Momen từ dị thường của electron và phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong điện động lực học lượng tử : Luận văn ThS. Vật lý : 60 44 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2012


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
----------------------------

PHẠM THỊ THUẬN

MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
VÀ PHƢƠNG PHÁP ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN TRONG
ĐIỆN ĐỘNG LỰC HỌC LƢỢNG TỬ
Chuyên ngành:

Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 60.44.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Giáo viên hƣớng dẫn khoa học:
GS. TSKH. Nguyễn Xuân Hãn

Hà Nội - 2012


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ ….4
CHƢƠNG 1: PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON ...... ….7
1.1.Phƣơng trình Pauli........................................................................................ …7
1.2. Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng đối
tính..................................................................................................................... ….8
1.3. Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli ................................. ….11
CHƢƠNG 2: CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ DỊ
THƢỜNG CỦA ELECTRON ………………………………………………………..20
2.1. S-ma trận .................................................................................................. …..20
2.2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thƣờng .................. …..24
2.3. Hệ số dạng điện từ .................................................................................... ......25
CHƢƠNG 3: BỔ CHÍNH CHO MÔMEN TỪ DỊ THƢỜNG ............................... …..29
3.1. Bổ chính cho mômen từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng ............................ …..29
3.2. Mômen từ dị thƣờng cùng với các bổ chính lƣợng tử ................................ …..36

KẾT LUẬN .......................................................................................................... …..38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................... …..39
PHỤ LỤC A ......................................................................................................... …..40
PHỤ LỤC B ......................................................................................................... …..49
PHỤ LUC C ......................................................................................................... …..50

1

DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 1. Chƣơng I……………………………………………………………………...21
Hình 2. Phụ luc A……………………………………………………………………...43
Hình 3. Phụ lục A……………………………………………………………………...45

2


MỞ ĐẦU
Lý thuyết lƣợng tử về tƣơng tác điện từ của các hạt tích điện hay còn gọi là
điện động lực học lƣợng tử QED, đã đƣợc xây dựng khá hoàn chỉnh. Sự phát triển
của QED liên quan đến những đóng góp của Tomonaga, J. Schwinger, R. Feynman.
Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến do tác giả đã nêu cùng với việc tái chuẩn
hóa khối lƣợng và điện tích của electron, QED đã lý giải thích thành công các quá
trình vật lý qua tƣơng tác điện từ, cả định tính lẫn định lƣợng. Ví dụ nhƣ sự dịch
chuyển Lamb của các mức năng lƣợng trong nguyên tử Hydro hoặc mômen từ dị
thƣờng của electron, kết quả tính toán lý thuyết và số liệu thực nghiệm trùng nhau
với độ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/
Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng điện từ ngoài, tƣơng tác của electron
với trƣờng điện từ, sẽ chứa thêm số hạng tƣơng tác từ tính mới. Cƣờng độ của
tƣơng tác này đƣợc mô tả bằng mômen từ electron  , và nó bằng


e0
e
 0
 0 ( m0 và e0 là khối lƣợng “trần” và điện tích “trần” của
|   c  1 2m0
2m0c

electron, 0 - gọi là magneton Bohr). Các hiệu ứng phân cực của chân không– khi
tính các bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho mômen từ
electron, sau khi tái chuẩn hóa khối lƣợng electron  m0  mR  và điện tích electron

 e0  eR  sẽ dẫn đến sự đóng góp bổ sung, mà nó đƣợc gọi là mômen từ dị thƣờng.
Lƣu ý, chỉ số R – ký hiệu giá trị đƣợc lấy từ thực nghiệm.
Tuy nhiên, thực nghiệm đo đƣợc mômen từ của electron bằng   1,003875 0 ,
giá trị này đƣợc gọi là mômen từ dị thƣờng của electron. J. Schwinger /13/ là ngƣời
đầu tiên tính bổ chính cho mômen từ dị thƣờng của electron vào năm 1948 và ông
thu đƣợc kết quả phù hợp với thực nghiệm ( bổ chính cho mômen từ của electron
khi tính các giản đồ bậc cao cho QED, sai số tính toán với thực nghiệm vào khoảng

3


1010 % ). Biểu thức giải tích của mômen từ dị thƣờng electron về mặt lý thuyết đã

thu đƣợc


ly thuyet  0 1 



2
3 
 0,32748 2  1,184175 3  
2


 

(0.1)

 1,001159652236  28 .0

R  1,00115965241 20 .0

(0.2)

Ở đây về cơ bản các giá trị mômen đƣợc tính bằng lý thuyết theo thuyết nhiễu
loạn (0.1) và giá trị đƣợc lấy từ số liệu thực nghiệm (0.2) có sự trùng khớp với
nhau.
Mục đích bản luận văn Thạc sĩ khoa học này là tính bổ chính một vòng cho
mômen từ dị thƣờng của electron trong QED. Việc loại bỏ phân kỳ trong quá trình
tính toán giản đồ Feynman, ta sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên, đang
đƣợc sử dụng rộng rãi trong lý thuyết trƣờng lƣợng tử.
Nội dung Luận văn Thạc sỹ khoa học bao gồm phần mở đầu, ba chƣơng, kết
luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục.
Chƣơng 1. Phƣơng trình Pauli và mômen từ của electron. Phƣơng trình
Pauli và mômen từ dị thƣờng có thể thu nhận bằng hai cách: Trong mục 1.1 xuất
phát từ phƣơng trình Schrodinger bằng tư duy hiện tượng luận ta thu đƣợc phƣơng
trình Pauli với số hạng tƣơng tác của mômen từ electron với trƣờng ngoài /1/. Mục
1.2 dành cho việc nhận phƣơng trình Pauli bằng việc lấy gần đúng phi tƣơng đối

 

tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng điện từ ngoài trong gần đúng v c , v – là vận tốc
của hạt, còn c là vận tốc ánh sáng. Các bổ chính tƣơng đối tính tiếp theo cho

 

phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao hơn v c thu đƣợc bằng việc sử dụng phép
biến đổi Fouldy-Wouthuyen ở mục 1.3.

4


Chƣơng 2. Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thƣờng
của electron. Xuất phát từ Lagrangce tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta nêu
vắn tắt các xây dựng S-matrận trong mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng
điện từ ngoài. Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một
vòng đóng góp cho mômen từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận
ý nghĩa vật lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính.
Chƣơng 3. Mômen từ dị thƣờng của electron trong gần đúng một vòng.
Trong mục 3.1 sử dụng phƣơng pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tách phần hữu hạn và
phần phân kỳ cho giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng. Việc tính biểu thức bổ
chính cho mômen từ dị thƣờng trong gần đúng một vòng đƣợc tiến hành ở mục 3.2.
Lƣu ý, việc tính mômen từ dị thƣờng của electron là bài toán phức tạp, trong Luận văn
này bƣớc đầu ta đã thực hiện một loạt những động tác để đơn giản bài toán bằng việc
bỏ qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng photon, bỏ qua việc tái chuẩn hóa
khối lƣợng, điện tích của electron, hàm sóng của electron và trƣờng điện từ ngoài liên
quan tới các đƣờng ngoài trong giản đồ Feynman, và tính toán tới phần đóng góp chủ
yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman cho mômen từ dị thƣờng của electron.
Phần kết luận ta hệ thống lại những kết quả thu đƣợc và thảo luận việc tổng quát
hóa sơ đồ tính toán cho các lý thuyết tƣơng tự.
Trong Bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  1 và
metric Feynman. Các véctơ phản biến là tọa độ :

x    x0  t , x1  x, x 2  y, x3  z    t , x 



thì các véctơ tọa độ hiệp biến : x  g x   x0  t , x1   x, x2   y, x3   z   t ,  x  ,

trong đó

g   g 

1 0 0 0 


0 1 0 0 


 0 0 1 0 


 0 0 0 1

Các chỉ số Hy Lạp lặp lại có ngụ ý lấy tổng từ 0 đến 3.

5


CHƢƠNG 1 - PHƢƠNG TRÌNH PAULI VÀ MÔMEN TỪ CỦA ELECTRON
Phƣơng trình Pauli và số hạng tƣơng tác giữa mômen từ của electron với trƣờng
điện từ ngoài có thể thu đƣợc bằng hai cách: i/ Tổng quát hóa phƣơng trình
Schrodinger bằng cách kể thêm spin của electron và tƣơng tác của mômen từ với
trƣờng ngoài đƣợc giới thiệu ở mục 1.1; ii/ Từ phƣơng trình Dirac cho electron ở

 

trƣờng điện từ ngoài, thực hiện phép gần đúng phi tƣơng đối tính ở gần đúng bậc v c

ta có phƣơng trình Pauli cho electron với mômen từ. Nghiên cứu các bổ chính tƣơng
đối tính cho phƣơng trình Pauli ở gần đúng bậc cao ta phải sử dụng phép biến đổi
Fouldy-Wouthuyen.
1.1 Phƣơng trình Pauli
Phƣơng trình Pauli mô tả hạt có spin bằng ½ chuyển động trong trƣờng điện từ
ngoài với điều kiện vận tốc của hạt nhỏ hơn nhiều vận tốc ánh sáng. Phƣơng trình Pauli
có dạng phƣơng trình Schrodinger (khi hạt có spin bằng không), song hàm song 


trong phƣơng trình Pauli không phải là một vô hƣớng có một thành phần   r , t  phụ
thuộc vào các biến không gian và thời gian, mà còn chứa biến số spin của hạt là s z .


Kết quả để cho hàm sóng   r , sz , t  là một spinor hai thành phần
    
 1  r ,  , t  
2 


    r , sz , t   
    
 2  r ,  , t  
2 
 

(1.1)

Vì hạt có spin nên nó có mômen từ. Từ thực nghiệm hiệu ứng Zeemann mômen từ của
hạt với spin bằng  2 .




(1.2)
  0 ,

0 - là magneton Bohr, còn  là các ma trận Pauli. Khi đăt hạt vào trƣờng điện từ
ngoài, ta có thêm năng lƣợng tƣơng tác phụ.

6



e   e0  

U    H    
s
sH
mc  2m0c


 

(1.3)

Hamiltonian của phƣơng trình Schrodinger có dạng

p2
H
 U (r )
2m0

(1.4)

Nếu hạt ở trong trƣờng điện từ ngoài, thì ta phải thực hiện các phép thay thế dƣới đây
trong phƣơng trình Schrodinger

 e 
p p 0 A
c
E  E  e0

(1.5)

Kể thêm spin của hạt thì phƣơng trình mô tả phải có thêm một năng lƣợng phụ

e  
U    H  0 sH . Kết quả ta thu đƣợc phƣơng trình
2m0c

 

i



  r , sz , t 
t

 1   e0  2
e   

p  A   e0  r   U  r   0 sH   r , sz , t 

c 
2m0c
 2m0 


(1.6)



ở đây   r  , A(r ) là thế vô hƣớng và thế véc tơ của trƣờng điện từ. Phƣơng trình (1.6)
là phƣơng trình Pauli, mà nhờ nó ta có thể giải thích đƣợc hiệu ứng Zeemann.
1.2 Phƣơng trình Dirac cho electron ở trƣờng ngoài trong giới hạn phi tƣơng
đối tính
Xuất phát từ phƣơng trình Dirac cho electron trong trƣờng ngoài ở dạng chính tắc ta
có:
i


 ( x)     e0  
 c  p  A   e0 A0   m0c 2  ( x)
t
c 

 


(1.7)

Để nghiên cứu giới hạn phi tƣơng đối tính cho phƣơng trình (1.7), thuận tiện ta viết các
spinor hai thành phần
 
 
u   1 ,  d   3 ,
 2 
 4 

7

 
  u 
 d 

(1.8)


Nhƣ vậy, phƣơng trình (1.7) sẽ biến thành hệ phƣơng trình

 u
  e 
 c  p  0 A  d  e0 A0  m0c 2  u 
t
c 




 d
  e9  
0
2
i
 c  p  A  u  e0 A  m0c  d 

t
c 




i





(1.9)



Trong đó chỉ số u kí hiệu “trên” (hai thành phần trên) và d – “dƣới” (hai thành phần
dƣới). Kể thêm

 v2  ( )
 

0  ()
2
i


e
A


m
c

1

O

 2   u ,d
0
0

 u ,d
 t

 c 


(1.10)

Phƣơng trình thứ hai của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm dƣơng (+)
 d   


 v2 
   e0   (  )
p

A


O
 2

 u

2m0c 

c



(1.11)

c 

Còn phƣơng trình đầu của hệ (1.9) sẽ đƣa đến nghiệm âm (-)
 u(  ) 


 v2 
   e0   ( )

p

A


O
 2

 d

2m0c 

c



(1.12)

c 

Điều này có nghĩa nhƣ sau: trong trƣờng hợp nghiệm dƣơng thì spinor  d liên hệ với
 u và trong trƣờng hợp nghiệm âm thì spinor  u liên hệ với  d thừa số

 v c  . Thay

(1.11) và (1.12) vào phƣơng trình còn lại của (1.9) để cho nghiệm dƣơng ta có


1



 
 u
 O (v / c ) 
 d 
 1
i

t

 2m0

2
 v3  
    e  

2
0

p

A

m
c

eA

O

 3   u
0

 
c 
 
 c 


Và để cho nghiệm âm
 O (v / c ) 
 d
 1 

 

8

(1.13)




 1
i u  
t

 2m0

2

 v3  
    e  

2
0

p

A

m
c

eA

O
 3   d (1.14)
0

 
c 
 
 c 


Cùng với việc sử dụng các đồng nhất thức sau










 A  B   ( AB)  i ( A  B) ,
e 
  e    e 
 p  A   p  A   B
c  
c 
ic


(1.15)

Những hệ thức này cuối cùng có thể hệ thống trong phƣơng trình Dirac


 H nr

t

2

 v3  
1   e 
e   
2

0
   m0 c 
ˆ B   O  3  , 
 p  A   eA 
2m0 
c 
2m0c
c  



   0 

ˆ  


0 
i

H nr

đúng đến bậc

v c  cùng với toán tử và tự liên hợp H
2

2

nr

(1.16)

. Nếu chúng ta giới hạn ở

nghiệm dƣơng, có nghĩa hai thành phần đầu , thì phƣơng trình này với độ chính xác
m0c 2 trùng với phƣơng trình Pauli để cho hạt có spin ½ trong trƣờng điện từ ngoài Thật

đáng chú ý đặc biệt ở chỗ quá trình giới hạn phi tƣơng đối tính hóa của phƣơng trình


Dirac ở trƣờng ngoài sẽ tự động dẫn đến số hạng tƣơng tác MB giữa mômen từ (hay
spin ) của hạt với từ trƣờng ngoài, trong đó electron có mômen từ đúng khác với tỉ số
từ hồi chuyển đúng đắn
M (e) 

e
eg

S,
2m0c
2m0c

g 2

(thừa số Lande)

(1.17)

Ngƣợc lại trong phƣơng trình Pauli số hạng này đƣa vào phƣơng trình theo kiểu hiện
tƣợng luận – “đƣa vào bằng tay”.

9


Đối với hạt không phải là cơ bản, nhƣ các proton hay các neutron quá trình giới hạn




trên dẫn đến các kết quả sai M  p   eS /  mp c  . Rõ ràng trong những trƣờng hợp này
liên kết tối thiểu không đủ để kể thêm trƣờng điện từ ngoài. Chính vì vậy để cho những
hạt này, chúng ta có thể nhận đƣợc phƣơng trình phi tƣơng đối tính với các mômen từ
đúng đắn phải bằng cách hiện tƣợng luận là cộng “bằng tay” các số hạng mômen.(xem
them bài tập 11 và 22)
Để hoàn chỉnh phần này, chúng ta cũng phải lƣu ý các biểu thức để cho mật độ xác
suất và mật độ dòng xác suất tƣơng ứng với phƣơng trình (1.16) với độ chính xác

v c  .
2

2

   † , j 

  †
2ie

    †  
A †  


2im 
c






(1.18)

Chúng liên hệ với nhau bằng phƣơng trình liên tục  / t  j  0 và trong trƣờng hợp
nghiệm dƣơng , các biểu thức này trùng với công thức của lý thuyết phi tƣơng đối
tính.
1.3 Các bổ chính tƣơng đối tính cho phƣơng trình Pauli
Ta đã chỉ ra rằng việc lấy giới hạn phi tƣơng đối tính phƣơng trình Dirac ở trƣờng

 c  và sai sót trong Hamilton

2
điện từ ngoài ta thu đƣợc lý thuyết Pauli đúng tới bậc v

 c  . Trong giới hạn này H

3
ở bậc v

3

nr

2

là chéo nhƣng các nghiệm âm và dƣơng là hoàn

toàn “phân ly ” . Để chéo hóa toán tử Hamilton ở các bậc cao hơn một cách hệ thống,
thì ta phải kể thêm các bổ chính tƣơng đối tính, bằng cách sử dụng phép biến đổi
Fouldy –Wouthuyen cho phƣơng trình Dirac.
Để đơn giản ta bắt đầu tử bậc  v / c  và phƣơng trình Dirac ở dạng
m0c2 K  0,

K    

cùng với

10

(1.19)


 

 v2 
 v2 
1  
0
i


eA


O
(1)

O
,




O
 2
 2


m0c 2  t

c 
c 

(1.20)

và


ở đây  và

c 
e 
v
p  A  O  

2 
m0c 
c 
c

(1.21)

     là các toán tử chẵn (chéo) và toán tử lẻ (không chéo). Sử dụng

việc chọn phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen thích hợp U  eiS , U   eiS  , ... với mục
đích là thay đổi các biểu diễn mới trong đó  cao hơn và cao hơn bậc

 v / c  sao cho

không động chạm đến điều nó sẽ đƣa đến chéo hóa toán tử K đung đắn tới bậc  v / c  .
Nhƣ vậy sau phép biến đổi thứ nhất, ta cần thu đƣợc
m0c2 K    0,
K         ,

   U ,
 v2 
,
2 
c 

   O

K   UKU 1
 v3 
(hay cao hơn)

3 
c 

  O 

(1.22)
(1.23)

Và phép biến đổi thứ hai ta có
m0c2 K    0,
K         ,

   U  ,

K   U K U 1

 v2 

    O 2 ,
c 

 v5 

  O  5  (hay cao hơn)
c 

(1.24)
(1.25)

và tiếp tục..Lựa chọn tốt nhất cho phép biến đổi đầu tiên là

U  eiS  ,

S  

i
2

(1.26)

Chúng ta có thể nghiên cứu lại phép khai triển Baker-Hausdorff (1.60) cũng nhƣ công
thức (1.62) cùng với phép thay thế cho việc tính toán  3   cho việc tính toán kết quả
K. Điều này sẽ dẫn đến
K        

(1.27)

Cùng với

11


 v2 
O 2 
c 


    
  



 3
3

 v6 
O 6 
c 


 2



2



2

 v12 
O  12 
c 


 v8 
O 8 
c 


 4

1
  ,  ,    ...
8
8

,   

 v2 
 O 2 
c 



 v5 
 ,  ,  ,     ...  O  5 

48 
c 

(1.28)

(1.29)

Nhƣ ta đã thấy   bây giờ đã nâng lên hai bậc  v / c  Từ đây chúng ta nhận đƣợc toán

 c  , đúng trong phƣơng trình Pauli (1.16)

3
tử K      đúng đến bậc v

3

Để tiếp tục loại bỏ phần lẻ của các K-toán tử chẵn, chúng ta tiếp tục thực hiện phép
biến đổi Fouldy –Wouthuyen thứ hai với K  cùng
U   eiS  , S   

i 
2

(1.30)

Từ đây suy ra
K        

(1.31)

cùng với
 v2 
O 2 
c 


    

 v6 
O 6 
c 



 2
2

 v12 
O  12 
c 



 v8 
O 8 
c 


 4

1
  ,  ,    ...
8
8

(1.32)
 v2 
 O 2 
c 

và
  

 3
3




2

,   



 v5 
 ,  ,  ,     ...  O  5 

48 
c 

 c  (hay cao hơn) ta nhận đƣợc toán tử chẵn

5
Bỏ qua tất cả các số hạng O v

5

12

(1.33)

K      

 2



2

 4

 v5 
1
  ,  ,    O  5 
8
8
c 

(1.34)

Cuối cùng kết quả dẫn đến phƣơng trình Dirac
i

 
 H  
t

(1.35)

Sử dụng phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen ta tính một số công thức sau
2 





i
2 2
m0 c

1
m02c 2

1
m02c 2

 
e   
e 
  p  c A     p  c A  
  

 

 
i

i, j




e

j

e 
e 

 pi  Ai  p j  Aj 
c 
c 





e




1 

0

e 


  ijkˆ k  pi  c Ai  p j  c Aj   m2c 2  p  c A 

i , j ,k



ie
1 
e 
ˆ  p  A  2 2  p  A 
3
m0c
m0 c 
c 



e
1 
e 
ˆ B  2 2  p  A 
3
m0c
m0 c 
c 

2

2

Tiếp theo ta tính giao hoán tử

,    



1
m02c3

 
e 

0
  p  c A  , i t  eA 

 


1 
ie    
e  p, A0  
A,

2 3  
m0 c 
c  t  

13

2

(1.36)



ie  0 1  ie
  A  A   2 3  E
m02c3 
c  m0 c

ie
 ,  ,    3 4
m0 c







 
e 

  p  c A  ,  E 

 


ie
 p, E 
m03c 4

ie
m03c 4

   p E
i

j

i

j

 Ei p j 

i, j



ie
 i j  pi E j   i , j  E j pi
m03c 4 i , j




ie 
i ˆ   ij  pi E j    2i ijkˆ k E j pi 
3 4    ijk k
m0 c i , j ,k

i, j




ie2
e2
2e
ˆ


E

E  3 4 ˆ  E  p 


3 4
3 4
m0 c
m0 c
m0 c

(1.37)

Khi tính các công thức (1.36-1.37) ta đã sử dụng các đồng nhất thức sau
i j  i i j k k ,


i ,  j   2i i j k k

(1.38)

 c  với việc chéo hóa Hamilton

4
Đúng đắn đến bậc O v

4

2
4


 1 
1 
e 
e
e 
e2 2 2 
0
ˆ
H     m0c 2 
p

A


B

eA



p

A

B 

 3 2



2m0 
c  2m0c
c  8m03c 4 


 8m0 c 



 v5 
e2
ie2
e
ˆ
ˆ

E




E


E

p

O




 5
8m02c 2
8m02c 2
4m02c 2
c 

(1.39)

Và ta có hàm sóng
   x   ei/2ei /2  x 

(1.40)

Tất cả ở đây, ta thấy việc chéo hóa thành công của toán tử Dirac Hamilton cho những
bậc cao hơn có thể thực hiện  v / c  Vậy ta đã giả thiết một số điểm sau đây

14


- Khi các S , S , ... là tự liên hợp, thì các ma trận biến đổi Fouldy –Wouthuyen
U , U , ... cũng là những phép biến đổi unita. Điều này có nghĩa bất biến của giá trị trung

bình nhƣ phép biến đổi U .U 1.
- Để cho toán tử Dirac – Hamilton, điều này có nghĩa A / t  0 khi sự biến đổi
K  0  K    0,

K   UKU 1  UKU † ,

   U

(1.41)

tƣơng đƣơng với
i


 
 H  i
 H  ,
t
t



H   U  H  i  U †
t 



(1.42)

- Các toán tử một hạt nhận đƣợc trong biểu diễn Fouldy –Wouthuyen theo phép biến
đổi cho các toán tử ban đầu (tƣơng đối tính) và sau đó tách các phần chéo. Phƣơng
pháp Fouldy –Wouthuyen là không định xứ và “loang ra” của tọa độ hàm sóng cùng
với kích thƣớc so với bƣớc sóng Compton của hạt.
- Phƣơng pháp Fouldy –Wouthuyen chỉ chấp nhận cho những vấn đề vật lý trong vùng
đúng đắn của một hạt ở đấy phép khai triển Fouldy –Wouthuyen là hội tụ.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen cho lý thuyết Dirac. phép biến đổi Fouldy –
Wouthuyen đã cung cấp phƣơng pháp chéo hóa Hamilton Dirac tới bậc bất kỳ hữu hạn
nào đấy. Viết phƣơng trình Dirac (1.7) dƣới dạng.
m0c2 K (0) (0)  0,

K (0)     (0)   (0)

(1.43)

Cùng với các toán tử chẵn   0 ,    (0)  O  v 2 / c 2  và toán tử lẻ   0  O  v / c  lặp lại
các hệ thức này theo
K ( n)     ( n)   ( n)  U ( n1) K ( n1)U ( n1)†

 ( n )  x   U  n1  n1  x 
 i ( n ) 
U ( n )  exp  

2 


Ta nhận đƣợc biểu diễn mới của lý thuyết Dirac mà trong đó

15

(1.44)
(1.45)
(1.46)


 v2 
,
2 
c 

 v 2 n 1 
2 n 1 
c


   (n)  O 

 ( n)  O 

(1.47)

Bỏ qua các toán tử lẻ, phần chẵn của dẫn đến lý thuyết một hạt chính xác cho hạt và



2 n 1

phản hạt và đúng cho bậc O v

c 2 n 1

.

-Electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện. Để kết thúc ta trở lại phƣơng trình
(2.98). Phƣơng trình này có thể dẫn đến dạng quen thuộc bằng việc xem xét trƣờng hợp
electron trong thế xuyên tâm tĩnh điện
eA0  V  x   V  r  , A  0

(1.48)

Trong trƣờng hợp này ta có
B  0,

E  A0  

1 x V
,
e r r

 E  0

(1.49)

Giới hạn hai thành phần trên của spinor , toán tử Hamiltonian tƣơng ứng
H u  m0c 2 

p2

p4
2
 1 V
 V  r   3 2  2 2  2V 
L
2m0
8m0 c 8m0 c
4m02c 2 r r

(1.50)

Thành phần thứ tƣ ở vế phải là bổ chính tƣơng đối tính cho thế năng. Thành phần thứ
năm là bổ chính tƣơng đối tính cho trƣờng xuyên tâm mà ta biết Darwin term và có thể
gia tốc chuyển động lắc của electron. Thành phần cuối cùng chứa năng lƣợng tƣơng tác
giữa spin của electron (hoặc là mômen từ ) và mômen góc quỹ đạo. Nhận thấy rằng
trong thành phần này đƣợc lấy một cách chính xác bằng thừa số 4 trong mẫu số1. Trong
trƣờng hợp của thế Coulomb

V  r   Ze2 / r hai thành phần cuối cùng là

 Ze2 2
2m02c 2

  r  và

Ze2  
L
4m02c 2 r 3

(1.51)

Ở đây số hạng Dawin chỉ ảnh hƣởng tới các s-trạng thái.

Trong cơ học lƣợng tử phi tƣơng đối tính số hạng này đƣợc giải thích cổ điển nhƣ sau:
Ltrong hệ nghỉ của lực trung tâm sinh ra từ trƣờng ở vị trí của electron và tƣơng tác với spin
của nó. Tuy nhiên, khi chuyển động không đồng nhất của electron không phải lý do xem xét
thì số hạng này quá lớn và lớn hơn 2.
1

16


Tổng kết
- Bậc thấp nhất (giới hạn phi tƣơng đối tính) phép gần đúng phi tƣơng đối tính của
phƣơng trình Dirac sẽ dẫn đến việc chéo hóa toán tử Hamilton tự liên hợp . Từ đây suy
ra hai lý thuyết một hạt để cho hạt và phản hạt, mà trƣớc đây nó đồng nhất cho phƣơng
trình phi tƣơng đối tính Pauli cho hạt có spin bằng ½.
- Nói chung khác với trƣờng hợp tự do, toán tử Dirac –Hamilton là toán tử chéo chỉ là
gần đúng. Điều này có thể đạt đƣợc bằng cách sử dụng phƣơng pháp Fouldy –
Wouthuyen mà trong đó toán tử Hamilton đƣợc chéo hóa thành công ở các bậc cao hơn

 v / c  . Đối với phần chẵn của toán tử đƣợc chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên hợp là
đúng đắn đến bậc đƣợc nghiên cứu  v / c  , mà từ đây ta thu đƣợc lý thuyết một hạt để
cho hạt và cho phản hạt.
- Phép biến đổi Fouldy –Wouthuyen, tƣơng tự nhƣ phép biến đổi Feshbach-Villars, là
phép biến đổi không định xứ và bị “loang ra ” của biến số tọa độ một độ dài có thể so
sánh với bƣớc sóng Compton.
- Phƣơng pháp Fouldy – Wouthuyen chỉ thích hợp cho các trƣờng hợp, thứ nhất phép
khai triển  v / c  là hội tụ; thứ hai là cách giải thích một hạt đƣợc chấp nhận.
Hamiltonian của phƣơng trình có dạng

H 

 2
1 

p  eA  e   H
2m








 H mô tả tƣơng tác của moment từ riêng  với từ trƣờng ngoai H . Hạt có spin bằng

½ có điện tích e, sẽ có mômen từ




  0 

e  e 

S
2mc
mc

- Mômen từ dị thƣờng trong QED và giản đồ Feynman
Theo lý thuyết Dirac mômen từ của electron có dạng
0 

e
- magneton Bohr
2mc

17


Theo thực nghiệm phát hiện mômen từ dị thƣờng của electron
  0 1  a 
0 a - gọi là phần dị thƣờng – không thể giải thích trong cơ học lƣợng tử, vì chân

không ở đây là chân không toán học - không có gì. Trong QED ta xem xét dƣới đây
là chân không vật lý - chân không có hạt ảo và kể thêm tƣơng tác của hạt với chân
không vật lý.

18


CHƢƠNG 2 - CÁC GIẢN ĐỒ FEYNMAN CHO ĐÓNG GÓP VÀO MÔMEN TỪ
DỊ THƢỜNG CỦA ELECTRON
Xuất phát từ Lagrance tƣơng tác của electron với trƣờng ngoài ta viết S-matrận
tƣơng ứng ở mục 2.1 cho bài toán tán xạ electron với trƣờng điện từ ngoài Aext  x  .
Trong mục 2.2 ta phân tích các giản đồ Feynman trong gần đúng một vòng cho đóng
góp vào mômet từ dị thƣờng của electron. Mục 2.3 dành cho việc thảo luận ý nghĩa vật
lý của hệ số dạng điện từ, đặc biệt trong gần đúng phi tƣơng đối tính
2.1 S-ma trận

Chúng ta xem xét quá trình tán xạ electron với trƣờng ngoài. Nếu trƣờng ngoài là
rất yếu, ta xem xét những bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, nhƣng về nguyên tắc
ta có thể xem xét bổ chính ở tất cả các bậc. Quá trình tán xạ đƣợc mô tả bằng S-ma
trận /1/





S  T exp  Lint  x  d 4 x ;







Lint  x   ieN   Aext ;











S0  1; S1  T  Lint  x  d 4 x  T ie  N   Aext  x  d 4 x ;

(2.1)

trong đó T là T-tích, N là N-tích.
Sử dụng khai triển hàm mũ
eZ  1  Z 


Z2 Z3
Zn

 ...   ,
2! 3!
n 0 n !

Z  ie  N    A

ext

 x d x

(2.2)

4

Yếu tố ma trận của quá trình tán xạ ở trƣờng ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến
có thể viết:

p2 | S | p1  p2 | S0 | p1  p2 | S1 | p1  p2 | S2 | p1  ...

19






 p2 | p1  ieT p2 |  N   Aext  x  d 4 x | p1  .........

(2.3)

trong đó p1 , p2 là các xung lƣợng ở trạng thái đầu và trạng thái cuối của electron.
Quá trình tán xạ này có thể mô tả bởi các giản đồ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến. Giản đồ Feynman trong gần đúng bậc thấp nhất (a) theo điện tích e,
và các giản đồ Feynman tiếp theo mô tả các bậc cao (bổ chính) cho quá trình tán xạ này
(xem Hình 1).

(a)

(b1)

(b3)

(b2)

(b4)

Hình 1. Các giản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết
nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng
đƣờng electron

trƣờng điện từ ngoài

20


đƣờng photon
Giải thích hình vẽ 1: Giản đồ (1a) electron có xung lƣợng p1 bay vào vùng có
trƣờng điện từ bị tán xạ bay ra với xung lƣợng p2 ở gần đúng bậc thấp nhất. Các giản
đồ mô tả các bổ chính bậc cao cho tƣơng tác của electron với chân không vật lý- chân
không của trƣờng điện từ và chân không của trƣờng electron-pozitron.
Trong bản luận văn này chúng ta chỉ giới hạn các giản đồ Feynman (a) và (b1) cho
đóng góp vào mômen từ dị thƣờng của electron, còn ba giản đồ còn lại (b2), (b3), (b4)
liên quan đến việc chuẩn hóa khối lƣợng của electron, chuẩn hóa điện tích của electron,
các hàm sóng của electron và hàm sóng của trƣờng điện từ ngoài. Ngoài ra ta còn bỏ
qua phân kỳ hồng ngoại liên quan đến khối lƣợng photon, và chỉ giữ lại phần đóng góp
chủ yếu nhất liên quan đến giản đồ đỉnh Feynman (b1) cho mômen từ dị thƣờng của
electron
Yếu tố ma trận trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn, tƣơng ứng với giản
đồ Hình 1.(a) theo quy tắc Feynman có thể viết nhƣ sau:


p2 | S1 | p1  e0  d 4 xb p2 | N  ( x)  ( x)  Aext ( x) | p1 .

(2.4)



Vì trƣờng ngoài

Aext ( x) không phải là toán tử mà là hàm số thông thƣờng nên ta có

thể bỏ ra ngoài N-tích và p2 | ... | p1 , đồng thời khai triển các toán tử  ( x) và  ( x)
thành các toán tử sinh hủy hạt.

N  ( x)  ( x)   N  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  ,
với:

 (  )  x  :toán tử hủy e  ;  (  )  x  :toán tử hủy e  ;

21


 ( )  x  :toán tử sinh e  ;

Vì



 ( )  x  :toán tử sinh e  .



N  (  )  (  )   N          







       

 (  )

()



nên N  ( x)  ( x)  N  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  )  (  ) 
                            .

(2.5)

Xét yếu tố ma trận:

 p2 | N    | p1   0 | c  p2  N    c   p1  | 0

| p2   c   p2  | 0

| p  c  p  | 0;

 0 | c  p2         c  p1  | 0   0 | c  p2        c  p1  | 0

0 | c  p2      c  p1  | 0  0 | c  p2    c   p1  | 0

c  ( p1 ) từ phải sang trái và chuyển các toán tử

Khi chuyển các toán tử sinh electron
hủy electron

(2.6a)

c( p2 ) từ trái sang phải thì các số hạng thứ nhất, thứ ba và thứ tƣ của

(2.6) bị triệt tiêu chỉ còn số hạng thứ hai cho đóng góp vào yếu tố ma trận.

 p2 | N    | p1   0 | c  p2  (  )  (  )c   p1  | 0
  p2 |  (  )  (  ) | p1    p2 |  (  )  x  | 0  0 |  ( )  x  | p1 

1






2

3
2



 
m
p20

1
2

u  p2  e

ip x

2

  u  p e

  1 3 pm
10

2
 2 



22

1
2

1

ip x

1




2
 1 3 pmp
 2 
10 20





 u  p  u  p  e
1
2

2



i p  p  x


1 .

2

1

(2.6b)

Thay (2.6b) vào (2.4) ta đƣợc yếu tố ma trận cho quá trình tán xạ đàn tính của
electron ở trƣờng điện từ ngoài trong bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn :

1

m2 2
p2 | S1 | p1  e0  p 0p  u  p2    u  p1  Aext  p2  p1  ,
 10 20 

(2.7)

trong đó: u  p1  : spinor của electron ở trạng thái đầu ; u  p2   u     p2  . 4 ;
Aext  p2  p1    e

i p  p  x


2

1

Aext  x  d 4 x

là thế điện từ ngoài.
Chú ý, ta có thể viết yếu tố ma trận (2.7) dƣới dạng tƣơng tự:

p2 S1 p1    p20  p10  R fi

(2.8)

trong đó R fi đƣợc xác định bằng công thức:
1/ 2

 m2 
R fi  2 e0 . 0  u  p2    u  p1  Aext  p2  p1 
 p10 p20 

(2.9)

và đƣợc gọi là biên độ tán xạ của electron trong trƣờng điện từ ngoài tĩnh (trƣờng thế
Coulomb) trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn theo electron.
2.2 Các giản đồ Feynman cho đóng góp vào mômen từ dị thƣờng
Để kể thêm các bổ chính bậc cao, thì chúng ta cần thay u2  u1 bằng đại lƣợng tổng
quát hơn mà nó tƣơng ứng với các giản đồ Feynman mà ta gọi là các giản đồ đỉnh.

23