Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn

Luận văn thạc sĩ khoa học
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
===  ===

PHẠM THỊ HẰNG

TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC
TRÊN MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN
CỰC TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN
TUẦN HOÀN

Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số: 60 44 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Ngƣời hƣớng dẫn : PGS. TS. NGUYỄN ĐÌNH DŨNG

HÀ NỘI-2012

Phạm Thị Hằng
2


Luận văn thạc sĩ khoa học

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ............................................................................................................ ...3
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH
THỂ ....................................................................................................................... 5
1.1. Cơ sở lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể ..........................5

1.2. Thế tương tác của nơtron chậm trong tinh thể .......................................11
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân………………………..…11
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ……………………………..……12
CHƢƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ VI PHÂN CỦA NƠTRON PHÂN CỰC
TRONG TINH THỂ ........................................................................................... 14
CHƢƠNG 3 : PHẢN XẠ GƢƠNG VÀ KHÚC XẠ CỦA CÁC NƠTRON TRÊN
TINH THỂ ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN
HOÀN .................................................................................................................24
CHƢƠNG 4: TÁN XẠ HẠT NHÂN CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRÊN
MẶT TINH THỂ CÓ CÁC HẠT NHÂN PHÂN CỰC ĐƢỢC ĐẶT TRONG
TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN THIÊN TUẦN HOÀN TRONG ĐIỀU KIỆN CÓ
PHẢN XẠ..............................................................................................................32
4.1. Tiết diện tán xạ hạt nhân không đàn hồi trên bề mặt tinh thể có các hạt
nhân phân cực được đặt trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn
............................................................................................................. 32
4.2. Tiết diện tán xạ bề mặt hiệu dụng của các nơtron trong trường hợp có
phản xạ toàn phần ................................................................................40

KẾT LUẬN

........................................................................................................43

TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................44

Phạm Thị Hằng
3


Luận văn thạc sĩ khoa học

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây, sự tán xạ của nơtron chậm đã được sử dụng
rộng rãi để nghiên cứu vật lý các chất đông đặc.
Các nơtron chậm là một công cụ độc đáo trong việc nghiên cứu động
học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [7,18,19,22].
Hiện nay, để nghiên cứu cấu trúc sâu của tinh thể, đặc biệt là cấu trúc từ
của tinh thể, phương pháp quang nơtron đã được sử dụng rộng rãi. Chúng ta
dùng chùm nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và
không đủ để tạo ra quá trình sinh hủy hạt ). Nhờ nơtron có tính trung hòa
điện, đồng thời môment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron
không tham gia tương tác điện dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào
tinh thể là rất lớn, và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin
về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia. Việc nghiên cứu tán xạ của các
nơtron phân cực trong bia phân cực giúp ta hiểu rõ hơn về sự tiến động spin
của các nơtron trong bia có các hạt nhân phân cực [2,13,15,16].
Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ phi đàn hồi của các nơtron phân
cực trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan
trọng về tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm
tương quan spin của các nút mạng điện tử. Ngoài ra các vấn đề về nhiễu xạ bề
mặt của các nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên
tuần hoàn và sự thay đổi phân cực của nơtron trong tinh thể cũng đã được
nghiên cứu [9,10,11,23].

Phạm Thị Hằng
4


Luận văn thạc sĩ khoa học
Trong bài luận văn này, chúng tôi nghiên cứu: Tán xạ hạt nhân của các
notron phân cực trên bề mặt tinh thể có các hạt nhân phân cực đƣợc đặt

trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.
Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý của
trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội, tháng 10
năm 2012.
Nội dung của luận văn được trình bày trong 4 chương:
Chƣơng 1 - Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể.

Chƣơng 2 – Tiết diện tán xạ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh
thể.

Chƣơng 3 - Phản xạ gƣơng và khúc xạ của các nơtron trên tinh thể đƣợc
đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần hoàn.

Chƣơng 4 – Tán xạ hạt nhân của các nơtron phân cực trên mặt tinh thể
có các hạt nhân phân cực đƣợc đặt trong từ trƣờng ngoài biến thiên tuần
hoàn trong điều kiện có phản xạ.

Phạm Thị Hằng
5


Luận văn thạc sĩ khoa học

CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM
TRONG TINH THỂ

1.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH
THỂ.

Hiện tượng: Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực chậm bắn vào bia

(năng lượng cỡ dưới 1MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt),
nhờ tính chất trung hoà về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng
nhỏ

( gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ

xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của
sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia.
Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng
của tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự
phân cực của chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự
do lẫn electron không kết cặp trong bia tinh thể.
Nguyên nhân sinh ra tương tác từ:
Nếu tính trung bình trong 1 chùm nơtron không phân cực thì moment
spin sẽ bằng 0, moment từ trung bình của chùm cũng bằng 0 và đi cùng với
nó moment từ của chùm cũng bằng 0. Còn trong trường hợp nơtron phân cực,
hiển nhiên sẽ tồn tại một giá trị moment từ xác định. Sự chuyển động của các
electron tự do và các electron không kết cặp trong nguyên tử sẽ tạo ra từ
trường ( từ trường của các electron kết cặp triệt tiêu nhau), từ trường này và
moment từ do sự phân cực của chùm nơtron đó sẽ là 2 nguyên nhân gây ra
Phạm Thị Hằng
6


Luận văn thạc sĩ khoa học
tương tác từ giữa tinh thể và chùm nơtron. Chính tương tác từ này sẽ cho ta
thông tin về tính chất từ của bia.
Nguyên nhân sinh ra tương tác spin:
Do nơtron có spin khi đi vào mạng tinh thể sẽ xảy ra tương tác trao đổi
spin giữa nơtron với hạt nhân và giữa nơtron với các electron trong nguyên

tử, tương tác này tỉ lệ với tích vô hướng vectơ spin của nơtron với hạt nhân,
cũng như giữa nơtron với electron.
Đối với phần thế hạt nhân, thông thường người ta tính trung bình thế của
nó trên toàn bộ tinh thể và coi nó là tổng của một phần hằng số và một lượng
nhỏ biến thiên, phần nhỏ này là gọi là giả thế Fecmi có ảnh hưởng không lớn
lên tiết diện tán xạ so với phần còn lại. Giá trị của phần hằng số được xác
định từ thực nghiệm.
Từ những phân tích định tính trên, để tính toán tiết diện tán xạ của chùm
nơtron một cách thuận tiện ta có thể chọn lý thuyết nhiễu loạn với phép xấp xỉ
gần đúng Born.
Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng n , là hàm riêng
của toán tử Hamilton của bia với năng lượng tương ứng là En:
H n  En n

(1.1.1)

Sau khi tương tác với nơtron, sẽ chuyển trạng thái khác n ' .
Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử trạng thái


ban đầu của nơtron được mô tả bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất

Phạm Thị Hằng
7


Luận văn thạc sĩ khoa học
mà trong đó nơtron sau khi tương tác với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng


thái p và hạt bia chuyển sang trạng thái n ' .
Xác xuất Wn p |np của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong
' '

gần đúng bậc nhất sẽ bằng:
Wn' p' |np 

2 '  '

n p | V | np


2



 En  E p  En  E p
'

'



(1.1.2)

Trong đó :
V: là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia ( thế nhiễu loạn gây
ra sự chuyển trạng thái, thế này bao gồm thế hạt nhân, thế trao đổi spin và
thế từ)
En , E p , En' , E p' là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron

trước và sau khi tán xạ.
δ(En+ Ep En’ Ep‟) – Hàm delta Dirac.





 En  E p  En  E p 
'

'

1



e

2  







i
En  E p  En '  E p ' t


(1.1.3)

dt

Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp '| p của quá trình trong đó


nơtron sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p ; nó nhận được
bằng cách tổng hóa các xác suất Wn ' p '|np theo các trạng thái cuối của bia và lấy
trung bình theo các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định
do đó ta phải tổng quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn
tạp với xác suất của trạng thái n là  n . Theo đó ta có :
Phạm Thị Hằng
8


Luận văn thạc sĩ khoa học
Wp '| p 



2


2




n



n ' p ' V np

2

  En  E p  En '  E p ' 

nn '

 n n ' Vp ' p n   En  E p  En '  E p ' 
2

(1.1.4)

nn '

Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận


n ' p ' V np  n ' Vp ' p n

(1.1.5)

Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt
bia lấy theo các trạng thái của nơtron và Vp‟p là toán tử tương đối với các biến
số hạt bia
Thay phương trình (1.1.3) vào (1.1.4) ta được:

Wp '| p

1
 2




e





i
Ep ' Ep t




dt  nn ' n ' Vp ' p n

*

n ' Vp ' p n e

i
 En '  En t


(1.1.6)

nn '

En, En‟ là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' ,
từ đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg:
n ' Vp ' p n e

i
 En '  En t


 n ' Vp ' p  t  n
i

Ở đây: Vp ' p  t   e  Vp ' p e
Ht

i
 Ht


(1.1.7)

là biểu diễn Heisenberg của toán tử Vp‟p với toán

tử Hamilton.
Thay (1.1.7) vào (1.1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan
tâm tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công
thức lấy tổng theo n‟, n chính là vết của chúng và được viết lại:

Phạm Thị Hằng
9


Luận văn thạc sĩ khoa học
Wp '| p 



1
2



1
2





i

 e

 E p '  E p t



i

dte 

dt  nn ' n ' Vp' pVp ' p  t  n
nn '

 E p '  E p t

Sp Vp' pVp ' p  t 

(1.1.8)



Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của
bia  , các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất  n .
Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt
động ta có hàm phân bố trạng thái là:


e  H
Sp e  H 

Với:  

1
k zT

k z - hằng số Boltmann

T - Nhiệt độ
Giá trị trung bình thống kê của đại lượng Vật lý được tính theo các hàm phân
bố là:
A   n A 

Sp e  H A

n

(1.1.9)

Sp e  H 

Kết hợp (1.1.8) và (1.1.9) ta được:

Wp '| p

1
 2




 dte





i
Ep ' Ep t




1
Sp V Vp ' p  t   2


p' p



 dte



Phạm Thị Hằng
10







 H 
 Sp e Vp ' pVp ' p  t 

i
Ep ' Ep t


Sp e  H 


Luận văn thạc sĩ khoa học


1
2





i

dte 

 E p '  E p t

Vp' pVp ' p  t 

(1.1.10)



Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm  )

thì tiết diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một
khoảng đơn vị năng lượng

d 2
, sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức
d dE

sau:


i
 E p '  E p t 
d 2
m2 p '
m2
p'


W

dte
Vp ' pVp ' p  t 
p '| p
3
3 5
d dE p '  2   p
 2   p 

(1.1.11)

Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong
chùm các nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong
chùm tán xạ.
m - khối lượng nơtron
Trong công thức (1.1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới  và sử
dụng công thức:
L  Sp  L

(1.1.12)

Do đó dạng tường minh của công thức (1.1.11) được viết lại là:


i
 E p '  E p t
d 2
m2
p'


dte
Sp  Vp' pVp ' p  t 
3 5

d dE p '  2   p 

Trong đó:  - ma trận mật độ spin nơtron

Phạm Thị Hằng
11

(1.1.13)


Luận văn thạc sĩ khoa học
1.2. THẾ TƢƠNG TÁC CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ.

Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của
tương tác hạt nhân và tương tác từ.
1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân
Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:
 
V (rn)   (rn  R)



  A  B(sJ )

trong đó :
rn -

(1.2.1)
(1.2.2)

vị trí của nơtron

R - Vị trí của hạt nhân

A, B - là các hằng số


J - Spin của hạt nhân


s - Spin của nơtron

Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:
 
Vl (rn )   (rn  Rl )

(1.2.3)

Lấy tổng công thức (1.2.3) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm
được thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia:
N



Vp ' p    l eiqRl

(1.2.4)

l 1

Phạm Thị Hằng
12


Luận văn thạc sĩ khoa học
Các yếu tố ma trận Vp ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng



p đến p ' được ghi nhận trên cơ sở (1.2.3) có dạng:



 

 

Vp' p   Al  Bl sJ l eiq Rl
l



(1.2.5)

 

Trong đó q  p  p ' : Véctơ tán xạ của nơtron
1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ.
Tương tác từ của nơtron trong mạng tinh thể xuất hiện do các điện tử
tự do chuyển động. Và bản thân nơtron cũng có mômen từ sinh ra. Thế đặc
trưng cho tương tác này được cho bởi biểu thức [21]
Vp ' p  


   
4 2
 iqR
r0  Fj (q )e j S j , s  (es )e

m
j





(1.2.6)

Trong đó:
r0 

e2
: là véctơ bán kính điện từ của electron
m0 c 2

m - khối lượng nơtron
  1.913 - độ lớn mômen từ hóa trên manhêton Bohr hạt nhân

S j - Spin của nguyên tử thứ j

Rl - là véctơ tọa độ vị trí hạt nhân thứ l

  
q  p  p ' - véctơ tán xạ của nơtron

 q
e  - véctơ tán xạ đơn vị
q

Phạm Thị Hằng
13


Luận văn thạc sĩ khoa học

s - spin của nơtron tới

  
Z j eiqr s S
 j

Fj (q )   *j 
 j d j
 S j  S j  1



Biểu thức :



zj



(1.2.7)



Với S j   s là toán tử spin của nguyên tử thứ j


S j là đại lượng spin của nguyên tử thứ j

 j là hàm sóng của điện tử thứ j

Fj (q ) đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong nguyên tử

Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực
tán xạ trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó
trong biểu thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc
trưng bởi hai loại tương tác ở trên
d 2 n
d 2 m
d 2


d dE p ' d dE p ' d dE p '

(1.2.8)

Do vậy đại lượng Vp ' p được viết lại dưới dạng sau:
V p' p  
l



 


  iq Rl 4 2
   
 iqR
Al  Bl sJ l e 
r0  Fj (q )e j S j , s  (es )e
m
j





(1.2.9)

Từ đó ta đi tính được tiết diện tán xạ vi phân


i
 E p '  E p t
d 2
m2
p'


dte
Sp  Vp' pVp ' p  t 
3 5

d dE p '  2   p 

Phạm Thị Hằng
14

(1.2.10)


Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ VI PHÂN CỦA CÁC NƠTRON
PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ.
Đặc trưng cho tán xạ của các nơtron phân cực là sự giao thoa giữa tán xạ
hạt nhân và tán xạ từ, mà điều này đã không xảy ra khi nơtron không có sự
phân cực. Khi nơtron phân cực, biểu thức đối với tiết diện tán xạ vi phân có
dạng như sau:


i
( E p '  E p )t
d 2
m2 k '


dte
.sp  Vp' pVp ' p (t )
3 5

d dE p ' (2 )  k 





(2.1)

Trong đó :
  : ma trận mật độ spin của nơtron

Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin:
1 
2

 

  ( I  p0 )

Trong đó:

(2.2)

1 
 là toán tử spin của nơtron
2



p0  sp(   ) vectơ phân cực của nơtron và bằng hai lần giá trị trung bình của

spin của nơtron trong chùm
I: ma trận đơn vị
Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:

         2i ijk 
         2

(2.3)

Phạm Thị Hằng
15


Luận văn thạc sĩ khoa học
Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.1.2) có dạng tổng quát
để cho chùm hạt có các spin là

1
. Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các
2

tính chất của các ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tiết diện tán xạ của các
nơtron đòi hỏi các biểu thức để cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli
Từ các hệ thức giao hoán (2.3) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu
thức cần thiết :
1
spI  1
2

1
sp(  )  0
2
1
sp(    )   

2

1
sp(      )  i 
2

(2.4)

1
sp(        )               
2

  : Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng

Vì nơtron tương tác với tinh thể bởi hai loại chủ yếu là tương tác hạt nhân
và tương tác từ. Do vậy đại lượng Vp‟p được viết dưới dạng :
     4 2
 iqR      
1
1

V p ' p    Al  Bl (J l )e iqRl  
r0  F j (q )e j ( S j , s  (e s )e )
2
2 j

l 
 m


Số hạng thứ nhất mô tả tương tác hạt nhân giữa nơtron với hạt nhân
Số hạng thứ hai mô tả tương tác từ của nơtron với nguyên tử.
Phạm Thị Hằng
16

(2.5)


Luận văn thạc sĩ khoa học
     4 2
 iqR      
1
1

V p' p    Al  Bl (J l )e iqRl  
r0  F j (q )e j ( S j , s  (e s )e )
2
2 j

l 
 m


V p ' p (t )  e

i
Ht




(2.6)

i
  iqRl  4 2
 iqR j         Ht
1
1

l  Al  2 Bl (J l )e   m r0 2 j F j (q)e (S j , s  (e s )e ) e



(2.7)
Như vậy nhận thấy để giải quyết bài toán về tán xạ của các nơtron phân
cực dẫn đến việc phải đi tính vết của toán tử
   
L j  ( S j , s  (e s )e )

(2.8)

trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó


được biểu diễn qua véc tơ M j .Véc tơ đó được biểu diễn dưới dạng sau:


 
M j  (S j  (e S j )e )

(2.9)

Như vậy chúng ta chứng minh một số công thức tính vết dưới đây để tính
tiết diện tán xạ:
Công thức (1):



1
sp(L)  M
2


    
1
1
sp(L)  sp  ( S ,   (e  )e )
2
2


     
1
sp S  S (e  )e )
2





  L    S       S  (e   )e 


1
1
sp(  L)  sp   S       S  (e    )e  )
2
2

Phạm Thị Hằng
17




Luận văn thạc sĩ khoa học
  

   S     e  (e  S  )  S   e (e  S  )  S  e (Se )  M

Công thức (2):

1
sp ( p ) L
2


1
sp ( p ) L
2

 


Mp





  1 sp( p )(S ,   (e )e)  ( p   ) L  ( p   )(S   
2

    S       S  (e   )e 

 S  (e   )e  )

 p

1
sp{( p    ) L} 
2
   

    S     e  (e  S  )  p   (S   e (e  S  )) p    S  e (Se )  p   Mp



Công thức (3):
 

1
sp ( p )L
2

 
1
sp ( p )L
2

  i

 
Mp







  1 sp( p  ) (S ,   (e )e) 
2

( p   )  L  ( p   )  (S     S  (e   )e  )
 p      S     p     S  (e   )e 
  
 

 
1

sp p L  i  S   i  e (e  S  )  p   i S  e (Se )   p   i M  p
2

Công thức (4):

 
 
1
sp ( p ) L   i M  p
2



 
      
1
1
sp ( p ) L   sp( p ) ( S ,   (e  )e ) 
2
2

( p   ) L   ( p   )(S     S  (e   )e  ) 
 p    S       p   S  (e   )e   

Phạm Thị Hằng
18



Luận văn thạc sĩ khoa học
  
 

 
1
sp p L   i  S   i  e (e  S  )  p   i S  e (Se )   p   i M  p
2
1
sp L1 L2
2

Công thức (5):

 



 
M 1M 2





1
sp L1 L2
2

  1 sp (S1 ,   (e )e)(S 2 ,   (e )e) 

1
sp
2







2

S1    S1 (e    )e

S 2    S 2 (e   )e 



1
sp S1   S 2    S1 (e    )e S 2    S1   S 2 (e   )e 
2
 S1 (e    )e S 2 (e   )e  


   S1 S 2  (e S1 )e    S 2  S1 e   (S 2 e  )  S1 e e    e S 2 e 

 S1 S 2  (e S1 )(e  S 2  (S1 e )(S 2 e  )  (S1 e )e  e  (S 2 e  )
 S1  S 2  e (e  S 2



Công thức (6):

1
sp L1L2
2



  (e S1 )e  (S 2  e (e  S 2 ) 

   
    
 S1  S 2  e (e S 2 )   (e S1 )e  S 2  e (e S 2 )
  
  S1  e (e S1 )



  
S 2  e (e S 2 )

  M1M 2


1
sp L1L2
2

  i





 



M1  M 2





  1 sp (S1 ,   (e )e) (S 2 ,   (e )e) 
2

1
sp  S1    S1 (e    )e  t  S 2    S 2 (e   )e  
2
1
 sp S1    t S 2    S1 (e    )e  t S 2    S1    t S 2 (e   )e 
2
 S1 (e    )e  t S 2 (e   )e  



 S1 S 2 i  t  (e S1 )e  S 2 i  t  S1 e (S 2 e  )i t  (S1 e )e  (S 2 e  )e i t

Phạm Thị Hằng
19






Luận văn thạc sĩ khoa học
 i






 
   
S1  (e S1 )e  S 2   S1  (e S1 )e (e S 2 )e

 i





 
 
S1  (e S1 )e    S 2  (e S 2 )e

Công thức (7):

1
sp( p ) L1 L2
2




1
sp( p ) L1 L2
2

   i





M1  M 2






M 1  M 2 p

  i





  1 sp ( p )(S1 ,   (e )e) (S 2 ,  (e )e) 
2

1
sp ( p    ) S1x x  S1x (e y y )e x
2



S 2    S 2 (e   )e 



1
sp p    S1x x S 2    p    S1x (e y y )e x S 2    p    S1x x S 2 (e   )e  
2
 p    S1x (e y y )e x S 2 (e   )e  


  S1x S 2 i  x  (e x S1x )e y S 2 i y  S1x e (S 2 e  )i x  (S1x e x )e y (S 2 e  )e i y
 i



 

S1  S 2





   (eS1 )e  S 2 


 
 
 
S1  (e S 2 )e    (e S1 )e  (e S 2 )e

p

  p




 i M 1  M 2 p

Công thức (8):



1
sp( p ) L1L2
2









 

  M 1 (M 2 p )  (M 1 p )M 2  p (M 1 M 2 )

Sử dụng công thức tính vết trên ta đi tính tiết diện tán xạ






sp  V V p ' p (t )  sp  


p' p

i


Ht 
1

1
    i Ht iqR
   iqR

l

l  Al  2 Bl ( J l ) e .l ' e  Al '  2 Bl ' ( Jl ' ) e e l '

i
i


Ht
 Ht
4 2
1 2
 iqR
 iqR
j'
j'


r0 )  Fj (q )e
L j  e Fj ' (q )e L j 'e

+(
m
2 j
j'

Phạm Thị Hằng
20


Luận văn thạc sĩ khoa học
1
   

  Al  Bl ( J l )  eiqRl
2

l 

(

i
i

Ht
 Ht 
 4 2
1
 iqR

r0  e  Fj ' (q )e j ' L j 'e   
2 j'
 m


i


Ht 
4 2
1
1
 iqR
      i Ht
r0 ) Fj (q )e j L j  e   Al '  Bl ' ( J l ' )  eiqRl ' e 
m
2 j
2


l'





1

l



ll '

+ sp   (





 sp  





1
  
 
 iqRl iqRl ' ( t ) 
A

B
(

J
)
.
e
e

l
l
'
l
'
l

'


2




  A  2 B ( J ) .

= sp  








l



4 2
1


 iqR iqR ( t )
r0 )2  Fj (q ).L j .Fj ' (q ).L j ' . e j e j '
m

2 jj '









1
1
   4 2


 iqRl iqR j ( t )
A

B
(

J
)
.
r

F
(
q
)

L
.
e
e

l 
0
j'
j'
 l 2 l
2
 m
lj ' 










4 2
1
1

 

 iqR j iqR

 sp   (
r0 ) Fj (q ).L j .  Al '  Bl ' ( J l ' )  . e e l ' (t )
m
2 il '
2








(2.10)

Ta đi tính từng số hạng của công thức (2.10):
Số hạng 1= sp
= sp
 sp
 sp


 
1

A

B
(



 l 2 l J l )
ll ' 

 
 
1
1

( I  ( p0 ))  Al  Bl (J l )
2
2

ll ' 

 
1

A

B
(

 l ' 2 l ' J l ')

 
1

A


B
(

J l ')
l
'
l
'

2






e iqRl e iqRl ' (t ) 





e iqRl e iqRl ' (t ) 





  
 

1
1
1

( I  ( p0   ))  Al  Bl (J l )  Al '  Bl ' (J l ') e iqRl e iqRl ' (t ) 
2
2
2


ll ' 
1
1
1
( I  ( p0   ))  Al Al '  Bl (  J l ) Al '  Al Bl ' (  J l' (t ))
2
2
2
ll '

1
Bl Bl ' (  J l )(  J l' (t ))
4







e iqRl e iqRl ' (t ) 



Phạm Thị Hằng
21






Luận văn thạc sĩ khoa học
   Al Al ' 
ll

1
1
1
Bl Al ' p0   J l  Bl Al ' p0   J l' (t )  Bl Bl '  J l J l' (t )
2
2
4

i
 Bl Bl ' p0   J l J l' (t )
4
   Al Al ' 
ll



ll '







e iqRl e iqRl ' (t ) 

1
1
1
Bl Al ' p0 J l  Bl Al ' p0 J l' (t )  Bl Bl ' J l J l' (t )
2
2
4

i
Bl Bl ' p0   J l J l' (t )
4





Al Al ' 





1 2
Bl J l ( J l  1) ll '
4

Số hạng 2= sp (



e iqRl e iqRl ' (t ) 





 e iqR e iqR (t ) 
l

(2.11)

l'





4 2

1
 iqR iqR ( t )
r0 ) 2  F j (q ).L j .F j ' (q ).L j '  e j e j ' 
m
2 jj '



  4 2


1
 1
 iqR iqR ( t )
 sp ( I  ( p0 ))(
r0 ) 2  F j (q ).L j .F j ' (q ).L j '  e j e j ' 
m
2 jj '
 2

(



 


4 2
1
 iqR iqR ( t )

r0 ) 2  F j (q ).F j ' (q ). M j M j ' (t )  . e j e j '  +
m
2 jj '

(








4 2
1
 iqR iqR ( t )
r0 ) 2  F j (q ).F j ' (q ). M j  M j ' (t )  p0 e j e j ' 
m
2 jj '





(2.12)

(Trong tính toán trên ta đã áp dụng các công thức tính vết (5) và (6))
Số hạng 3  sp

  4 2


1
1

A

B
(


 l 2 l J l ). m r0 2 F j ' (q ) L j '

lj ' 

l

 sp

 
  4 2

1
1
1

( I  ( p0 ))  Al  Bl (J l ).
r0 F j ' (q ) L j '
2
2
2

 m
lj ' 

 sp


1
4 2
1 
1

( I  ( p0   ))
r0   Al  Bl (  J l ).F j ' (q ) L j '
2
m
2 lj ' 
2


Phạm Thị Hằng
22





. e iqR e iqR





. e iqR e iqR
l



j ' (t )

j ' (t )

e iqRl e










iqR j ' ( t )






Luận văn thạc sĩ khoa học





4 2
1
1

r0   Al F j ' (q )( p0 M j ' )  Bl F j ' (q ) J l M j ' (t ) 
m
2 lj ' 
2











+ Bl .F j ' (q ) J l .i[M j ' (t )  p0 ]  e iqR e iqR


l




4 2
1
r0  Al F j ' (q )
m
2 lj '

j ' (t )

 
M j ' p0 )






 e iqR e iqR
l

j ' (t )



(2.13)

(Trong tính toán trên ta đã áp dụng các công thức tính vết (1) và (2) (3))
Số hạng 4= sp (



4 2
1
r0 ) F j (q ).L j
m
2 jl '



Al ' 


1
Bl ' (J l ' )
2

= sp ( I  ( p0   ))(


4 2
1
r0 ) F j (q ).L j
m
2 jl '



Al ' 

1
Bl ' (  J l' )

2

1
 2

(



e




 iqR j

e



e iqRl ' (t ) 


 iqR j





e iqRl ' (t ) 





4 2
1
1
r0 )  F j (q ). Al ' .( p0 M j )  F j (q ).Bl ' .M j .J l' (t ) +
m
2 jl '
2






 iqR
 F j (q ).Bl ' .i[M j  p0 ]J l' (t ) . e j e iqRl ' (t ) 


4 2
1

(
r0 ) Fj (q ). Al ' .( M j
m
2 jl '




 iqR
p0 ) e j e iqRl ' (t ) 

(2.14)

( Trong tính toán trên ta áp dụng công thức tính vết (1) và (2))
Trong các kết quả trên để đơn giản vấn đề ta bỏ qua sự tương quan giữa
các spin của các hạt nhân. Và ta tiến hành tổng quát hóa theo tất cả các trạng
thái của hệ .

Phạm Thị Hằng
23


Luận văn thạc sĩ khoa học
Thay các kết quả (2.11), (2.12), (2.13), (2.14) vào (2.10)ta tính được:



   AA

sp  V p' pV p ' p (t ) 

l

l'

ll '

+(

(



1 2
Bl J l ( J l  1) ll '
4

 


4 2
1
r0 ) 2  F j (q ).F j ' (q ). M j M j ' (t )
m
2 jj '





 e iqR e iqR (t )  +



l



 e iqR e iqR
j

j ' (t )

l'

 +…








4 2
1
 iqR iqR ( t )
r0 ) 2  F j (q ).F j ' (q ). M j  M j ' (t )  p0 e j e j ' 
m
2 jj '




4 2

1
r0  Al F j ' (q )
m
2 lj '

(



 
M j ' p0 )


4 2
1

r0 ) Fj (q ). Al ' .( M j
m
2 jl '





 e iqR e iqR
l

j ' (t )






 iqR
p0 ) e j eiqRl ' (t )  (2.1.15)

Đây chính là vết trong công thức tính tiết diện tán xạ tổng quát trong
trường nơtron phân cực và spin của các hạt nhân không tương quan với nhau.
Công thức này sẽ được áp dụng trong từng trường hợp khi ta tính toán tán xạ
nơtron phân cực trên từng chất riêng biệt.

Phạm Thị Hằng
24


Luận văn thạc sĩ khoa học
CHƢƠNG 3: PHẢN XẠ GƢƠNG VÀ KHÚC XẠ CỦA CÁC NOTRON
TRÊN TINH THỂ ĐƢỢC ĐẶT TRONG TỪ TRƢỜNG NGOÀI BIẾN
THIÊN TUẦN HOÀN
Chúng ta đi phân tích phản xạ gương và khúc xạ của các nơtron trong
tinh thể được đặt trong từ trường ngoài biến thiên.
Giả sử, các nơtron tiến tới đơn tinh thể với các hạt nhân không phân cực
được đặt trong từ trường ngoài biến thiên tuần hoàn.
 




 

H (r , t )   H1 (r ) cos t  i   H1 (r )sin t  j  H 0 (r )k

(3.1)

ở đó: H 0 (r ), H1 (r ) : không phụ thuộc thời gian
 : tần số của từ trường ngoài hiệu dụng

Phương trình mô tả tán xạ của các nơtron trong trường hợp này có dạng:
  2
    
i
 
 r  V (r )  n .H (r , t )  
t  2m


(3.2)

ở đó: m- khối lượng của nơtron




n   là momen từ của nơtron


 : là vecto tạo từ các ma trận Pauli

Hàm sóng ban đầu của các nơtron là bó sóng
 

C  

 0 ( r ) t  t   0     0     r , t  t0 
0
  0 t t0  C0 

(3.3)

Phạm Thị Hằng
25


Luận văn thạc sĩ khoa học
Đặt (3.1) vào (3.2), chúng ta có :
i


  2



 
 r  V  r     H 0  r   z  H1  r   x cos t   y sin t   
t  2m


(3.4)

Dùng công thức :
e



it
z
2

x
2

e

it
z
2





1
 x cos t   y sin t
2



(*)

Dựa vào công thức (*) Hamiltonien của phương trình (3.4) có thể viết dưới
dạng :



 it
it
z
z 

2


 r  V  r     H 0  r   z  H1e 2  x e 2 
2m



(3.5)

~

Đưa vào những hàm sóng mới  nhờ các biểu thức sau :
it

z

  e 2 

;

 e

 it
z
2



(3.6)

~

Ý nghĩa vật lý của (3.6) là  và  có thể chuyển đổi qua nhau nhờ phép
quay xung quanh trục z đi một góc t . Có nghĩa là khi ta tiến hành các phép
biến đổi (3.6) chúng ta đã chuyển sang hệ tọa độ quay. Lấy đạo hàm biểu
thức (3.6) theo thời gian, chúng ta nhận được :
it
 it
 z 

 i   2  z 
i
 i    z  e
  ie 2
t
t
 2 

(3.7)

Đặt (3.6) vào (3.7) và nhân hai vế của đẳng thức từ phía trái với toán tử
exp it z / 2 chúng ta nhận được :

Phạm Thị Hằng
26