Lớp các tích phân đặc biệt

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 105
Vấn đề 6: LỚP CÁC TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT

Trong vấn đề này ta đi chứng minh rồi áp dụng một số tính chất cho những lớp tích
phân đặc biệt.

Tính chất 1: Nếu f(x) liên tục và là hàm lẻ trên [–a ; a] thì:
a
a
If(x)dx0.
-
==
ò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx
--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm lẻ Þ f(–t) = –f(t).
Khi đó:
0aa
a00
Jf(t)dtf(t)dtf(x)dx.=--=-=-
òòò

Thay (2) vào (1) ta được I = 0 (đpcm).
Áp dụng:
Ví dụ 1: Tính tích phân:
1/2
1/2
1x
Icosx.lndx.
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+èø
ò

Giải:
Nhận xét rằng: hàm số
1x
f(x)cosx.ln

1x
-
ỉư
=
ç÷
+èø
có:
· Liên tục trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû

·
1x1x
f(x)f(x)cosx.lncos(x).ln
1x1x
--
ỉưỉư
+-=+-
ç÷ç÷
++èøèø


1x1x
lnlncosxln1.cosx0.
1x1x

éù-+
ỉưỉư
=+==
ç÷ç÷
êú
+-èøèø
ëû

f(x)f(x).Þ-=-
Vậy, f(x) là hàm lẻ trên
11
;
22
éù
-
êú
ëû
, do đó theo tính chất 1 ta được I = 0.
Chú ý quan trọng:
1. Khi gặp dạng tích phân trên thông thường học sinh nghó ngay tới phương pháp tích
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 106
phân từng phần, xong đó lại không phải ý kiến hay. Điều đó cho thấy việc nhìn nhận
tính chất cận và đặc tính của hàm số dưới dấu tích phân để từ đó đònh hướng việc lựa
chọn phương pháp giải rất quan trọng.
2. Tuy nhiên với một bài thi thì vì tính chất 1 không được trình bày trong phạm vi kiến
thức của sách giáo khoa do đó các em học sinh lên trình bày như sau:

01/2
1/20

1x1x
Icosx.lndxcosx.lndx
1x1x
-
--
ỉưỉư
=+
ç÷ç÷
++èøèø
òò
. (1)
Xét tính chất
0
1/2
1x
Jcosx.lndx
1x
-
-
ỉư
=
ç÷
+èø
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận:
11
xt.
22

=-Þ= x = 0 Þ t = 0.
Khi đó:

01/21/2
1/200
1t1t1x
Icos(t).lndtcost.lndtcosx.lndx
1t1t1x
+--
ỉưỉưỉư
=--=-=-
ç÷
ç÷ç÷
-++èø
èøèø
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được I = 0.
3. Vậy kể từ đây trở đi chúng ta sẽ đi áp dụng ý tưởng trong phương pháp chứng minh
tính chất để giải ví dụ trong mục áp dụng.

Tính chất 2: Nếu f(x) liên tục và là hàm chẵn trên đoạn [–a ; a] thì:
aa
a0
If(x)dx2f(x)dx.
-
==
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Biến đổi I về dạng:
a0a
aa0
If(x)dxf(x)dxf(x)dx
--
==+
òòò
(1)
Xét tính phân
0
a
Jf(x)dx.
-
=
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = –a Þ t = a; x = 0 Þ t = 0
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f(–t) = f(t)
Khi đó:
0aaa
a000
Jf(t)dtf(t)dtf(t)dtf(x)dx=--===
òòòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được
a
0
I2f(x)dx=
ò

đpcm.
Chú ý quan trọng:
1. Trong phạm vi phổ thông tính chất trên không mang nhiều ý nghóa ứng dụng, do đó
khi gặp các bài toán kiểu này chúng ta tốt nhất cứ xác đònh:
a
a
If(x)dx
-
=
ò

Trần Só Tùng Tích phân
Trang 107
bằng cách thông thường, thí dụ với tích phân:
1
2
1
Ixdx.
-
=
ò

Ta không nên sử dụng phép biến đổi:
1
1
3
2
0
0
2x2

I2xdx.
33
===
ò

bởi khi đó ta nhất thiết cần đi chứng minh lại tính chất 2, điều này khiến bài toán trở
nên cồng kềnh hơn nhiều so với cách làm thông thường, cụ thể:
1
3
1
x2
I.
33
-
==
2. Tuy nhiên không thể phủ nhận sự tiện lợi của nó trong một vài trường hợp rất đặc
biệt.
Tính chất 3: Nếu f(x) liên tục và là chẵn trên R thì :
x
0
f(x)dx
If(x)dxvớiRvàa0.
a1
aa
+
-a
==">
+
òò

PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Biến đổi I về dạng:
0
xxx
0
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
I
a1a1a1
aa
-a-a
==+
+++
òòò

Xét tính phân
0
1
x
f(x)dx
I
a1
-a
=
+
ò

Đặt xtdxdt=-Þ=-
Đổi cận: x = 0 Þ t = 0; x = –a Þ t = a.
Mặt khác vì f(x) là hàm chẵn Þ f)–t) = f(t).
Khi đó:

0
tt
1
ttt
00
f(t)dtaf(t)dtaf(t)dt
I
a1a1a1
aa
-
a
-
===
+++
òòò

Vậy:
tx
txx
0000
af(t)dtf(x)dx(a1)f(x)dx
If(x)dx.
a1a1a1
aaaa
+
====
+++
òòòò

Áp dụng:

Ví dụ 2: Tính tích phân:
1
4
x
1
xdx
I
21
-
=
+
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
01
44
xx
10
xdxxdx
I
2121
-
=+
++
òò
(1)
Xét tích phân
0
4

x
1
xdx
J
21
-
=
+
ò

Đặt x = –t Þ dx = –dt
Đổi cận: x = –1 Þ t = 1, x = 0 Þ t = 0.
Tích phân Trần Só Tùng
Trang 108
Khi đó:
011
44t4x
ttx
100
(t)dtt.2.dtx.2.dx
J
212121
-
-
=-==
+++
òòò
(2)
Thay (2) vào (1) ta được:
1111

4x44x
4
xxx
0000
x.2.dxxdxx(21)dx1
Ixdx.
5
212121
+
=+===
+++
òòòò


Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên 0;
2
p
éù
êú
ëû
thì:
/2/2
00
f(sinx)dxf(cosx)dx.
pp
=
òò

CHỨNG MINH
Đặt txdxdt

2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,
2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
/20/2/2
0/200
f(sinx)dxf(sin(t)dtf(cost)dtf(cosx)dx
2
ppp
p
p
=--==
òòòò
đpcm.
Chú ý quan trọng:
Như vậy việc áp dụng tính chất 4 để tính tích phân:

/2/2
00
If(sinx)dx(hoặcIf(cosx)dx).
pp
==
òò

thường được thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Bằng phép đổi biến tx
2
p
=- như trong phần chứng minh tính chất,
ta thu được
/2
0
If(cosx)dx.
p
=
ò

Bước 2: Đi xác đònh kI (nó được phân tích
/2/2
00
kIf(sinx)dxf(cosx)dx)),
pp
=a+b
òò

thường là:
/2/2/2
000
2If(sinx)dxf(cosx)dx[f(sinx)f(cosx)]dx
ppp
=+=+
òòò
.

Từ đó suy ra giá trò của I.
Áp dụng:
Ví dụ 3: Tính tích phân:
/2
n
nn
0
cosxdx
I
cosxsinx
p
=
+
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,
2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=
Trần Só Tùng Tích phân
Trang 109
Khi đó:

n
0/2/2
nn
nnnn
nn
/200
cost(dt)
sintdtsinx
2
Idx.
costsintcosxsinx
costsint
22
pp
p
p
ỉư
--
ç÷
èø
===
pp
ỉưỉư++
-+-
ç÷ç÷
èøèø
òòò

Do đó:
/2/2

nn
nn
00
cosxsinx
2IdxdxI.
24
cosxsinx
pp
+pp
===Þ=
+
òò

Tính chất 5: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = f(x) thì
bb
aa
ab
Ixf(x)dxf(x)dx.
2
+
==
òò

CHỨNG MINH
Đặt
xabtdxdt=+-Þ=-

Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi đó:
ab

ba
I(abt)f(abt)(dt)(abt)f(t)dt=+-+---+-
òò


bbbbb
aaaaa
(ab)f(t)dttf(t)dt(ab)f(t)dtxf(x)dx(ab)f(t)dtI=+-=+-=+-
òòòòò


bb
aa
ab
2I(ab)f(t)dtIf(x)dx.
2
+
Û=+Û=
òò

Hệ quả 1: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì: Ixf(sinx)dxf(sinx)dx
2
p-ap-a
aa
p
==
òò

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:

Ví dụ 4: Tính tích phân:
2
0
xsinxdx
I.
4cosx
p
=
-
ò

Giải:
Biến đổi I về dạng:
22
000
xsinxdxxsinxdx
Ixf(sinx)dx.
4(1sinx)3sinx
ppp
===
--+
òòò

Đặt xtdxdt=p-Þ=-
Đổi cận: x = p Þ t = 0; x = 0 Þ t = p.
Khi đó:
0
2222
000
(t)sin(t)dt(t)sintdtsintdttsintdt

I
4cos(t)4cost4cost4cost
ppp
p
p-p-p-p
=-==-
-p----
òòòò


222
000
d(cost)d(cost)d(cost)
I2I
4cost4costcost4
ppp
=-p-Û=-p=p
---
òòò


2
0
0
d(cost)1cost2ln9
I.ln.
224cost28
cost4
p
p

pp-p
Û===
+
-
ò

Tích phân Trần Só Tùng
Trang 110
Hệ quả 2: Nếu f(x) liên tục trên [0 ; 1] thì:
22
Ixf(cosx)dxf(cosx)dx.
p-ap-a
aa
==p
òò

Hướng dẫn chứng minh: Đặt x = 2p – t Þ dx = –dt.
Áp dụng:
Ví dụ 5: Tính tích phân:
2
3
0
Ix.cosxdx
p
=
ò

Giải:
Đặt x2tdxdt=p-Þ=-
Đổi cận: x = 2p Þ t = 0; x = 0 Þ t = 2p.

Khi đó:
02
33
20
I(2t).cos(2t)(dt)(2t).costdt
p
p
=p-p--=p-
òò


222
33
000
2costdttcostdt(cos3t3cost)dtI
2
ppp
p
=p-=+-
òòò


2
0
1
2Isin3t3sint0I0.
23
p
p
ỉư

Û=+=Û=
ç÷
èø

Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục và f(a + b – x) = –f(x) thì
b
a
If(x)dx0.==
ò

CHỨNG MINH
Đặt
xabtdxdt=+-Þ=-

Đổi cận: x = a Þ t = b; x = b Þ t = a
Khi đó:
abb
baa
If(abt)(dt)f(t)dtf(x)dxI2I0I0.=+--=-=-=-Û=Û=
òòò

Áp dụng:
Ví dụ 6: (CĐSPKT_2000) Tính tích phân:
/2
0
1sinx
Ilndx.
1cosx
p
+

ỉư
=
ç÷
+
èø
ò

Giải:
Đặt txdxdt
2
p
=-Þ=-
Đổi cận: x0t,
2
p
=Þ= xt0.
2
p
=Þ=
Khi đó:
0/2
/200
1sint
1cost1sint
2
Iln(dt)lndtlndt
1sint1cost
1cost
2
pp

p
ỉưp
ỉư
+-
ç÷
ç÷
++
ỉưỉư
èø
=-==-
ç÷
ç÷ç÷
p
++ỉư
èøèø
ç÷
+-
ç÷
ç÷
èø
èø
òòò


/2
0
1sinx
lndxI2I0I0.
1cosx
p

+
ỉư
=-=-Û=Û=
ç÷
+
èø
ò