Ứng dụng tích phân trong tính thể tích

Kiểm tra bài cũ:

1. Nêu các cơng thức tính diện tích hình phẳng ?
Đáp án:
- CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x)
b
liên tục, trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b là:

S =∫ f ( x ) dx
a

- CT tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số
y=f(x) và y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và các đường thẳng x=a,
b
x=b là
S = ∫ f ( x) − g ( x) dx
a

2. Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy
bằng B và chiều cao bằng h?
V=Bh
3. Hãy nhắc lại cơng thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy bằng
B và chiều cao bằng h?
1
V = Bh
3


II. TÍNH THỂ TÍCH
1. Thể tích của vật thể

b

V = ∫ S ( x ) dx
a

(1)

γ

α

β

S(x)
S(x)

x
O

a

x

b


Ví dụ 1

Tính thể tích khối lăng trụ, biết diện tích đáy
bằng B và chiều cao bằng h.

Giải:
Chọn trục Ox song song với
đường cao của khối lăng trụ, còn
hai đáy nằm trong hai mặt phẳng
vng góc với Ox tại x=0 và x=h.
Vậy một mặt phẳng tuỳ ý vng
góc với trục Ox, cắt lăng trụ theo
thiết diện có diện tích khơng đổi
S(x)=B; (0< x
h

V = ∫ S ( x)dx = ∫ Bx
0

0

h

x

Áp dụng CT (1) ta có:
h

x

h

0

= Bh

O

S(x)=B


2. Thể tích khối chóp và khối chóp cụt
a) Cho khối chóp có diện tích đáy bằng B và chiều
cao bằng h. Tính thể tích khối chóp đó.
O

Ta có:
b

V = ∫ S ( x ) dx
Xét phép:
x
h
O

S(x)

α

x

a

x2
V : S → S ( x) ⇒ S ( x) = 2 S
h
h
S 2
Sh
⇒ V = 2 ∫ x dx =
h 0
3

h

B

A

x


b) Từ cơng thức và cách tính thể tích khối
chóp, hãy xác định cơng thức tính thể tích
khối chóp cụt tạo bởi khối chóp đỉnh S có diện
tích hai đáy lần lượt là B, B và chiều cao bằng h
S O

Ta có: OM=a; ON=b (a,

b

x2
B
V = ∫ B 2 dx = 2 (b 3 −a 3 )
b
3b
a
(b −a ) ( a 2 +ab +b 2 )
=B
.
3
b2
h
⇒ = ( B + BB ' +B ' )
V
3

B

B

a
M

b

N

x

3. Thể tích khối trịn xoay:
a). Giả sử hình giới hạn bởi các
đường y = f(x), x = a, x = b, y = 0
quay quanh trục Ox
Tạo thành một vật thể trịn xoay T.
•Thiết diện của vật thể T, với mp
vng góc với Ox tại điểm x, là
một hình trịn bán kính y = f(x)
Diện tích thiết diện: S(x) = πy2
Thể tích V của vật thể:

b

V = π∫ y dx
a

2


Ví dụ2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm
y =các đường thẳng x=1, x=2 và
x2
số
trục hồnh. Tính thể tích khối trịn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng đó quanh trục
hoành.

y

31π

V = π ∫ x dx =
5
1
2

Đáp số

Bạn giỏi
quá!

4

O

1 2

x


Ví dụ 3:
Cho hình phẳng A giới hạn bởi các
đường y=cosx, y=0, x=0 và x=Π/4. tính
thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi
quay hình A quanh trục hồnh
Đáp số

Đúng rồi!

π
4

π (π + 2)
V = π ∫ cos xdx =
8
0
2


Ví dụ 4:
Tính thể tích của phần vật thể giới hạn bởi
hai mặt phẳng x=0 và x=3, biết rằng thiết
diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng
góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ x
(0thước là x và 2 9 − x 2
Đáp số

3

V = ∫ 2 x 9 − x 2 dx =
0

Bạn giỏi
quá!


11