MAT CAU VA MAT TRON XOAY

Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
Mặt nón. Mặt trụ. Mặt cầu
Bài 1: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam giác
vng OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón tròn
xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b)Tính thể tích của khối nón
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OB.AB = 15
π

Tính: AB = 5 (
∨
∆
AOB tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 15
π
+ 9
π

= 24
π
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OB .OA
π
=
2
1
3 4
3
. .π
= 12
π
Bài 2: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * S
xq
=
π
Rl =
π

.OB.SB = 2
π
a
2
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 2
π
a
2
+
π
a
2
= 23
π
a
2
b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1

3
.OB .SOπ
=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a
π
π =

Tính: SO =
2 3
3
2
a
a
=
(vì SO là đường cao của
∆
SAB đều cạnh 2a)
Bài 3: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Email:
- 1 -
2a
A

B
S
3
4
A
B
O
Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vng cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
a
2
2
Tính: SA = a
2

; OA = a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
π
a
2
2
+
π
a
2
= (1 +
2
)
π
a
2

b) V =
2
1
3

R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π
=
3
2
1
3 3
a
.a .a
π
π =
Bài 4: Một hình nón có đường sinh bằng l và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB vng cân tại S
nên
A
∧
=
B
∧
= 45
0
* S
xq

=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
l
.l =
2
2
lπ
Tính: OA =
2
l
(
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
lπ

+
2
2
l
π
=
2
1 1
2
2
l
 
+ π
 ÷
 

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π
=
2 3
1

3 2
2 6 2
l l l
. .
π
π =
Tính: SO =
2
l
(
∨
∆
SOA tại O)
Email:
- 2 -
45
S
B
A
l
45
S
B
A
O
Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
Bài 5: Một hình nón có đường cao bằng a, thiết diện qua trục có góc ở đỉnh bằng 120
0
.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác SAB cân tại S nên
A
∧
=
B
∧
= 30
0
hay
A SO
∧
=
BSO
∧
= 60
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
3a
.2a =
2

2 3a
π
Tính: OA =
3a
; SA = 2a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2 3a
π
+ 3
π
a
2
=
( )
2
2 3 3 a
+ π

b) V =
2

1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π
=
2 3
1
3
3
. a .a aπ = π

Bài 6: Một hình nón có độ dài đường sinh bằng l và góc giữa đường sinh và mặt đáy bằng
α
.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Góc giữa đường sinh và mặt đáy là
A
∧
=
B
∧
=
α
* S

xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
. lcos
α
.l =
2
l cos
π α
Tính: OA = lcos
α
(
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
l cos
π α
+

π
l
2
cos
2
α
=
( )
2
1 cos l cos+ α π α

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π

=
2
1
3
2
.l cos .lsinπ α α
=

3
3
2
l cos sin
π α α
Tính: SO = lsin
α
(
∨
∆
SOA tại O)
Bài 7: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và diện tích xung quanh của mặt nón bằng 2
π
a
2
.
Email:
- 3 -
120
a
S
B
A
O
α
l
S
B
A
O

Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
Tính thể tích của hình nón
HD: * S
xq
=
π
Rl
⇔
π
Rl = 2
π
a
2

⇒
R =
2 2
2 2
2
a a
a
l a
π
= =
π
* Tính: SO =
3a
(
∨

∆
SOA tại O)
* V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π
=
3
2
1 3
3
3 3
a
.a .a
π
π =
Bài 8: Một hình nón có góc ở đỉnh bằng 60
0
và diện tích đáy bằng 9
π
.
Tính thể tích của hình nón
HD: * Thiết diện qua trục là tam giác SAB đều

* S
đáy
=
π
R
2

⇔
9
π
=
π
R
2

⇔
R
2
= 9
⇔
R = 3
* SO =
3 2 3
3 3
2 2
AB R
= =
* V =
2
1

3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π
=
2
1
3 3 3 9 3
3
. .π = π
Bài 9: Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng có cạnh góc vng bằng a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nó
c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60
0
. Tính diện tích của thiết diện này
Email:
- 4 -
2a
S
A
O
60
S
B
A

O
C
M
45
a
S
B
A
O
Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
HD:
a) * Thiết diện qua trục là
∆
SAB
vng cân tại Snên
A
∧
=
B
∧
=45
0

* S
xq
=
π
Rl =
π

.OA.SA =
π
.
2
a
.a =
2
2
a
π

Bài 10: Cho hình nón tròn xoay có đướng cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng
chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích của thiết diện đó
HD:
a) * S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.25.SA = 25
π
1025
(cm
2

)
Tính: SA =
1025
(
∨
∆
SOA tại O)
S
tp
= S
xq
+ S
đáy
= 25
π
1025
+ 625
π

b) V =
2
1
3
R hπ
=
2
1
3
.OA .SO
π

=
2 2
1
25 20
3
. .π
(cm
3
)
c) * Gọi I là trung điểm của AB và kẻ OH
⊥
SI
⇒
OH =
12cm
* S
SAB
=
1
2
.AB.SI =
1
2
.40.25 = 500(cm
2
)
* Tính: SI =
OS.OI
OH
=

20
12
.OI
= 25(cm) (
∨
∆
SOI tại O)
* Tính:
2
1
OI
=
2
1
OH
-
2
1
OS

⇒
OI = 15(cm) (
∨
∆
SOI tại
O)
* Tính: AB = 2AI = 2.20 = 40(cm)
* Tính: AI =
2 2
20OA OI− =

(cm) (
∨
∆
AOI tại I)
Email:
- 5 -
l
h
O
I
H
B
A
S
Cù Xuân Phước THPT Lª Hång Phong Th¸I Nguyªn
Bài tập khối tròn và khốâi cầu
Bài 11: Cắt hình nón đỉnh S bởi mp đi qua trục ta được một
∆
vng cân có cạnh huyền bằng
2a
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
c) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt
phẳng chứa đáy hình nón một góc 60
0
. Tính diện tích tam giác SBC
HD:
a) * Thiết diện qua trục là
∆
SAB vng cân tại S nên

A
∧
=
B
∧
=
45
0
* S
xq
=
π
Rl =
π
.OA.SA =
π
.
2
2
a
.a =
2
2
2
a
π
Tính: OA =
2
AB
=

2
2
a
; Tính: SA = a (
∨
∆
SOA tại O)
* S
tp
= S
xq
+ S
đáy
=
2
2
2
a
π
+
2
2
a
π
=
2
2 1
2
( ) a
+ π

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích của khối trụ
HD:
Email:
- 6 -
C
M
a 2
S
B
A
O