ s rộ

tồ t ột ệ t số tỏ tứ

ở tr

ừ ó ú t ứ

ụ ể q ứ trú ủ ù ị ĩ

ủ s rộ ố



t ũ t tự ố ớ

s rộ ỹ tt ệ ớ ớ ở tr

tù ủ từ ớ

ợ t ố

ị r ú t

ọ ột số ết q q ết tr số ể tệ ệ trì

ết q tr s ụ tể tr ết ú t sẽ

ệ s rộ ệ

ệ t số t ột số ết q q ủ ế từ



r ết ú t ệ ể tứ ệ

t số t ột số tí t ủ ú ợ trì tr

ột số ết q ề tr rPré ủ




ứ s ợ trì tr ết

ết q ủ ế từ





r

ết

q

ủ





ú



t

ó tử

i = 1, 2, . . . , s

tì

ợ

ớ

trì

tệ

x1 , . . . , x s m

xn1 1 , . . . , xni i





tr

ệ







tr



ột



tr

n1 , . . . , n s
ni+1
M/(xi+1 , . . . , xns s )M

s ớ ọ



>0



ột

tr ữ ết q í ủ tr tí t ủ ệ

t số t q ộ số ộ

ụ tể ú t ó ị ý

ị ý

ị ý sử

x = x1 , . . . , x d

ột ệ t số ủ

M

ề s

t


x ột tr M

ớ ọ

n1 , . . . , nd > 0
d

(M/x(n)M ) =

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).
i=0

ồ t số

a0 , a1 , . . . , ad

s ớ ọ

n1 , . . . , nd > 0

d

(M/(xn1 1 , . . . , xnd d )M )

=

ai n 1 . . . n i .
i=0

ột ệ q ủ ị ý ọ ệ t số t ề

ợ từ ột ết q ủ ờ tì ọ ệ t số ớ

số ũ ủ ớ ột ệ t số t

t

số

t số

k







ệ

x = x1 , . . . , x d

ủ ứ s ủ

t

ủ

M

M

số



t



ó sự tồ t ủ ệ

t



ớ

ỗ

ệ

t ị ĩ tr rPré

ứ ớ

x



d

(1)ik (Hi (x, M )),

k (x, M ) =
i=k




tr ó

Hi (x, M )

ó r

0 (x, M ) = e(x, M )



ồ ề s tứ

k (x, M )

0

i

ột ết q ủ rr

ớ ọ

k = 0, 1, . . . , d



1 (x, M ) = (H0 (x, M )) 0 (x, M ) = (M/xM ) e(x, M )

ế



(M/x(n)M )

tí t tứ ủ

1 (x(n), M )

r trờ ợ

tứ ủ

x

t ớ tí

tì

d1

1 (x(n), M ) =

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).
i=0

ề











ế

ờ

k (x(n), M )



ột







ột



ỏ

ở



tứ

tr

x

ế

t





ột

n1 , . . . , n d



tế

ệ

ớ

sĩ

t

ọ



số

ọ

ủ



k > 0



r

t

t

ờ

tì



ỏ ú t ó ết q q trọ tứ ủ ị ý



x = x1 , . . . , x d

ị ý
tr

ột ệ t số ủ

M

sử

x

ột

M ó ớ ọ n1 , . . . , nd > 0
dk

k (x(n), M ) =

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )Hk1 (xi+2 ,...,xd ,M ) ).
i=0

ệ

q



tứ



tr

ờ



ị



ò ỉ r tờ ủ



ỏ

tr

k (x(n), M )



ữ

ú

t

tr trờ ợ

P ố ủ ợ ể ứ tí t ủ

ó

ột

ệ

t



R

số





M





trì

ó

sử

tờ ợ sử ó ứ ố

ọ ữ s

ó

r

M

ụ



ệ

tết

ề ó ột ệ t số

ó ề tí t ó trò q trọ tr ứ

ó sử ụ tí ó ủ qĩ tí tí

tr tr tự tế ó ề í ụ

R

ó ứ

ố tr ó qĩ tí ó



ó

ệ

t

số





r

tết



ố

ủ

ú

t

ỏ


❣✐➯ t❤✐Õt

R

❝ã ♣❤ø❝ ➤è✐ ♥❣➱✉✱ ❝❤Ø ❣✐➯ sö

M

❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❧➭ ❞❞✲❞➲② ✈➭

♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ sù t❤❛② ➤æ✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❦❤➳❝✳ ▼ét sè ❦Õt q✉➯ ❜❛♥ ➤➬✉ t❤❡♦

❤➢í♥❣ ♥➭② ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✱ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤ã❛ ✈➭ ♠ét

➤

tr➢ê♥❣ ❤î♣ ➤➷❝ ❜✐Öt ❝ñ❛

Þ♥❤ ❧ý ❚r✐Öt ❦✐Ó✉ ❋❛❧t✐♥❣s ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ t✐Õt

❝✉è✐ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭②✳

❈❤➢➡♥❣ ✸ ➤➢î❝ ❞➭♥❤ ❝❤♦ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳

❈❤ó♥❣ t➠✐ tr➢í❝ ❤Õt ❣✐í✐ t❤✐Ö✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❧ä❝ t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭ ❤Ö

t❤❛♠ sè tèt✳ ❈➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ♥➭② ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣ tr♦♥❣ ❝➳❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉

tr♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ✈➭ ❝➯ ❝❤➢➡♥❣ s❛✉ ✈Ò ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳

❚❛ ♥ã✐ ♠ét ❧ä❝

F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M

M

❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛

t❤á❛

♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ♥Õ✉

dim M0 < dim M1 < . . . < dim Mt = dim M =

d

✳

✳

❑ý ❤✐Ö✉

di = dim Mi

sè tèt ➤è✐ ✈í✐

x1 , . . . , x di

F

♥Õ✉

x = x1 , . . . , x d

▼ét ❤Ö t❤❛♠ sè

(xdi +1 , . . . , xd )M ∩ Mi = 0

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛

Mi

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠

i = 0, 1, . . . , t

✈í✐

✳ ❑❤✐ ➤ã

✈➭ t❛ ❝ã t❤Ó ①Ðt ❤✐Ö✉

t

IF,M (x) = (M/xM ) −

e(x1 , . . . , xdi , Mi ).
i=0

IF,M (x)
➤➲

➤➢î❝

❝ã ♥❤✐Ò✉ tÝ♥❤ ❝❤✃t t➢➡♥❣ tù ♥❤➢ ❤✐Ö✉

①Ðt

▼❛❝❛✉❧❛②

IF,M (x)

tr➢í❝

s✉②

❧✉➠♥

n1 , . . . , n d
IF,M (x)

t❤×

0

ré♥❣

❧➭

➤➞②

✈➭

♠ét

❤➭♠

♥❤✐Ò✉

sè

♥➭②

t➢➡♥❣

❦❤✐

♥❣❤✐➟♥

✈✃♥

❝ø✉

➤Ò

➞♠✱

❦❤➠♥❣

❣✐➯♠✱

➤➢➡♥❣

✈í✐

♠➠➤✉♥

❦❤➳❝

❦❤➠♥❣

❦❤✐

IM (x) = (M/xM )−e(x, M )

tr♦♥❣

①Ðt

✳ ✳ ✳ ✳

➤➵✐

sè

IF,M (x(n))

❈ò♥❣

(M/xM )

❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✱

❝❤ó

ý

❣✐❛♦

♥❤➢

r➺♥❣

❤♦➳♥✳

♠ét

❜✃t

❈♦❤❡♥✲

❈ô

t❤Ó✱

❤➭♠

t❤❡♦

➤➻♥❣

t❤ø❝

t
i=0 e(x1 , . . . , xdi , Mi )

❧➭

♠ét ♠ë ré♥❣ ➤➳♥❣ ❝❤ó ý ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❡♥ ❜✐Õt ❣✐÷❛ ➤é ❞➭✐ ✈➭ sè ❜é✐

(M/xM )

e(x, M )

✳

❑Õt

q✉➯

❝❤Ý♥❤

❝ñ❛

➤Þ♥❤ ❧ý s❛✉ ✭①❡♠ ➜Þ♥❤ ❧ý ✸✳✸✳✷✮✳

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮

M

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② ❞➲②✳

✼

❈❤➢➡♥❣

✸

❝ã

t❤Ó

tã♠

t➽t

tr♦♥❣


F

ồ t ột ọ

x = x1 , . . . , x d

tốt

x = x1 , . . . , x d



F

ố ớ

F

ồ t ột ọ

M

. . . Mt = M

tỏ ề ệ ề ột ệ t số tốt
s

IF,M (x(n)) = 0 ớ ọ n1 , . . . , nd > 0

tỏ ề ệ ề s ớ ọ ệ t số

F IF,M (x) = 0

ố ớ

tồ t ột ọ

s ớ ọ ệ t số tốt

F : M0 M1

x = x1 , . . . , x d

t ó

t

(M/x(n)M ) =

n1 . . . ndi e(x1 , . . . , xdi , Mi )
i=0



ột





tứ

tr

ủ

ớ

ột

ọ

ệ

n1 , . . . , n d > 0



t

số



tr



q

ó

di = dim Mi
ộ



ở



ừ



ột



t

s r ọ ó ột ệ t số



ét



ết

q

e(x1 , . . . , xdi , Mi )

tr

tr

trờ

ợ



tsr



ệ

số

ợ tí tờ t q số t ự ủ

ứ ì t ứ ớ ó

r

ố

ù

s rộ

ú

t



rộ tì tồ t ột số

F IF,M (x) < C


ệ t số tốt ủ



ớ





ết q t ú t ỉ r ế

s rộ

ố ớ

ứ





t

M

C

ột

ột ọ s

s ớ ọ ệ t số tốt

IF (M ) = supIF,M (x)

tr ó

x

x

ủ

M

tr

x

ố ớ ọ

IF,M (x(n)) = IF (M )

F

M



ớ ọ

F

tồ t ột ệ t số

x

s

n1 , . . . , n d > 0

ó

t

(M/x(n)M ) =

n1 . . . ndi e(x1 , . . . , xdi , Mi ) + IF (M )
i=0



x

ột tr

M

số

IF (M )

ố ớ

s rộ ó trò t tự số s

s rộ

ệ tí số

IF (M )

I(M )

ố ớ

ết q q trọ tứ ủ

t q ộ ủ ột số ố ồ

ề ị ó ị ý ị ý




➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈❤♦ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②
▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣

M

✈í✐ ♠ét ❧ä❝ ❈♦❤❡♥✲

F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M ✳

➜➷t

di = dim Mi ✱

i = 0, 1, . . . , t − 1✳ ❑❤✐ ➤ã
t

di+1 −1 di+1 −1

IF (M ) =
i=0 k=di
❑Õt

q✉➯

q✉❛♥

trä♥❣

t❤ø

❜❛

j=1
❝ñ❛

k−1
j−1

❈❤➢➡♥❣

✹

(Hmj (M/Mi )).
❧➭

➤Þ♥❤

❧ý

s❛✉

✭①❡♠

➜Þ♥❤

❧ý

✹✳✸✳✷✮✳

➜Þ♥❤ ❧ý✳ ❈➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮

M

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✳

✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝

x = x1 , . . . , xd ❝ñ❛ M
✈í✐ ♠ä✐

F

t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉✱ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt

➤è✐ ✈í✐

F

✈➭ ♠ét ❤➺♥❣ sè

C s❛♦ ❝❤♦ IF,M (x(n))

C

n1 , . . . , nd > 0✳

✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝

F

t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ s❛♦ ❝❤♦

IF (M ) < ∞✳

❚õ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠ét t✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❤÷✉ ❤➵♥ ➤Ó ❦✐Ó♠ tr❛

tÝ♥❤ ❝❤✃t ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❞➲②✿

M

s✉② ré♥❣ ❞➲② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ tå♥ t➵✐ ♠ét ❧ä❝

♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè tèt

x

❝ñ❛

M

➤è✐ ✈í✐

F

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②

F

s❛♦ ❝❤♦

✾

t❤á❛ ♠➲♥ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝❤✐Ò✉ ✈➭

IF,M (x) = IF,M (x21 , . . . , x2d )

✳



ị

r ú t ột số ết q q ết tr số

ú ệ trì rõ r ệ tố ết q tr

s

r t ộ t ét

(R, m)

ột

ó ị ị tr ớ ự t

R

ột

số

x1 , . . . , x d


ớ

ủ

ỗ

ệ

t

ó

s rộ


M

ù

x



ể ý ệ ột ệ t



s rộ

e(x, M )
x

d

ữ s ó ề

m M

t

IM (x) = (M/xM )

ợ ọ ột



x = x1 , . . . , x d

IM (x)

0 M


ế tồ t ột số

ó t

t số

số

C

s

I(M ) = max{IM (x)}

I(M )

x

ợ ọ

M

ủ



IM (x)

tr ó

số s

x

C

ớ ọ ệ t số

tr t ộ ệ

ủ

M



ệ

s rộ ợ ờ r r

ứ t tr ết q tr tết ợ trí ủ ế

từ

ột số tr ủ s rộ



M



ột

ột ệ t số

x





ột số

C

0

s

rộ

s





ỉ

IM (x(n))



C

tồ

t

ớ ọ


n1 , . . . , n d > 0

C

✳ ❍➡♥ ♥÷❛✱ ❤➺♥❣ sè

✈í✐ ❤➺♥❣ sè ❇✉❝❤s❜❛✉♠

✭✶✳✶✳✷✮

M

♥❤á ♥❤✃t t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ♥➭② trï♥❣

I(M )

✳

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥

➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣

Hmi (M )

❝ã ➤é ❞➭✐ ❤÷✉ ❤➵♥ ✈í✐ ♠ä✐

i=d

✳ ➜➠✐ ❦❤✐

♥❣➢ê✐ t❛ ❝ò♥❣ ❣ä✐ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❧➭ ♠➠➤✉♥ ❝ã ➤è✐ ➤å♥❣

➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ❤÷✉ ❤➵♥✳ ◆❣♦➭✐ r❛✱ ❤➺♥❣ sè ❇✉❝❤s❜❛✉♠ ➤➢î❝ tÝ♥❤ q✉❛ ➤é ❞➭✐

❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ♥➭② q✉❛ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✶✳✶✳✸✮

d−1

d−1
j

I(M ) =
j=0
✭✶✳✶✳✹✮

◆Õ✉

M

▼❛❝❛✉❧❛② ✈➭

Supp M

(Hmj (M )).

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ t❤×

dim Mp + dim R/p = d

❧➭ ❝❛t❡♥❛r②✳

✈í✐ ♠ä✐

Mp

❧➭ ❈♦❤❡♥✲

p ∈ Supp M \ {m}

✱ ❤➡♥ ♥÷❛✱

➜✐Ò✉ ♥❣➢î❝ ❧➵✐ ❝ò♥❣ ➤ó♥❣ ♥Õ✉

R

❧➭ ➯♥❤ ➤å♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛

♠ét ✈➭♥❤ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳

●✐➯ sö

❧➭ ♠ét

❝ñ❛

M

M

❧➭ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣✳ ❚❛ ❣ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè

❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝

♥Õ✉

x

IM (x) = I(M )

✳ ◆❤➢ ✈❐②✱ ♠ä✐ ❤Ö t❤❛♠ sè

✈í✐ sè ♠ò ➤ñ ❧í♥ ➤Ò✉ ❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✳ ❱❛✐ trß ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠

sè ❝❤✉➮♥ t➽❝ tr♦♥❣ ❧ý t❤✉②Õt ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ❝ò♥❣ t➢➡♥❣ tù

♥❤➢ ✈❛✐ trß ❝ñ❛ ❝➳❝ ❞➲② ❝❤Ý♥❤ q✉✐ tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②✳

❍➬✉ ❤Õt ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t tèt ❝ñ❛ ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ➤Ò✉ s✉② r❛

tõ ✈✐Ö❝ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝ tr➟♥ ♠➠➤✉♥ ➤ã✳

➜Ó ♣❤➳t ❜✐Ó✉ ❝➳❝

tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ♥❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ❞✲❞➲② ❝ñ❛

❍✉♥❡❦❡✳

✭✶✳✶✳✺✮
♠ä✐

▼ét ❞➲②

x = x1 , . . . , x s ∈ m

i = 1, . . . , s

s

✈➭

j

i

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét

❞✲❞➲②

tr➟♥

M

♥Õ✉ ✈í✐

✱

(x1 , . . . , xi−1 )M : xj = (x1 , . . . , xi−1 )M : xi xj .
x

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét

♠ä✐

M

❞✲❞➲② ♠➵♥❤

n1 , . . . , n s > 0

♥Õ✉

✳

x

tr➟♥

❚❛ ♥ã✐ ❞➲②

x

M

xn1 1 , . . . , xns s

♥Õ✉

❧➭ ♠ét

M

❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥

❧➭ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ✈í✐ ♠ä✐ t❤ø tù ❝ñ❛

✶✶

❧➭ ❞✲❞➲② tr➟♥

x1 , . . . , x s

✳

✈í✐

tr➟♥


▼ét tr♦♥❣ ♥❤÷♥❣ tÝ♥❤ ❝❤✃t q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❧➭ ✈✐Ö❝ ❣✐Õt ❝❤Õt ❝➳❝

♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ ✭①❡♠ ❬✷✷✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✶✳✶✹❪ ❤♦➷❝ ❬✶✵✱ ▲❡♠♠❛

✷✳✾❪✮✳

✭✶✳✶✳✻✮

❈❤♦

x1 , . . . , x s

❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ tr➟♥

M

✳ ❑❤✐ ➤ã

j
(xr+1 , . . . , xs )H(x
(M ) = 0
1 ,...,xr )

r = 1, . . . , s

✈➭

♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ tr➟♥

M

✈í✐ ♠ä✐

j
✳ ◆ã✐ r✐➟♥❣✱ ♥Õ✉ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè

x1 , . . . , x d

❧➭

t❤×

xi Hmj (M/(x1 , . . . , xk )M ) = 0
✈í✐ ♠ä✐

i = 1, . . . , d, j + k < i

✳

❚❛ ❝ã ♠ét sè ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝ñ❛ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✿ ●✐➯ sö

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛

✭✶✳✶✳✼✮
✭✐✮

M

x = x1 , . . . , x d

✳

❈➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿

x

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝❤✉➮♥ t➽❝✳

✭✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❤➺♥❣ sè

C

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

n1 , . . . , n d > 0

✱

(M/x(n)M ) = n1 . . . nd e(x, M ) + C
❤❛② t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣

IM (x(n)) = C

✳

✭✐✐✐✮

IM (x21 , . . . , x2d ) = IM (x)

✭✐✈✮

x

✳

❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤ ❦❤➠♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ tr➟♥

❚r♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ tæ♥❣ q✉➳t ❦❤✐

s✉②

ré♥❣✱

❣✐➯

(x1 , . . . , xd )R

sö

✳

M

❝ã

♠ét

❤Ö

M

M

✳

❦❤➠♥❣ ♥❤✃t t❤✐Õt ❧➭ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛②

t❤❛♠

sè

x1 , . . . , x d

❧➭

❞✲❞➲②✳

➤

➷t

q =

❑Õt q✉➯ s❛✉ ❝ñ❛ ◆✳ ❱✳ ❚r✉♥❣ ❬✹✷✱ ❚❤❡♦r❡♠ ✹✳✶❪ ➤➢î❝ ❞ï♥❣

❦❤✐ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ①Ðt ❤➭♠ ❍✐❧❜❡rt✲❙❛♠✉❡❧ ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉②

ré♥❣ ❞➲② tr♦♥❣ ❈❤➢➡♥❣ ✹✳

✭✶✳✶✳✽✮

d

(M/q

n+1

M) =
i=0

✶✷

n+i
ed−i (q, M )
i


tr♦♥❣ ➤ã

ed (q, M ) = (0 :M x1 /(0 :M x1 ) ∩ qM )

✱

ei (q, M ) = ((x1 , . . . , xd−i )M : xd−i+1 /((x1 , . . . , xd−i )M : xd−i+1 )∩qM )
− ((x1 , . . . , xd−i−1 )M : xd−i /((x1 , . . . , xd−i−1 )M : xd−i ) ∩ qM )
✈í✐

0
✈➭

e0 (q, M ) = (M/qM )
− ((x1 , . . . , xd−1 )M : xd /((x1 , . . . , xd−1 )M : xd ) ∩ qM ).
✶✳✷
❑ý

❑✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ✈➭ ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝
❤✐Ö✉

ai (M ) = Ann Hmi (M )

➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣ t❤ø

i
d

❝ñ❛

M

❧➭

✳ ➜➷t

✐➤➟❛♥

❧✐♥❤

❤ã❛

tö

❝ñ❛

♠➠➤✉♥

➤è✐

a(M ) = a0 (M )a1 (M ) . . . ad−1 (M )

➤å♥❣

✈➭

∞

Ann(x1 , . . . , xi−1 )M : xi /(x1 , . . . , xi−1 )M

b(M ) =
x i=1 t=0
✈í✐

x

❝❤➵② tr➟♥ t♦➭♥ ❜é ❝➳❝ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛

✭✶✳✷✳✶✮

✳ ❚õ ❬✹✾✱ ❙❛t③ ✷✳✹✳✺❪ t❛ ❝ã

a(M ) ⊆ b(M ) ⊆ a0 (M ) ∩ a1 (M ) ∩ . . . ∩ ad−1 (M )

▼ét

t➽❝

M

♥Õ✉

✳

❤Ö

t❤❛♠

sè

x = x1 , . . . , x d

➤➢î❝

xi ∈ a(M/(xi+1 , . . . , xd )M )

✈í✐

❣ä✐

♠ä✐

❧➭ ➯♥❤ ➤å♥❣ ❝✃✉ ❝ñ❛ ♠ét ✈➭♥❤ ●♦r❡♥st❡✐♥✱

dim R/a(M ) < d

✱

❧➭

♠ét

❤Ö

t❤❛♠

sè

♣✲❝❤✉➮♥

i = d, d − 1, . . . , 1

✳

❑❤✐

R

❙❝❤❡♥③❡❧ ➤➲ ❝❤Ø r❛ tr♦♥❣ ❬✹✾❪ ❧➭

❞♦ ➤ã ❧✉➠♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ❝ñ❛

M

tr♦♥❣ tr➢ê♥❣ ❤î♣ ♥➭②✳ ➜è✐ ✈í✐ ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝✱ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝ñ❛ ◆✳ ❚✳

❈➢ê♥❣ ❬✶✵❪ ♥ã✐ r➺♥❣ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐

(M/x(n)M )

❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦

n1 , . . . , n d

❝❤♦ ❜ë✐ ❝➠♥❣ t❤ø❝

✭✶✳✷✳✷✮

(M/x(n)M ) = n1 . . . nd e(x, M )
d−1

+

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M )
i=0

✶✸


ớ ọ

n1 , . . . , n d > 0



r trờ ợ tổ qt ố ớ ột ệ t số

ỳ



tứ

IM (x(n)) = (M/x(n)M ) n1 . . . nd e(x, M )

t









ị



tr

ở

ột

x = x1 , . . . , x d

t

ó tể ột



tứ

ỏ

x



M



t ủ tứ tr ó ụ tộ ệ ọ ệ t số

p(M )

ý ệ tứ ỏ t ó ở

ế ý ệ ủ tứ

0



ọ ể tứ ủ

tì

M

t ứ s rộ ỉ

ứ

p(M )

0





p(M ) =

t

ệ ớ ố ồ ề ị



ờ ỉ r r



p(M )

dim R/a(M )



tứ r

R

t

ủ ột rst

r trờ ợ ệ t số t t ó



p(M )

IM (x(n)) =

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ),
i=0

ớ ọ



n1 , . . . , n d > 0

tr rPré

ét ột ệ t số

ủ ứ s

x = x1 , . . . , x d

K(x, M )

ủ

M

tr rPré

k

ợ ị ĩ ở

d



(1)ik (Hi (x, M )).

k (x, M ) =
i=k
ó

0 (x, M ) = e(x, M )



k (x, M )

0

ớ ọ

k = 0, 1, . . . , d

ó

1 (x, M ) = (H0 (x, M )) 0 (x, M ) = (M/xM ) e(x, M ) = IM (x).
ộ s ủ

M

ợ tr q sự trệt t ủ



k (x, M )

s

✭✶✳✸✳✷✮

depth(M ) = max{k : Hd−k+1 (x, M ) = 0}
= max{k : χd−k+1 (x, M ) = 0}
= max{k : χj (x, M ) = 0

✈í✐ ♠ä✐

❑Õt q✉➯ s❛✉ ❝ñ❛ ◆✳ ❚✳ ❈➢ê♥❣ ✈➭ ❱✳ ❚✳ ❑❤➠✐ ❬✶✼✱

χk (x, M )

j > d − k}.

❈♦r♦❧❧❛r② ✷✳✷❪ ❧✐➟♥ ❤Ö ❝➳❝

✈➭ sè ❜é✐ ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ❑♦s③✉❧ ➤ã♥❣ ✈❛✐ trß q✉❛♥ trä♥❣

tr♦♥❣ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ❝ñ❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ✈Ò tÝ♥❤ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛ ❤➭♠

✭✶✳✸✳✸✮

χk (x(n), M )

✳

d−k

χk (x, M ) =

e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )Hk−1 (xi+2 ,...,xd ,M ) ).
i=0

❚r➢ê♥❣ ❤î♣

k=1

❝❤Ý♥❤ ❧➭ ❝➠♥❣ t❤ø❝ q✉❡♥ t❤✉é❝ ❝ñ❛ ❆✉s❧❛♥❞❡r✲❇✉❝❤s❜❛✉♠

❬✷✱ ❈♦r♦❧❧❛r② ✹✳✸❪✳

✭✶✳✸✳✹✮

d−1

IM (x) = χ1 (x, M ) =

e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).
i=0

❳Ðt

χk (x(n), M )

χk (x(n), M )
❚✉② ♥❤✐➟♥✱

❦❤➠♥❣

❤➭♠

♥❤➢

❧➭

♠ét

♠ét

➤❛

χk (x(n), M )

❤➭♠

t❤ø❝✱

t❤❡♦

❝➯

n1 , . . . , n d > 0

✳

tr♦♥❣

tr➢ê♥❣

❤î♣

◆ã✐

❝❤✉♥❣✱

n1 , . . . , n d

0

✳

❦❤➠♥❣ ❣✐➯♠ ✈➭ ❜Þ ❝❤➷♥ tr➟♥ ❜ë✐ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝✳

❇❐❝ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤❛ t❤ø❝ ♥➭② ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝ ✈✐Ö❝ ❝❤ä♥ ❤Ö t❤❛♠ sè ✈➭

➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

❦✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝ ❝ñ❛

pk (M )

✳

M

❚❛ ❝ã✱

p0 (M ) = d

✳

✶✺

❧➭ ❝❤✐Ò✉ ✈➭

p1 (M ) = p(M )

❧➭



tr rPré


r ú t ớ tệ ệ ứ ột

số tí t ủ

ó ột í tì

ột ị ĩ ủ ệ t số t tr t q

ệ ị ĩ ó ộ tù ý ột ệ t số

x1 , . . . , x d

ủ

M

t tì ộ

ột tứ rt ệt t

n1 , . . . , n d

tr ủ ệ t số

t



ớ

ột tứ t



tr

n1 , . . . , n d

(M/(xn1 1 , . . . , xnd d )M )



ú t sẽ ỉ r ột

ì từ ó ộ ứ s ề

rPré



ột

1 (xn1 1 , . . . , xnd d , M )



ó ế ột ỏ tự

tr rPré

k (xn1 1 , . . . , xnd d , M )

ó tứ

ỏ ợ t r tr tế sĩ ọ ủ t ờ

t t ể t ủ tt ứ ủ ú t ề

tr

tr ờ ủ ỏ ợ trì tr

ết r tết ố ú t ứ ột số tí t ủ ó

ột ệ t số r trờ ợ ó ú t ợ ột

số ết q q ế ố ồ ề ị ị ó ột

trờ ợ ệt ủ



ị ý rệt ể ts ợ ết ự

tr




✷✳✶

❈➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❞❞✲❞➲②

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✶✳✶✳

x

♥ã✐

❧➭

❈❤♦

❞❞✲❞➲②

♠ét

♠ét

tr➟♥

❞➲②

M

♥Õ✉

❝➳❝

x

i = 1, . . . , s − 1 n1 , . . . , ns > 0
✱

✱

♣❤➬♥

❧➭

♠ét

❞➲②

tö

x = x1 , . . . , x s ∈ m

✳

❞✲❞➲②

♠➵♥❤

x1 , . . . , x i

❧➭

tr➟♥

♠ét

M

✈➭

❞✲❞➲②

❚❛

✈í✐

♠ä✐

♠➵♥❤

tr➟♥

n

i+1
M/(xi+1
, . . . , xns s )M

✳

i

❈❤ó ý ✷✳✶✳✷✳

✭ ✮ ❞❞✲❞➲② ♣❤ô t❤✉é❝ t❤ø tù ❝ñ❛ ❞➲②✳

▼ét ❞➲② ❧➭ ❞❞✲❞➲② t❤❡♦

♠ä✐ t❤ø tù ❝ñ❛ ❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣ ❞➲② ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❞➲② ➤ã ❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤

❦❤➠♥❣ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥✳

ii

✭

✮ ▼ä✐ ♣❤➬♥ ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛ ♠ét ♠➠➤✉♥ ❈♦❤❡♥✲▼❛❝❛✉❧❛② s✉② ré♥❣ ✈í✐ sè

♠ò ➤ñ ❧í♥ ➤Ò✉ ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲②✳

iii

✭

✮

x1 , . . . , x s

◆Õ✉

M/(xi+1 , . . . , xs )M
iv

✭

✮

◆Õ✉

x1 , . . . , x s

❧➭

♠ét

❞❞✲❞➲②

i = 1, 2, . . . , s

❧➭

❞❞✲❞➲②

♠ét

✱ ❝ò♥❣ ❧➭ ❞❞✲❞➲② tr➟♥

v x1 , . . . , x s
✮

tr➟♥

M

✈➭

M

✈í✐ ♠ä✐

n1 , . . . , n s > 0
✭

tr➟♥

❧➭ ❞❞✲❞➲② tr➟♥

x1 , . . . , xs−1

❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✸✳ ❈❤♦ ❞➲②

M

tr➟♥

M

x = x1 , . . . , x s

x1 , . . . , x i

t❤×

♠ä✐

❧➭

❞❞✲❞➲②

tr➟♥

✳

M

❞➲②

xn1 1 , . . . , xns s

✈í✐

✳

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐

❧➭ ❞❞✲❞➲② tr➟♥

t❤×

x1 , . . . , x s

M/xns M

✈í✐ ♠ä✐

❝➳❝ ♣❤➬♥ tö tr♦♥❣

❧➭ ♠ét ❞✲❞➲② ♠➵♥❤

n>0

✳

m✳

❈➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤

s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭i✮

x ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M ✳

✭ii✮ ❱í✐ ♠ä✐

1

i

k

j

s ✈➭ n1 , . . . , ns > 0✱ t❛ ❝ã

n

n

j+1
i−1
(xn1 1 , . . . , xi−1
, xj+1
, . . . , xns s )M : xni i xnk k

n

n

j+1

i−1
= (xn1 1 , . . . , xi−1
, xj+1
, . . . , xns s )M : xnk k .

✭iii✮ ❱í✐ ♠ä✐

1
n

i

j

s✱ n1 , . . . , ns > 0✱ t❛ ❝ã

n

n

j+1
i−1
(xn1 1 , . . . , xi−1
, xj+1
, . . . , xns s )M : xni i xj j

n

n

n

j+1
i−1
= (xn1 1 , . . . , xi−1
, xj+1
, . . . , xns s )M : xj j .

✶✼


ứ

ii iii











ợ s r từ ị ĩ

ể

iii ii

i ii







ét

1

i

k=j

k

j



s n1 , . . . , n s > 0

ù ị ý

r từ tết t ó

n

n

j+1
i1
(xn1 1 , . . . , xi1
,xj+1
, . . . , xns s )M : xni i xnk k

n

n

n

n

i1
k+1
(xn1 1 , . . . , xi1
, xk+1
, . . . , xns s )M : xni i xnk k

=
nk+1 ,...,nj

i1
k+1
(xn1 1 , . . . , xi1
, xk+1
, . . . , xns s )M : xnk k

=

nk+1 ,...,nj
nj+1
ni1
=(xn1 1 , . . . , xi1
, xj+1
, . . . , xns s )M

: xnk k .

ệ q ọ ủ ột ữ tứ tự ũ ột


ý ệ

x1 , . . . , xi1 , xi+1 , . . . , xs

ở

x1 , . . . , xi , . . . , x s

ó ệ

ề s

x = x1 , . . . , x s

ệ ề

i = 1, 2, . . . , s x1 , . . . , xi , . . . , xs
ứ

i=s



ứ ệ ề q t

ét trờ ợ

M/xns s M



ớ ọ

tr

s>2

ns > 0

x1 , . . . , xi , . . . , x s



x2 , . . . , xi , . . . , x s

tr



x2 , . . . , xi , . . . , x s

1




ú

tr

ý

ế

v

x1 , . . . , xi , . . . , xs1



s = 1, 2



x1 , . . . , xi , . . . , xs1
t



ứ





ì

t tết q

M/(xn1 1 , xi )M



M

t tết

M/xi M

ì ể ứ

tr

tr



Mi = M/xi M

t

M/xn1 1 M n1 > 0

x1 , . . . , xs1

i=1

x1 , . . . , xs1

M/xi M

s

ó tr

t từ ệ q

q

ừ

ớ ọ

ó trờ ợ

t tết q

M/(xi , xns s )M




M

M/xi M

ột tr

tì ị ợ s r từ ị ĩ

ú

tr

ột tr




x1 , . . . , xi , . . . , x s

tr

0 :Mi xns s = 0 :Mi xn1 1 xns s , n1 , ns > 0,




ứ

a xi M : xn1 1
s r

ó tồ t

bM

ế

xs2ns a xns s xi c = 0





tr

M



ì







s

ét

ó

s

tử

t

s
a xi M : x2n
= xi M : xns s
s




ì

b xn1 1 M :

xns s b = xn1 1 c

xi M : xn1 1 xi M : xns s





ừ ó

xns s a xi c 0 :M xn1 1 0 :M xns s

x1 , . . . , x s



ừ





s

r

ệ ề ợ ứ

3 x = x1 , . . . , xs ột tr M

x1 , . . . , xi , . . . , xs tr M/xni i M

ứ



xn1 1 a = xi b

cM

xi M : xn1 1 xns s xi M : xs2ns = xi M : xns s

ệ q ớ

xi M : xns s = xi M : xn1 1 xsns



s

ó tồ t

xn1 1 xns s a = xi xns s b = xn1 1 xi c



t ỉ ứ

xi M : xn1 1 xns s xi M : xns s



xi xn1 1 M : xns s

M/xi M

ớ ọ

ỉ

ni > 0 i = 1, . . . , s

ề ệ ợ ứ tr ệ ề ứ

x1 , . . . , xs1

ề ệ ủ

v

t ú ý

tr

t ỉ ứ

ỉ ứ ớ ọ

x

ớ ọ

tr

n1 , . . . , n s > 0 1

i



n

n

M/xns s M

ns > 0

M

j

s

ó



n

n

i1
i1
(xn1 1 , . . . , xi1
)M : xni i xj j = (xn1 1 , . . . , xi1
)M : xj j .

ế

i>1

tồ t

tì ề ể tết

M/xn1 1 M
k

tỏ

tr



ớ

ọ

1

xnk k M :



k

s

trờ

k = 1, j

n
xn1 1 xj j



ó







3



x1 , . . . , xk , . . . , x s

n

xnk k M : xn1 1 xj j =

ứ

s

t

ù ị ý r t s r

nk



i = 1

n

n

0 :M xn1 1 xj j =

rớ



ợ

0 :M/xnk k M xj j = 0 :M/xnk k M xn1 1 xj j ,

= xnk k M :

n

ét

tr

n

M/xnk k M
n
xj j

n1 > 0

x2 , . . . , x s

n

xnk k M : xj j = 0 :M xj j .
nk

trờ

ợ



ệt

ệ

t

số





ú t ột tí t ợ ù ứ ố ồ

ề ị ứ ũ ố tr r

trờ ợ ị ợ ú t ở




❇æ ➤Ò ✷✳✶✳✼✳ ▼ä✐ ❞❞✲❞➲②

x = x1 , . . . , xs tr➟♥ M

➤Ò✉ t❤á❛ ♠➲♥ tÝ♥❤ ❝❤✃t ➤➡♥

n1 , . . . , ns ✱ m1 , . . . , ms > 0 t❛ ❝ã

t❤ø❝✱ ❝ô t❤Ó ✈í✐ ♠ä✐

ms
1
(xn1 1 +m1 , . . . , xsns +ms )M : (xm
1 . . . xs ) =
s
i
(xn1 1 , . . . , xni i , . . . , xns s )M : xm
i + x(n)M.

i=1
➜Þ♥❤ ❧ý t✐Õ♣ t❤❡♦ ❧➭ ♠ét ➤➷❝ tr➢♥❣ ❝❤♦ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❞❞✲❞➲② ❝ñ❛ ♠ét ❤Ö t❤❛♠

sè t❤➠♥❣ q✉❛ ❤➭♠ ➤é ❞➭✐✳

➜➞② ❧➭ ♠ét ❦Õt q✉➯ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❈❤➢➡♥❣ ✷✱ ❤➬✉ ❤Õt

❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❞❞✲❞➲② ➤Ò✉ ①✉✃t ♣❤➳t tõ ❦Õt q✉➯ ♥➭②✳

➜Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✽✳ ❈❤♦

x = x1 , . . . , x d

M✳

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛

❈➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò

s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✭✐✮

x ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M ✳

✭✐✐✮ ❱í✐ ♠ä✐

n1 , . . . , nd > 0✱

(M/x(n)M ) = n1 . . . nd e(x, M )
d−1

+

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).
i=0

✭✐✐✐✮ ❚å♥ t➵✐ ❝➳❝ sè

a0 , . . . , a d

s❛♦ ❝❤♦ ✈í✐ ♠ä✐

n1 , . . . , nd > 0✱

d

(M/x(n)M ) =

n 1 . . . n i ai .

i=0

◆ã✐ r✐➟♥❣✱

(M/x(n)M ) ❧➭ ♠ét ➤❛ t❤ø❝ t❤❡♦ n1 , . . . , nd ♥Õ✉ x ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲②✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

i ⇒ ii

✭ ✮

✭

n

✮✿

❚❛

❝ã

i+1
xd ∈ Ann (0 : xi+1
)M/(xni+2 ,...,xnd−1 )M
i+2

0, 1, . . . , d − 2 n1 , . . . , nd > 0
✱

1.3.4

✭

❞♦

x

❧➭

❞❞✲❞➲②

d−1
xnd d , xn1 1 , . . . , xd−1

t❛ ➤➢î❝

✈í✐

♠ä✐

M

tr➟♥

✳

❉♦

➤ã

➳♣

n

✮ ❝❤♦ ❤Ö t❤❛♠ sè

(M/x(n)M ) = e(x(n), M ) +
✷✵

i =

d−1

(0 : xd )M/(xn1 ,...,xnd−1 )M .
1

d−1

❞ô♥❣


◆❤❐♥ ①Ðt ❧➭ sè ❤➵♥❣ t❤ø ❤❛✐ ë ✈Õ ♣❤➯✐ ❦❤➠♥❣ ♣❤ô t❤✉é❝

nd

✱ ❞➱♥ ➤Õ♥

n

d−1
(M/x(n)M ) =e(x(n), M ) + (M/(xn1 1 , . . . , xd−1
, xd )M )

n

d−1
− e(xn1 1 , . . . , xd−1
, xd , M )

n

d−1
, 0 :M xd )
=e(x(n), M ) + e(xn1 1 , . . . , xd−1

n

d−1
+ (M/(xn1 1 , . . . , xd−1
, xd )M )

n

d−1
− e(xn1 1 , . . . , xd−1
, M/xd M ).

M = M/xd M

➜➷t

❉ï♥❣ q✉✐ ♥➵♣ t❤❡♦

✳

❚❤❡♦ ▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✶✳✺✱

d

x1 , . . . , xd−1

❧➭ ❞❞✲❞➲② tr➟♥

M

✳

t❛ s✉② r❛

n

n

d−1
d−1
(M/(xn1 1 , . . . ,xd−1
, xd )M ) − e(xn1 1 , . . . , xd−1
, M/xd M )

n

n

d−1
d−1
= (M /(xn1 1 , . . . , xd−1
)M ) − e(xn1 1 , . . . , xd−1
,M )

d−2

e(xn1 1 , . . . , xni i , (0 : xi+1 )M /(xi+2 ,...,xd−1 )M )

=
i=0
d−2

e(xn1 1 , . . . , xni i , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).

=
i=0
❱❐②

(M/x(n)M ) = n1 . . . nd e(x, M )
d−1

n1 . . . ni e(x1 , . . . , xi , (0 : xi+1 )M/(xi+2 ,...,xd )M ).

+

i=0

ii ⇒ iii

✭

✮

✭

✮✿ ❍✐Ó♥ ♥❤✐➟♥✳

iii ⇒ i

✭

✮

✭ ✮✿ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤ ❜➺♥❣ q✉✐ ♥➵♣ t❤❡♦

(M/xn1 1 M ) = a1 n1 + a0
e(xn1 1 , M ) + (0 :M xn1 1 )

✳

0 :M xn1 1 = 0 :M x1
❣✐ê ①Ðt tr➢ê♥❣ ❤î♣

✈í✐

d=2

✈í✐

❚õ

♠ä✐

n1 > 0

♠ä✐

✳

➤➞②

s✉②

n1 > 0

✳ ❚❛ ❝ã

r❛

❤❛②

▼➷t

a0 =

x1

❧➭

d

✳ ❳Ðt

❦❤➳❝✱

d=1

✳ ❚❛ ❝ã

(M/xn1 1 M ) =

(0 :M xn1 1 )

♠ét

✳

❞❞✲❞➲②

tr➟♥

❉♦

M

✳

➤ã✱

❇➞②

(M/(xn1 1 , xn2 2 )M ) = n1 n2 a2 + n1 a1 + a0

✳

1.3.4

❚õ ✭

✮ t❛ ❝ã

(M/(xn1 1 , xn2 2 )M ) = n1 n2 e(x1 , x2 , M )+n1 e(x1 , 0 :M xn2 2 )+ ((0 : xn1 1 )M/xn2 2 M ).
✷✶


ố

ị

tí

n2 > 0

t

ú

tr

(0 : x1 )M/xn2 2 M
x 2 , x1

ó

x 1 , x2

ứ







((0 : xn1 1 )M/xn2 2 M )



M/x2n2 M

ủ

n1 e(x1 , 0 :M xn2 2 )

ý









x1





ột tr

ổ

n1

ớ

0



n2 a2 + a1 = n2 e(x1 , x2 , M ) +

ế

a0 = ((0 : xn1 1 )M/xn2 2 M )




M

ó

tr





(0 : xn1 1 )M/xn2 2 M =

M/xn2 2 M





ụ tế tụ

ò

1.3.4



t ó

(M/(xn1 1 , xn2 2 )M ) = n1 n2 e(x1 , x2 , M )+n2 e(x2 , 0 :M xn1 1 )+ ((0 : xn2 2 )M/xn1 1 M ).
ễ



t

n2

ụ tộ

ớ

n2 > 0

ọ

n1 a1 + a0 = ((0 : xn2 2 )M/xn1 1 M ) + n2 e(x2 , 0 :M x1n1 )

r

ừ



0 :M xn1 1 = 0 :M x1


ữ

n > 0

ể

e(x2 , 0 :M xn1 1 ) = 0

ó

ết



q

tr

(0 :M xn1 1 ) <
xn2 (0 :M x1 ) = 0

d>2

ớ ỗ

xn1 1 M : xn2 2 = xn1 1 M : x2

ị

ý

0 :M xn2 2 = 0 :M x1






ớ

r

ọ

e(x2 , 0 :M xn1 1 ) = 0



0 :M xn1 1 = 0 :M xn2 2

0 :M xn1 1 xn2 2 = 0 :M x2n+n2 = 0 :M x2
ét

ù





x 1 , x2

ni > 0 i = 1, . . . , d


t

s

r

n 1 , n2 > 0



ì



t

ừ

tr

Mi = M/xni i M





M

tồ

t

s

r



ó

d1

(Mi /(xn1 1 , . . . , xni i , . . . , xnd d )Mi )

= (M/x(n)M ) =

bj n 1 . . . n i . . . n j
j=0

tr ó

bj =




aj

ai1 + ni ai


nj aj

ừ tết q s r

ó từ ệ q s r

ế

j < i 1,

ế

j = i 1,

ế

j > i 1.

x1 , . . . , xi , . . . , x d

x1 , . . . , x d

tr

ột tr

M

M/xni i M







1.2.2

ừ

t ó ệ q s ủ ị ý

ệ q ọ ệ t số t ề ột tr
ế ột ệ t số

(M/x(n)M )

x1 , . . . , x d

ột tứ t

ột tr

n1 , . . . , n d



ọ

M

M

tì ộ

0 = i0 < i1 < . . . <


it = d

❧➭ ❝➳❝ ❝❤Ø sè s❛♦ ❝❤♦

t

aik n1 . . . nik

(M/x(n)M ) =
k=0

➤

ai1 , . . . , ait = 0

✈í✐

✳ ❍Ö q✉➯ s❛✉ ♥❤❐♥ ➤➢î❝ ❧❐♣ tø❝ tõ

Þ♥❤ ❧ý ✷✳✶✳✽✳

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✵✳ ❱í✐ ❝➳❝ ❣✐➯ t❤✐Õt ♥❤➢ tr➟♥ ✈➭ ♠ä✐ ❤♦➳♥ ✈Þ
♠➲♥

σ ∈ Sn

t❤á❛

σ({ik + 1, . . . , ik+1 }) = {ik + 1, . . . , ik+1 }✱ k = 0, 1, . . . , t − 1✱

❞➲②

xσ(1) , . . . , xσ(d) ❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥ M ✳ ◆ã✐ ❝➳❝❤ ❦❤➳❝✱ ❞❞✲❞➲② ❝ã t❤Ó ❤♦➳♥ ✈Þ
tr♦♥❣ tõ♥❣ ➤♦➵♥✳

p(M )

◆❤➽❝ ❧➵✐✱ ❦✐Ó✉ ➤❛ t❤ø❝

❝ñ❛

M

❧➭ ❜❐❝ ♥❤á ♥❤✃t ❝ñ❛ ➤❛ t❤ø❝ ❝❤➷♥ tr➟♥

(M/x(n)M ) − n1 . . . nd e(x, M )

p(M ) = it−1

✳ ❉♦ ➤ã

❤✐Ö✉

t✐Õ♣ t❤❡♦ ❝❤ó♥❣ t➠✐ sÏ ❝❤Ø r❛ r➺♥❣

p(M )

✳ ❚r♦♥❣ ❦Õt q✉➯

❝ã t❤Ó tÝ♥❤ ➤➢î❝ t❤➠♥❣ q✉❛ ✐➤➟❛♥ ❧✐♥❤

❤ã❛ tö ❝ñ❛ ❝➳❝ ♠➠➤✉♥ ➤è✐ ➤å♥❣ ➤✐Ò✉ ➤Þ❛ ♣❤➢➡♥❣✳

M

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✶✳ ●✐➯ sö
➤ã

❝ã ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè

x1 , . . . , x d

p(M ) = dim R/a(M )✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

i

d

✱

❞♦

❚õ

tÝ♥❤

1.2.3

✭

✮

❝❤✃t

x 1 , . . . , x i , . . . , x d , xi

1.1.6

✭

✮ t❛ ❝ã

t❛

❤♦➳♥

❧➭

❧✉➠♥

✈Þ

p(M )

dim R/a(M )

➤♦➵♥

❞❞✲❞➲②

❝ã

tõ♥❣

❞❞✲❞➲②

xi Hmj (M ) = 0

❚õ ➤ã s✉② r❛

tr➟♥

✈í✐ ♠ä✐

M

✱

✳

❝ñ❛

❞♦

➤ã

❧➭

✈➭

❧➭

tr➟♥

M

t❤×

✈➭

dim R/a(M )

xnd d ∈ a(M )

n

i+1
xni i ∈ a(M/(xi+1
, . . . , xnd d )M )

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳✶✷✳ ❈❤♦
❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲② tr➟♥
♠ä✐

ni

x1 , . . . , x d

❞✲❞➲②

❱í✐

❍Ö

♠➵♥❤

✱ ❞➱♥ ➤Õ♥

xdp(M )+1 , . . . , xdd ∈ a(M )

❞❞✲❞➲②

tr♦♥❣

j = 0, 1, . . . , d−1

❚õ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝ñ❛ ❤Ö q✉➯ tr➟♥ t❛ s✉② r❛ ♥Õ✉

sè

❧➭ ♠ét ❞❞✲❞➲②✳ ❑❤✐

✈í✐ ♠ä✐

ni

✈í✐

i

nd

i✱ i = 1, . . . , d✳

✷✸

tr➟♥

✷✳✶✳✶✵✱

M

✳

❚õ

xdi ∈ a(M )

✳

✳

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠

d

✈➭

tæ♥❣

q✉➳t

✳ ❉♦ ➤ã

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ❝ñ❛

M ✱ ❦❤✐ ➤ã xn1 1 , . . . , xnd d

q✉➯

p(M )

x1 , . . . , x d

♠ä✐

p(M ) <

M ✳ ●✐➯ sö x1 , . . . , xd

❧➭ ♠ét ❤Ö t❤❛♠ sè ♣✲❝❤✉➮♥ t➽❝ ✈í✐


t ột ĩ ó t ệ t số t

ệ t số t t ỉ

ệ q sự tồ t ủ ệ

t số ệ t số t t r tự tế

ệ ể tr ột ệ t số ó t tờ

ễ ì tí ột t t ó tử ủ ố ồ ề

ị ột ệ ó rt ó r ề trờ ợ

ị ý

ệ q t ột ể ệ



ị ý ỉ r r tr trờ ợ s

rộ ệ t số ệ t số t t trù

ó tể ệ ệ t số ột ở rộ ủ ệ t

số t trờ ợ s rộ

ó

ề ệ

t

ệ t số

t ề ợ ó ú P

ố ủ tết ợ ể ệt ệ ớ ệ

ề ệ ệ t số t t

q ột số í ụ í ụ t ỉ r r ó



í ụ ét
số tr trờ

k

ệ t số ủ

R = k[[X, Y ]]

t M

M

= (X, Y )2

Y M :X
X, Y 2

ớ ọ

dim M = 2



X, Y 2

ột

0 :M X m Y 2n = 0 :M Y 2n

n, m > 0

ó

X, Y 2



ột

M t t ũ ó
2



ó

ễ ể tr ợ

X m M : Y 2n = X m M : Y 2
tr

ỗ ũ từ ì tứ ớ ệ

m

=

(XY 2 , Y 3 )

ế

m = 1,

(Y 2 )

ế

m > 1,

ột tr

M

r í ụ s t sẽ ét ột ệ t số

ị ợ ệ t số t