Dạy thêm hình 10

Chương I: VEC TƠ
I.CÁC ĐỊNH NGHĨA
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Vec tơ là đoạn thẳng có hướng.
2. Để xác định một vec tơ cần biết một trong hai điều kiện
* Điểm đầu và điểm cuối của vec tơ.
* Độ dài và hướng.
3. Hai vec tơ
→→
bvàa
được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Nếu hai vec
tơ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
4. Độ dài của một vec tơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vec tơ đó.
5.
→→→→→→
=⇔=
bavàbaba ,||||
cùng hướng
6. Với mỗi điểm A ta gọi
AA
là vec tơ – không. Vec tơ – không được kí hiệu :
→
0
và quy ước rằng |
0|0
=
→
, vec tơ – không cùng phương và cùng hướng với mọi vec tơ.
B. BÀI TẬP.
1/ Hãy tính số các vec tơ (
)0

→
≠
mà các điểm đầu và điểm cuối được lấy từ các điểm phân biệt đã cho
trong các trường hợp sau :
a) Hai điểm. b) Ba điểm. c) Bốn điểm.
2/ Cho hình vuông ABCD tâm O. Liệt kê tất cả các vec tơ bằng nhau nhận đỉnh và tâm của hình vuông
làm điểm đầu và điểm cuối.
3/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh
MNPQvàMQNP
==
.
4/ Cho tam giác ABC. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và AC. So sánh độ dài của hai vec tơ
BCvàNM
. Vì sao có thể nói hai vec tơ này cùng phương?
5/ Cho tứ giác ABCD, chứng minh rằng nếu
BCADthìDCAB
==
6/ Xác định vị trí tương đối của ba điểm phân biệt A, B, C trong các trường hợp sau:
a)
ACvàAB
cùng hướng,
|||| ACAB
>
b)
ACvàAB
ngược hướng.
c)
ACvàAB
cùng phương
7/ Cho hình bình hành ABCD. Dựng

BCPQDCNPDAMNBAAM
====
,,,
. Chứng minh
→
=
0AQ
8/ Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Có bao nhiêu vec tơ khác vec tơ – không có điểm đầu và điểm cuối là một trong các điểm A, B, C,
D, O, M, N.
b) Chỉ ra hai vec tơ có điểm đầu và điểm cuối lấy trong các điểm A, B, C, D, O, M, N mà
- Cùng phương với
AB
- Cùng hướng với
AB
- Ngược hướng với
AB
c) Chỉ ra các vec tơ bằng vec tơ
., OBMO

II. TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VEC TƠ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa tổng của hai vec tơ và quy tắc tìm tổng.
* Cho hai vec tơ tùy ý
→→
bvàa
. Lấy điểm A tùy ý , dựng
→→
==
bBCaAB ,

. Khi đó:
ACba
=+
→→
.
* Với ba điểm M, N, P tùy ý ta luôn có:
MPNPMN
=+
( quy tắc ba điểm)
* Tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có:
ACADAB
=+
( quy tắc hình bình hành )
2. Định nghĩa vec tơ đối.
* Vec tơ
→
b
là vec tơ đối của vec tơ
→
a
nếu |
→→→→
=
bavàab ,|||
là hai vec tơ ngược hướng. Kí hiệu:
→→
−=
ab
* Nếu
→

a
là vec tơ đối của vec tơ
→
b
thì
→
b
là vec tơ đối của vec tơ
→→→
=−−
aahaya )(
* Mỗi vec tơ đều có vec tơ đối. Vec tơ đối của
BAlàAB
. Vec tơ đối của vec tơ
→→
00 là
.
3. Định nghĩa hiệu của hai vec tơ và quy tắc tìm hiệu.
*
)(
→→→→
−+=−
baba
* Ta có:
ABOAOB
=−
với ba điểm O, A, B bất kì (quy tắc trừ).
4. Tính chất của phép cộng các vec tơ.
Với ba vec tơ bất kì ta có:
*

→→→→
+=+
abba
(tính chất giao hoán)
*
)()(
→→→→→→
++=++
cbacba
(tính chất kết hợp)
*
→→→→→
=+=+
aaa 00
( tính chất của vec tơ – không)
*
→→→→→
=+−=−+
0)( aaaa
B BÀI TẬP.
1/ Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tính tổng của hai vec tơ
NCvàADCDvàAMMCvàNC ;;
b) Chứng minh
ADABANAM
+=+
2/ Cho tam gác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm hiệu
CBPBPNMNNCMNANAM
−−−−

,,,
.
b) Phân tích
AM
theo hai vec tơ
.MPvàMN
3/ Cho hình thoi ABCD có góc BAD = 60
0
và cạnh là a. Gọi O là giao điểm hai đường chéo. Tính |
||,|||, DCOBBCBAADAB
−−+
4/ Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm hai đường chéo . Hãy tính |
|||,||, DACDDCABCBOA
−+−
.
5/ Cho sáu điểm A, B, C, D, E và F. Chứng minh rằng:
CDBFAECFBEAD
++=++
6/ Cho năm điểm A, B, C, D và E. Chứng minh rằng:
ABCBCEDCDEAC
=+−−+
.
7/ Cho tam giác ABC. Các điểm M, N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC và BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OPONOMOCOBOA
++=++
.
8/ Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi D là điểm đối xứng với A qua O.
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BDCH là hình bình hành.

b)
.AHOCOB
=+
Từ đó chứng minh
OHOCOBOA
=++
.
c)
HOHCHBHA 2
=++
III. TÍCH CỦA VEC TƠ VỚI MỘT SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa tích của một vec tơ với một số.
Cho số thực k
0
≠
và
→→
≠
0a
. Tích của
→
a
với số thực k là một vec tơ, kí hiệu:
→
ak
.
- Cùng hướng với
→
a

nếu k > 0.
- Ngược hướng với
→
a
nếu k < 0
- Có đô dài bằng |k|.|
|
→
a
2. Các tính chất của phép nhân vec tơ với một số: Với hai vec tơ
→→
ba,
tùy ý và với mọi số k, h
R
∈
.
*
→→→→
+=+
bkakbak )(
*
→→→
+=+
akahakh ).(
*
→→
=
ahkakh )()(
*
→→→→→→→→

==−=−=
00.;0.0;)1(;.1 kaaaaa
3. Hai vec tơ
→→
ba,
với
→→
≠
0b
cùng phương khi và chỉ khi có số k để
→→
=
bka
, số k tìm được là duy nhất.
4. Áp dụng:
*




=
=
⇔=
→→
→→
0
0
0
a
k

ak

* Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng
ACkAB
=⇔
, với k xác định.
* M là trung điểm đoạn thẳng AB







=
=+
=+
⇔
→
MBAM
OMOBOA
MBMA
2
0
( với O bất kì )
* G là trọng tâm của tam giác ABC
OGOCOBOAGCGBGA 30
=++⇔=++⇔
→
(với O bất kì)

5. Cho hai vec tơ
→→
bvàa
không cùng phương và
→
x
là một vec tơ tùy ý. Bao giờ cũng tìm được cặp số
thực m, n duy nhất sao cho
→→→
+=
bnamx
.
B.BÀI TẬP
1/ Cho tam giác ABC có trọng tam G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA,
AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt
AFvAEu
==
→→
,
. Hãy phân tích các vec tơ
DCDEAGAI ,,,

theo hai vec tơ
.,
→→
vu
2/ Cho tam giác ABC. Điểm M trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Hãy phân tích
AM
theo hai vec tơ
ACvABu

==
→→
,
.
3/ Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM và K là điểm trên cạnh AC sao cho
AK = 1/3AC. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
4/ Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác đinh bởi các hệ thức:
→→
=−−=+
03,0 ACNAABMABC
. Chứng minh MN // AC.
5/ Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh rằng:
BDACMN
+=
2
6/ Cho hình bình ha2nhABCD. Chứng minh rằng:
ACADACAB 32
=++
7/ Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A’B’C’ thì
.''''3 CCBBAAGG
++=
8/ Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho
→
=+++
0GDGCGBGA
IV. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Trục tọa độ (trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và vec tơ đơn vị
→
e

. Kí hiệu: (O;
)
→
e
hoặc Ox,
2. Cho M là một điểm tùy ý trên trục Ox. Khi đó có duy nhất một số m sao cho
→
=
emOM .
. Ta gọi số m
là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đã cho.
3. Cho hai điểm A và B trên trục Ox. Khi đó có duy nhất số k sao cho
→
=
ekAB
. Ta gọi số k đó là độ dài
đại số của
AB
đối với hệ trục đã cho, kí hiệu: k =
AB
4. Nếu A và B trên trục Ox có tọa độ lần lượt là a và b thì
.abAB
−=
5. Hệ thức Sa- lơ: Hệ thức
ACBCABACBCAB
=+⇔=+
6. Tọa độ của một vec tơ, của một điểm trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
*
→→→→
+=⇔=

jaiaaaaa
2121
);(
* M có tọa độ (x ; y)
);( yxOM
=⇔
với O là gốc tọa độ.
* Nếu A có tọa độ là (x
A
; y
A
), B có tọa độ ( x
S
; y
B
) thì:
);(
ABAB
yyxxAB
−−=
.
7. Cho
Rkbbbaaa
∈==
→→
),;(),;(
2121
ta có:
*
);(

2211
bababa
++=+
→→
*
);(
2211
bababa
−−=−
→→
*
);(
21
kakaak
=
→
*
)0(
→→→→
≠
abvàa
cùng phương
2
2
1
1
22
11
:
a

b
a
b
kab
kab
akbk
=⇔



=
=
⇔=∃⇔
→→
8. * Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:
2
;
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x
+
=
+
=

* Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì :
3
;
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
++
=
++
=
B. BÀI TẬP.
1/ Trên trục (O ;
)
→
e
cho các điểm A, B, M, N lần lượt có tọa độ là -4 , 3, 5, -2 .
a) Bểu diễn các điểm đã cho trên trục.
b) Tính độ dài đại số của các vec tơ
.,, MNAMAB
2/ Cho hình vuông ABCD có cạnh a = 5. Chọn hệ trục tọa độ (A ;
);
→→
ji
trong đó

ADvài
→
cùng
hướng,
ABvàj
→
cùng hướng. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông, giao điểm I của hai đường chéo,
trung điểm N của BC và trung điểm M của CD.
3/ Cho tam giác ABC. Các điểm M(1 ; 0), N(2 ; 2), P(-1 ; 3) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA
và AB. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
4/ Cho hình bình hành ABCD có A(-1 ; 3), B(2 ; 4), C(0 ; 1). Tìm tọa độ đỉnh D.
5/ Cho
)4;7(),2;3(
=−=
→→
vu
. Tính tọa độ của các vec tơ
)43(,43,2,,
→→→→→→→→→
−−−−+
vuvuuvuvu
6/ Cho A(3 ; 4), B(2 ; 5). Tìm x để điểm C(-7 ; x) thuộc đường thẳng AB.
7/ Cho bồn điểm A(0 ; 1), B(1 ; 3), C(2 ; 7), D(0 ; 3). Chứng minh hai đường thẳng AB// CD.
8/ Cho tam giác ABC có A(1 ; -1), B(5 ; -3), đỉnh C trên Oy và trọng tâm G trên Ox. Tìm tọa độ của C.
9/ Cho A(-2 ; 1), B(4 ; 5). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB và tìm tọa độ điểm C sao cho tứ
giác OACB là hình bình hành (O là gốc tọa độ).
10/ Cho tam giác ABC, trong đó A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3).
a) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
b) Xác định tọa độ điểm E là điểm đối xứng của điểm A qua điểm B.
c) Tìm tọa độ trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chương II. TICH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG
I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KÌ TỪ 0
0
ĐỀN 180
0
.
A. CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.
1. Định nghĩa: Với mỗi góc
)1800(
00
≤≤
αα
ta xác định được một điểm M trên nữa đường tròn đơn vị
sao cho góc xOM =
α
. Giả sử M(x
0
; y
0
). Khi đó:
* Tung độ y
0
của M gọi là sin của góc
α
. Kí hiệu : sin
0
y
=
α
.

* Hoành độ x
0
của M gọi là cosin của góc
α
. Kí hiệu : cos
.
0
x
=
α
* Tỉ số
0
0
x
y
với x
0
0
≠
gọi là tang của góc
α
. Kí hiệu :
0
0
tan
x
y
=
α
.

* Tỉ số
0
0
y
x
với
0
0
≠
y
gọi là cotang của góc
.
α
Kí hiệu :
0
0
cot
y
x
=
α
.
2. Các hệ thức lượng giác.
a) Gí trị lượng giác của hai góc bù nhau.
)180cot(cot
)180tan(tan
)180cos(cos
)180sin(sin
0
0

0
0
αα
αα
αα
αα
−−=
−−=
−−=
−=
c) Các hệ thức lượng giác cơ bản.
Từ định nghĩa giá trị lượng giác của góc
α
ta suy ra các hệ thức :

1cossin
22
=+
αα

)180;0(cot
sin
cos
;)90(tan
cos
sin
00
≠≠=≠=
ααα
α

α
αα
α
α

α
α
α
α
cot
1
tan;
tan
1
cot
==

α
α
α
α
2
2
2
2
sin
1
cot1;
cos
1

tan1
=+=+
3. Góc giữa hai vec tơ.
Cho hai vec tơ
→→
ba,
đều khác
→
0
. Từ một điểm O bất kì ta vẽ
→→
==
bOBvàaOA
. Khi đó góc AOB với
số đo từ 0
0
đến 180
0
được gọi là góc giữa hai vec tơ
.
→→
bvàa
Kí hiệu :






→→

ba ,
4. Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

α
Gtlg
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0
α
sin
0
2
1
2
2
2
3
1
0
α
cos

1
2
3
2
2
2
1
0 -1
α
tan
0
3
1
1
3
|| 0
cot
α
||
3
1
3
1
0 ||
B. BÀI TẬP.
1/ Với giá trị nào của góc
α
(
)1800
00

≤≤
α
.
a)
αα
cossin và
cùng dấu. b)
αα
cossin và
khác dấu.
c)
αα
tansin và
cùng dấu d)
αα
tansin và
khác dấu.
2/ Tính giá trị lượng giác của các góc: a) 120
0
; b) 150
0
; c) 135
0
.
3/ Rút gọn biểu thức:
a) A =
02202022
30cos
3
4

180cos260cos4 baba
++
b) B = (asin90
0
+ btạn45
0
)(acos0
0
+ bcos180
0
)
4/ Cho
4
1
sin
=
α
với 90
0
<
0
180
<
α
. Tính cos
.tan
αα
và
5/ Cho
4

2
cos
−=
α
. Tính
αα
tansin và
6/ Cho
αααα
cossin).900(,22tan
00
vàTính
<<=
.