Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Dương Phước Sang - 33 - THPT Chu Văn An
Phn
PhnPhn
Phn

III. NGUYÊN HÀM
III. NGUYÊN HÀM III. NGUYÊN HÀM
III. NGUYÊN HÀM -
--
-

TÍCH PHÂN
TÍCH PHÂNTÍCH PHÂN
TÍCH PHÂN

VÀ (NG D*NG
VÀ (NG D*NGVÀ (NG D*NG
VÀ (NG D*NG



I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng
1
1
2 2
1. .
( )
1
. ( ) .
1 1

1 1 ln
. ln .
1 1 2
. 2 .
1 1 1 1 1
. .
( )
. .
ax b
x x ax b
dx x C a dx ax C
ax b
x
x dx C ax b dx C
a
ax b
dx x C dx C
x ax b a
ax b
dx x C dx C
a
x ax b
dx C dx C
x a ax b
x ax b
e
e dx e C e dx
a
α
α

α α
α α
+
+
+
+
= + = +
+
= + + = ⋅ +
+ +
+
= + = +
+
+
= + = +
+
= − + = − ⋅ +
+
+
= + =
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
i i
i i
i i
i i

i i
i i
2 2
2 2
sin( )
cos . sin cos( ).
cos( )
sin . cos sin( ).
tan( )
1 1
. tan .
cos cos ( )
cot( )
1 1
. cot .
sin sin ( )
C
ax b
x dx x C ax b dx C
a
ax b
x dx x C ax b dx C
a
ax b
dx x C dx C
a
x ax b
ax b
dx x C dx C
a

x ax b
+
+
= + + = +
+
= − + + = − +
+
= + = +
+
+
= − + = − +
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
i i
i i
i i
i i
2. Công thức tích phân
Với
( )F x
là một nguyên hàm của hàm số
( )f x
trên đoạn
[ ; ]a b
thì
( ) ( ) ( ) ( )
b

b
a
a
f x dx F x F b F a= = −
∫

3. Phương pháp đổi biến số (loại 2):
xét
( ) . ( ).
b
a
I f t x t x dx
 
′
=
 
 
∫

1 Đặt
( )t t x=
( ).dt t x dx
′
⇒ =
(và 1 số biểu thức khác nếu cần)
2 Đổi cận:
( )x b t t b= ⇒ =

( )x a t t a= ⇒ =

3 Thay vào:
( )
( )
( ).
t b
t a
I f t dt=
∫
và tính tích phân mới này (biến t)
www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 34 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
 Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:

Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng
( )
( )
t x
dx
t x
′
⋅
∫
( )t t x= mẫu
( )
. ( )
t x
e t x dx
′

∫

( )t t x=
mũ
( )
( ) . ( ).f t x t x dx
′
∫

( )t t x=
ngoặc
(
)
( ) . ( )
n
f t x t x dx
′
∫

( )
n
t t x=
căn
( )
ln
dx
f x
x
⋅
∫

lnt x=

ln x

(sin ).cosf x xdx
∫

sint x=

cos .x dx
đi kèm biểu thức theo
sin x

(cos ).sinf x xdx
∫

cost x=

sin .x dx
đi kèm biểu thức theo
cos x

2
(tan )
cos
dx
f x
x
⋅

∫

tant x=

2
cos
dx
x
đi kèm biểu thức theo
tan x

2
(cot )
sin
dx
f x
x
⋅
∫

cott x=

2
sin
dx
x
đi kèm biểu thức theo
cotx

( ).

ax ax
f e e dx
∫

ax
t e=

ax
e dx
đi kèm biểu thức theo
ax
e

Đôi khi thay cách đặt ( )t t x= bởi
. ( )t m t x n= +
ta sẽ gặp thuận lợi hơn
4. Phương pháp tích phân từng phần
( )
. . .
b b
b
a
a a
u dv u v v du= −
∫ ∫

 Vài dạng tích phân đổi biến thông dụng:
Với
( )P x
là một đa thức, ta cần chú ý các dạng tích phân sau đây


( ). sin .P x ax dx
∫
, ta đặt
( )
sin .
u P x
dv ax dx


=



=





( ). cos .P x ax dx
∫
, ta đặt
( )
cos .
u P x
dv ax dx


=




=





( ). .
ax
P x e dx
∫
, ta đặt
( )
.
ax
u P x
dv e dx


=




=




www.VNMATH.com
Dương Phước Sang - 35 - THPT Chu Văn An

.sin .
ax
e bx dx
∫
, ta đặt
sin .
ax
u e
dv bx dx


=




=




(khoâng coù )
( ). ln . ,
n
f x x dx
dx

x
∫

ta đặt
ln
( ).
n
u x
dv f x dx


=




=




5. Tính diện tích hình phẳng
Cho hai hàm số ( )y f x= và
( )y g x= đều liên tục trên đoạn
[ ; ]a b
, H là hình phẳng giới hạn
bởi các đường:
1 2
( ) : ( ),( ) : ( ),C y f x C y g x x a= = =
và

x b=

Khi đó, diện tích của hình phẳng H là: ( ) ( )
b
a
S f x g x dx= −
∫

 Lưu ý 1: nếu
2
( )C
là trục hoành thì
( ) 0g x =
và
( )
b
a
S f x dx=
∫

 Lưu ý 2: Khi tính tích phân
( )
b
a
s x dx
∫
ta cần lưu ý như sau:
 Nếu
( ) 0, [ ; ]s x x a b≥ ∀ ∈
thì

( ) ( ).
b b
a a
s x dx s x dx=
∫ ∫

 Nếu ( ) 0, [ ; ]s x x a b≤ ∀ ∈ thì
( ) ( ).
b b
a a
s x dx s x dx= −
∫ ∫

 Nếu ( )s x không có nghiệm trên khoảng ( ; )a b thì
( ) ( ).
b b
a a
s x dx s x dx=
∫ ∫

 Nếu ( )s x có nghiệm
1 2 n
c c c< < <
⋯
trên khoảng ( ; )a b thì
1 2
1
( ) ( ) ( ) ( )
n
b c c b

a a c c
s x dx s x dx s x dx s x dx= + + +
∫ ∫ ∫ ∫
⋯

6. Tính thể tích vật thể tròn xoay
Hình H giới hạn bởi:
( )y f x=
, Ox,
,x a x b= =

Thể tích vật thể do hình H quanh trục hoành là:
2
[ ( )]
b
a
V f x dxπ=
∫

www.VNMATH.com

01688559752
Tài liệu tham khảo - 36 - Ôn tập tốt nghiệp môn Toán
VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1 : Tính
3
0
2
3

1
x
A dx
x
=
+
∫

2
3
1 cos
sin (1 cos )
x
C dx
x x
π
π
−
=
+
∫


2
2
1
3 . .
x
B x e dx
−

=
∫

4
2
ln 1
.ln
x
D dx
x x
+
=
∫

Bài giải
Câu a:
3
0
2
3
1
x
A dx
x
=
+
∫

 Đặt
2 2 2

1 1t x t x= + ⇒ = +

2 . 2 . . .t dt x dx t dt x dx⇒ = ⇒ =

 Đổi cận:
3x =
⇒
2t =


0x =
⇒
1t =

 Vậy,
( )
2 2
2
1
1 1
3.
3. 3 6 3 3
tdt
A dt t
t
= = = = − =
∫ ∫

Câu b:
2

2
1
3 . .
x
B x e dx
−
=
∫
 Đặt
2
t x=
1
2
2dt xdx xdx dt⇒ = ⇒ =

 Đổi cận:
2x =

⇒

4t =


1x = −

⇒

1t =

 Vậy,

(
)
4
4
4
3 3 3
2 2 2
1
1
3 .
2
t
t
e dt
B e e e= = = −
∫

Câu c:
2 2
3 3
2
1 cos sin
sin (1 cos )
(1 cos )
x x
C dx dx
x x
x
π π
π π

−
= =
+
+
∫ ∫

 Đặt
1 cos sin .t x dt x dx= + ⇒ = − sin .x dx dt⇒ = −

 Đổi cận:
2
x
π
=

⇒

1t =


3
x
π
=

⇒

3
2
t =

 Vậy,
(
)
3
3
2
2
3
2
1
1
2 2
1
1
1
.
t
dt
C dt
t t
= − = = −
∫ ∫
( )
2 1 1
3 1 3
= − − =

Câu d:
4

2
ln 1
.ln
x
D dx
x x
+
=
∫
 Đặt
1
lnt x dt dx
x
= ⇒ =

 Đổi cận:
4x =

⇒

2 ln 2t =


2x =
⇒
ln 2t =

 Vậy,
( )
ln 4

ln 4 ln 4
ln 2 ln 2
ln 2
1 1
1 ln
t
D dx dt t t
t t
 
+



= = + = +





 
∫ ∫

( ) ( )
ln 4 ln ln 4 ln 2 ln ln 2 ln 4
   
= + − + =
   
   

www.VNMATH.com

Dương Phước Sang - 37 - THPT Chu Văn An
Bài 2 : Tính các tích phân sau đây:
2
0
( 1)sinE x xdx= −
∫
π

2
1
3 .
x
F x e dx
−
=
∫

2
2
1
(3 1)ln .G x x dx= −
∫

Bài giải
Câu e:
2
0
( 1)sinE x xdx= −
∫
π

 Đặt
1
sin cos
u x du dx
dv xdx v x
 
 
= − =
 
⇒
 
 
= = −
 
 
 

 Suy ra,
( ) ( )
2
2 2
0 0
0
( 1)cos cos 0 1 sinE x x xdx x= − − + = − − +
∫
π
π π

2
1 sin sin 0 0= − + − =

π

Câu f:
2
1
3 .
x
F x e dx
−
=
∫
 Đặt
3 3
x x
u x du dx
dv e dx v e
 
 
= =
 
 
⇒
 
 
= =
 
 
 

 Như vậy,

( ) ( )
2 2
2
2 1
1
1 1
3 . 3 6 3 3
x x x
F x e e dx e e e
−
−
− −
= − = + −
∫

2 2 1 2 2 2
3 3 3 6
6 3( ) 6 3 3e e e e e e
e e e e
−
= + − − = + − + = +

Câu g:
2
2
1
(3 1)ln .G x x dx= −
∫
 Đặt
2

3
1
ln
(3 1)
u x
du dx
x
dv x dx
v x x





=
=


 
⇒
 
 
= −
 
= −






( ) ( )
2 2
2
3 2 3
1 4
3 3
1
1 1
ln ( 1). 6 ln 2 6 ln 2G x x x x dx x x= − − − = − − = −
∫

Bài 3
: Tính các tích phân sau đây
2
1
1
x
H x e dx
x
 



= −




 

∫

2
2
0
( 1).I x x xdx= + +
∫

3
2
1
2 1
e
t t
J dt
t
− +
=
∫

2
0
(1 2 sin ) sinK a ada
π
= +
∫

Bài giải
Câu h:
2 2 2 2

1 1 1 1
1
( 1) 1.
x x x
H x e dx xe dx xe dx dx
x
 



= − = − = −




 
∫ ∫ ∫ ∫

 Xét
2
1
1
:
x
H xe dx=
∫
Đặt
x x
u x du dx
dv e dx v e

 
 
= =
 
 
⇒
 
 
= =
 
 
 

www.VNMATH.com