BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH QUI VỀ BẬC HAI

Trường THPT Long Mỹ
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI
1) Phương trình nhị thức:
( )
0 0, 3
n
x a a n± = ≠ ≥
Đặt
. .
n n
n
x t a x t a= ⇒ =
đưa về dạng
1 0 1 0 1 0
n n n
t t t± = ⇔ + = ∨ − =
2) Dạng 1:
4 2
0ax bx c+ + =
(phương trình trùng phương). HD: Đặt
2
0t x= ≥
Tổng quát: Phương trình tam thức:
2
. . 0
n n
a x b x c+ + =
3) Dạng 2:
( ) ( ) ( ) ( )
;x a x b x c x d k a b c d+ + + + = + = +
HD: đặt

( ) ( )
t x a x b= + +
4) Dạng 3:
( ) ( )
4 4
x a x b k+ + + =
HD: đặt
2
a b
t x
+
= +
rồi đưa về phương trình trùng
phương
5)
4 3 2
ax bx cx bx a+ + ± +
HD: Chia 2 vế pt cho
2
x
ta được
2
2
1 1
0a x b x c
x x
   
+ + ± + =
 ÷  ÷
   

,
Đặt
1
t x
x
= ±

Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc chẵn

( )
2 2 1
2 2 1 1 0 2 2
... 0 0; , 0, 1
n n n i
n n n i n i
a x a x a x a a a a k i n
− −
− −
+ + + + = ≠ = = −
Chẳng hạn :
( )
4 3 2
2 3 2 1 0 1x x x x k− + − + = =

( )
6 5 4 2
2 3 6 8 8 0 2x x x x x k− − + − − = = −
Đặt
k
t x

x
= +
Tổng quát phương trình thuận nghịch bậc lẻ
( )
2 1 2 2 1 2
2 1 2 1 0 2 1 2 1
... 0 0; , 0,
n n n i
n n n i n i
a x a x a x a a a a k i n
+ + −
+ + + −
+ + + + = ≠ = =
Chẳng hạn :
( )
5 4 3 2
2 3 4 4 3 2 0 1x x x x x k+ − − + + = =

( )
5 4 3 2
2 3 4 8 24 64 0 2x x x x x k+ − − + + = =
Có các tính chất sau
- Bao giờ cũng có nghiệm là – k
- Bao giờ cũng đưa về dạng
( ) ( )
0x k Q x+ =
Trong đó
( )
0Q x =
là một phương trình thuận

nghịch bậc chẵn.
6) Dạng 6:
( )
( ) ( )
2
2
2 3
1 1 1 0A x B x x C x− + + + + − =
Chia hai vế cho
( )
2
2
1x x+ +
và đặt
2
1
1
x
t
x x
−
=
+ +
Tổng quát:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
. . 0 .a A x bB x c C x A x B x C x+ + = =
BÀI TẬP
1) Giải các phương trình sau

a.
( ) ( ) ( ) ( )
1 5 3 7 297x x x x− + − + =
b.
( ) ( ) ( ) ( )
2 3 1 6 36x x x x+ − + + = −
2) Gải các phương trình sau
a.
4 3
1 0x x x− − + =
b.
4 3 2
2 3 2 1 0x x x x− + − + =
c.
5 4 3 2
5 4 4 5 1 0x x x x x− + + − + =
d.
4 3 2
6 35 62 35 6 0x x x x− + − + =
e.
4 3 2
4 1 0x x x x+ − + + =
f.
4 3 2
5 10 10 4 0x x x x− + − + =
3) Giải phương trình sauư
a.
2 2
1 3
1 2

x x
x x
+
   
− =
 ÷  ÷
+
   
b.
4 3 2
2 5 4 12 0x x x x+ + + − =
4) Gải các phương trình
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 1
Trường THPT Long Mỹ
a.
( ) ( )
2 3
2 3 1x x− + − =
b.
( )
4
4
1 97x x+ − =
c.
( ) ( )
4 4
3 5 16x x+ + + =
e.
3 5 3 4x x− = − +

Giải các phương trình sau:
5)
( )
2
2
1 1 1
3
x x x x+ − = + −
( )
( )
( )
2
2
2 2 2 2
2 4 4
1 1 1 1 1 2
3 3 9
x x x x x x x x x x
 
⇔ + − = + − ⇔ + − + − = + −
 ÷
 
( )
2 2
2 0 0 1x x x x x x⇔ − − − = ⇔ = ∨ =
.
Cách 2: Đặt
2
2
1

1
2
t
t x x x x
−
= + − ⇒ − =
Cách 3: biến đổi
3 1 3
2 1 3
x
x
x
− −
=
− −
đặt
3 3
1
2 3
t
t x x
t
−
= − ⇒ =
−
suy ra
( )
( )
2
1 2 4 3 0 0 1t t t t t t− − + = ⇔ = ∨ =

Cách 4: đặt
, 1a x b x= = −
ta có hệ
2 2
2
1
3
1
ab a b
a b

+ = +



+ =

Cách5:
( )
2 2 2 2 2 2
4 2 2 4
1 2 1 1 2.
3 3 3 9
VP x x x x x x x x x x= + − = + − + − ≥ + − + −

.
( Do
( ) ( )
2 2 2 2
1 2 2 4

0
4 3 3 9
x x x x x x x x≤ − ≤ ⇒ − ≥ − ≥ −
2
2 2 2
2
1
3
VP x x VT VP VT
 
⇒ ≥ + − = ⇒ ≥
 ÷
 
.
Đẳng thức có
2
0 0 1x x x x⇔ − = ⇔ = ∨ =
6)
2 2
5 1 ( 4) 1x x x x x+ + = + + +
Đặt
2
1 0t x x= + + >
pt
( )
2
4 4 0
4
t x
t x t x

t
=

⇔ − + + = ⇔

=

7)
( )
( )
3 2 2 2 6 *x x x+ − = + +

- Điều kiện:
2x ≥
- Ta có:
( ) ( )
( )
3
8 3
* 2 3
3 2 6
3 2 6 4
x
x
x
x x
x x
=

−

⇔ − = ⇔

− + +
− + + =

8)
2 2
3 3 3 6 3x x x x− + + − + =

- Đặt
2 2 2
3 3 0 3 3t x x x x t= − + > ⇒ − + =
- Phương trình thành:
( )
2 2
2
2
3
3 3 3 3 1
3 3
t
t t t t t
t t
≥


+ + = ⇔ + = − ⇔ ⇔ =

+ = −



Suy ra
{ }
2
3 2 0 1;2x x x− + = ⇔ =
Cách khác: Đặt
2
2
3 3
3 6
u x x
v x x

= − +


= − +


9)
( )
2 3 2 2
2 4 3 4 2 4 3 4x x x x x x x x+ + = + ⇔ + + = +

- Điều kiện:
0x ≥
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 2
Trường THPT Long Mỹ
- Đặt

( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
4
4
4 2; 0
2 0
2 3
u v
u v
u x v x
u v u v
u v uv


= +
= +
 
= + ≥ = ≥ ⇒ ⇒
 
− − =
+ =





Giải ra ta được

4
3
x =
(thỏa mãn)
10)
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
- Điều kiện:
1x ≥
- Khi đó:
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +

( )
2
3 2 1 3 2 1
3 2 1 1
x x x x
x x
⇔ − + − = − + −
⇔ − + − =

Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm
1x
=
11)
3
2 1 1x x− = − −
- Điều kiện:
1x ≥

- Đặt
3
2 ; 1 0u x v x= − = − ≥ dẫn tới hệ:
3 2
1
1
u v
u v
= −


+ =

Thế u vào phương trình dưới được:
( ) ( )
1 3 0v v v− − =
- Đáp số:
{ }
1;2;10x =
12)
2 7 5 3 2x x x+ − − = −
- Điều kiện:
2
5
3
x≤ ≤
- Chuyển vế sao cho 2 vế dương, rồi bình phương 2 vế ta dẫn tới phương trình cơ bản. Sau
đó giải tiếp theo như đã học.
- Đáp số:
14

1;
3
x
 
=
 
 
13)
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +
- Điều kiện:
1 7x
≤ ≤
- Ta có:
2
2 7 2 1 8 7 1x x x x x+ − = − + − + − +

( ) ( )
1 1 7 2 1 7x x x x x⇔ − − − − = − − −

1 2 5
4
1 7
x x
x
x x

− = =

⇔ ⇔



=
− = −



- Đáp số:
{ }
4;5x =
14)Giải phương trình sau:
a.
2 2
2 6 12 3 2 9x x x x+ + + + + =
b.
2 2
2 6 12 7 0x x x x− + − + =
c.
( 1 1)( 1 1) 2x x x+ − − + =
d.
xx
−=−
22
2
e.
2
2006 2006x x+ + =
Cách 1: Đặt
2006x y+ =
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn

Trang 3
Trường THPT Long Mỹ
HD cách gải 2:
2
2 2
1 1
2006 2006
4 4
1 1
2006
2 2
1 1
2006
2 2
1 1
2006
2 2
x x x x
x x
x x
x x
+ + = + − + +
   
⇔ + = + −
 ÷  ÷
   

+ = + −

⇔



+ = − +


f.
3
3
1 2 2 1x x+ = −
Đặt
3
2 1y x= −
g.
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
Đặt
2
y x x= +
h.
2 2
4 6 7 2 3 9 15x x x x+ + + + + =
i.
3
2 1 1x x− + − =
Đặt 2 ẩn phụ
3
2 ; 1x u x v− = − =
j.
3
2 1 3x x− + + =

k.
( ) ( )
( )
2 2
2
3 3
3
3 1 3 1 9 1 0x x x+ + − + − =
l.
3
1 1
1
2 2
x x+ + − =
m.
2 3
2( 2) 5 1x x+ = +
Đặt
2
1; 1a x b x x= + = − +
2 2
2( ) 5
(2 )( 2 ) 0
a b ab
a b a b
+ =
⇔ − − =
2
2
a b

b a
=

⇔

=

n.
2 2
2(3 5) 9 3 2 30x x x x+ + = + +
HD:
( )
2 2
3 2 3 1 9 3( 9) 2 3x x x x+ + + = + + +
 
 

Đặt
2
2 3 ; 9x a x b+ = + =
o.
3 2
5 2 16 2( 8)x x+ = +
HD:
2 2
5 2( 2)( 2 4) 2( 8)x x x x+ − + = +
Mối liên hệ
2 2
8 ( 2 4) (2 4)x x x x+ = − + + +
Đặt

2
2( 2) ; 2 4x a x x b+ = − + =
p.
2 3
2( 3 2) 3 8x x x− + = +

q.
2
2 3 1 3 3 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + −
HD: Ta có
2
(2 3)( 1) 2 5 3x x x x+ + = + +

2 2 2 2 2
2 3 0; 1 0
3 4 3 4
u x v x
u v x x u v
= + ≥ = + ≥
⇒ + = + ⇒ = + −
r.
2 2 2 2
2 1 3 2 2 2 3 2x x x x x x x− + − − = + + + − +
Quan sát các biểu thức
trong căn ta có :
2 2 2 2
(2 1) ( 3 2) (2 2 3) ( 2)x x x x x x x− − − − = + + − − +
đặt
3212
22

++=−⇒=
xxxtu
2 2 2 2
2 1 ; 3 2 ; 2 2 3 ; 2x u x x v x x z x x t− = − − = + + = − + =
Ta có hệ
2 2 2 2
u v z t
u v z t
+ = +



− = −


2 2
2 1 2 3u t x x x⇒ = ⇒ − = + +
s.
2 2 2 2
2006 2005 2005 2004 2006 2 2003 2005 2002x x x x x x x− + − − = + − + + −
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 4
Trường THPT Long Mỹ
15) Giải các phương trình sau (Đánh giá)
a.
32254
2
+=++
xxx
Hướng dẩn

2
2
2 2
4 5 2 2 3 0
( 2 1) (2 3 2 2 3 1) 0
( 1) ( 2 3 1) 0
1 0
2 3 1 0
x x x
x x x x
x x
x
x
+ + − + =
⇔ − + + + − + + =
⇔ + + + − =
+ =



+ − =


b.
2
2 2 1 4 1x x x+ + = +
C1: Đặt
2
1y x= +
2

2
y x x
x y y

= +

⇒

= +


Nhân 2 vế với 2 và đưa về dạng:
2 2
4 ( 4 1 1) 0x x+ + − =
c.
2
6 26 6 2 1x x x− + = +
d.
5 2 1 1 3x x x+ + − − = −

C1: Ta có:
5 3 4( 1) (1 )x x x+ = + − −
Khi đó
2 2
(2 1) ( 1 ) 2 1 1 0 (2 1) 1 1 0
( 1)(5 1 1) 0
x x x x x x
x x
+ − − + + + − = ⇔ + − − + =
⇔ + + − =

C2: đặt
1 ; 1x a x b+ = − =
e.
3
4 1 3 2
5
x
x x
+
+ − − =
HD:
( ) ( )
2 2
3 4 1 3 2x x x+ = + − −
16) Giải các phương trình sau: (Dùng BĐT)
a.
2
14
14
=
−
+
−
x
x
x
x
HD:
4 1
2

4 1
x x
x
x
−
+ ≥
−
b.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
( ) ( )
2 2
2 2
3 6 7 5 10 14 3 1 4 5 1 9 4 9 5VT x x x x x x= + + + + + = + + + + + ≥ + =
2 2
4 2 5 ( 1) 5VP x x x= − − = − + ≤
c.
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −
d.
2
2
2
6 15
6 18
6 11
x x
x x
x x
− +

= − +
− +
e.
2
4 6 10 27x x x x− + − = − +
HD: VP =
2 2
10 27 ( 5) 2 2x x x− + = − + ≥
( )
( )
( )
2
2 2
1. 4 1. 6 1 1 4 6 2.2 4 4 6 2VP x x x x x x= − + − ≤ + − + − = = ⇒ − + − ≤
Bài tập phương trình quy về bậc hai Giáo viên Bùi Văn Nhạn
Trang 5