Dạy giải bài tập chủ đề "Quan hệ vuông góc trong không gian" cho học sinh lớp 11 : Luận văn ThS. Khoa học giáo dục: 81401

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ PHƢƠNG THẢO

DẠY GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ „„ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN‟‟ CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2019


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

TRẦN THỊ PHƢƠNG THẢO

DẠY GIẢI BÀI TẬP CHỦ ĐỀ „„ QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN‟‟ CHO HỌC SINH LỚP 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN HỌC
CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC
BỘ MÔN TOÁN
Mã số: 8.14.01.11

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Thành Văn

HÀ NỘI – 2019

LỜI CẢM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, cố gắng học tập và làm việc nghiêm túc,
em đã hoàn thành luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành và biết ơn
đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Văn đã hướng dẫn, động viên và góp ý
để em hoàn thành tốt luận văn này. Em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các
thầy, cô giáo trường Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình
giảng dạy, hướng dẫn, gợi ý và cho những lời khuyên bổ ích suốt quá trình
học tập và nghiên cứu tại trường; em xin cảm ơn Khoa Sư phạm trường Đại
học Giáo dục đã tạo điều kiện giúp em nghiên cứu và hoàn thành luận văn
Thạc sĩ. Em xin cảm ơn thầy cô giáo trường THPT Quốc Oai, Hà Nội, bạn bè
và gia đình đã động viên, giúp đỡ em trong thời gian học tập và nghiên cứu.
Hà Nội, ngày 18 tháng 02 năm 2019
Tác giả

Trần Thị Phương Thảo

i


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
TN

Thực nghiệm

ĐC

Đối chứng

TB

Trung bình

ii


DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 3.1. Kết quả bài kiểm tra 45 phút .......... Error! Bookmark not defined.

Bảng 3.2. So sánh định lượng kết quả bài kiểm tra 45 phút Error! Bookmark not define

iii


DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ
Biểu đồ 3.1. So sánh định lượng kết quả bài kiểm tra 45 phút Error! Bookmark not
defined.

iv


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................ i
MỤC LỤC .................................................................................................... v
DANH MỤC CÁC BẢNG………………………………………………….iii
DẠNH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ……………………………………………....iv
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu .................................................................................. 2
3. Giả thuyết khoa học .................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................. 2

5. Câu hỏi nghiên cứu..................................................................................... 2
6. Đối tượng, khách thể nghiên cứu ................................................................ 3
7. Phạm vi nghiên cứu .................................................................................... 3
8. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................ 3
9. Cấu trúc luận văn........................................................................................ 4
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .................................... 5
1.1. Tổng quan nghiên cứu vấn đề .................................................................. 5
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu ở nước ngoài .................................................... 5
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu ở trong nước ..................................................... 7
1.2. Bài tập ..................................................................................................... 8
1.3. Quá trình giải bài tập ............................................................................... 9
1.3.1. Giải bài tập là gì? ................................................................................ 9
1.3.2. Cấu trúc quá trình giải bài tập ........................................................... 10
1.3.3. Các yêu cầu đối với lời giải ................................................................ 11
1.4. Dạy học giải bài tập. Tư tưởng sư phạm của G.Pôlya trong dạy học giải
bài tập toán. .................................................................................................. 11
1.4.1. Dạy học giải bài tập là một tình huống điển hình trong dạy học
môn Toán..................................................................................................... 11

v


1.4.2. Tư tưởng chính thể hiện qua các bước giải toán. .............................. 11
1.4.2.1. Các quan điểm sư phạm qua bước “hiểu r bài toán”. .................. 11
1.4.2.2. Quan điểm sư phạm của G.Polya qua bước thực hiện lời giải bài toán. .... 19
1.4.2.3. Quan điểm của G.Pola thể hiện qua bước kiểm tra lời giải bài toán 24
1.4.2.4. Quan điểm về phát triển bài toán sau khi đã giải được bài toán .... 25
1.5. Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết
vấn đề ........................................................................................................... 25
1.5.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề. ............................................. 25

1.5.2. Mối liên hệ giữa quy trình của G.Pôlya và lý thuyết dạy học giải quyết
vấn đề ........................................................................................................... 27
1.6. Thực trạng dạy học giải bài tập chương “Quan hệ vuông góc trong không
gian” cho học sinh lớp 11 ............................................................................. 28
Kết luận chƣơng 1 ...................................................................................... 30
CHƢƠNG 2. VẬN DỤNG QUY TRÌNH BỐN BƢỚC CỦA G.PÔLYA
VÀO DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP CHƢƠNG “QUAN HỆ VUÔNG GÓC
TRONG KHÔNG GIAN” LỚP 11 ............................................................ 31
2.1. Định hướng vận dụng quy trình G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương
“Quan hệ vuông góc trong không gian” ........................................................ 31
2.2. Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chương “Quan
hệ vuông góc trong không gian” ................................................................... 32
2.2.1. Dạy học giải bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.......... 32
2.2.1.1. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Mặt phẳng trung
trực. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. ............................................ 32
2.2.1.2. Thiết diện qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.. 40
2.2.1.3. Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. ....................................... 46
2.2.2. Dạy học giải bài tập về hai mặt phẳng vuông góc .............................. 49
2.2.2.1. Tính góc giữa hai mặt phẳng. .......................................................... 49

vi


2.2.2.2. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc. Chứng minh đường thẳng
vuông góc với mặt phẳng.............................................................................. 53
2.2.2.3. Thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng. 58
2.2.3. Dạy học giải bài tập về khoảng cách .................................................. 61
2.2.3.1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng. .............................. 61
2.2.3.2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng. .................................. 64
2.2.3.3. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song. Khoảng

cách giữa hai mặt phẳng song song. ............................................................ 67
2.2.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. ............................... 69
Kết luận chƣơng 2 ...................................................................................... 75
CHƢƠNG 3. THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM .............................................. 76
3.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ............................................................. 76
3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ............................................................. 76
3.3. Tổ chức thực nghiệm sư phạm ............................................................... 76
3.3.1. ối tượng thực nghiệm ....................................................................... 76
3.3.2. Thời gian thực nghiệm ........................................................................ 76
3.3.3. Phư ng pháp thực nghiệm .................................................................. 77
3.3.4. Tiến hành thực nghiệm ....................................................................... 77
3.4. Phân tích kết quả thực nghiệm sư phạm ................................................. 77
3.4.1. ánh giá về mặt định tính .................................................................. 77
3.4.2. ánh giá về mặt định lượng ............................................................... 78
Kết luận chƣơng 3 ...................................................................................... 81
KẾT LUẬN ................................................................................................. 82
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 83

vii


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Môn Toán có vai trò quan trọng trong giáo dục phổ thông: kiến tạo
những tri thức và rèn luyện kỹ năng Toán học cần thiết, phát triển năng lực trí
tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa,... bồi
dưỡng những đức tính của người lao động mới.
Muốn vậy, việc dạy ở trường phổ thông không đơn thuần là dạy kiến
thức mà cần dạy cho học sinh những tri thức phương pháp để giải một bài
toán, từ đó phát triển nơi các em lòng yêu thích môn Toán, hứng thú tự khám

phá tìm tòi lời giải bài toán một cách khoa học.
Tuy nhiên, trong thực tế khi đứng trước một bài toán nhiều học sinh
gặp lúng túng như:
- Thiếu hoặc vận dụng chưa linh hoạt kiến thức liên quan để giải bài
toán, chưa liên kết được các yếu tố khác nhau của bài toán, giữa cái biết và
cái chưa biết.
- Chưa có thói quen nghiên cứu sâu lời giải.
Từ những lúng túng mà học sinh gặp phải đã nêu trên nếu học sinh
không khắc phục vượt qua sẽ dẫn đến hạn chế kết quả học tập và không phát
triển được tác dụng tích cực của môn toán. Nhưng nếu vượt qua thì khả năng
tư duy Toán học, sự sáng tạo và niềm đam mê khám phá tăng lên.
Khi xem xét nghiên cứu quy trình bốn bước của G. Pôlya chúng tôi
thấy rằng quy trình đã giải quyết được các vấn đề, những lúng túng được
nêu ra ở trên. Nếu vận dụng được quy trình của G.Pôlya vào quá trình giải
bài tập thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học giải bài tập ở trường
trung học phổ thông.
Mặt khác, “Quan hệ vuông góc trong không gian” là một nội dung hay,
cốt lõi trong chương trình hình học lớp 11 và rèn luyện được khả năng tư duy

1


logic, tư duy sáng tạo cho học sinh. Hơn nữa đây còn là một nội dung khó,
đòi hỏi một khối lượng lớn kiến thức và kỹ năng, yêu cầu học sinh cần phải
có trí tưởng tượng không gian tốt và vận dụng linh hoạt các hoạt động trí tuệ.
Với những lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Dạy giải bài tập chủ
đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11” làm đề tài
nghiên cứu khoa học của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Vận dụng quy trình giải toán của G. Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ

đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11.
3. Giả thuyết khoa học
Tổ chức cho học sinh vận dụng quy trình của G.Pôlya giúp nâng cao
chất lượng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”
cho học sinh lớp 11.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lý luận về quy trình của G.Pôlya, mối quan hệ giữa quy trình
của G.Pôlya với lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề và việc vận dụng quy
trình trong dạy học giải bài tập.
- Tìm hiểu thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc
trong không gian” lớp 11 và khả năng vận dụng quy trình của G.Pôlya.
- Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ đề
“Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11.
- Thực nghiệm sư phạm.
5. Câu hỏi nghiên cứu
- Quy trình của G.Pôlya là gì? Mối quan hệ giữa quy trình của G.Pôlya
với lý thuyết dạy học giải quyết vấn đề là gì? Vận dụng quy trình đó trong
dạy học giải bài tập như thế nào?

2


- Thực trạng dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” cho học sinh lớp 11 như thế nào?
- Vận dụng quy trình của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập chủ đề
“Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11 như thế nào?
6. Đối tƣợng, khách thể nghiên cứu
6.1. Đối tượng nghiên cứu
Dạy giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian” Trường
Trung học phổ thông Quốc Oai, Hà Nội.

6.2. Khách thể nghiên cứu
Quá trình dạy giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không
gian” cho học sinh lớp 11.
7. Phạm vi nghiên cứu
7.1. Phạm vi về nội dung: Chủ đề “Quan hệ vuông góc trong không gian”
thuộc phân môn Hình học Trung học phổ thông.
7.2. Phạm vi về thời gian: Từ tháng 1 năm 2018 đến tháng 1 năm 2019.
7.3. Phạm vi về không gian: 15 lớp 11 Trường Trung học phổ thông Quốc
Oai, Hà Nội.
8. Phƣơng pháp nghiên cứu
8.1. phương pháp nghiên cứu lý luận
- Nghiên cứu những tài liệu về lý luận dạy học môn toán ở trường phổ thông.
- Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến việc tìm lời giải các bài
tập toán học, đặc biệt là công trình của G.Pôlya.
- Nghiên cứu chương trình và sách giáo khoa toán ở trường trung học
phổ thông, các sách toán sơ cấp, các tài liệu về luyện thi đại học, thi trung học
phổ thông quốc gia môn Toán.
8.2. Phương pháp quan sát, điều tra
- Quan sát giờ học, giờ kiểm tra nhằm tìm hiểu thực tiễn dạy tìm lời
giải bài toán của giáo viên và việc tìm lời giải bài toán của học sinh nhằm
phát hiện vấn đề nghiên cứu.

3


- Điều tra, xử lý các số liệu điều tra.
8.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm
- Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính thực tiễn của
phương án vận dụng quy trình bốn bước của G.Pôlya vào dạy học giải bài tập
chương “Quan hệ vuông góc trong không gian” cho học sinh lớp 11.

- Đối tượng thực nghiệm: Lớp 11A1 và 11A2, trường trung học phổ
thông Quốc Oai, Hà Nội.
8.4. Phương pháp thống kê toán học
- Xử lý kết quả thực nghiệm.
9. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của
luận văn gồm ba chương.
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.
Chương 2: Dạy học giải bài tập chủ đề “Quan hệ vuông góc trong
không gian” cho học sinh lớp 11.
Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

4


CHƢƠNG 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Tổng quan nghiên cứu vấn đề
1.1.1. Tổng quan nghiên cứu ở nước ngoài
a) Nghiên cứu những vấn đề có tính chất lý luận và thực tiễn về bản
chất, cấu trúc bài tập và quy trình giải bài tập trên nhiều phương tiện khoa
học khác nhau như:
+ Khái niệm bài tập là gì? (UP.Reyman, A.Ph.Exaulôv, G.A.Ball,
A.N.Leonchiev, A.Niuell…).
+ Bản chất cấu trúc và quy trình giải bài tập nói chung (G.Pôlya,
L.M.Phritman, A.M.Machiuskin, I.laLecne…).
b) Nghiên cứu quá trình giải bài tập dưới góc độ như là phương tiện để
xác định cấu trúc và quy luật hoạt động tư duy của con người
Trong lịch sử tâm lý học với các đại diện như O.Đenxo, Quynpe…của
trường phái Vutxbua (Đức) lần đầu tiên xem quá trình giải bài tập như là tính

đặc thù của tư duy. O.Đenxo trong tác phẩm “Lý thuyết thao tác trí tuệ” đã đề
cập đến tính nguyên nhân, tính điều kiện và tính kiểm tra của bài tập trong
quá trình tư duy. Tuy nhiên, mối quan hệ giữa bài tập và tư duy, theo ông chỉ
có tính chất bề ngoài, bản thân nội dung của bài tập không được đưa vào quá
trình tư duy. Nó chỉ được xem như một yếu tố đóng vai trò của cơ chế khởi
động [5].
Dựa vào nguyên tắc cấu trúc, các nhà tâm lý học Ghestal (C.Côpca,
V.Kôle, M.Vêchgeyme, Dunker…) cho rằng giải bài tập là đặc điểm của tư
duy sáng tạo, là bước chuyển từ cấu trúc “xấu” sang một cấu trúc “tốt”. Việc
so sánh giữa cái đã cho và cái cần tìm, giữa các điều kiện và yêu cầu của bài
tập được họ coi như mối tương quan lẫn nhau (Dunker), giữa bản thân các

5


điều kiện với yêu cầu của bài tập do tính cơ động của tình huống tạo ra, bỏ
qua hoạt động tạo ra mối tương quan đó của chủ thể đang tư duy.
Các nhà tâm lý học hành vi mà đại diện là Manxman nghiên cứu quá
trình giải bài tập dựa trên nguyên tắc “thử và sai”. Họ đã di chuyển từ nghiên
cứu hành vi động vật sang nghiên cứu tư duy con người. Và cho rằng quá
trình tìm tòi lời giải bài tập như sự lựa chọn dần các kỹ năng và coi trọng việc
hình thành các kinh nghiệm quá khứ là tập hợp các thao tác để nghiên cứu bất
kỳ tình huống nào.
c) Một trong những hướng chính được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm
là khả năng vận dụng lý thuyết chung về bài tập và giải bài tập vào tiết dạy
học, đặc biệt là dạy và học toán (L.M.Phritman, G.P.N.A.Menchinxkaia và
các cộng sự…). Các tác giả này đã tập trung làm rõ bản chất của quá trình giải
bài tập ở người và đưa ra sơ đồ chung, khái quát về quá trình giải bài tập
nhằm đề ra những giải pháp nâng cao chât lượng dạy và học toán.
Thực nghiệm của P.M.Ecđơnhiev, V.Zanbôttin, Đ.Turrôpxkai cho thấy

việc sử dụng các bài tập đặc biệt (bài tập đảo ngược, bài tập chứa thông tin
bất ngờ, bài toán mẹo…) đã nâng cao tính tích cực trí tuệ, giúp học sinh lĩnh
hội sâu sắc các quy tắc đang nghiên cứu đồng thời phát triển năng lực đặt vấn
đề một cách logic.
d) Nghiên cứu khá sâu sắc sự phát triển của tư duy – một hoạt động tâm
lý phức tạp của học sinh ở các lứa tuổi đầu, giữa và cuối tuổi học,
M.N.Sacđacôp đã tổng hợp lại sự nghiên cứu của nhiều công trình tâm lý học
về quá trình tư duy do các tác giả Xô Viết cũng như các học giả, những người
dạy giáo học pháp nghiên cứu thông qua quá trình giải bài tập dưới nhiều hình
thức khác nhau.
M.F.Morozop – “Những câu hỏi của giáo viên là phương tiện phát triển
tính tích cực hoạt động tư duy của học sinh trên lớp” – (Giáo dục học Xô Viết

6


số 5 – 1957). Ông cho rằng tính tích cực tư duy khi học lịch sử của học sinh
phụ thuộc rất nhiều vào cách xây dựng câu hỏi theo những kiểu khác nhau của
giáo viên.
e) Các công trình nghiên cứu của G.Pôlya, nhà sư phạm nổi tiếng Mỹ,
dù chưa đi sâu nghiên cứu chuyên biệt về quá trình giải bài tập hình học
nhưng tác phẩm của ông đã đề cập đến khá nhiều lĩnh vực của quá trình giải
bài toán. Với sự hiểu biết uyên bác kết hợp với những kinh nghiệm dạy và
nghiên cứu của bản thân, G.Pôlya đã phân tích một cách sinh động quá trình
sáng tạo toán học qua việc giải toán ở nhiều trình độ khác nhau qua đó đưa tới
bạn đọc những lời khuyên bổ ích cho quá trình dạy và học toán.
1.1.2. Tổng quan nghiên cứu ở trong nước
Vấn đề bài tập và giải bài tập được các tác giả tập trung xu hướng
cơ bản sau:
Xem xét bài tập và giải bài tập dưới góc độ của phương pháp giải toán,

của việc dạy học giải toán, tiêu biểu như trong các công trình của Hoàng
Chúng, Nguyễn Bá Kim, Nguyễn Thái Hòe, Tôn Thân, Trần Thúc Trình, Thái
Sính…
Nhìn chung, các tác giả đều xem xét bài toán cũng như quá trình giải
bài toán trên cơ sở lý luận của G.Pôlya. Trong đó, đặc biệt chú trọng đến việc
hình thành từng bước ở học sinh phương pháp chung để giải một bài toán:
Tìm hiểu đề toán, xây dựng chư ng trình giải bài toán, thực hiện chư ng
trình giải bài toán, nghiên cứu và kiểm tra kết quả bài toán.
Như vậy, trên bình diện lý luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề
tài nghiên cứu của chúng tôi: bài tập, quá trình giải bài tập đã được nghiên
cứu tương đối sâu sắc. Đây là những tư liệu quý báu, đặt nền tảng cơ sở lý
luận cho việc nghiên cứu thực tiễn sau này. Tuy nhiên việc triển khai hệ thống
lý luận vào thực tiễn còn gặp nhiều khó khăn và hiệu quả chưa cao. Điều đó

7


gây những khó khăn, trở ngại không nhỏ tới quá trình giải bài tập ở những
dạng khác nhau của học sinh. Việc nghiên cứu của chúng tôi chủ yếu nhằm cụ
thể hóa việc vận dụng lý luận về quy trình giải bài tập toán của G.Pôlya vào
dạy học chư ng “Quan hệ vuông góc trong không gian”cho học sinh lớp 11
góp phần nâng cao chất lượng dạy và học nói chung và phân môn hình học
nói riêng.
1.2. Bài tập
Theo Nguyễn Gia Cốc: “Bài tập là một tình huống kích thích đòi hỏi
một lời giải đáp không có sẵn ở người giải tại thời điểm bài tập được đưa
ra” [3].
Theo Nguyễn Ngọc Quang: “Bài toán là một hệ thông tin xác định, bao
gồm những điều kiện và những yêu cầu mà thoạt đầu chủ thể nhận thức thấy
không phù hợp (mâu thuẫn) với nhau, dẫn tới nhu cầu phải khắc phục bằng

cách biến đổi chúng” [3].
G.Pôlya cho rằng: “Bài tập đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách
có ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích rõ ràng, nhưng
không thể đạt được ngay” [12, tr.169]. Ông chỉ rõ các thành phần cấu tạo của
bài toán: “Trong bất cứ bài toán nào cũng có ẩn – nếu tất cả đều đã biết rồi thì
không còn phải tìm gì nữa…Trong mỗi bài toán lại còn phải có một điều gì đó
đã biết, hoặc đã cho (dữ kiện) – nếu không cho trước cái gì cả thì không có
một khả năng nào để nhận ra cái cần tìm, cho dù nó có ở ngay trước mắt ta thì
ta cũng không thể nhận ra được…Sau cùng, trong bất kỳ bài toán nào cũng
phải có điều kiện để cụ thể hóa mối quan hệ giữa ẩn và các dữ kiện…Điều
kiện là yếu tố căn bản của bài toán” [12, tr.19].
Như vậy chúng tôi quan niệm rằng bài tập là một tình huống có vấn đề
hoặc một hệ thông tin xác định đòi hỏi chủ thể nhận thức phải giải quyết bằng
cách biến đổi chúng.

8


1.3. Quá trình giải bài tập
1.3.1. Giải bài tập là gì?
Vấn đề giải bài tập được tiến hành nghiên cứu hai hướng cơ bản sau:
- Một là, thông qua nghiên cứu việc giải bài tập để xác định cấu trúc
quy luật hoạt động tư duy của con người. X.L.Rubinstêin cho rằng thực chất
cơ chế của giải bài tập là quá trình tư duy. Giải bài tập là quá trình phân tích
thông qua tổng hợp nghĩa là quá trình liên tục phân tích điều bài tập thông
qua đối chiếu chúng với nhau để tìm ra cách giải. Đây chính là sơ đồ chung,
tổng quát nhất để giải toán của X.L.Rubinstêin. Sơ đồ này chỉ ra rằng “lời
giải là quá trình phân tích và tổng hợp trong mối liên hệ và phụ thuộc lẫn
nhau” [5]. Và nó đã được ông sử dụng như một tư tưởng chủ đạo xuyên suốt
nội dung khi ông lý giải các vấn đề từ việc tiếp nhận bài tập, biến đổi tìm

kiếm cách giải.
- Hai là, nghiên cứu việc giải bài tập như một dạng hoạt động học của
học sinh. Phải kể đến công trình nghiên cứu của L.M.Phritman và G.Pôlya.
Nhìn từ góc độ tâm lý học sư phạm trong một phạm vi hẹp (nghiên cứu việc
giải bài tập toán), L.M.Phritman cho rằng: “Giải bài tập toán, điều đó có nghĩa
là tìm kiếm sự hợp lý (hợp logic) của các luận điểm (quy tắc) chung của toán
học (định nghĩa, định lý, lý thuyết, quy tắc, định luật, công thức) mà khi vận
dụng chúng vào các điều kiện của bài tập hay các kết quả trung gian của nó, ta
thu được cái mà bài tập yêu cầu – lời giải của bài tập” [5].
G.Pôlya trong nhiều tác phẩm của mình: Giải bài toán như thế nào;
Toán học và những suy luận có lý; Sáng tạo toán học…tuy ông không đưa ra
một định nghĩa chính xác về giải bài tập nhưng rải rác trong các tác phẩm này
ông có nêu khá nhiều ý kiến. G.Pôlya cho rằng đó là sự “tìm kiếm một cách ý
thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng
không thể đạt được ngay” [12, tr.169].

9


Rõ ràng quan điểm của L.M.Phritman và G.Pôlya có những điểm tương
đồng. Họ đều cho rằng giải bài tập là sự tìm kiếm một phương pháp thích hợp
để đạt được kết quả. “Phương tiện thích hợp” của hai ông trên phương diện
toán học chính là các điều kiện của đầu bài được sử dụng, biến đổ sao cho phù
hợp với quy luật logic để tìm đến kết quả.
1.3.2. Cấu trúc quá trình giải bài tập
Theo G.Pôlya, cấu trúc quá trình giải bài tập gồm 4 bước:
Bước 1: Hiểu rõ bài toán
+ Nắm rõ cái đề bài cho và cái đề bài yêu cầu ;
+ Sử dụng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài.
Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Người giải phân tích bài toán đã cho thành những bài toán đơn giản
hơn hay biến đổi đưa về các bài toán quen thuộc thông qua các kỹ năng đặt
câu hỏi bằng hệ thống câu hỏi:
 Em đã gặp bài toán này hay bài toán này ở dạng khác lần nào
chưa? Em có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lý có thể
dùng được không?
 Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tư ng tự?
 Em đã sử dụng mọi dự kiện chưa?

ã sử dụng hết điều kiện chưa?

ã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa? [10]
...
Để trở thành thói quen khi giải toán, học sinh cần được luyện tập
thường xuyên những gợi ý này trong từng tiết dạy trên lớp, đặc biệt là những
giờ chữa bài tập toán. Thói quen này không những giúp học sinh học được
cách giải toán mà còn có thể vận dụng vào thực tiễn đời sống.
Bước 3: Thực hiện chương trình giải
Kiểm tra lại từng bước.

10


 Em đã thấy mỗi bước đều đúng chưa?
 Em có thể chứng minh là nó đúng/sai không?
Bước 4: Kiểm tra lại và nghiên cứu lời giải đã tìm ra
 Có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trình giải của bài toán không?
 Có cách làm khác không?
 Có thể sử dụng kết quả hay phư ng pháp đó cho một bài toán nào
khác không?[10]

1.3.3. Các yêu cầu đối với lời giải
(i) Kết quả đúng, kể cả ở bước trung gian.
(ii) Lập luận chặt chẽ.
(iii) Lời giải đầy đủ.
(iv) Ngôn ngữ chính xác.
(v) Trình bày rõ ràng.
(vi) Có nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn, hợp lý nhất.
(vii) Nghiên cứu giải những bài toán tương tự.
Trong đó, bốn yêu cầu (i), (ii), (iii) và (iv) là các yêu cầu cơ bản [7].
1.4. Dạy học giải bài tập. Tƣ tƣởng sƣ phạm của G.Pôlya trong dạy học
giải bài tập toán.
1.4.1. Dạy học giải bài tập là một tình huống điển hình trong dạy học
môn Toán.
Ở đó giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài
toán mà cần hình thành cho học sinh cách thức tư duy để có được lời giải đó.
Có hai dạng là dạy chứng minh và dạy tìm tòi.
1.4.2. Tư tưởng chính thể hiện qua các bước giải toán.
1.4.2.1. Các quan điểm sư phạm qua bước “hiểu r bài toán”.
Khi tiếp xúc với bài toán và bắt đầu tìm tòi lời giải, diễn biến tâm lý
của người giải toán diễn ra những câu hỏi độc thoại như người diễn viên
phải đóng hai vai vậy; một bên là thầy giáo và bên kia là học trò, thầy giáo
đặt ra những câu hỏi như: Những cái gì chưa biết? Những cái gì là đã cho
11


trước?

iều kiện của bài toán là gì? Còn học sinh phải xem xét những yếu

tố chính của bài toán một cách tập trung nhiều lần và nhiều khía cạnh khác

nhau. Nếu bài toán liên quan đến hình vẽ thì phải vẽ hình, đạt tên, kí hiệu
cho những yếu tố có liên quan…. Cuôc đàm thoại này diễn ra cho đến khi đề
bài toán được làm rõ, và có thể đề ra được một chương trình giải.
Như vậy tư tưởng sư phạm của G.Polya thể hiện trong bước này là:
“Dạy học toán là dạy cách suy ngh tìm tòi lời giải cho các bài toán”. Theo
ông, phương pháp cần dạy cho học sinh khi tìm lời giải là tập luyện cho họ
những hoạt động biến đổi quy lạ về quen bao gồm:
 Hoạt động liên tưởng bài toán cần giải, mệnh đề cần chứng minh
với bài toán đã biết, định lý đã biết, đã chứng minh trước đó.
Để đạt được sự cân bằng trong quá trình nhận thức ở thời điểm nhất
định, con người phải trải qua một dãy những diễn biến khác nhau về tâm lý,
ch ng hạn khi đứng trước một bài toán, lúc đầu người giải nhìn bài toán biệt
lập, hoặc ch ng có chi tiết nào, hoặc có ít chi tiết, có chăng chỉ phân biệt được
những phần chính: như ẩn số, các dữ kiện và điều kiện hoặc điều kiện cần và
kết luận của bài toán, dần dần bài toán hiện ra trước người giải hoàn toàn
khác: phức tạp, mang thêm những chi tiết và bộ phận phụ, giữa chúng và bài
toán có những liên hệ nào đó mà người giải toán chưa hề nghi vẫn. Quá trình
huy động và liên tưởng bắt đầu xuất hiện. Cái nhìn về bài toán ban đầu bị
tước mất các chi tiết, xuất hiện những đường nét phụ. Các tri thức tích lũy từ
trước được huy động, vận dụng, chủ yếu là các định lý có liên hệ đến bài toán.
Ngay khi bắt đầu nghiên cứu bài toán, người giải không thể nào thấy được
định lý nào thực sự có triển vọng và có ích cho mình; đòi hỏi phải sàng lọc,
loại bỏ những cái không liên quan, giới hạn dần vùng liên hệ nhằm tìm được
định lý hay khái niệm, mệnh đề thực sự là chìa khóa để giải bài toán. Đó
chính là quá trình huy động và liên tưởng.

12


Theo G.Polya: “Người giải đã tích l y được những kiến thức ấy trong

trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải toán. Chúng ta
gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức như vậy là sự huy động, việc làm cho
chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức” [4,tr.310].
Vi dụ 1: Cho hình chóp S.ABC . O là điểm bên trong tam giác ABC .
Qua O vẽ các đường th ng song song với SA,SB,SC cắt các mặt ph ng

SBC  , SAC  , SAB  theo thứ tự tại
a) Chứng minh tổng

A ', B ', C ' .

OA ' OB' OC'


không đổi khi O di động trong
SA SB SC

tam giác ABC .
b)

Xác

định

O

để

S

tích

OA’.OB’.OC’ đạt giá trị lớn nhất.
Giải:
a) Gọi

M, N, P

A’

N

lần lượt là giao

C’

A

điểm của AO và BC, BO và AC, CO

P

và AB. Khi đó A' là giao điểm của

O

M
B

SM và đường th ng qua O song song

A 2
Hình

với SA. SN cắt đường th ng qua O
song song với SB tại B' . SP cắt đường th ng
qua O song song với SC tại
OA' OM OB' ON


,

SA AM SB BN
OA' OB' OC' OM




SA
SB SC
AM

N
P

C'.

OC' OP
,


SC CP
ON OP


1
BN CP

Đến đây ta liên tưởng đến bài toán
trong hình hoc ph ng sau:

13

C

K

I
O

B

M
Hình 3

C


Bài toán: Cho tam giác ABC . O là điểm bất kì trong

C.Gọi M, N, P

lần lượt là giao điểm của AO và BC , BO và AC , CO và AB .Chứng minh
rằng OM  ON  OP không đổi.
AM

BN

CP

Để giải được bài toán này học sinh cần liên tưởng tới định lí Talet trong
mặt ph ng,bằng cách k đường phụ IK. Ta thực hiên lời giải như sau:
Giải:
K IK qua O song song với BC . Khi đó:
OP OI ON OK

,

CP BC BN BC
OM
OA
IK
 OI  OK 
 1
 1 
  1
AM
AM
BC
 BM  CM 
OM ON OP




1
AM BN CP

Sau khi đã chứng minh được OM  ON  OP  1 ta chỉ việc kết luân cho
AM

lời giải bài toán ban đầu là :

BN

CP

OA ' OB' OC '


1
SA
SB SC
(đpcm)

Từ kết quả câu a đã hé lộ một một ngã rẽ cho việc đi tìm lời giải câu b;
đến đây học sinh cần liên tưởng đến bất đ ng thức Cosi cho ba số không âm
rồi áp dụng kết quả câu a để đi đến lời giải.
b) Theo câu a) ta có:
3

 OA ' OB' OC ' 



OA ' OB' OC '  SA SB SC 
1
.
.

(Bất đ ng thức Cô – si)
 
SA SB SC 
3
 27


 OA '.OB'.OC' 

1
.SA.SB.SC
27

Dấu bằng xảy ra khi OA'  OB'  OC'  OM  ON  OP  1
SA

SB

SC

Vậy O là trọng tâm của tam giác ABC.

14

AM

BN

CP

3


Theo tác giả G.Polya “Sự huy động các yếu tố có nhiều triển vọng có
ích, g n với quan niệm của chúng ta về bài toán, thông thường có thể làm cho
bài toán phong phú, dạng bài toán r rệt h n, loại bỏ được các l hổng, kh c
phục được những thiếu sót, tóm lại s bổ sung cho bài toán”[4,tr.132]
Sự liên tưởng và huy động kiến thức ở mỗi người một khác, khi đứng
trước một bài toán cụ thể, có người liên tưởng được nhiều định lý, mệnh đề,
bài toán phụ mà những yếu tố này hy vọng sẽ có ích cho ta tìm được lời giải
bài toán. Có người chỉ liên tưởng được một số ít định lý, mệnh đề có liên
quan… Do vậy sự liên tưởng và huy động kiến thức khi cần thiết phụ thuộc
vào khả năng tích lũy kiến thức và phụ thuộc vào sự nhạy cảm trong việc phát
hiện mẫu chốt của vấn đề trước mắt.
Thực ra, năng lực liên tưởng và huy động kiến thức không phải là điều
bất biến, với cùng một bài toán, nếu đặt vào thời điểm này có thể học sinh
không giải được, hoặc giải được nhưng thiếu tính sáng tạo, lời giải còn dài
dòng nhưng khi ở vào một thời điểm khác có thể học sinh lại giải được và còn
có thể độc đáo, đầy tính sáng tạo do trạng thái tâm lý cho phép sự tập trung
vào sự huy động kiến thức một cách tối đa.
Ch ng hạn khi đứng trướng bài toán :
Ví dụ 2: Cho tứ diện S.

C. Gọi G là trọng tâm của tam giác

C. P c t S ,S ,SC,SG theo thứ tự tại
rằng:

, ,C ,G . hình 4. )Chứng minh

SA SB SC
SG


3
.
SA ' SB ' SC '
SG '

S

Để giải được bài toán này, học sinh
cần nắm được nhữnh dự kiện của bài toán
cũng như yêu cầu của bài toán. Ở đây là bài
toán hình học do vậy điều đầu tiên là học

C'
G' M2

A'
M'

B'

A
G

M
B

Hình 4

15

M1

C


sinh phải vẽ được hình. Khi phân tích điều cần chứng minh. Giáo viên có thể
gợi ý cho học sinh nhớ lại một bài toán đã giải nào đó trong hình học ph ng,
vì tổng của hai hạng tử đầu có liên quan đên bài toán ph ng sau:
ài toán ph ng: Cho tam giác S

. Gọi G là trung điểm của cạnh

Một đường thẳng d c t S ,S ,SG lần lượt tại

.

S

, ,G . Chứng minh rằng:

B'
G'

SA SB
SG

2
SA ' SB '
SG '

A'

G
1

Giải:

A

G

B

Dựng AG1,BG2 song song với A’B’.
G

SA SB SG1 SG2




Ta có:
(Ta – let)
SA' SB ' SG ' SG '


2

Hình 5

SG1  SG2 SG  GG1  SG  GG2
SG

2
SG '
SG '
SG '

Từ đó có thể áp dụng cho lời giải bài toán không gian

SA SB SC
SG
SM SC
SG


3
2

3

(1)
SA ' SB ' SC '
SG '
SM ' SC '
SG '
Ta chứng minh (1): Gọi M1 là trung điểm của GC,M2 là giao điểm của
M’C’ và SM1. Khi đó ta có:

SG
SM SM 1

2
(2)
SM ' SM 2
SG'

SM 1
SC SG

2
(3) Lấy (2) x 2 +(3) ta được (1).Suy ra đpcm.
SC ' SG'
SM 2



Hoạt động biến đổi bài toán về bài toán quen thuộc, bao gồm

cấu trúc lại bài toán, diễn đạt lại hình thức bài toán. Trong quá trình giải bài
tập toán hay chứng minh công thức, định lý không phải khi nào cũng gặp

những bài toán quen thuộc mà nhiều khi cần phải biến đổi bài toán đã cho về
dạng quen thuộc hơn, đã từng biết cách giải. Ch ng hạn xét bài toán: Cho tứ

16