Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 15

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2011


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Đức Thọ

LÝ THUYẾT CỰC TRỊ VÀ ỨNG DỤNG TRONG ĐO
LƯỜNG RỦI RO TÀI CHÍNH

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học
Mã số: 60.46.15

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
TS. Trần Trọng Nguyên

Hà Nội - 2011

Mục lục
Lời mở đầu

3

Lời cảm ơn

5

Chương 1. Tổng quan về lý thuyết cực trị

6

1.1. Phân phối cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Miền hấp dẫn cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3. Hàm phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4. Phân phối Pareto tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Hàm phân vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Biểu đồ Q-Q và P-P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.7. Ước lượng các mơ hình cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.8. Một số mơ hình cực trị mở rộng và mối liên hệ các mơ hình . . . . . . . . . 29
Chương 2. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro tài
chính

32

2.1. Rủi ro tài chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2. Mơ hình đo lường rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1. Mơ hình độ đo rủi ro chặt chẽ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2. Mơ hình VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1


2.2.3. Mơ hình ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.4. Phương pháp ước lượng thực nghiệm cho ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.5. Một số độ đo rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.6. Một số cơng thức tính cho các độ đo rủi ro cho các phân phối
thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.3. Tham số hóa biến lợi nhuận, biến thua lỗ và biến rủi ro . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1. Biểu diễn biến lợi nhuận và biến thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2. Sự thua lỗ với tài sản đơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3. Sự thua lỗ với danh mục đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4. Một số phương pháp tính các độ rủi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.4.1. Phương pháp tính Varq từ phân phối thua lỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5. Phương pháp tính giá trị trong rủi ro đầu tư vốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.1. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn với danh mục tài sản đơn . . . . . . . . . . 49
2.5.2. Giá trị rủi ro trong đầu tư vốn cho một tập hợp các danh mục
đầu tư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6. Ứng dụng lý thuyết cực trị trong mơ hình hóa đi của chuỗi lợi
suất chứng khốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7. Áp dụng EVT để đo lường rủi ro trong đầu tư cổ phiếu ACB . . . . . . . . . 54
2.7.1. Số liệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.7.2. Ước lượng phân phối vượt ngưỡng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7.3. Ước lượng giá trị rủi ro Varq và mức tổn thất kỳ vọng ESq . . . . . . . 60
Kết luận

63

Tài liệu tham khảo

64

2


LỜI MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, thị trường tài chính thế giới đã chứng kiến nhiều
sự đổ vỡ của các định chế và tổ chức lớn, chẳng hạn: cuộc khủng hoảng thị
trường chứng khoán thế giới (1987), khủng hoảng thị trường trái phiếu Mỹ
(1990), khủng hoảng tài chính châu Á (1997),... và mới đây là cuộc khủng hoảng
thị trường vay thế chấp của Mỹ, hậu quả là gây ra khủng hoảng tài chính và suy
giảm kinh tế tồn cầu. Các sự kiện trên tưởng như hiếm khi xảy ra nhưng gần
đây lại xảy ra thường xuyên và có những ảnh hưởng tiêu cực cho thị trường tài
chính cả về quy mô lẫn mức độ tổn thất. Nguyên nhân chủ yếu là nghiệp vụ
quản lý rủi ro chưa được tốt. Do đó, việc nhận diện, đo lường và phịng hộ rủi
ro để giảm thiểu tổn thất, nhằm đảm bảo sự hoạt động an tồn cho các tổ chức
tài chính là một việc rất quan trọng.
Rủi ro tài chính có thể chia thành các loại: rủi ro thị trường, rủi ro tín dụng,
rủi ro lãi suất, rủi ro thanh khoản, rủi ro hoạt động,...trong đó rủi ro thị trường
đóng một vai trị quan trọng. Trong đo lường rủi ro tài chính nếu chỉ dựa vào
các phân tích định tính thì thì chưa đủ, mà quan trọng hơn là phải hình thành và
phát triến các phương pháp lượng hóa mức rủi ro và tổn thất tài chính.
Lý thuyết cực trị (Extreme Value Theory - EVT) là một công cụ giúp ta mô
tả được các biến cố hiếm trong các lĩnh vực của kinh tế, xã hội, ... những biến
cố này xảy ra thường gây nên những hậu quả đáng kể như một số ví dụ nêu trên.
Với mong muốn tìm hiểu về vấn đề trên, em chọn đề tài luận văn thạc sỹ là:

Lý thuyết cực trị và ứng dụng trong đo lường rủi ro tài chính
Nội dung của luận văn bao gồm 2 chương:
• Chương 1: Tổng quan về lý thuyết cực trị. Chương này trình bày định lý
của Fisher, Tippet (1928) và Gnedeko (1943) về phân loại hàm cực trị, khái
niệm về miền hấp dẫn cực đại, điều kiện cần và đủ để một hàm phân phối
F nằm trong miền hấp dẫn của G, biểu đồ Q − Q và P − P, ...vv.
• Chương 2: Ứng dụng lý thuyết cực trị trong đo lường rủi ro thị trường tài
chính. Chương này tập trung làm rõ các khái niệm và cơng thức tính của
các độ rủi ro như VaRq, ESq là các thước đo thông dụng trong quản trị rủi
ro. Áp dụng lý thuyết EVT để mơ hình hóa đi của chuỗi lợi suất chứng
khốn RACB. Từ đó ước lượng mức độ tổn thất có thể xảy ra khi đầu tư vaò
cổ phiếu này.
3


Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên nội
dung khơng tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong nhận được sự
góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cơ và bạn đọc để luận văn hồn
chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ

4


LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn
sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Trọng Nguyên người đã tận tình hướng dẫn để em có thể
hồn thành luận văn này.

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể các thầy cơ giáo
trong khoa Tốn - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc
Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã ln bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện luận văn tốt nghiệp cao học .

Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2011
Học viên
Lê Đức Thọ

5


Chương 1

Tổng quan về lý thuyết cực trị
1.1 Phân phối cực trị
Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối với hàm
phân phối là F và x∗ là điểm phải của F, tức là
x∗ = sup{x : F(x) < 1}, x∗ có thể là vơ hạn
P

P

Khi đó, max(X1 , X2 , ..., Xn ) → x∗ , khi n → ∞, trong đó ký hiệu → là hội tụ
theo xác suất, vì
P(max(X1 , X2 , ..., Xn ) ≤ x) = P(X1 ≤ x, X2 ≤ x, ..., Xn ≤ x) = F n(x)
hội tụ theo xác suất đến 0 nếu x < x∗ và 1 nếu x ≥ x∗ .
Giả sử tồn tại dãy hằng số an > 0 và bn thực n = 1, 2, · · · sao cho:

max(X1 , X2 , ..., Xn ) − bn
an
có giới hạn là một hàm phân phối không suy biến khi n → ∞, nghĩa là:
lim F n(an x + bn) = G(x).

n→∞

(1.1)

Trong chương này, chúng ta sẽ đi tìm tất cả các hàm phân phối G có thể xảy
ra trong giới hạn (1.1) và các hàm này được gọi là các hàm phân phối giá trị cực
6


trị.
Tiếp theo với mỗi phân phối giới hạn trên, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần và
đủ cho hàm phân phối F ban đầu sao cho (1.1) được thỏa mãn. Lớp các hàm
phân phối F thỏa mãn (1.1) được gọi là miền hấp dẫn cực đại hay đơn giản là
miền hấp dẫn của G.
Từ (1.1) với mỗi x sao cho 0 < G(x) < 1, lấy logarit hai vế, ta có
lim n log F(an x + bn) = log G(x).

n→∞

(1.2)

Rõ ràng rằng F(an x + bn) → 1, với mỗi x. Do đó:
lim −

n→∞

và (1.2) tương đương với:

log F(an x + bn)
= 1,
1 − F(anx + bn)

lim n[1 − F(anx + bn)] = − log G(x),

n→∞

hoặc
1
1
=−
.
n→∞ n[1 − F(an x + bn )]
log G(x)
lim

(1.3)

Với mỗi hàm không giảm f , kí hiệu: f ← (x) := inf{y : f (y) ≥ x}, ta có bổ
đề sau.
Bổ đề 1.1.1. Giả sử fn là một dãy các hàm không giảm và g là một hàm không
giảm. Giả sử rằng mỗi x trong khoảng (a, b) là điểm liên tục của g:
lim fn (x) = g(x).

n→∞

(1.4)

Khi đó với mỗi x ∈ (g(a), g(b)) là điểm liên tục của g← thì:
lim fn← (x) = g← (x).

n→∞

(1.5)

Chứng minh. Cho x là một điểm liên tục của g←. Cố định ε > 0, ta chứng minh
với n, n0 ∈ N, n ≥ n0 :
fn← (x) − ε ≤ g← (x) ≤ f ← (x) + ε .
Ta chứng minh vế phải còn vế trái chứng minh tương tự. Chọn 0 < ε1 < ε
sao cho g←(x) − ε1 là điểm liên tục của g, điều này là chọn được vì tập các điểm
7


liên tục của g là trù mật. Do g← là liên tục tại x, g← (x) là một điểm của hàm
tăng g, do đó g(g←(x) − ε1 ) < x. Chọn σ < x − g(g←(x) − ε1 ). Do g← (x) − ε1
là điểm liên tục của g, do đó tồn tại n0 sao cho:
fn (g← (x) − ε1 ) < g(g← (x) − ε1 ) + σ < x

(∀ n ≥ n0 ).

Từ định nghĩa của hàm fn← suy ra: g←(x) − ε1 ≤ fn← (x).
1
1−F

Chúng ta áp dụng bổ đề 1.1.1 cho (1.3). Cho U =
xác định với mọi t > 1, khi đó (1.3) tương đương với

←

, chú ý U(t)

1
U(nx) − bn
= G← (e− x ) =: D(x)
n→∞
an

(1.6)

lim

với mỗi x > 0.
Định lý 1.1.2. Cho an > 0 và bn là dãy hằng số thực, G là một hàm phân phối
không suy biến. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. lim F n(an x + bn) = G(x), tại mỗi điểm liên tục x của G.
n→∞

2.
(1.7)

lim t[1 − F(a(t)x + b(t))] = − log G(x),

t→∞

với mỗi điểm liên tục x của G sao cho 0 < G(x) < 1, a(t) := a[t] ,
b(t) := b[t] ([t] là phần nguyên của t).

3.

U(tx) − b(t)
= D(x)
t→∞
a(t)

(1.8)

lim

1

với mỗi x > 0 là điểm liên tục của D(x) = G← (e− x ).
Chứng minh. Tính tương đương của 2. và 3. được suy ra từ bổ đề 1.1.1. Ta đã
kiểm tra là 1. tương đương (1.6). Do đó, ta chỉ cần chứng minh (1.6) suy ra 3.
Cho x là điểm liên tục của D. Với mọi t ≥ 1,
U([t]x) − b[t] U(tx) − b[t]
≤
≤
a[t]
a[t]
8

U [t]x 1 +

1
[t]

a[t]

− b[t]

.


Vế phải trong bất đẳng thức trên nhỏ hơn D(x ), với mọi điểm liên tục x > x
và D(x ) > D(x). Do D là liên tục tại x, ta có:
U(tx) − b[t]
= D(x).
t→∞
a[t]
lim

Chúng ta cần xác định lớp các hàm phân phối khơng suy biến có trong giới
hạn ở (1.1). Lớp các phân phối này gọi là lớp các phân phối cực trị, kí hiệu là
EV .
Định lý 1.1.3. (Fisher, Tippet (1928) và Gnedenko (1943)) Lớp các hàm phân
phối cực trị là Gγ (ax + b) với a > 0, b ∈ R, ở đây:
1

Gγ (x) = exp − (1 + γ x)− γ ,

1 + γx > 0

(1.9)

γ là số thực khác 0; trường hợp γ = 0 thì vế phải (1.9) được coi là hàm số
exp(−e−x ).
Chứng minh. Xét lớp các phân phối giới hạn D trong (1.8). Đầu tiên, giả sử rằng

1 là điểm liên tục của D. Khi đó với mọi điểm liên tục x > 0,
U(tx) −U(t)
= D(x) − D(1) := E(x).
t→∞
a(t)
lim

(1.10)

Lấy y > 0 và viết
U(txy) −U(t) U(txy) −U(ty) a(ty) U(ty) −U(t)
=
·
+
.
a(t)
a(ty)
a(t)
a(t)

(1.11)

U(ty) −U(t)
a(ty)
và lim
cùng tồn tại.
t→∞
t→∞ a(t)
a(t)
Giả sử khơng đúng, thì tồn tại A1 , A2 , B1 , B2 với A1 khác A2 hoặc B1 khác

U(ty) −U(t)
và Ai là các điểm giới hạn
B2, ở đây Bi là các điểm giới hạn của
a(t)
a(ty)
của
, i = 1, 2 khi t → ∞. Ta tìm từ (1.11) để
a(t)
Với điều kiện lim

E(xy) = E(x)Ai + Bi ,
9

i = 1, 2,

(1.12)


với tất cả các điểm liên tục x của E(·) và E(·y). Cho x tùy ý, lấy một dãy các
điểm xn sao cho xn → x khi n → ∞, thì E(xn y) → E(xy) và E(xn ) → E(x), vì E
là liên tục trái. Do (1.12) thỏa mãn với mọi x và y > 0.
Trừ các biểu thức cho nhau với i = 1, 2, ta có được
E(x)(A1 − A2 ) = B2 − B1,

với mọi x > 0.

Vì E không thể là hằng số (hàm G là không suy biến) nên A1 = A2 và do đó
B1 = B2 . Cuối cùng :
a(ty)
A(y) := lim

t→∞ a(t)
tồn tại với mọi y > 0, và với x, y > 0,
E(xy) = E(x)A(y) + E(y).
Từ đó với s = log x, t := log y ( x, y khác 1 ), và H(x) := E(ex ), ta có
H(t + s) = H(s)A(et ) + H(t).

(1.13)

Ta có thể viết lại như sau (do H(0) = 0):
H(t + s) − H(t) H(s) − H(0)
=
A(et ).
s
s

(1.14)

Tồn tại t sao cho tại đó hàm H là khả vi (do H đơn điệu); vì vậy từ (1.14) H
khả vi tại mọi điểm và
H (t) := H (0)A(et ).
(1.15)
H(t)
. Chú ý rằng H (0) khác 0: H không là hằng số do G
H (0)
không suy biến, khi đó Q(0) = 0, Q (0) = 1.
Từ (1.13):
Q(t + s) − Q(t) = Q(s)A(et ),
Đặt Q(t) :=

và từ (1.15):

Q(t + s) − Q(t) = Q(s)Q (t).

Trừ các biểu thức trên cho nhau ta có:
Q(t) ·

Q (s) − 1 Q(s)
=
[Q (t) − 1].
s
s
10

(1.16)


Cho s → 0, ta có,

Q(t)Q (0) = Q (t) − 1.

Từ đó suy ra Q khả vi cấp 2 và ta có,

Q (0)Q (t) = Q (t).
Do đó
(log Q ) (t) = Q (0) := γ ∈ R,

∀ t.

Từ đó suy ra Q (t) = eγ t , (Q (0) = 1) và:
t

eγ s ds,

Q(t) =

(Q(0) = 0).

0

Điều này nghĩa là:
H(t) = H (0) ·
và

eγ t − 1
,
γ

tγ − 1
.
D(t) = D(1) + H (0) ·
γ
Do đó
x − D(1)
D (x) = 1 + γ ·
H (0)
←

1
γ

.

(1.17)

1
Bây giờ D(x) = G← (e− x ), và do đó

D← (x) = −

1
.
log G(x)

(1.18)

Từ (1.17) và (1.18), ta có kết luận của định lý.
Nếu 1 khơng phải điểm liên tục của D thì ta chứng minh với hàm số U(tx0 ),
với x0 là điểm liên tục của D.
Định nghĩa 1.1.4. Cho X1 , X2 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân
phối, với hàm phân phối F. Hàm phân phối F được gọi là max-ổn định nếu chọn
được dãy an > 0 và bn sao cho:
P

max(X1 , X2 , ..., Xn ) − bn
≤ x = P(X1 ≤ x)
an

với mọi x và n = 1, 2....
11

Hình 1.1: Họ các phân phối cực trị Gγ
Định nghĩa 1.1.5. Tham số γ trong (1.9) gọi là chỉ số cực trị.
Chú ý 1.1.6. Bằng cách tham số hóa chỉ số cực trị trong (1.9), ta có:
• Với γ > 0, sử dụng hàm Gγ ( x−1
γ ), đặt α =
Φα (x) =



0,

1
> 0,
γ


exp(−x−α ),

x≤0
x > 0.

Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Frechet,
´
cịn kí hiệu là EV1 :
G1,α (x).
• Với γ = 0, G0 (x) = exp(−e−x ) với mọi x ∈ R. Phân phối này gọi phân phối
Gumbel, cịn kí hiệu là (EV0 ).
1
1+x

, và với α = − > 0,
γ
γ


exp(−(−xα )), x < 0
Ψα (x) =

1,
x ≥ 0.

• Với γ < 0, dùng hàm Gγ −

12


Lớp phân phối này gọi là lớp phân phối Weibull, cịn kí hiệu là EV2 :
G2,α (x).
Nhắc lại là nếu (1.1) được thỏa mãn với G = Gγ , với γ ∈ R, ta nói rằng phân
phối F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ . Kí hiệu là: F ∈ D(Gγ ).
Định lý 1.1.7. Cho γ ∈ R. Các mệnh đề sau là tương đương:
1. Tồn tại các hằng số thực an > 0 và bn thực sao cho
− γ1
, ∀x với 1 + γ x > 0.
lim F (anx + bn) = Gγ (x) = exp − (1 + γ x)
n→∞
(1.19)
n

2. Tồn tại một hàm dương a sao cho với x > 0,

xγ − 1
U(tx) −U(t)
= Dγ (x) =
lim
,
t→∞
a(t)
γ

(1.20)

ở đây với γ = 0 thì vế phải được coi là log x.
3. Có một hàm dương a sao cho
−1
lim t[1 − F(a(t)x +U(t))] = (1 + γ x) γ , ∀x với 1 + γ x > 0.

t→∞

(1.21)

4. Có một hàm dương f sao cho:
1 − F[t + x f (t)]
− 1γ
= (1 + γ x) , ∀xvới 1 + γ x > 0,
lim
t→x∗
1 − F(t)

(1.22)

ở đây x∗ = sup{x : F(x) < 1}.
Ngoài ra (1.19) thỏa mãn với bn := U(n) và an := a(n). Tương tự, (1.22) thỏa
a
.
mãn với f (t) =
1 − F(t)

Chứng minh. Chứng minh tính tương đương của 1., 2. và 3. được suy ra từ định
lý 1.1.2.
Ta chứng minh 2. ⇒ 4.: Với mọi ε > 0, dễ nhận thấy rằng
g(h← (t) − ε ) ≤ t ≤ g(h← (t) + ε ),
13


Với g là một hàm không giảm và h← là hàm ngược liên tục phải của nó. Từ đó
suy ra
(1 − ε )γ

γ

−1

U
←

1
1−ε
−U
1 − F(t)
1 − F(t)

1
1−F(t)

a
U

<

a

1
1+ε
−U
1 − F(t)
1 − F(t)
1
1−F(t)

a

<

t −U

1
1−F(t)

1
1−F(t)

(1 + ε )γ − 1
→
.
γ

khi t → x∗ , và suy ra
lim

1
1−F(t)

t −U

t→x∗

a

1
1−F(t)

= 0.

Từ 2., với mọi x > 0,
1
1−F(t)

U
lim

t→x∗

a

−t

1
1−F(t)

xγ − 1
=
,
γ

và từ bổ đề 1.1.1,
lim∗

t→x

1

1 − F(t)
1 − F t + xa

1
1 − F(t)

= (1 + γ x) γ ,

nghĩa là 4. thỏa mãn. Ngược lại 4. ⇒ 2. được chứng minh tương tự.

Ví dụ 1.1.8. Cho F là hàm phân phối chuẩn tắc. Ta sẽ chứng minh (1.3) đúng:
với mọi x > 0,
lim n[1 − F(an x + bn)] = e−x
(1.23)
n→∞

với

và

bn := (2 log n − log log n − log(4π ))1/2
an :=
14

1
.
bn

(1.24)
(1.25)


Đầu tiên, chú ý rằng bn /(2 log n)1/2 → 1 khi n → ∞; vì vậy
và do đó

log bn − 2−1 log log n − 2−1 log 2 → 0

b2n
1
+ log bn − log n + log(2π ) → 0,

2
2
khi n → ∞. Bây giờ do (1.25),

(1.26)

2
x
n
d
n[1 − F(an x + bn)] = √ exp −
+ bn /2
dx
bn
bn 2π
2
2
1
b2
= exp − n + log bn − log n + log(2π ) e−x /(2bn ) e−x → e−x
2
2
với x ∈ R. Vì vậy

−

n[1 − F(an x + bn)] =

n
√

bn 2π

∞

x

exp −

2

u
+ bn
bn

b2n
1
= exp −
+ log bn − log n + log(2π )
2
2

/2 du

∞
2 /(2b2 )
n

e−u
x

e−udu → e−x

bởi định lý Lebesgue về hội tụ trội. Vì vậy (1.23) đúng.
Do trong giới hạn (1.23), chúng ta có thể thay an bởi an, bn bởi bn với điều
kiện là an/an → 1, (bn − bn)/an → 0, chúng ta có thể thay an, bn từ (1.24) và
(1.25) bởi
bn = (2 log n)1/2 −

log log n + log(4π )
và an = (2 log n)−1/2 .
1/2
(2 log n)

1.2 Miền hấp dẫn cực đại
Trong phần này, ta sẽ chỉ ra điều kiện cần và đủ cho hàm phân phân phối
F nằm trong miền hấp dẫn của G.
Ta xác định điều kiện miền hấp dẫn từ (1.8) với
xγ − 1
,
D(x) =
γ

U(tx) −U(t) xγ − 1
lim
=
t→∞
a(t)
γ

với mọi x > 0, γ là tham số thực, a là một hàm dương.
15

(1.27)


Định lý 1.2.1. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu
1. Với mọi γ > 0, x∗ := sup{x : F(x) < 1} là vô hạn và
1
1 − F(tx)
−
= x γ , với mọi x > 0.
t→∞ 1 − F(t)

lim

(1.28)

Điều này có nghĩa là hàm 1 − F là biến đổi chính tắc tại vơ hạn với chỉ số − γ1
2. Với mọi γ < 0, x∗ là hữu hạn và
1 − F(x∗ − tx)
− γ1
lim
=
x
, với mọi x > 0.
t→0 1 − F(x∗ − t)

(1.29)

3. Với γ = 0, x∗ có thể là hữu hạn hoặc vơ hạn và
lim∗

t→x

1 − F(t + x f (t))
= e−x
1 − F(t)

(1.30)

với mọi x ∈ R, ở đây f là một hàm hợp lý dương. Nếu (1.30) thỏa mãn với hàm
f thì
x∗

t

(1 − F(s))ds < ∞, với mọi t < x∗ .

và (1.30) thỏa mãn với
x∗
t

f (t) =

(1 − F(s))ds
1 − F(t)

.

(1.31)

Định lý 1.2.2. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu
∞

1. Với γ > 0: F(x) < 1 với mọi x,
1

1 − F(x)
dx < ∞ và
x

∞

lim

t→∞

t

(1 − F(x))dx
1 − F(t)
16

= γ.

(1.32)

x∗

2. Với γ < 0: tồn tại x∗ < ∞ sao cho
x∗ −t
x∗

lim

x∗ −t

t→0

1 − F(x)
dx < ∞ và
x∗ − x

1 − F(x)
dx
x∗ − x

= −γ .

1 − F(x∗ − t)

(1.33)

x∗ x∗

3. Với γ = 0 (x∗ có thể hữu hạn hoặc vô hạn):

x t

h xác định bởi:

h(x) =

(1 − F(x))

[1 − F(s)]dsdt < ∞ và hàm

x∗ x∗
x t

[1 − F(s)]dsdt

x∗

x

(1 − F(s))ds

(1.34)

2

thỏa mãn
lim h(t) = 1.

t→x∗

(1.35)

Chú ý 1.2.3. Giới hạn (1.32) tương đương với: lim E(log X − logt|X > t) = γ .
t→∞
Thật vậy
∞

1 − F(x)
dx
x

t
∞

t

1 − F(t)

= E(log X − logt|X > t), từ đó
∞

(log x − logt)dF(x) =

t

1 − F(x)
dx.
x

Hệ thức (1.32) và (1.33) là cơ sở cho ước lượng Hill của γ . Tương tự (1.33)

biểu diễn như:
lim E(log(x∗ − X) − logt|X > x∗ − t) = γ .

t→0

17


Hệ quả 1.2.4. Nếu F nằm trong miền hấp dẫn của Gγ thì
1. Với γ > 0:

− 1γ
lim F (an x) = exp − x
,
n

n→∞

với mọi x > 0 và an := U(n);
2. Với γ < 0:

−1
lim F n(an x + x∗ ) = exp − (−x) γ ,

n→∞

với mọi x < 0 và an := x∗ −U(n);
3. Với γ = 0:

lim F n(an x + bn) = exp(−e−x ),

n→∞

với mọi x và an = f (U(n)), bn = U(n), hàm f như trong định lý 1.2.1 ý 3.
Định lý 1.2.5. Hàm phân phối F nằm trong miền hấp dẫn của phân phối cực
trị Gγ nếu và chỉ nếu với một hàm dương f ,
lim∗

t→x

1 − F(t + x f (t))
−1
= (1 + γ x) γ
1 − F(t)

với mọi x, 1 + γ x > 0. Nếu (1.36) thỏa mãn với f



γ t,






−γ (x∗ − t),
f (t) =

x∗



1 − F(x)



dx,

 1 − F(t)

(1.36)

> 0 thì nó thỏa mãn với

γ >0
γ <0
γ = 0.

t

Hơn nữa nếu f thỏa mãn (1.36) thì thỏa mãn
f (t)
γ > 0,
= γ,
t→∞ t
f (t)
γ < 0,
lim∗ ∗
= −γ ,
t→x x − t

lim

(1.37)

f (t) ∼ f1 (t), với f1 (t) là hàm nào đó mà lim∗ f1 (t) = 0, γ = 0.
t→x

18


Định lý 1.2.6. Hàm phân phối F nằm trong D(Gγ ) nếu và chỉ nếu tồn tại các
hàm dương c và f , f liên tục, sao cho với mọi t ∈ (t0 , x∗ ), t0 < x∗ ,
t

1 − F(t) = c(t) exp −

t0

ds
f (s)

với lim∗ c(t) = c ∈ (0, ∞).
t→x

f (t)
γ >0
= γ,
t→∞ t
f (t)
lim∗ ∗

= −γ ,
γ < 0,
t→x x − t
lim

lim∗ f (t) = 0 và lim∗ f (t) = 0 nếu x∗ < ∞, γ = 0.

t→x

t→x

Để chứng minh các định lý trên chúng ta cần một số kết quả của các bổ đề
sau :
Bổ đề 1.2.7. Giả sử (1.27) thỏa mãn.
1. Nếu γ > 0, thì
U(t) 1
= .
t→∞ a(t)
γ

lim U(t) = ∞ và lim

t→∞

(1.38)

2. Nếu γ < 0, thì lim U(t) < ∞ và U(∞) := lim U(t),
t→∞

t→∞

lim

1
U(∞) −U(t)
=− .
a(t)
γ

(1.39)

Đặc biệt điều này suy ra lim a(t) = 0.
t→∞

3. Nếu γ = 0, thì
U(tx)
=1
t→∞ U(t)
lim

(1.40)

a(t)
= 0. Hơn nữa nếu U(∞) < ∞,
t→∞ U(t)

với mọi x > 0 và lim

U(∞) −U(tx)
=1

t→∞ U(∞) −U(t)
lim

19

(1.41)


a(t)
= 0. Hơn nữa,
t→∞ U(∞) −U(t)

với mọi x > 0 và lim

a(tx)
= 1.
t→∞ a(t)
lim

∀x > 0

(1.42)

Hệ quả 1.2.8. 1. Với γ > 0 thì (1.27) tương đương với
U(tx)
= xγ , với x > 0.
t→∞ U(t)
lim

(1.43)

2. Với γ < 0 thì (1.27) tương đương với U(∞) < ∞ và
U(∞) −U(tx)
= xγ , với x > 0.
t→∞ U(∞) −U(t)
lim

(1.44)

Bổ đề 1.2.9. Cho F1 và F2 là hai hàm phân phối có chung x∗ . Cho F1 nằm trong
miền hấp dẫn của Gγ , tức là,
U1 (tx) −U1 (t) xγ − 1
=
lim
, x > 0,
t→∞
a(t)
γ
ở đây a là hàm hợp lý dương và Ui =
tương đương:
1. lim∗
t→x

1
1 − Fi

←

(1.45)

, i = 1, 2. Các mệnh đề sau là

1 − F2(t)
= 1.
1 − F1(t)

U2 (t) −U1 (t)
= 0.
t→∞
a(t)

2. lim

Hơn nữa, từ mỗi mệnh đề trên suy ra là F2 nằm trong miền hấp dẫn của Gγ .
Chứng minh định lý 1.2.1 cho γ > 0: Từ định nghĩa hàm U(x), với mọi ε > 0,
U
hay

1+ε
1−ε
≤t ≤U
1 − F(t)
1 − F(t)

x
x
U
x
1 − F(t)
1 − F(t)

≤ t −1U
.
≤
1+ε
1−ε
1 − F(t)
U
U
1 − F(t)
1 − F(t)
U

20

(1.46)


Giả sử (1.27) thỏa mãn, tức là ta có (1.43). Vế trái và vế phải hội tụ lần lượt
γ
x γ
x
tới
và
, mệnh đề thỏa mãn với mọi ε > 0, tức là
1+ε
1−ε
lim t −1U

t→∞

x
= xγ .
1 − F(t)

Áp dụng bổ đề 1.1.1 và (1.47), ta có kết quả của định lý
1
1 − F(t)
lim
= xγ .
t→∞ 1 − F(tx)

Chứng minh định lý 1.2.2 cho γ > 0: Từ (1.28) với ε > 0, t đủ lớn,
1 − F(te)
ε − 1γ
,
≤e
1 − F(t)
do đó,

với mọi x > 1,

n
ε − 1γ n
1 − F(ten )
1 − F(tek )
,
=∏
≤e
k−1 )
1 − F(t)

1
−
F(te
k=1

ε − 1γ [log x]
1 − F(tx) 1 − F(te[log x] )
≤
≤e
1 − F(t)
1 − F(t)
≤e
Từ (1.28),

∞

lim

t→∞
1
∞

đó là (1.32). Mặt khác
1

ε − 1γ (1 + log x)

1 − F(tx) dx
=
1 − F(t) x

− γ1 + ε − γ1 + ε
·x
.
=e

∞

− γ1 dx
x
= γ,
x

1

1 − F(x)
dx < ∞, từ tính hội tụ, giả sử rằng
x
lim a(t) =

t→∞

21

1
γ

(1.47)

với a(t) :=
Chú ý rằng

1 − F(t)

∞
t

.

1−F(x)
x dx

∞

− log

t

1 − F(x)
dx + log
x

∞

t

1 − F(x)
dx =
x

1

a(x)

dx
.
x

1

Sử dụng định nghĩa của hàm a, ta có:
∞

1 − F(t) = a(t)

t

1 − F(x)
dx = a(t)
x

với mọi x > 0, t → ∞,
1 − F(tx) a(tx)
=
exp −
1 − F(t)
a(t)

x

1

∞

1

1 − F(x)
dx exp −
x

dγ
1
a(t γ )
→ exp −
γ
γ

x

1

t

1

a(x)
dx ,
x

dγ
−1
=x γ.
γ

1.3 Hàm phân phối vượt ngưỡng
Cho F là một hàm phân phối và x∗ := sup{x : F(x) < 1}. Xét u là một
ngưỡng nhỏ hơn điểm bên phải x∗ của hàm F. Ta gọi F [u] là phân phối điều kiện
vượt ngưỡng tại u, nếu X là một biến ngẫu nhiên với phân phối F thì:
F [u] (x) = P(X ≤ x|X > u) =

P(X ≤ x, X > u) F(x) − F(u)
=
, (x ≥ u)
P(X > u)
1 − F(u)

F(x)
, (x ≥ u).
F(u)
Với: F(x) = 1 − F(x) được gọi là đuôi của phân phối F.
Điểm trái của F tại u là α (F [u] ) = inf{x : F [u] (x) > 0}. Ta có α (F [u] ) = u.
F [u] (x) =

1.4 Phân phối Pareto tổng quát
Ta có mối liên hệ giữa phân phối Pareto, kí hiệu là GPD và phân phối cực trị
EV :
W (x) = 1 + logG(x) nếu log G(x) > −1.
22

Các dạng biểu diễn của hàm phân phối GPD thông qua hàm phân phối cực
trị EV ở chú ý 1.1.6 là:


0,
x<0
• Phân phối mũ GP0 : W0(x) =

1 − e−x , x ≥ 0
• Phân phối GP1 , α > 0: W1,α (x) =



0,

x<1


1 − x−α , x ≥ 1





1,



• Phân phối GP2 , α < 0: W2,α (x) = 1 − (−x)−α ,






0,

x>0
−1 < x ≤ 0
x ≤ −1

Ta có các hàm mật độ tương ứng là:

• Mật độ mũ (GP0 ): w0 = e−x với x ≥ 0.

• Pareto (GP1 ), α > 0: w1,α (x) = α x−(1+α ) với x ≥ 1.
• Beta (GP2 ), α < 0: w2,α (x) = |α |(−x)−(1+α ) với −1 ≤ x ≤ 0.
Chúng ta phải thêm vào các hàm phân phối GPD hai tham số µ và σ để có được
x−µ
.
một họ các thống kê đủ GPD, kí hiệu W1,α ,µ ,σ (x) = W1,α
σ
Hàm phân phối GPD được gọi là liên tục đối với phân phối F, nếu ta chọn
được các hằng số bu và au thỏa mãn:
F [u] (bu + aux) = F(x).
Ở đây F [u] (x) =

F(x)−F(u)
1−F(u)

là hàm phân phối vượt ngưỡng tại u.

• Hàm phân phối vượt ngưỡng của W0 có điểm trái bằng 0,
[u]

W0,0,σ = W0,µ ,σ
23