De thi hoc sinh gioi Qung Binh lop 12 qua cac nam

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2003 - 2004
Đề chính thức Môn : toán (vòng 1)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình :

xlog5)x(2log
23
=+
Câu 2 (2,5 điểm) : Cho x, y, z là ba số thực thoả mãn điều kiện : x
2
+ y
2
+ z
2
= 1 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = xy + yz + 2zx
Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (u
n
) xác định nh sau :
*
2
n
1n1
Nn,1
2
u
u;
3
1
u

==
+
Tìm

n
n
ulim
?
Câu 4 (2,5 điểm) : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a
2
. Dựng về phía
ngoài hình chữ nhật đó một nửa đờng tròn đờng kính AB. Gọi M là một điểm tuỳ ý trên
nửa đờng tròn vừa dựng (M không trùng với A và M cũng không trùng với B). Các đờng
thẳng MD, MC cắt AB tại N, L. Chứng minh rằng :
AL
2
+ BN
2
= AB
2
-1-
Họ và tên :.................................................................
Số BD :.........................................................................
sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2003 - 2004
Đề chính thức Môn : toán (vòng 2)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) : Tính tổng :

=

+
++=
2003
1n
22
1)(n
1
n
1
1S
Câu 2 (2,5 điểm) : Cho p là số nguyên tố và a, b là các số nguyên dơng thoả mãn :

bap
111
+=
Tìm tất cả các giá trị của p để a hoặc b là những số chính phơng ?
Câu 3 (2,5 điểm) : Không dùng máy tính và bảng số, chứng minh bất đẳng thức :
7

3cos
14

2sin
14

sin1
>
Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận
AB = a làm đờng vuông góc chung. Trên ax, By lần lợt lấy các điểm M, N di động sao
cho AM + BN = MN (điểm M không trùng với điểm A và điểm N không trùng với điểm

B). Gọi I là trung điểm của AB và H là hình chiếu vuông góc của I trên MN. Chứng
minh rằng, điểm H luôn luôn nằm trên một cung tròn cố định khi M, N di động theo
quy luật trên.
sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2003 - 2004
-2-
Họ và tên :.....................................................................
Số BD: ............................................................................
Đề dự bị Môn : toán (vòng 1)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) : Giải phơng trình :
xlog)3(xlog
6
xlog
2
6
=+
Câu 2 (2,5 điểm) : Chứng minh bất đẳng thức :
2n,Nn;
13n
1
2n
12n
6
5
4
3
2
1
*

+
<

ìììì

Câu 3 (2,5 điểm) : Cho dãy số (u
n
) có công thức tổng quát nh sau :
4
22
n
n
1)(n3.22.1
u
++++
=

Tính giới hạn :

=
n
n
ulimL
?
Câu 4 (2,5 điểm) : Trong không gian cho hai tia ax, By vuông góc với nhau và nhận
AB = a làm đờng vuông góc chung. Trên ax, By lần lợt lấy các điểm M, N di động sao
cho đoạn MN có độ dài không đổi d.
a/ Chứng minh rằng tổng AM
2

+ BN
2
là một số không đổi và góc giữa AB và MN
cũng không đổi.
b/ Dựng đờng vuông góc chung IJ của AB và MN. Chứng minh rằng độ dài của IJ
tỷ lệ với tích AN.BM .
-3-
Họ và tên :...........................................................
Số BD : .................................................................
sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2003 - 2004
Đề dự bị Môn : toán (vòng 2)
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,5 điểm) : Cho a, b, c [-1 ; 2] và a + b + c = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức : P = a
2
+ b
2
+c
2
Câu 2 (2,5 điểm) : Cho :
0x,a
x
1
x
=+
Tính tổng :
13
13
x

1
xS
+=
Câu 3 (2,5 điểm) : Cho s = a
1
+ a
2
+ ... + a
n
và p =
5
n
5
2
5
1
aaa
+++

.
Chứng minh rằng nếu s chia hết cho 30 thì p cũng chia hết cho 30.
Câu 4 (2,5 điểm) : Cho tam giác đều ABC cạnh a , các nửa đờng thẳng Bx và Cy lần lợt
vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại B, C và ở về cùng một phía đối với mặt phẳng ấy.
Trên Bx và Cy lấy BM = u , CN = v . Gọi P là trung điểm của MN.
a/ Tìm hệ thức liên hệ giữa u và v để tam giác AMN vuông tại M.
b/ Chứng minh rằng khi M, N biến thiên sao cho CN = 2BM thì mặt phẳng
(AMN) luôn luôn cắt mặt phẳng (ABC) theo một đờng thẳng cố định. Xác định đờng
vuông góc chung của giao tuyến cố định này với đờng thẳng Cy .
-4-
Họ và tên :...........................................................

Số BD : .................................................................
sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2004 - 2005
đề chính thức Môn : Toán - vòng 1
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,5 điểm ) : Cho phơng trình : cos2x - (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 (1)
Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x







2
3
;
2

?
Câu 2 ( 2,5 điểm ) : Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz . Trên các tia Sx,
Sy, Sz lần lợt lấy các điểm A, B, C không trùng với S . Gọi H là hình chiếu vuông
góc của S trên mặt phẳng (ABC) và (O; R) là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh rằng, điểm H là trực tâm của tam giác ABC và ta có hệ thức :
OH
2
+ 2.SH
2
= R
2

Câu 3 ( 2,5 điểm ) :
Cho a, b, c là các số thực không nhỏ hơn 2 . Chứng minh bất đẳng thức :

3clogblogalog
2
b)(a
2
a)(c
2
c)(b
++
+++

Câu 4 ( 2,5 điểm ) : Tìm tất cả các cặp số hữu tỷ (x ; y) thoả mãn :
3y3x332
=

sở gd-đt quảng bình kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 12
Năm học : 2004 - 2005
đề chính thức Môn : Toán - vòng 2
-5-
Họ và
tên :................................................................
Số báo
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm ) : Giải hệ phơng trình :

=+
+=++
6yx
232yxyx
22
Câu 2 ( 2,0 điểm ) : Tính giới hạn :

2
0x
x
os3xcosxcos2xc1
limL

=

Câu 3 ( 2,0 điểm ) : Giải bất phơng trình :

( ) ( ) ( )
1322347231526
xxx
<+++
Câu 4 ( 2,0 điểm ) :
Cho 2005 số thực không âm u
1
, u
2
, ... , u

2005
thoả mãn các điều kiện :
a) u
1
= u
2005
= 2005
b)
1n
2
1n
2
n1n
uuuu
+
+=
, với n N và 2 n

2004 .
Hãy xác định u
2003
?

Câu 5 ( 2,0 điểm ) : Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn. Gọi P là một điểm
nằm trên nửa mặt phẳng không chứa A với bờ là đờng thẳng BC .
Chứng minh rằng, nếu PB
2
+ AC
2
= PC

2
+ AB
2
thì AP BC .

-6-
Họ và
tên :................................................................
Số báo