Đại số B1 chương 4

Bài giảng môn học Đại số tuyến tính
Nguyễn Anh Thi
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Tp Hồ Chí Minh

2015


Chöông 4

AÙNH XAÏ TUYEÁN TÍNH


Nội dung

Chương 4: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
4.1 Đònh nghóa và những tính chất căn bản
4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
4.3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính


4.1 Đònh nghóa và những tính chất căn bản
Đònh nghóa
Cho V và W là hai không gian vector trên trường R. Ta nói
f : V → W là một ánh xạ tuyến tính nếu nó thỏa mãn các điều kiện
dưới đây:
i) f(x1 + x2 ) = f(x1 ) + f(x2 ), ∀x1 , x2 ∈ V,
ii) f(αx) = αf(x), ∀α ∈ R, ∀x ∈ V.

Nhận xét
Điều kiện i) và ii) trong đònh nghóa có thể được thay thế
bằng một điều kiện:

f(αx1 + x2 ) = αf(x1 ) + f(x2 ), ∀α ∈ R, ∀u, v ∈ V
Nếu f là một ánh xạ tuyến tính, thì
f(0) = 0.
f(−x) = −f(x), ∀x ∈ V.


Ký hiệu
L(V, W) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ V → W.
Nếu f ∈ L(V, V) thì f được gọi là một toán tử tuyến tính trên
V. Viết tắt f ∈ L(V).

Ví dụ
Các ánh xạ sau đây là ánh xạ tuyến tính
1. f : R → Rn xác đònh bởi
f(x) = (x, 0, . . . , 0);
2. f : R3 → R2 xác đònh bởi
f(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 , x1 − 3x2 );


Đònh lý
Mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W đều hoàn toàn xác đònh bởi ảnh
của các vector của một cơ sở nào đó của V.
Chứng minh Ta xét trường hợp V là không gian vector hữu hạn
chiều. Gỉa sử B = {u1 , u2 , . . . , un } là một cơ sở của V và các vector
f(ui ), ∀i ∈ 1, n hoàn toàn xác đònh trong W. Khi đó ∀x ∈ V, biểu
diễn x một cách duy nhất dưới dạng
x = α1 u1 + α2 u2 + · · · + αn un
ta có f(x) = α1 f(u1 ) + α2 f(u2 ) + · · · + αn f(un ).

Trên tập hợp L(V, W) ta đònh nghóa các phép toán sau đây:
a) Phép cộng: ∀f, g ∈ L(V, W), ∀x ∈ V,
(f + g)(x) = f(x) + g(x).
b) Phép nhân vô hướng: ∀f ∈ L(V, W), ∀x ∈ V, ∀α ∈ R
(αf)(x) = αf(x).

Mệnh đề
L(V, W) với những phép toán vừa đònh nghóa phía trên là một
không gian vector trên trường R.


4.2 Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Đònh nghóa
Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính.
a) Tập hợp Kerf = {x ∈ V|f(x) = 0} được gọi là nhân của ánh xạ f.
b) Tập hợp Imf = {f(x)|x ∈ V} được gọi là ảnh của ánh xạ f.
Nhân và ảnh của f tương ứng là không gian con của V và W.


Ví dụ
Cho f : R3 → R3 được xác đònh bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)
Tìm một cơ sở của Kerf.


Ví dụ
Cho f : R3 → R3 được xác đònh bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z)
Tìm một cơ sở của Kerf.

Gọi u ∈ R3 .
u ∈ Kerf ⇔ f(u) = 0

 x + y − z = 0
2x + 3y − z = 0
⇔

3x + 5y − z = 0
Hệ phương trình có nghiệm (x, y, z) = (2t, −t, t) với t ∈ R.
Nghiệm cơ bản của hệ là u = (2, −1, 1). Vậy Kerf có cơ sở là
{u = (2, −1, 1)}.


Đònh lý
Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính. Khi đó, nếu
S = {u1 , u2 , . . . um }
là tập sinh của V thì
f(S) = {f(u1 ), f(u2 ), . . . , f(um )}
là tập sinh của Imf.


Ví dụ
Cho f : R3 → R3 được xác đònh bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).
Tìm một cơ sở của Imf.


Ví dụ
Cho f : R3 → R3 được xác đònh bởi:
f(x, y, z) = (x + y − z, 2x + 3y − z, 3x + 5y − z).

Tìm một cơ sở của Imf.
Gọi B0 = {e1 , e2 , e3 } là một cơ sở chính tắc của R3 . Ta có
f(e1 ) = (1, 2, 3), f(e2 ) = (1, 3, 5), f(e3 ) = (−1, −1, −1). Ta có Imf
sinh bởi {f(e1 ), f(e2 ), f(e3 )}. Lập ma trận

 



f(e1 )
1
2
3
1 2 3
3
5 → 0 1 2 
A =  f(e2 )  =  1
f(e3 )
−1 −1 −1
0 0 0
Do đó Imf có cơ sở là {v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)}.


Đònh lý
Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector hữu
hạn chiều V vào không gian vector W. Khi đó Imf là không gian
con hữu hạn chiều của V và ta có công thức:
dim V = dim Kerf + dim Imf

4.3 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

Đònh nghóa
Cho V và W là các không gian vector trên trường R. Gọi
B = {u1 , u2 , . . . , un } và C = {v1 , v2 , . . . , vm } lần lượt là các cơ sở
của V và W. Cho f là một ánh xạ tuyến tính từ không gian vector V
vào không gian vector W, f ∈ L(V, W). Đặt
P = ([f(u1 )]C , [f(u2 )]C , . . . , [f(un )]C )
Khi đó ma trận P được gọi là ma trận biểu diễn của ánh xạ f theo
cặp cơ sở B, C, ký hiệu P = [f]B,C hoặc [f]CB .
Nếu f ∈ L(V) thì ma trận [f]B,C được gọi là ma trận biểu diễn toán
tử tuyến tính f, ký hiệu [f]B


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác đònh bởi
f(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , 2x1 + x2 + x3 )
và cặp cơ sở B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)},
C = {v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)}. Tìm [f]B,C


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác đònh bởi
f(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 , 2x1 + x2 + x3 )
và cặp cơ sở B = {u1 = (1, 1, 0), u2 = (0, 1, 2), u3 = (1, 1, 1)},
C = {v1 = (1, 3), v2 = (2, 5)}. Tìm [f]B,C
6
, [f(u2 )]C =
−3
6 11

8
−3 −6 −4

Ta có [f(u1 )]C =
Vậy [f]B,C =

11
−6

, [f(u3 )]C =

8
−4

.


Đònh lý
Cho V, W là các không gian vector với các cơ sở tương ứng là
B = {b1 , b2 , . . . , bn }, C = {c1 , c2 , . . . , cm }. Giả sử f : V → W là
một ánh xạ tuyến tính. Khi đó với mọi vector x ∈ V, ta có
[f(x)]C = [f]B,C [x]B

Hệ quả
Cho V là không gian vector trên trường R và B là một cơ sở trong
V. Giả sử f là một toán tử tuyến tính trong V. Khi đó, với mọi
x ∈ V ta có
[f(x)]B = [f]B [x]B

Ví duï



0
Trong ví duï treân ta laáy x = (1, 2, 3), ta coù [x]B =  1 . Do ñoù
1

[f(x)]C = [f]B,C [x]B =

6 11
8
−3 −6 −4


0
 1 =
1

19
−10


Mệnh đề
Cho V và W là các không gian vector hữu hạn chiều trên trường
R. B, B và C, C tương ứng là các cặp cơ sở trong V và W. Khi đó,
với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta có
[f]B ,C = (C → C )−1 [f]B,C (B → B )

Hệ quả

Cho B và B là hai cơ sở trong không gian vector hữu hạn chiều V
trên trường R. Khi đó với mọi toán tử tuyến tính f ta có
[f]B = (B → B )−1 [f]B (B → B ).


Ví dụ
Trong không gian R3 cho các vector
u1 = (1, 1, 0); u2 = (0, 2, 1); u3 = (2, 3, 1)
và ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 đònh bởi
f(x1 , x2 , x3 ) = (2x1 + x2 − x3 , x1 + 2x2 − x3 , 2x1 − x2 + 3x3 )

a) Chứng minh B = (u1 , u2 , u3 ) là một cơ sở của R3 .
b) Tìm [f]B .


Ví dụ
Trong không gian R3 cho các vector:
u1 = (1, −1, 2); u2 = (3, −1, 4); u3 = (5, −3, 9)
1. Chứng tỏ B = (u1 , u2 , u3 ) là một cơ sở của R3 .
2. Cho f : R3 → R3 là một ánh xạ tuyến tính thỏa


1 0
2
0 
[f]B =  −1 1
2 1 −1
Hãy tìm biểu thức của ánh xạ f.