Tính ổn định của hệ động lực và ứng dụng trong kinh tế : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01

Mục lục
Mở đầu

2

Bảng các ký hiệu

4

1 Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
1.1 Tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình vi
phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân .
1.2 Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định . . . . . . . .
1.2.1 Phương pháp thứ nhất Lyapunov . . . . . . . . .
1.2.2 Phương pháp thứ hai Lyapunov . . . . . . . . . .

5
5
6
7
8
8
18

2 Một vài ứng dụng trong kinh tế
2.1 Mô hình Solow cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Mô hình Solow với luật dân số Schoener . . . . . . . . .
2.2.1 Lập mô hình và nghiên cứu tính chất điểm cân
bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2.2 Hàm dân số Schoener và vai trò của tiến bộ công
nghệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31
32
35

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

1

35
43


MỞ ĐẦU
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân do A.Lyapunow, một
nhà toán học người Nga đặt nền móng vào cuối thế kỉ 19 ngày càng có
nhiều ứng dụng trong các nghiên cứu lý thuyết và triển khai ứng dụng
[4,5,6,7,10,11,12]. Lý thuyết ổn định quan tâm đến dáng điệu nghiệm khi
thời gian dần về vô cùng. Các hệ phương trình như vậy thường được gọi
một cách đơn giản là các hệ động lực [1,2,4,5]. Việc nghiên cứu tính ổn
định thường được thực hiện bằng nhiều phương pháp, trong đó cơ bản
nhất là hai phương pháp được chính Lyapunov giới thiệu. Phương pháp

thứ nhất dựa vào tập phổ của hệ [1,2]. Phương pháp thứ hai dựa vào một
loại hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov[9,10,11]. Sau phần tổng
quan về lý thuyết ổn định, luận văn sẽ trình bày cách vận dụng các kiến
thức cơ bản của lý thuyết này để phân tích tính chất của một loại mô hình
Kinh tế rất nổi tiếng là mô hình Solow (giải thưởng Nobel về Kinh tế năm
1987) [7,8]. Việc phân tích định tính mô hình Solow về tăng trưởng kinh
tế sẽ giải thích được nhiều câu hỏi về các hiện tượng tăng trưởng của các
nền kinh tế đóng. Sự tăng trưởng của nền kinh tế chỉ tập trung vào một
số yếu tố chính như tỷ số vốn trên lao động, tỷ số đầu ra trên lao động và
lượng lao động [6,9]. Luận văn gồm 2 chương:
- Chương 1 trình bày kiến thức tổng quan về phương trình vi phân và lý
thuyết ổn định.
- Chương 2 trình bày kết quả nghiên cứu của chúng tôi về định tính mô
hình Solow.
Chương 1 bao gồm các kiến thức đã có, chúng tôi chỉ là người hệ thống lại.
Chương 2 là phần cải tiến mô hình theo cách của chúng tôi với hy vọng
nhận được mô hình mới có những đặc điểm tốt hơn so với mô hình nguyên
thuỷ. Việc cải tiến được thực hiện bằng cách thay thế luật tăng trưởng
dân số dạng mũ của Malthus trong mô hình nguyên thủy bằng luật tăng
2


trưởng dân số Schoener. Chúng tôi chọn hàm biến động dân số này là vì
các lý do sau: Chưa có công trình nào trước đây đã làm công việc này.
Hàm tăng trưởng Schoener có một vài ưu thế so với các hàm dân số khác,
dễ thấy nhất là khi thời gian dần về vô cùng lượng dân số tiến tới giá trị

L2 , trong đó L2 = L(r, b, c), nghĩa là giá trị tới hạn này có thể điều chỉnh
tuỳ theo tình thế bằng cách thay đổi độ lớn các tham số r, b, c (đặc trưng
độ tăng tuyến tính, độ tự tiêu hao, độ cạnh tranh của quần thể). Điều này

là khác so với các giá trị bất biến L∞ trong tăng trưởng dân số Bentalanffy
hay L∗ trong tăng trưởng dân số Richards. Với hàm dân số mới chúng tôi
nhận được kết quả về tính ổn định, ổn định tiệm cận, tính hút toàn cục
của mô hình Solow tương ứng. Chúng tôi có so sánh những điểm giống
nhau và khác nhau giữa mô hình nguyên thủy với mô hình được cải tiến.
Đây là lần đầu tiên em làm quen với việc đọc các bài báo mới rồi thay
đổi các dự kiện để tự thực hiện các tính toán mới, rút ra kết luận, trình
bày và chứng minh theo cách của mình. Vì thế, bản luận văn chắc chắn
không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Kính mong các thầy và các bạn đồng
nghiệp chỉ bảo và lượng thứ.
Bản khoá luận được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS. TS.
Nguyễn Sinh Bảy. Nhân dịp này em xin cảm ơn thầy đã dành nhiều thời
gian để hướng dẫn và giúp đỡ em trong học tâp các kiến thức chuyên ngành
và trong việc hoàn thiện bản luận văn. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến lãnh đạo và các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, phòng Sau Đại
Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN về kiến thức quý giá mang lại cho em
trong thời gian học tập tại trường. Xin chân thành cảm ơn các thầy và
các bạn trong Xemina của tổ Giải tích, ĐHKHTN. Cảm ơn các bạn trong
tập thể lớp Cao học, cảm ơn gia đình, người thân về những lời động viên,
khích lệ.
Hà Nội, 12/2011
Nguyễn Thùy Linh

3


Bảng các ký hiệu
R - tập số thực. R+ := [0; ∞)
Rn - không gian vec tơ n chiều. X - không gian Banach

U (t, s) - ma trận nghiệm cơ bản của hệ thuần nhất
E - tập các nghiệm của một phương trình vi phân
χ[φ], φ ∈ E - số mũ đặc trưng của nghiệm x = φ(t)
χ[f ] - số mũ cả của phương trình x˙ = f (t, x)
K - lớp hàm . H - ma trận Hurwitz
K := K(t) - lượng vốn của quốc gia được xem xét tại thời điểm t
L := L(t) - lượng lao động tại thời điểm t
I := I(t) - lượng đầu tư tại thời điểm t
G := G(t) - đại lượng đặc trưng cho sự tiến bộ về năng lực sản xuất của
mỗi lao động

Y := Y (t) - sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t
δ - chỉ số sụt giảm vốn
n - tốc độ tăng trưởng dân số
g - tốc độ tiến bộ của công nghệ
k - tỷ số vốn trên lao động
s - chỉ số tích lũy
t - biến thời gian
y - tỷ số đầu ra trên lao động.

4


Chương 1

Tính ổn định nghiệm của
hệ phương trình vi phân
1.1

Tổng quan

Xét phương trình vi phân:

x˙ = f (t, x)

(1.1)

trong đó f : R+ × D −→ X : (t; x) −→ f (t; x);
R+ = [0; +∞); D ⊆ X là một miền đơn liên của không gian Banach X .
Trong luận văn ta chỉ xét với X = Rn .
Với một điểm cho trước (to ; xo ) ∈ G := R+ × D, ký hiệu x(t) :=

x(t; to ; xo ) dùng để chỉ nghiệm của phương trình (1.1), thỏa mãn điều kiện
ban đầu (to ; xo ) theo nghĩa x(to ) = x(to ; to ; xo ) = xo .
Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm:
5


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Định lý 1.1.[1] Giả sử với hệ (1.1):
(i) Hàm f liên tục theo (t, x) trên miền G = R+ × D, D mở trong X ;
(ii) Hàm f lipschitz theo biến x (x ∈ D).
Khi đó, với mỗi điểm ban đầu cho trước (to ; xo ) ∈ G đều tồn tại duy nhất
một nghiệm của phương trình (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho.
Trong trường hợp đó, có thể kéo dài nghiệm theo trục t đến vô cùng.

1.1.1

Công thức nghiệm Cauchy của hệ phương trình
vi phân tuyến tính

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính: [1,2]

x˙ = A(t)x + f (t)

(1.2)

thỏa mãn x(to ) = xo . Khi đó, hệ (1.2) có nghiệm tổng quát là:
t

x(t) = U (t, to )xo +

U (t, τ )f (τ )dτ.
to

trong đó U (t, τ ) là ma trận cơ bản của hệ (1.2). Ma trận này có các tính
chất:

U (t, t) = I ∀t ≥ 0;
U (t, s)U (s, τ ) = U (t, τ ) ∀t ≥ s ≥ τ ≥ 0;
dU (t, s)
= A(t)U (t, s) ∀t ≥ s ≥ 0.
dt
Nếu A(t) là ma trận hằng thì U (t, τ ) = eA(t−τ ) . Khi đó, hệ phương
trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng có nghiệm:
t
A(t−to )

x(t) = e

eA(t−τ ) f (τ )dτ.

xo +
to

6


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

1.1.2

Khái niệm ổn định của hệ phương trình vi
phân

Ta luôn giả thiết hàm f trong phương trình:

x˙ = f (t, x)

(1.3)

là đủ tốt để điều kiện tồn tại, duy nhất và kéo dài nghiệm được thỏa mãn.
Định nghĩa 1.1.[1,2] Giả sử x = x∗ (t) là một nghiệm của hệ (1.1).

• Nói nghiệm này ổn định nếu: ∀to ≥ 0, ∀ > 0, ∃δ = δ( , to ) sao
cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) xuất phát từ (to ; x(to )) thỏa mãn

x(to ) − x∗ (to ) < δ thì cũng thỏa mãn x(t) − x∗ (t) <

∀t ≥ to .

• Nếu x = x∗ (t) ổn định và có thêm tính hút, nghĩa là tồn tại δ1 > 0
sao cho:

x(to ) − x∗ (to ) < δ1 ⇒ x(t) − x∗ (t) → 0
khi t → ∞ thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định
tiệm cận.

• Nếu δ, δ1 có thể chọn không phụ thuộc vào to thì các nghĩa ổn định
trên được gọi là ổn định đều.

• Tại t = to nếu tồn tại N > 0, δ > 0 sao cho:
x(t) − x∗ (t) ≤ N e−δ(t−to )
thì ta nói hệ là ổn định mũ.

7

∀t ≥ to .


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Trong trường hợp nghiệm x = x∗ (t) có tính hút tại t = to thì tập Ωto :=

{xo ∈ D : x∗ (t) − x(t) → 0 khi t → +∞} được gọi là miền hút của
nghiệm này tại thời điểm to . Khi miền hút không phụ thuộc vào to , nếu

Ω = Rn thì nói nghiệm trên là hút toàn cục, Ω = D thì nói nghiệm trên
là hút toàn cục trên tập D.

Để bài toán được đơn giản, ta thường cho thêm giả thiết:

f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0.
Khi đó, nghiệm x = x∗ (t) thường lấy là nghiệm tầm thường x = x∗ (t) ≡

0 ∀t ≥ 0. Trong trường hợp x∗ (t) không tầm thường thì dùng phép đổi
biến z(t) = x(t) − x∗ (t) đưa hệ (1.1) về hệ của biến z : z˙ = g(t; z) với tính
chất: g(t; 0) = 0 ∀t ≥ 0.

1.2

Các phương pháp nghiên cứu tính ổn
định

Ta có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất Lyapunov, phương pháp thứ hai của Lyapunov, các bất đẳng thức chuyên
dụng hoặc khảo sát trực tiếp theo định nghĩa.

1.2.1

Phương pháp thứ nhất Lyapunov

Phương pháp này nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi
phân được thực hiện thông qua việc tìm tập phổ của hệ phương trình.
Một khái niệm ta sẽ nói tới ngay sau đây.

8


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Xét phương trình vi phân:

x˙ = f (t, x),

(1.4)

t ∈ R+ , x ∈ X (X = Rn ).
Ký hiệu E là tập nghiệm của phương trình này. Ta sẽ xây dựng phiếm hàm

χ : E −→ R như sau:
Nếu ϕ ≡ 0 ta lấy χ[0] = 0.
Nếu ϕ(t) = 0, ta đặt:

ln ||ϕ(t)||
t→+∞
t

χ[ϕ] = lim

và gọi giới hạn này là số mũ đặc trưng của nghiệm x = ϕ(t).
ln ||ϕ(t)||
t
t→+∞

Nếu lim

ln ||ϕ(t)||
t
t→+∞

= lim

là hữu hạn thì χ[ϕ] gọi nó là số mũ

đặc trưng ngặt của hàm x = ϕ(t).
Định nghĩa 1.2.[1] Tập hợp các số mũ đặc trưng riêng (khác ±∞)
của các nghiệm đặc trưng của hệ (1.4) được gọi là tập phổ Lyapunov của
hệ phương trình vi phân đó:

σ[f ] = {χ[ϕ] : ϕ ∈ E}.

Tính chất của số mũ đặc trưng.[1] Với ϕ, ψ không tầm thường,
ta có:
1. χ[||ϕ||] = χ[ϕ];
2. χ[kϕ] = χ[ϕ];
9


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
3. ||ϕ(t)|| ≤ ||ψ(t)|| ⇒ χ[ϕ] ≤ χ[ψ];
4. χ[ϕ + ψ] ≤ max{χ[ϕ], χ[ψ]};
5. χ[||ϕ.ψ||] ≤ χ[ϕ] + χ[ψ];
6. χ[ ϕ1 ] = −χ[ϕ] nếu ∃T > 0 : ϕ(t) = 0 ∀t ≥ T và χ[ϕ] là ngặt.
Số mũ Lyapunov nhỏ nhất và lớn nhất:

χmax [f ] = max{χ[ϕ] : ϕ ∈ E};
χmin [f ] = min{χ[ϕ] : ϕ ∈ E}.
Khái niệm số mũ đặc trưng cũng được mở rộng cho các ma trận hàm như
sau:

Định nghĩa1.3. Số mũ đặc trưng của ma trận hàm trên [0, ∞)

A(t) = (aij (t))n×n
là:

χ[A] = max χ[aij ].
i,j

Số mũ đặc trưng này có thể hữu hạn hoặc bằng ±∞.
Tính chất. Giả sử A(t), B(t) là các ma trận hàm cỡ n×n trên [0, ∞)
thì ta cũng có các hệ thức:
1. χ[A] = χ[ A ];
2. χ[A + B] ≤ max {χ[A], χ[B]};
3. χ[AB] ≤ χ[A] + χ[B].
10


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Trên đây là các khái niệm số mũ đặc trưng trên hệ tổng quát. Ta sẽ tìm
hiểu chi tiết hơn trên một số loại hệ phương trình đặc biệt.

Số mũ Lyapunov của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất.
Xét hệ:

x˙ = A(t)x. (x ∈ Rn )
Đầu tiên ta xét trường hợp autonomous.

a. Hệ autonomous
Xét hệ:

x˙ = Ax

A - ma trận hằng.

(1.5)

Giả sử ma trận hằng A có n giá trị riêng, trong đó λ1 , λ2 , ..., λk là các giá
trị riêng thực với bậc bội tương ứng là s1 , s2 , ..., sk . và λk+1 , λk+2 , ..., λk+h
là các giá trị riêng phức thực sự với bậc bội tương ứng là r1 , r2 , ..., rh .
Ta biết rằng tập nghiệm của hệ (1.5) bao hàm từ tập các tổ hợp tuyến
tính của các vectơ dạng:

Rj (t)vj eReλj t ,
trong đó: Rj (t) = Psj −1 (t) với j = 1, k;

Rj (t) = Prj −1 (t)cos(Imλj )t + Qrj −1 sin(Imλj )t với j = k + 1, k + h.
R˙ j (t)
t→∞ Rj (t)

Ta nhận xét rằng lim
chọn:

= 0 ∀j . Ta thấy, nếu trong tổ hợp tuyến tính


1 khi p = j
Cp =
0 khi p = j

thì nghiệm có dạng:

xj (t) = vj i Pj (t)eReλi t (vj i ∈ R)

11


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

vji lnPj (t)
⇒ χ[xj ] = lim Reλj +
= Reλj .
t→∞
t
Cho j chạy từ 1 đến k + h, ta thấy số mũ của các nghiệm xj của hệ chính
là phần thực của giá trị riêng λj tương ứng.
Tiếp theo, nghiệm tùy ý x(t) có dạng:

x(t) =

Cj xj (t).
j

Theo tính chất của số mũ đặc trưng, ta có:

χ[x] = max χ[xj ].
j

Vậy không có thêm các số mũ đặc trưng nào khác ngoài:

σ(A) = {Reλj : det(A − λI) = 0}.
Như vậy, với hệ thuần nhất dừng, tập phổ Lyapunov không gì khác tập
phần thực của các giá trị riêng.

Định lí 1.2.[1,2] Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.5) ổn định nếu:

Reλj ≤ 0 ∀λj ∈ σ(A),
trong đó các nghiệm đặc trưng có phần thực bằng không đều có ước cơ bản
đơn. Nếu

Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A)
thì hệ là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Gọi λj là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trân A. Chúng
12


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
có phần thực không âm. Giả sử λj = αj + iβj , (j = 1, 2, ..., p). Mọi nghiệm
của phương trình đều có dạng:
p

eαj t eiβj t vj Pj (t),

x(t) =
j=1

trong đó vj Pj (t) là hàm - vectơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bội của

λj .
Với αj < 0, ta có:

eαj t Pj (t) → 0 khi t → ∞,
và

|eiβj t | = 1
nên x(t) → 0 khi t → +∞. Với αj = 0 khi đó Pj (t) là hằng số, do đó

eαj t eiβj t vj Pj (t) là bị chặn trên R+ . Như vậy, mọi nghiệm x(t) bị chặn trên
nửa trục to ≤ t < +∞. Ta sẽ chứng minh x(t) ≡ 0 ổn định. Thật vậy, gọi

X(t) là ma trận nghiệm cơ bản chuẩn hóa của hệ (1.5):
X(t) = [xjk (t)],
trong đó X(t0 ) = E . Vì mọi nghiệm x(t) của hệ giới nội nên ma trận X(t)
giới nội, giả sử M > 0:

X(t) ≤ M

∀t > to .

Ta có: x(t) = X(t)x(to ) nên ∀ > 0, to ∈ R+ , ∃δ =

M

sao cho x(to ) < δ

thì:

x(t) ≤ X(t) . x(to ) < M.

M

< .

Vậy x(t) ≡ 0 ổn định Lyapunov hay hệ (1.5) ổn định theo Lyapunov.
Khi Reλj < 0 ∀λj ∈ σ(A) như ở phần chứng minh trên ta thấy x(t) → 0
13


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
khi t → +∞. Nghiệm tầm thường lại là ổn định. Vậy nó ổn định tiệm
cận.
Tiêu chuẩn Hurwitz.
Giả sử phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0 của hệ (1.5) là:

f (λ) = a0 + a1 λ + a2 λ2 + ... + an−1 λn−1 + an λn .
Việc giải phương trình phức bậc n này là khó hoặc không thể. Vì thế ta
sẽ gặp khó khăn để nhận biết phần thực của các giá trị riêng phân bố ra
sao so với trục ảo. Tiêu chuẩn sau đây cho phép ta không cần giải phương
trình đặc trưng mà vẫn biết được sự phân bố nói trên của tập phổ. Ta nói
đa thức f (λ) trên đây có dạng chuẩn nếu a0 > 0 và an = 0, (n ≥ 1). Nếu
có thêm phần thực của mọi giá trị riêng đều âm thì nói đây là một đa thức
Hurwitz. Khi đó, ma trận tương ứng sau gọi là ma trận Hurwitz:


a1
a3
a5
..
.

a0
a2
a4

..
.

0
a1
a3
..
.

0
a0
a2
..
.

0
0
a1
..
.




H=



a2n−1 a2n−2 a2n−3 a2n−4 a2n−5


... 0

... 0 

... 0 

..
.. 
.
.
. . . an

Ở đây: as = 0 khi s < 0 hoặc s > n.
Định lý 1.3.[1,2] Các mệnh đề sau là tương đương:
(i) Hệ (1.5) ổn định tiệm cận;
(ii) f (λ) là đa thức Hurwitz;
(iii) Mọi định thức con chính của ma trận Hurwitz đều dương, trong đó

14


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân




∆1 = a1 > 0







a a

∆2 = 1 0 > 0
a3 a2





...............




∆ = a ∆
n
n n−1 > 0
gọi là các định thức con chính của H.

b. Trường hợp nonautonomous.

x˙ = A(t)x

(1.6)

Với hệ này, ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Việc tìm các

số mũ đặc trưng là khó hơn. Tuy nhiên, ta có các kết quả sau:

Định lý 1.4. Nếu ma trận hàm A(t) = [aij (t)]n×n là liên tục và bị
chặn trên R+ thì mọi nghiệm không tầm thường của nó đều có số mũ đặc
trưng hữu hạn.
Chứng minh. Giả sử A(t) ≤ M ∀t ∈ R+ .
Theo công thức nghiệm Cauchy:
t

x(t) = xo +

A(s)x(s)ds
0
t

⇒ x(t) ≤ xo +

A(s)

x(s) ds.

0

Áp dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:

x(to ) e−

t
0

A(s) ds

≤ x(t) ≤ x(to ) e
15

t
0

A(s) ds


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

⇒ χ[ x(to ) e−

t
0

A(s) ds

] ≤ χ[ x(t) ] ≤ χ[ x(to ) e

t
0

A(s) ds].

(∗)

Do χ[ cϕ ] = χ[ϕ] và χ[ ϕ ] = χ[ϕ] nên từ (∗),ta có:

χ[e−

t
0

A(s) ds

] ≤ χ[x(t)] ≤ χ[e

t
0

A(s) ds

]

⇒ − c ≤ χ[x(t)] ≤ c,
(Vì χ[e

t
0

A(s) ds

] = lim

t→+∞

t

0

A(s) ds
t

ct
t→+∞ t

≤ lim

= c).

Định lý trên cho ta biết mọi số mũ đặc trưng của (1.6) là hữu hạn nếu

A(t) là liên tục và bị chặn trên R+ . Tiếp theo ta quan tâm đến số lượng
các phần tử của tập phổ.

Định lý 1.5.[5] Nếu ma trận hàm A(t) là liên tục và bị chặn trên
R+ thì số mũ đặc trưng của hệ x˙ = A(t)x chỉ là hữu hạn phần tử. Nếu ký
hiệu chúng qua αi , ta có thể sắp xếp

α1 < α2 < ... < αk ,
trong đó k ≤ n và αi là nghiệm bội si . Hơn nữa: s1 + s2 + ... + sk = n.
Tính ổn định của hệ tựa tuyến tính hệ số hằng.
Xét hệ phương trình trong Rn :

x˙ = Ax + f (t, x)

(1.7)
f (t,x)

x
t→0

Định lý 1.6. Nếu A là ma trận ổn định và lim
thì hệ (1.7) là ổn định tiệm cận.

16

= 0 ∀t ∈ R+


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Chứng minh. Nghiệm Cauchy của (1.7) là:
t

x(t) = eA(t−to ) +

eA(t−s) f (s, x(s))ds.
0

Vì A là ma trận ổn định nên cũng là ổn định mũ. Vậy tồn tại N > 0 và

δ > 0 sao cho:
eAt ≤ N e−δt ∀t ≥ 0.
Do đó:

x(t) ≤ N e

−δ(t−to )

t

xo +

N e−δ(t−s) f (s, x(s)) ds.

0
f (t,x)
x
x→0

Vì lim

= 0 ∀t ∈ R+ nên với > 0 cho trước đều tồn tại δ1 > 0 sao

cho:

x(t) < δ1 ⇒ f (t, x) ≤

x(t)

∀t ≥ 0.

Sử dụng bất đẳng thức Gronwall, ta có:

x(t) ≤ N xo e−δ(t−to )e
Vậy với

<

δ
N

t
to N ds

= N xo e(N

−δ)(t−to )

∀t ≥ to .

thì x(t) → 0 khi t → ∞. Khi đó, hệ là ổn định tiệm

cận.
Ví dụ 1.1. Xét hệ:

x˙ = −2x − 5x + 1 x2 sin2 t
1
1
2
4 1
x˙ = x − 3x + 1 x2 sin2 t
2
1
2
4 1
Ta có:

A=

−2 −5
1 −3

det(A − λI) = 0 ⇔ λ = −3 ± 2i.
17


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Vậy A là ma trận ổn định.
Lại có:

f (t, x) = f (x) =

1 2
2
4 x1 sin t
1 2
2
4 x1 sin t

⇔ f (t, x) ≤

1
x 2.
4

Dễ thấy:

lim

x→0

1
f (t, x)
= x = 0.
x
4

Vậy theo định lý hệ trên hệ là ổn định tiệm cận.

Định lý 1.6 cũng đúng cho hệ không dừng dạng tựa tuyến tính nếu

f (t, x) bị chặn trên R+ :
x˙ = A(t)x + f (t, x).
Ma trận A(t) ổn định, nghĩa là ∃N > 0, δ > 0 sao cho ma trận cơ bản

U (t, s) thỏa mãn:
U (t, s) ≤ N e−δ(t−s) ∀t ≥ s ≥ 0;
t

x(t) = U (t, to )xo +

U (t, s)f (s, x(s))ds.
to

1.2.2

Phương pháp thứ hai Lyapunov

Phương pháp này khảo sát tính ổn định nghiệm của hệ phương trình
vi phân thông qua một hàm bổ trợ gọi là hàm Lyapunov [1,2]. Các kết quả
nhận được chỉ là các điều kiện đủ để hệ ổn định.

18


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Xét hệ:

x˙ = f (t, x)

(1.8)

trong đó f (t, 0) = 0. Ký hiệu:

D := {(t, x) : 0 ≤ t < ∞, x < H} = R+ × Ω.
K := {ϕ : R+ −→ R+ , ϕ(0) = 0, liên tục và đơn điệu tăng trên R+ }. (lớp Hahn)
Định lí 1.7.[9] Giả sử tồn tại hàm V : R+ × Ω −→ R+ khả vi liên
tục theo t và x trên tập D và trên D có:

(i) V (t, 0) = 0 ∀t ∈ R+ ;
(ii) Tồn tại hàm a(.) ∈ K sao cho: a( x ) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω;
(iii) V˙ (t, x) ≤ 0 ∀(t, x) ∈ R+ × Ω.
Khi đó, nghiệm tầm thường x(t) ≡ 0 của hệ (1.8) là ổn định.
Chứng minh. Với

> 0 cho trước.

Vì a(.) đồng biến trên R+ nên

a( ) > a(0) ⇒ a( ) > 0.

(a(0) = 0)

Cố định to > 0, hàm V (to , x) liên tục theo biến x và V (to , 0) = 0. Do đó,
với a( ) > 0 tồn tại lân cận Bδ (0) sao cho x(to ) ∈ Bδ (0):

V (to , x(to )) < a( ).

(1∗)

Vì V˙ (t, x) ≤ 0 nên V (t, x) là hàm đơn điệu giảm theo t. Do đó:

V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) ∀t > to .
19

(2∗)


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
Theo (ii):

a( x ) ≤ V (t, x).

(3∗)

Từ (1∗), (2∗) và (3∗), suy ra:

a( x(t) ) ≤ V (t, x(t)) ≤ V (to , x(to )) < a( ).

Vì a(.) đồng biến, suy ra:

∀t ≥ to .

x(t) <
Vậy x(t) ≡ 0 ổn định.

Định lí 1.8. Nếu thay điều kiện (ii) trong Định lí 1.7 bằng điều kiện

(ii ) sau:
(ii )

a( x ) ≤ V (t, x) ≤ b( x ) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω,

trong đó a(.), b(.) ∈ K thì nghiệ Salvadori về hai hàm bổ trợ)
Xét hệ (1.8):

x˙ = f (t, x); f (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0.
Giả sử tồn tại a, b, c ∈ K và các hàm:

V, W : R+ × Ω −→ R
sao cho:

(i) a( x ) ≤ V (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω;
(ii) V (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0;
(iii) b( x ) ≤ W (t, x) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω;
(iv) W (t, 0) = 0 ∀t ≥ 0;
27

Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân

(v) V˙ (t, x) ≤ −c(W (t, x)) ∀(t, x) ∈ R+ × Ω;
˙ (t, x) bị chặn dưới hoặc bị chặn trên.
(vi) W
Khi đó, nghiệm x(t) ≡ 0 của hệ là ổn định tiệm cận.
Chứng minh. Chọn số α > 0 sao cho Bα (0) ⊆ Ω.
Với mỗi to ≥ 0 và điểm xo ∈ Ω thỏa mãn V (to , xo ) ≤ a(α).
Ký hiệu x(t) = x(t; to ; xo ) là nghiệm xuất phát từ (to ; xo ).
Đầu tiên ta cần chỉ ra

lim W (t, x(t)) = 0.

t→+∞

Giả sử điều này không đúng. Vậy chỉ có thể là một trong hai khả năng
sau:
a) ∃t1 ≥ to , ∃k > 0 sao cho W (t, x(t)) ≥ k > 0 ∀t ≥ t1 .
Trong trường hợp này, theo (v), ta có:

V˙ (t, x) ≤ −c(W (t, x)) ≤ −c(k) ∀t ≥ t1 .
Do đó V (t, x(t)) → −∞ khi t → +∞. Điều này mâu thuẫn với điều kiện

(i).
b) Khả năng thứ hai: Tồn tại hai dãy tăng trong R là {ti } và {t i } (ti →

+∞ khi i → +∞) và với mỗi i = 0, 1, 2, ... có thứ tự
ti < t i < ti+1 ,

28

Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
và tồn tại k > 0 sao cho:

k
,
2
W (t i , x(t i )) = k,
k
< W (t, x(t)) < k khi ti < t < t i ;
2

Hoặc W (ti , x(ti )) =

Hoặc W (ti , x(ti )) = k,
k
W (t i , x(t i )) = ,
2
k
< W (t, x(t)) < k khi ti < t < t i .
2

˙ bị chặn trên bởi M > 0: W
˙ (t, x(t)) ≤ M .
Giả sử W
Khi đó:

ti

˙ (s, x(s))ds ≤ M (t i − ti )
W

ti

⇔ W (t i , x(t i )) − W (ti , x(ti )) ≤ M (t i − ti ).
Trong hai trường hợp trên ta đều có được:

k
≤ M (t i − ti ),
2
hay

t i − ti ≥

k
.
2M

Sử dụng (v), ta có:
tn
to

n

ti

V˙ (s, x(s))ds ≤
j=1

V˙ (s, x(s))ds

ti
n

ti

≤ −c

W (s, x(s))ds
j=1

29

ti


Chương 1. Tính ổn định nghiệm của hệ phương trình vi phân
tn

⇒

n

V˙ (s, x(s))ds ≤ −c

to

Do t i − ti ≥

k
2M

ti

kds.
j=1

(∗)

ti

k
nên −c(t i − ti ) ≤ −c 2M
.

Vậy từ (∗), suy ra:
tn
to

k k
V˙ (s, x(s))ds ≤ −nc .
2 2M

ck 2
⇔ V (t n , x(t n )) ≤ V (to , xo ) − n
.
4M
Cho n → +∞, ta có: V (t n , x(t n )) ≤ 0 khi tn đủ lớn. Điều này mâu thuẫn
với (i).

˙ bị chặn dưới được chứng minh tương tự.
Trường hợp W
Tóm tắt chương 1. Chương này trình bày tổng quan về lý thuyết
ổn định các phương trình vi phân. Một vài định lý quan trọng trong nghiên
cứu tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai được
chúng tôi tự thực hiện việc chứng minh theo hiểu biết của mình. Các ví
dụ (trừ ví dụ 1.4) do chúng tôi tự tìm để minh hoạ cho các nội dung.

30


Chương 2

Một vài ứng dụng trong
kinh tế
Giới thiệu
Hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu sự tác động của
nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta
phải mô hình hóa bằng các mô hình toán học. Việc mô hình hoá như vậy
thường gặp khó khăn vì các biến kinh tế thường nhận các giá trị không
âm lại thường ít khi "thuần nhất", hay thay đổi theo hoàn cảnh cụ thể.
Vì thế, các mô hình được đưa ra thường kèm theo các giả thiết xác định.
Nếu thiếu các giả thiết đó việc mô tả bằng mô hình Toán học thường là
không sát với thực tế. Trong mô hình nguyên thủy Robert Solow sử dụng
hàm tăng trưởng dân số là hàm Malthus. Thực tế cho thấy rằng mô hình
này là tốt trong một khoảng thời gian ngắn nhưng lại bộc lộ nhiều nhược
điểm trong một quá trình thời gian dài. Luận văn này sẽ thay hàm tăng
trưởng dân số sao cho với hàm dân số mới các đặc tính quan trọng của
mô hình sẽ tốt hơn không chỉ trong các thời kỳ ngắn hạn mà còn trong cả

một quá trình dài hạn.

31


Chương 2. Một vài ứng dụng trong kinh tế

2.1

Mô hình Solow cổ điển

Các phương trình vi phân hoặc sai phân ngày càng được sử dụng
nhiều để mô tả các quá trình thực tiễn. Mô hình Solow rất nổi tiếng trong
lí thuyết tăng trưởng Kinh tế, nó được nhiều nhà Chính trị, Kinh tế, Toán
học, Xã hội học,... quan tâm. Mô hình này đã đưa ra lời giải thích cho
nhiều câu hỏi quan trọng về sự phất triển kinh tế vĩ mô của từng quốc
gia trong điều kiện phát triển độc lập. Các điều kiện phát triển như vậy là
rất phổ biến trong thời kỳ các thập niên thuộc nửa sau của thế kỷ trước
[6,7,8,9]. Các biến cơ bản trong mô hình Solow là lượng lao động, tỷ lệ vốn
trên lao động, tỷ lệ đầu ra trên lao động, lượng vốn, lượng sản phẩm đầu
ra, lượng đầu tư, tiết kiệm. Các tham số quan trọng là chỉ số tích lũy, chỉ
số sụt giảm vốn. Mô hình Solow nguyên thuỷ được xây dựng trên cơ sở
của nhiều giả thiết rất chặt chẽ nhằm làm cho các biến kinh tế vốn không
lý tưởng trở nên tốt hơn, thuận tiện hơn khi biểu diễn qua các biểu thức
Toán học. Các giả thiết đó là:
- Thời gian là một quá trình liên tục. Dân số tăng trưởng theo luật Malthus.
- Nền sản xuất là giản đơn (công nghệ không thay đôi).
- Nền sản xuất là đóng, thị trường thuần túy (nghĩa là không có Thương
mại Quốc tế và sự can thiệp của Chính phủ).
- Mọi lao động đều có việc làm (không đưa vào yếu tố thất nghiệp và hiện

tượng cạnh tranh công ăn việc làm).
Mô hình Solow có nhiều đóng góp trong việc lý giải động lực và bản chất
của tăng trưởng kinh tế, giải thích sự không đồng đều về mức độ tăng
trưởng của các quốc gia với những xuất phát điểm không như nhau. Mô
hình này đã được khai thác, mở rộng và cải tiến theo nhiều hướng [6,7,8,9].
Các đại lượng và ký hiệu sau đây là cần thiết để mô tả mô hình:

K = K(t) là lượng vốn của quốc gia được xem xét tại tời điểm t.
L = L(t) là lượng lao động tại thời điểm t.
Y = Y (t) là sản lượng của quá trình sản xuất tại thời điểm t hay gọi ngắn
32