Moment từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong lý thuyết trường lượng tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.22 MB, 62 trang )
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
NGUYỄN THỊ HỤÊ
MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------
NGUYỄN THỊ HỤÊ
MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON VÀ
PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
LÝ THUYẾT TRƢỜNG LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành :
Mã số
:
Vật lý lý thuyết và vật lý toán
60.44.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN HÃN
Hà Nội - 2014
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy giáo, GS. TSKH.
Nguyễn Xuân Hãn, ngƣời đã trực tiếp chỉ bảo tận tình, trực tiếp giúp đỡ em
trong suốt thời gian học tập và hoàn thành Bản luận văn thạc sĩ khoa học này.
Em cũng gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới tất cả các Thầy Cô, Tập thể
cán bộ Bộ môn Vật lý lý thuyết, cùng toàn thể ngƣời thân, bạn bè đã giúp đỡ,
dạy bảo, động viên, và trực tiếp đóng góp, trao đổi những ý kiến khoa học quý
báu để em có thể hoàn thành Bản luận văn này.
Qua đây, em cũng chân thành gửi lời cảm ơn tới các Thầy C« ở Khoa
Vật lý đã dạy bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành Bản luận văn này .
Hà Nội, 16 tháng 12 năm 2013
Học viên
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .....................................................................................................................1
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA ELECTRON ..5
1.1 Phƣơng trình Pauli ............................................................................................5
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối
tính ...........................................................................................................................6
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli........................................9
CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MOMENT
TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON ......................................................................19
2.1 S-ma trận ..........................................................................................................19
2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng ......................23
2.3 Hệ số dạng điện từ ...........................................................................................24
CHƢƠNG 3 - BỔ CHÍNH CHO MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG ..............................28
3.1. Bổ chính cho mômen dị thƣờng trong gần đúng một vòng ............................28
3.2. Moment từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử ...................................37
KẾT LUẬN ...............................................................................................................39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................... Error! Bookmark not defined.
PHỤ LỤC A ..............................................................................................................41
PHỤ LỤC B ..............................................................................................................50
PHỤ LỤC C ..............................................................................................................51
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 2.1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng ..................................................... 20
Hình A.1……..…………………………………………………………………...43
Hình A.2 …………………………………………………………………
BẢNG KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT
QED:
Điện động lực học lƣợng tử
…...45
MỞ ĐẦU
Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R.
Feynman. Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc
tái chuẩn hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành
công các quá trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ
nhƣ sự dịch chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc
moment từ dị thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực
nghiệm trùng nhau với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của
electron với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ
của tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng moment từ electron , và nó bằng
e0h
e
0
0 ( m0 và e0 là khối lƣợng “trần” và điện tích “trần” của
| h c 1 2m0
2m0c
electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng tƣơng tác của chân không vật
lý với electron – khi tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
cho moment từ electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron m0 mR và
điện tích electron e0 eR sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ xung, mà nó đƣợc gọi là
moment từ dị thƣờng. Lƣu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc moment từ của electron bằng
1,003875 0 , giá trị này đƣợc gọi là moment từ dị thƣờng của electron.
J.Schwinger /13/ là ngƣời đầu tiên tính bổ chính cho moment từ dị thƣờng của
electron vào năm 1948 và ông thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ
chính cho moment từ của electron khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai
1
số tính toán với thực nghiệm vào khoảng 1010 % ). Biểu thức giải tích của moment
từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã thu đƣợc :
ly thuyet 0 1
2
3
0,32748 2 1,184175 3
2
(0.1)
1,001159652236 28 .0
R 1,00115965241 20 .0
(0.2)
Ở đây về cơ bản các giá trị moment đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết
nhiễu loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp
với nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
moment từ dị thƣờng của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh Pauli -Villars.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết
luận, một số phụ lục và tài liệu tham khảo.
Chƣơng 1. Phƣơng trình Pauli và moment từ của electron. Phƣơng trình
Pauli và moment từ dị thƣờng có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất
phát từ phƣơng trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu đƣợc
phƣơng trình Pauli với số hạng tƣơng tác của moment từ electron với trƣờng ngoài
/1/. Mục 1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi
tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điện từ ngoài trong gần đúng v c , v
– là vận tốc của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp
theo cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu đƣợc bằng việc sử
dụng phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen ở mục 1.3.
2
Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào moment từ dị
thƣờng của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng
ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma trận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ
electron với trƣờng điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman
trong gần đúng một vòng đóng góp cho moment từ dị thƣờng của electron. Mục
2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong
gần đúng phi tƣơng đối tính.
Chƣơng 3. Moment từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn
và phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu
thức bổ chính cho moment từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành
ở mục 3.2. Lƣu ý, việc tính moment từ dị thƣờng của electron là bài toán phức tạp,
trong Luận văn này bƣớc đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản
hóa bài toán bằng việc: i/ bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng
photon; ii/ bỏ qua việc tái chuẩn hóa khối lƣợng, điện tích của electron, hàm sóng
của electron và trƣờng điện từ ngoài liên quan tới các đƣờng ngoài trong giản đồ
Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh
Feynman cho mômen từ dị thƣờng của electron.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng
quát hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự. Trong bản luận văn này chúng
tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử h c 1 và metric Feynman. Các véctơ phản
biến là tọa độ:
r
x x0 t , x1 x, x 2 y, x3 z t , x
thì các véctơ tọa độ hiệp biến:
r
x g x x0 t , x1 x, x2 y, x3 z t , x ,
trong đó:
3
g g
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.
4
CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MOMENT TỪ CỦA
ELECTRON
Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa moment từ của electron với
trƣờng điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của momen từ với
trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở
trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc
vc
ta có phƣơng trình Pauli cho electron với moment từ. Nghiên cứu các bổ
chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng
phép biến đổi Fouldy - Wouthuyen.
1.1 Phƣơng trình Pauli
Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện
từ ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng
trình Pauli có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song
hàm sóng trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng có một thành
r
phần r , t phụ thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số
r
spin của hạt là s z . Kết quả để cho hàm sóng r , sz , t là một spinor hai thành
phần:
r h
1 r , , t
2
r
r , sz , t
r h
2 r , , t
2
(1.1)
Vì hạt có spin nên nó có moment từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann
moment từ của hạt với spin bằng h 2 .
5
r
r
0 ,
(1.2)
r
0 - là magneton Bohr, còn là các ma trận Pauli. Khi đặt hạt vào trƣờng điện từ
ngoài, ta có thêm năng lƣợng tƣơng tác phụ.
r r
e r e0h r r
r
U H
s
sH
mc 2m0c
(1.3)
Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng:
r
p2
H
U (r )
2m0
(1.4)
Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế
dƣới đây trong phƣơng trình Schrodinger:
r
r e r
p p 0 A
c
E E e0
(1.5)
Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng
phụ U H
r r
e0h r r
sH .
2m0c
Kết quả ta thu đƣợc phƣơng trình:
ih
r
r , sz , t
t
1 r e0 r 2
e0h r r r
p
A
e
r
U
r
sH r , sz , t
0
c
2m0c
2m0
(1.6)
r
ở đây r , A(r ) là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình
(1.6) là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng
Zeemann.
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi
tƣơng đối tính
Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng
chính tắc ta có:
ih
( x) r r e0 r
c p A e0 A0 m0c 2 ( x)
t
c
6
(1.7)
Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận
tiện ta viết các spinor hai thành phần:
u 1 , d 3 , u
2
4
d
(1.8)
Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình:
u
rr e r
c p 0 A d e0 A0 m0c 2 u
t
c
d
r r e0 r
0
2
ih
c p A u e0 A m0c d
t
c
ih
(1.9)
Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai
thành phần dƣới). Kể thêm:
v2 ( )
0 ()
2
ih e0 A u ,d m0c 1 O 2 u ,d
t
c
(1.10)
Phƣơng trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm dƣơng (+):
d
r
r
v2
e0 r ( )
p
A
O
2
u
2m0c
c
c
(1.11)
Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-):
r
( )
u
r
v2
e0 r ( )
p
A
O
2
d
2m0c
c
c
(1.12)
Điều này có nghĩa nhƣ sau: trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng thì spinor d
liên hệ với u và trong trƣờng hợp nghiệm âm thì spinor u liên hệ với d thừa
số
v c . Thay (1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm
dƣơng ta có:
1
u
O (v / c )
d
1
ih
t
2m0
2
v3
r r e r
2
0
p
A
m
c
eA
O
3 u
0
c
c
7
(1.13)
Và để cho nghiệm âm:
1
ih u
t
2m0
2
v3
r r e r
2
0
p
A
m
c
eA
O
3 d
0
c
c
O (v / c )
d
1
(1.14)
Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau:
r A r B ( AB) ir ( A B) ,
r
r
rr
r
r
eh r
r e r r e r
p
A
p
A
B
c
c
ic
(1.15)
Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac:
H nr
t
2
3
r
r
r
v
1 r e
eh
0
m0 c 2
ˆ B O 3 ,
p A eA
2m0
c
2m0c
c
r r 0
ˆ
r
0
ih
H nr
c cùng với toán tử và tự liên hợp H
2
đúng đến bậc v
2
nr
(1.16)
. Nếu chúng ta giới hạn ở
nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu, thì phƣơng trình này với độ chính xác
m0c 2 trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài.
Thật đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của
rr
phƣơng trình Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác MB
giữa mômen từ (hay spin) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có
moment từ đúng khác với tỉ số từ hồi chuyển đúng đắn:
M (e)
eh
eg
S,
2m0c
2m0c
g 2
8
(thừa số Lande)
(1.17)
Ngƣợc lại trong phƣơng trình Pauli số hạng này đƣa vào phƣơng trình theo
kiểu hiện tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”.
Đối với hạt không phải là cơ bản, nhƣ các proton hay các neutron quá trình
r
r
giới hạn trên dẫn đến các kết quả sai M p eS / mp c . Rõ ràng trong những
trƣờng hợp này liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngoài. Chính
vì vậy với những hạt này, chúng ta có thể nhận đƣợc phƣơng trình phi tƣơng đối
tính với các moment từ đúng đắn phải bằng cách hiện tƣợng luận là cộng “bằng
tay” các số hạng moment.
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lƣu ý các biểu thức để cho mật
độ xác suất và mật độ dòng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (1.16) với độ
c .
2
chính xác v
2
† , j
h †
2ie
†
A †
2im
hc
(1.18)
Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục / t j 0 và trong
trƣờng hợp nghiệm dƣơng, các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi
tƣơng đối tính.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở
c và sai sót
2
trƣờng điện từ ngoài ta thu đƣợc lý thuyết Pauli đúng tới bậc v
c . Trong giới hạn này H
3
trong Hamilton ở bậc v
3
nr
2
là chéo nhƣng các nghiệm
âm và dƣơng là hoàn toàn “phân ly ”. Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao
hơn một cách hệ thống, thì ta phải kể thêm các bổ chính tƣơng đối tính, bằng cách
sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen cho phƣơng trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu từ bậc v / c và phƣơng trình Dirac ở dạng:
m0c2 K 0,
K
9
(1.19)
cùng với:
v2
v2
1
0
ih eA O(1) O 2 , O 2
m0c 2 t
c
c
(1.20)
Và:
c
e
v
p A O
2
m0c
c
c
(1.21)
ở đây và là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo).
Sử dụng việc chọn phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen thích hợp
U eiS , U eiS , ... với mục đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó cao hơn
và cao hơn bậc
v / c điều đó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đúng đắn tới bậc
v / c . Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc:
m0c2 K 0,
U ,
K ,
O
K UKU 1
v2
,
2
c
v3
(hay cao hơn)
3
c
(1.22)
O
(1.23)
K U K U 1
(1.24)
Và phép biến đổi thứ hai ta có:
m0c2 K 0,
U ,
K ,
O
v2
,
2
c
v5
(hay cao hơn)
5
c
O
(1.25)
và tiếp tục...
Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là:
U eiS ,
S
i
2
(1.26)
Cuối cùng ta đƣợc:
K
(1.27)
10
Cùng với:
v2
O 2
c
v6
O 6
c
v12
O 12
c
2
4
3
3
2
2
v18
O 18
c
1
, , ...
8
8
,
v2
O 2
c
v5
, , , ... O 5
48
c
(1.28)
(1.29)
Nhƣ ta đã thấy bây giờ đã nâng lên hai bậc v / c . Từ đây chúng ta nhận
c , đúng trong phƣơng trình Pauli (1.16)
3
đƣợc toán tử K đúng đến bậc v
3
Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực
hiện phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K cùng :
U eiS , S
i
2
(1.30)
Từ đây suy ra:
K
(1.31)
cùng với:
v2
O 2
c
v6
O 6
c
2
2
v12
O 12
c
v18
O 18
c
4
1
, , ...
8
8
(1.32)
v2
O 2
c
Và:
3
3
2
,
v5
, , , ... O 5
48
c
11
(1.33)
c (hay cao hơn) ta nhận đƣợc toán tử
5
Bỏ qua tất cả các số hạng O v
5
chẵn:
K
2
2
4
v5
1
, , O 5
8
8
c
(1.34)
Cuối cùng kết quả dẫn đến phƣơng trình Dirac:
ih
H
t
(1.35)
Sử dụng phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen ta tính một số công thức sau:
2
1
m02c 2
e
e
p c A p c A
1
m02c 2
i
i, j
j
e
e
pi Ai p j Aj
c
c
i
e
e
1
e
2 2 ijkˆ k pi Ai p j Aj 2 2 p A
m0 c i , j ,k
c
c m0 c
c
ie
1
e
ˆ p A 2 2 p A
3
m0c
m0 c
c
eh
1
e
ˆ B 2 2 p A
3
m0c
m0 c
c
Tiếp theo ta tính giao hoán tử:
,
1
m02c3
e
0
p c A , ih t eA
1
ieh
e p, A0
A,
2 3
m0 c
c t
12
2
2
2
(1.36)
ieh 0 1 ieh
A A 2 3 E
m02c3
c m0 c
ieh
, , 3 4
m0 c
e
p c A , E
ieh
p, E
m03c 4
ieh
m03c 4
p E
i
j
i
j
Ei p j
i, j
ieh
i j pi E j i , j E j pi
m03c 4 i , j
ieh
ˆ
ˆ
i
p
E
2
i
E
p
ijk
k
ij
i
j
ijk
k
j
i
m03c 4 i , j ,k
i, j
ieh2
eh2
2eh
ˆ
E
3 4 E 3 4 ˆ E p
3 4
m0 c
m0 c
m0 c
(1.37)
Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau:
i j i i j k k ,
)
i , j 2i i j k k
(1.38)
c với việc chéo hóa Hamilton:
4
Đúng đắn đến bậc O v
4
2
4
1
1
e
eh
e
e2 h2 2
2
0
ˆ
H m0c
p
A
B
eA
p
A
B
3 2
2m0
c 2m0c
c 8m03c 4
8m0 c
v5
eh2
ieh2
eh
ˆ
ˆ
E
E
E
p
O
5
8m02c 2
8m02c 2
4m02c 2
c
(1.39)
Và ta có hàm sóng :
x ei/2ei /2 x
(1.40)
Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton
cho những bậc cao hơn có thể thực hiện v / c . Vậy ta đã giả thiết một số điểm
sau đây:
13
- Khi các S , S , ... là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –
Wouthuyen U , U , ... cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất
biến của giá trị trung bình nhƣ phép biến đổi U .U 1.
- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t 0 khi sự biến
đổi :
K 0 K 0,
K UKU 1 UKU † ,
U
(1.41)
tƣơng đƣơng với :
ih
H ih
H ,
t
t
H U H ih U †
t
(1.42)
- Các toán tử một hạt nhận đƣợc trong biểu diễn Fouldy – Wouthuyen theo
phép biến đổi cho các toán tử ban đầu (tƣơng đối tính) và sau đó tách các phần
chéo. Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa
độ hàm sóng cùng với kích thƣớc so với bƣớc sóng Compton của hạt.
- Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý
trong vùng đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy – Wouthuyen là hội
tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. Phép biến đổi
Fouldy – Wouthuyen đã cung cấp phƣơng pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc
bất kỳ hữu hạn nào đấy. Viết phƣơng trình Dirac (1.7) dƣới dạng:
m0c2 K (0) (0) 0,
K (0) (0) (0)
(1.43)
Cùng với các toán tử chẵn 0 , (0) O v2 / c2 và toán tử lẻ
0 O v / c lặp lại các hệ thức này theo:
K ( n) ( n) ( n) U ( n1) K ( n1)U ( n1)†
(1.44)
( n ) x U n1 n1 x
(1.45)
U
(n)
i ( n )
exp
2
(1.46)
14
Ta nhận đƣợc biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó:
(n)
v2
O 2 ,
c
( n)
v 2 n 1
O 2 n 1
c
(1.47)
Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho
2 n 1
hạt và phản hạt và đúng cho bậc O v
c 2 n 1
.
- Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phƣơng trình
(1.16). Phƣơng trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét
trƣờng hợp electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện:
eA0 V x V r , A 0
(1.48)
Trong trƣờng hợp này ta có:
B 0,
E A0
1 x V
,
e r r
E 0
(1.49)
Giới hạn hai thành phần trên của spinor, toán tử Hamiltonian tƣơng ứng:
H u m0c 2
p2
p4
h2
h 1 V
V r 3 2 2 2 2V
L
2m0
8m0 c 8m0 c
4m02c 2 r r
(1.50)
Thành phần thứ tƣ ở vế phải là bổ chính tƣơng đối tính cho thế năng. Thành
phần thứ năm là bổ chính tƣơng đối tính cho trƣờng xuyên tâm mà ta biết Darwin
term và có thể gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa
năng lƣợng tƣơng tác giữa spin của electron (hoặc là moment từ ) và moment góc
quỹ đạo. Nhận thấy rằng trong thành phần này đƣợc lấy một cách chính xác bằng
thừa số 4 trong mẫu số1. Trong trƣờng hợp của thế Coulomb V r Ze2 / r hai
thành phần cuối cùng là:
Trong cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính số hạng này đƣợc giải thích cổ điển nhƣ sau: L
trong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trƣờng ở vị trí của electron và tƣơng tác với
spin của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do
xem xét thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
1
15
Ze2h 2
2m02c 2
r và
Ze2 h r r
L
4m02c 2 r 3
Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hƣởng tới các s - trạng thái.
16
(1.51)
Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tƣơng đối tính) phép gần đúng phi tƣơng đối
tính của phƣơng trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp
Từ đây suy ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trƣớc đây nó đồng
nhất cho phƣơng trình phi tƣơng đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trƣờng hợp tự do, toán tử Dirac – Hamilton là toán tử
chéo chỉ là gần đúng. Điều này có thể đạt đƣợc bằng cách sử dụng phƣơng pháp
Fouldy – Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton đƣợc chéo hóa thành công ở
các bậc cao hơn v / c . Đối với phần chẵn của toán tử đƣợc chéo hóa và toán tử
Hamilton tự liên hợp là đúng đắn đến bậc đƣợc nghiên cứu v / c , mà từ đây ta
thu đƣợc lý thuyết một hạt để cho hạt và cho phản hạt.
- Phép biến đổi Fouldy – Wouthuyen, tƣơng tự nhƣ phép biến đổi Feshbach
- Villars, là phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một
độ dài có thể so sánh với bƣớc sóng Compton.
- Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trƣờng hợp, thứ
nhất phép khai triển v / c là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt đƣợc chấp
nhận.
Hamiltonian của phƣơng trình có dạng:
H
r 2
1 r
r r
p eA e H
2m
r r
r
r
H mô tả tƣơng tác của moment từ riêng với từ trƣờng ngoài H . Hạt có spin
bằng ½ có điện tích e, sẽ có moment từ:
r
r
0
eh r eh r
S
2mc
mc
- Moment từ dị thƣờng trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac moment từ của electron có dạng:
0
eh
- magneton Bohr
2mc
17
Theo thực nghiệm phát hiện moment từ dị thƣờng của electron:
0 1 a
0 a - gọi là phần dị thƣờng – không thể giải thích trong cơ học lƣợng tử, vì chân
không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dƣới
đây là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tƣơng tác của hạt với
chân không vật lý.
18
CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO
MOMENT TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
Xuất phát từ Lagrance tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta viết S-ma
trận tƣơng ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng điện từ ngoài
Aext x . Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một
vòng cho đóng góp vào moment từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc
thảo luận ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng
đối tính
2.1 S - ma trận
Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trƣờng ngoài. Nếu trƣờng
ngoài là rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhƣng
về nguyên tắc ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ đƣợc
mô tả bằng S-ma trận /1/
S T exp Lint x d 4 x ;
Lint x ieN Aext ;
S0 1; S1 T Lint x d 4 x T ie N Aext x d 4 x ;
(2.1)
trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ
eZ 1 Z
Z2 Z3
Zn
... ,
2! 3!
n 0 n !
(2.2)
Với Z ie N Aext x d 4 x
Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trƣờng ngoài theo lý thuyết nhiễu
loạn hiệp biến có thể viết:
p2 | S | p1 p2 | S0 | p1 p2 | S1 | p1 p2 | S2 | p1 ...
19
p2 | p1 ieT p2 | N Aext x d 4 x | p1 .........
(2.3)
trong đó p1 , p2 là các xung lƣợng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý
thuyết nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a)
theo điện tích e, và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính)
cho quá trình tán xạ này (xem Hình 2.1).
(a)
(b1)
(b3)
(b2)
(b4)
Hình 2. 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đƣờng electron
trƣờng điện từ ngoài
đƣờng photon
20
