Các bài toán về phép đếm (Bài tập và hướng dẫn giải)

TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 11 tháng 04 năm 2010
BTVN NGÀY 11-04
Các bài toán về phép đếm
Bài 1:
Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6
chữ số và thõa mãn điều kiện: Sáu chữ số của mỗi số là khác nhau và tổng của 3
chữ số đầu kém tổng của 3 chữ số sau là 1 đơn vị?
Bài 2:
Từ 9 số 0,1,2,…,8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm
7 chữ số khác nhau.
Bài 3:
Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ ( các bông
hồng này xem như đôi một khác nhau), người ta muốn chọn ra 1 bó hoa gồm 7
bông:
a) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có đúng 1 bông đỏ.
b) Có mấy cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông vàng và ít nhất
3 bông đỏ?
Bài 4:
Có 12 giống cây 3 loại: Xoài, mít, ổi .Trong đó có 6 xoài, 4 mít, 2 ổi. Chọn
ra 6 giống để trồng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số cậy mít nhiều hơn số cây
ổi?
Bài 5:
Một đội văn nghệ có 15 người gồm: 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách lập 1 đội văn nghệ gồm 8 người, sao cho có ít nhất 3 nữ?
Bài 6:
Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số chia hết cho 9.
Bài 7:
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số. Sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ.
Bài 8:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010
Một tổ học sinh có 20 em, trong đó 8 em chỉ biết tiếng Anh, 7 em chỉ biết
tiếng Pháp, 5 em chỉ biết tiếng Đức. Cần lập 1 nhóm đi thực tế gồm 3 em biết
tiếng Anh, 4 em biết tiếng Pháp và 2 em biết tiếng Đức. Hỏi có bao nhiêu cách
lập nhóm?
Bài 9:
Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau, người ta muốn chọn
từ đó ra 3 tem thư, 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy vào 3 bì thư đã chọn ( Mỗi bì thư
chỉ dán 1 tem). Có bao nhiêu cách làm như vậy?
Bài 10:
Có nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số trong đó có 2 chữ số kề nhau phải khác
nhau?

………………….Hết………………

BT Viên môn Toán hocmai.vn
Trịnh Hào Quang
Page 2 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010
HDG CÁC BTVN
• BTVN NGÀY 08-04
Bài 1 : Chứng minh rằng với
, ;2k n k n
∈ ≤ ≤
¥

luôn có:

1 2 3 4
4
4 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
− − − −
+
+ + + + =
Giải:

( ) ( )
( )
1 1 2 2 3 3 4
1 2 3 1 1 2 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 1 1 2
2 2 2 2 2 2 2 3 3
ó : 3 3
3 3 2
2
k k k k k k k k
n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c VT C C C C C C C C

C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C
− − − − − − −
− − − − − − − −
+ + + + + + + + + +
− − − − − −
+ + + + + + + + +
= + + + + + + +
= + + + = + + + + +
= + + = + + + = +
1
4
k
n
C VP
DPCM
+
= =
⇒
Bài 2 : Chứng minh rằng:
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +

Giải:

( )
1 2 1 1 2 1 2 2
1 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3
1 2 3 1 2 2 3 2 3
1 1 1 1 1 1 1 2 2
ó : 2
3 3 2
2
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k k
n n n n n n n n n n
k k k k k k k k k
n n n n n n n n n
Ta c C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
C C C C C C C C C C
+ + + + + + + +
+ + +
+ + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + + + + + + + +
+ + = + + + = + =
+ + + = + + + + +
= + + = + + + = + =
3
3

1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k
n
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+
+
+ + + + +
+ +
⇒ + + + = +
Bài 3 : Tính giá trị của biểu thức sau:
0 2009 1 2008 2010 2009 0
2010 2010 2010 2009 2010 2010 2010 1
... ...
k k
k
S C C C C C C C C
−
−
= + + + + +
Page 3 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010
Giải:
( )
( )

( ) ( )
( )
2009
2010 2010
2009
0 1 2009 2009 2010
2009 2009 2009 2009
2010 !
2010! 2010! 2010.2009!
ó : .
! 2010 ! (2009 )! ! 2009 ! ! 2009 !
2010
2010 ... ... 2010(1 1) 1005.2
k k
k
k
k
k
Ta c C C
k k k k k k k
C
S C C C C
−
−
−
= = =
− − − −
=
⇒ = + + + + + = + =
Bài 4 : Với n, k là số nguyên dương và

1 k n
≤ ≤
. Chứng minh rằng:

0 1 1 2 2
1 2 0
... ( 1) 0
k k k k n k
n n n n n n n
C C C C C C C C
− − −
− −
− + − + − =

Giải:

( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
!
! ! !
. .
! ! ! ! ! ! ! !
1
0 1 2 2
1 ...
ó: .
.

0 1 1 2 2 2
1 ...
1 2 0
0 1 1 2 2
... ( 1)
1 2 0
n m
k n n
m k m k n k m n m k m n k
Thay x
k
k k
x C C x C x C x
k k k k
m k
Ta c C C
n
k
m k m
C C
n n m
k
k k k k k n k k
C x C C C C x C C x C C x
n n n n n n
n n
k k k k n
C C C C C C C C
n n n n n
n n

−
=
− − − − −
=
⇒
= − ⇒
+ = + + + +
=
−
−
− − −
+ = + + + +
− −
− −
− + − + −
− −
0
k
DPCM
−
= ⇒

• BTVN NGÀY 09-04
Bài 1: Tìm2 số tự nhiên x, y sao cho:

1 1
1
: : 6 :5: 2
y y y
x x x

C C C
+ −
+
=

Giải:
Page 4 of 12
TRUNG TÂM HOCMAI.ONLINE
P.2512 – 34T – Hoàng Đạo Thúy Tel: (094)-2222-408
Hà Nội, ngày 11tháng 04 năm 2010
Điều kiện:
1
1
1 1
0 1
(1)
1
6 5
0 1
1
0 1
(2)
5 2
1 ( 1)! 1 !
(1) . . 5( 1)( 1) 6( )( 1)
6 !( 1)! 5 ( 1)!( 1)!
1 ! 1 !
(2) . . 2( )(
5 ( 1)!( 1)! 2 ( 1)!( 1)!
y y

x x
y y
x x
C C
y x
y
y x
x y
C C
y x
x x
x y x y x y
y x y y x y
x x
x y x
y x y y x y
+
+
+ −

≤ ≤ +

=

≥

 
≤ + ≤ ⇔ ⇔
  
≥ +


 
≤ − ≤
=



+
⇔ = ⇔ + + = − − +
− + + − −
⇔ = ⇔ − −
+ − − − − +
1) 5 ( 1)
5( 1)( 1) 6( )( 1)
5( 1)( 1) 15 ( 1) 1 3
2( )( 1) 5 ( 1)
3 1 ào(4) 2(2 1)(2 ) 5 ( 1) 4(2 1) 5 5
3 8 {(8;3)}
y y y
x y x y x y
x y y y x y
x y x y y y
x y thay v y y y y y y
y x S
+ = +
+ + = − − +

⇔ ⇔ + + = + ⇔ + =

− − + = +


⇒ = − ⇒ − = + ⇔ − = +
⇔ = ⇒ = ⇒ =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:

( )
2 50
,
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
x y
A C

+ =

∈

− =


¥
Giải
Đặt:

2
5 2 80 20

2 50 10
!
20
! 2
( 1) 20
( )!
20 0
!
20
! 2
2
10
( )!
!( )!
5
2
y
x
y
x
a A
a b a
a b b
b C
x
y
x x
x y
x x
x

x y
y
x y
y x y
x
y

=
− = =
 

⇒ ⇒
  
+ = =
=
 



=
=


− =
− 
− − =

 
⇒ ⇒ ⇒ ⇔
   

=
=
=


 
=
−


−

=

⇔

=

Bài 3: Giải bất phương trình:
Page 5 of 12