Ý ngĩa hình học của đạo hàm các dạng bài tập

Ôn thi tốt nghiệp THPT và Đ.H.C.Đ-2010 VB Ra3105-Nghĩa Hưng C
Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM
TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ.
SỰ TIẾP XÚC CỦA CÁC ĐỒ THỊ
A. Lý thuyết:
1) ý nghĩa hình học của đạo hàm:
Cho (C) là đ/t của h/s y= f(x), a là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x
0
;y
0
) thì ta có:
a = f'(x
0
)
2) Khi đó tiếp tuyến nêu trên có p/t:
y = f'(x
0
).(x-x
0
) + y
0
(*) (Mt)
B.Các dạng bài tập áp dụng phần lí thuyết trên
a).Dạng 1: Viết p/t của tt thỏa đ/k (
a
) của bài toán:
Cách giải:
+ b1. Viết p/t (*) với lời giải thích M(x
0
;y
0

) là tiếp điểm của tt
+ b2. từ đ/k (
a
) của b.t đối với tt ta tìm ba đại lượng
x
0
: hoành độ của tiếp điểm.
y
0
là

tung độ của tiếp điểm
f'(x
0
) là hệ số góc của tt.
+b3. Thay ba giá trị đó vào p/t (*) ta được tt thỏa ycbt.
Chú ý:
*)Nếu từ đ/k (
a
) => hệ số góc của tt bằng a => f'(x
0
) = a => x
0
=> y
0
= f(x
0
)
=> pttt
*)Nếu từ đ/k (

a
) => tt đi qua điểm A(x
1
;y
1
) => Tọa độ của A thỏa pt (*)
=> y
1
= f'(x
0
).(x
1
-x
0
) + f(x
0
)
giải pt này với ẩn là x
0
từ đó tìm các giá trị f'(x
0
) & f(x
0
) ta có p/t của tt.
b). Dạng 2: Tìm số tt thỏa đ/k (
a
) của bài toán.
Cách giải : Tương tự như bt ở dạng 1 đến b2 số nghiệm x
0
để tt thoả đ/k (

a
) chính là số tt thỏa y/c bt.
c) Dạng 3 : Tìm điểm A thuộc đường (G) sao cho từ A có thể kẻ được đúng k tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Cách giải:
+) b1: Lấy điểm A(x
1
;y
1
)=A(x
1
;g(x
1
)) thuộc đường (G) .
+) B2: tt Mt của đ/t (C) đi qua A <=> p/t: g(x
1
) = f'(x
0
).(x
1
-x
0
) + y
0
(2)
+) Ycbt <=> p/t (2) có k nghiệm, tìm x
1
để yc đó thỏa ta có điểm A cần tìm.
d) Dạng 4; Tìm tham số m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số y = f(x,m) tại điểm có hoành độ x
0
thỏa

một điều kiện
a
nào đó.
C.Một số bài tập rèn luyện
Bài 1 Cho (C) là đ/t h/s y = x
3
- 3

x
2
+ 2.
1) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) TT tại các giao điểm của (C) và Ox.
b) TT tại giao điểm của (C) và Oy.
c) TT tại các giao điểm của (C) và đường thẳng x= 1.
d) TT tại các giao điểm của (C) và đường thẳng y = 2.
e) TT tại điểm có hệ số góc bé nhất.
Ôn thi tốt nghiệp THPT và Đ.H.C.Đ-2010 VB Ra3105-Nghĩa Hưng C
2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) TT có h.s.g.bằng 9
b) TT song song với đ/t y = -3x + 3
c) TT song song với đ/t y = -3x +43
d) TT vuông góc với đường thẳng y = -
9
1
x + 9.
e) TT tạo với chiều dương Ox góc 45
0.
.
.

3) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:.
a) TT đi qua điểm A(0;2).
b) TT đi qua điểm B(1/3;2).
c) TT đi qua điểm C(3;2).
Bài 2: Cho (C) là đ/t h/s y =
x
x
1
1++
.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong các trường hợp sau:
a) TT tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) TT tại điểm có tung độ bằng 3.
b) TT song song với đ/t y = x + 3.
c) TT song song với đ/t y =
4
3
x + 4.
d) TT vuông góc với đường thẳng y =
4
8
9
+
−
x
.
Bài 3: Cho (C) là đ/t h/s y =
x
1
và (d) là đường thẳng y = ax + b.

a) Tìm đ/k của a và b để (d) tiếp xúc (C)
b) Giả sử (d) tiếp xúc (C) và cắt Ox và Oy lần lượt tại A và B
+) CMR diện tích tam giác OAB = const.
+) Tiếp điểm là trung điểm của đoạn thẳng AB.
+) Tìm a và b để k/c từ O đến AB đạt max .
Bài 4: Cho (Cm) là đồ thị của h/s y =
mx
mxm
+
−+ )13(
.
a) Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox
song song với đ/t y = -x - 5.
b) Trong trường hợp m = 2, hãy viết pt của tt của đ/t h/s tạo với trục Ox
góc 45
0
Bài 5 Cho (C) là đ/t h/s y = x
3
- 3

x
2
+ 2.
1) Tìm số tt của (C) trong các t/h sau:
a) TT đi qua điểm I(0;2).
b) TT đi qua điểm J(1;0).
c) TT đi qua điểm K(5/3;-2)
2) Tìm số tt của (C) trong các t/h sau:
a) TT có h.s.g bằng 9.
b) TT song song với đ/t y = -2 .

c) TT vuông góc với đ/t y = 3x + 5.
3) Tìm trên đ/t y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được đúng hai tt của (C)
4) Tìm trên đ/t y = -3x+ 3 các điểm mà từ đó kẻ được đúng một tt của đ.t(C).
5) Tìm trên đ/t (C) các điểm mà từ đó kẻ được đúng một tt của đ.t (C).
6) Cho A, B,C là 3 điểm thẳng hàng trên ( C) sao cho các tiếp tuyến của (C) lần lượt cắt (C) tại các
điểm A’, B’, C’, chứng minh rằng các điểm A’, B’, C’ cũng thẳng hàng
Ôn thi tốt nghiệp THPT và Đ.H.C.Đ-2010 VB Ra3105-Nghĩa Hưng C
Bài 6: Tìm trên đ/t x = 3 các điểm kẻ được tt đến đ/t của h/s y =
2
12
−
+
x
x
, từ giao điểm của hai đường
tiệm cận của đồ thị của hàm số này kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đt hàm số.
Bài 7: Tìm trên đ/t y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng một tt đến đ/thị của h/s
y =
1
3
−
+
x
x
.
Bài 8: Chứng minh rằng từ điểmA(1;-1) kẻ được hai tt vuông góc với nhau đến
đ/thị của h/s y =
1
32
2

−
+−
x
xx
.
Bài 9: Cho họ đồ thị (Cm) y =
1
2
2
+
++
x
mmxx
và điểm A(0;1), tìm m để từ A ta có một trong các đ/k sau:
a) Không kẻ được tiếp tuyến đến (Cm).
b) Kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (Cm).
c) Kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (Cm).
d) Kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm).
e) Kẻ được hai tiếp tuyến đến (Cm) và chúng vuông góc với nhau.
g) Kẻ được ba tiếp tuyến đến (Cm).
Bài 10: Tìm trên trục Oy các điểm kẻ được ít nhất một tt đến đ/thị của h/s y =
1
1
2
−
+−
x
xx
.
Bài 11Tìm trên trục Ox các điểm kẻ được ít nhất đúng một tt đến đ/thị của h/s

y = .
1
1
2
−
−+
x
xx
======================================
Một số bài toán về sự tiếp xúc của hai đồ thị của hai hàm số.
Bài 12 : Cho hàm số có đồ thị
Tìm để tiếp xúc với Parabol . Tìm tọa độ điểm tiếp xúc của và .
Bài 13: Cho đường cong
Xác định a để đường cong đó tiếp xúc với đường
Bài 14: Cho hàm số với m là tham số.
Tìm những giá trị của m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành.
Bài 15: Cho hàm số
Chứng minh rằng mọi đường cong của họ đều tiếp xúc với nhau.
Bài 16: Cho hàm số :
Ôn thi tốt nghiệp THPT và Đ.H.C.Đ-2010 VB Ra3105-Nghĩa Hưng C
a) Khảo sát hàm số với m=1.
b) Chứng minh rằng với mọi m khác 0 đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với 1 đường thẳng cố định
Bài 17: Cho hàm số: Tìm a để đường thẳng (d): tiếp xúc
với đồ thị hàm số đã cho
Bài 18: Cho hàm số : y = .
a.Xác định a để đường tiệm cận xiên của đồ thị tiếp xúc với parabol y = .
b. Tìm quỹ tích giao điểm của hai đường tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi a thay đổi .
Bài 19: Cho hàm số (C) : y = .
a. Khảo sát hàm số khi m = 0 . Chứng tỏ rằng giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng .
b. Tìm giá trị của a để hàm số (C) tiếp xúc với parabol : , với m = 0 .

Bài 20: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho (C) : y = và (d) là đường thẳng có phương trình y = ax
+ b .
a. Tìm điều kiện của a , b để (d) tiếp xúc với (C) .
b. Giả sử (d) tiếp xúc với (C) tại I . Gọi M và N theo thứ tự là giao điểm của (d) với trục tung và với
đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Chứng minh I là trung điểm của đoạn MN .
Bài 21: Cho hàm số : y =
a. Khảo sát khi m = 1 .
b. Trong trường hợp tổng quát , chứng minh rằng với mọi giá trị của m # 0 , tiệm cận xiên của đồ thị hàm
số luôn tiếp xúc với một parabol cố định .
Bài 22: Cho hàm số
Chứng minh rằng với mọi , đồ thị hàm số luôn luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định