Phân tích động lực học kết cấu tấm sử dụng phần tử tương thích LCCT12

PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TẤM SỬ 
DỤNG PHẦN TỬ TƯƠNG THÍCH LCCT12
Lê Kiều a; Nguyễn Quang Tuyến b ; Chu Quốc Thắng c ; Lê Hoài Long b;
a
 Trường đại học Kiến trúc Hà Nội.
b
 Trường đại học Bách Khoa TPHCM,
c 
Trường đại học Quốc Tế,
Bài báonàytrìnhbàymộtcáchphântích độnglực học tấmsửdụngphương
pháp phần tử hữu hạn với phần tử tương thích LCCT12 (Linear   Curvature  
Compatible Triangle). Cách tiếpcậncủaphầntử LCCT12 với bài toánđộng
lực học ứng dụng lý thuyết tấmmỏng của Kirchhoff cũng được trình bày.
Các lời giải số về tầnsố dao độngriêngcủamộtsố dạng bài toántấm
minhhoạ hiệuquảsửdụngcủadạngphầntử này.

1.  Giới thiệu
Nghiên cứu về bài toán tấmluôn có ý nghóa lớn lao cho việc ứng dụng
vào các kết cấu hữu dụng hiện hữu xung quanh chúng ta: sàn nhà, vách,
nắphoặcđáybunker,hồnước… Cáctính toángiải tích truyềnthốngđa phần
dựa trênlý thuyếttấmmỏngcủaKirchhoff với giảthuyếtvềmặttrungbình
khôngbiếndạng đã được pháttriểndù rất tốt với các lời giải của Ritz,
Reyleigh, Lévy, Navier… dưới dạng chuỗi nhưng cũng chỉgiới hạn với một
số điềukiệnbiênnhấtđònh và phầnlớn chỉlà dùngđểgiải tìm nội lực
mà thôi. Đối với phântích độnglực học bài toántấmthì các nghiêncứu
giải tích dựa trênđònh luậtNewton, phươngtrình côngảo… còn hạn chếhơn
nữavì các khó khăntoánhọc. Một số các phươngphápxấpxỉnhư phương
pháp biến phân, Galerkin… cũng được phát triển để giải quyết các khó
khăncủa các phươngpháptruyềnthốngtuy nhiêncũng gặpphải các khó
khăntương tự. Một số các kết quả có thểtìm trong [5,11,13]. Cùng với sự
phát triển của công nghệmáy tính hiện nay, các tiếp cận sử dụng phương

phápsố như phầntử hữu hạn, phầntử biên, phương phápkhông phầntử
(meshless)… đã được nghiêncứu áp dụng và cho kếtquảrấttốt. Các khó
khăn vì khối lượng tính toán nhiều đã được máy tính với tốc độ và khả
năngxử lý cao giải quyết.Trong tấtcảcácphươngphápsốthì phươngpháp
phầntử hữuhạn có thểđược xemnhư mộtcôngcụ rấtmạnhđểgiải quyết
hầuhết tất cả các bài toán cơ hiện nay đặc biệt là bài toán tấm. Trong
phươngphápnày lại tiếptục được chia ra làm nhiềucác môhình khác nhau
như môhình cânbằng,môhình tươngthích… và mỗi môhình đềucó cácưu
khuyếtđiểmkhácnhau.
Trong phạm vi bài báo này chúng tôi muốn giới thiệu ứng dụng một
phầntử tươngthích vào nghiêncứộnglực học bài toántấmđó là phần
tử LCCT12 tuân theo các giả thiết tấmmỏng của Kirchhoff. Phần tử này
cũng đã được T.Q.Hùng [9,10] và N.N.Dương [8] nghiên cứu áp dụng tính
toánnội lực vàmộtsốđánhgiásai sốlời giải cho bài toántấmvàvỏ.
1


Chúngtôi giới thiệucáchtiếpcậncủaphầntửLCCT12 vàmộtsốcác
ví dụ tính toán, so sánhvới một số các kết quả đã có hiện nay để đánh
giáhiệuquảcủaphầntửnàytrongtính toánđộnglực học tấm.

2.  Phần tử LCCT12
w3 3

w
n
w4
4
y4

w
n

7

w
n

i

2

w
n

6

1

x4 j

0

3

x1

6

1

0

m

w
n

(3
)

2

4

w1
1

)

y3

k
8

3 (2

x3

w2

x2
y2

2 (1
)

5

y1

Hình 1: PhầntửtươngthíchLCCT12 với 16 bậctự do.
PhầntửLCCT12 ‘Linear Curvature Compatible Triangle’ banđầucó16 bậctự
do trên biên (hình 1), nhưng với những giả thuyết và biến đổi phần tử
‘LCCT-12’ sẽgiảmxuốngcòn12 bậctự do trênbiên:
Hàmchuyểnvò củatừngphầntử có thểđược biểudiễnquacácbậctự
do củanútvàhàmdạng:
w =N.q
(1)
Trongđó: N : là matrậnhàmdạng.
q : là vectorchuyểnvò nút.
Trong phần tử ngoài chuyển vò của các góc wi còn có các góc
xoay của mỗi góc phần tử.
w
với i = 1, 2, 3, 4
(2)
xi
1w i
y i
w

(3)
2w i
x i
Không những thế còn có góc xoay tại 3 nút ở giữa các
cạnh 5, 6, 7, 8
w
với i = 5, 6, 7, 8
(4)
i
nw i
n i
Chuyển vò nút của phần tử bây giờ được biểu diễn qua
các phần tử con
w(k)(x,y) = N(k)(x,y).q(k)
(5)
Chuyển vò nút của phần tử con 1
q (1) w 2 x 2 y 2  w 3 x 3 y 3   6  w 0 x 0 y 0 T
(6)
yi

2


q(1) là vector bao gồm 10 thành phần chuyển vò, ta sử dụng
hàm đa thức nội suy bậc ba 10 thành phần của Lagrange [11]
cho một phần tử con và được biểu diễn trong hệ tọa độ tự
nhiên L L1 , L 2 , L 3 như sau:
(7)
w P
Trong đó:

P [ L31   L32   L33   L21 L 2   L21 L 3   L22 L 3   L22 L1   L23 L1   L23 L 2   L1 L 2 L 3 ]
T

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

Đối với các phần tử con k = 1 4 thì hàm dạng sẽ được
biểu diễn bằng N(L) . Từ công thức (6) ta suy ra vector chuyển
vò toàn bộ các nút q là:
T
q
w 1 x1 y1  w 2 x 2 y 2  w 3 x 3 y 3  w 4 x 4 y 4   5 6 7 8 | w 0 x 0 y 0

qTR | qTE
2.1 Ma trận độ cứng phần tử
k em

B

T

D B dV

Ve

m

B

T

H B dA

(8)

A em

Trongđó: m là sốphầntử con. m =1, 2, 3, 4.
H

Et 3
12(1

1
2

)

1

1

0 0

0

0

; [B]

(

)[ N]

2

2.2 Ma trận khối lượng phần tử
m em

I0 N

T

N

I1

A em

Ni N j
x x

Ni N j
y y

(9)

Trongđó:
m : Sốphầntử con. m =1, 2, 3, 4.
I 0, I1 : Là mômen quán tính của khối lượng
t2

I0

t2

dz

.t ;

I1

t2

t2

z2dz

.t3
12

: Là khối lượng riêng của vật liệu tấm.
2.3 Ghép nối và loại bỏ nút giữa của phần tử
Ta có
w (1)
w ( 2)

w ( 3)
w ( 4)

N (e1)
N (e2 )
N (e3)

N (01)
N (02 ) q R
N (03) q E

N (e4 )

N (04 )

(10)

3


Chúngta thiếtlậpcácmatrậntheonhữngđiềukiệntươngthích trênnúti,
j, k, m nhưsau:
B (i1) Bi( 2 )  |  B i(10) B i(02)
B (j2)

B (j3)  |  B (j02)

B (j30)

qR

B (k3)

B (k4 )  |  B (k30)

B (k40)

qE

B (m4)

B (m1)  |  B (m40)

B (m1)0

0

(11)

Suy ra
B (i1)

Bi( 2 )

Bi(10)

B i(02 )

B (j2)

B (j3)

B (j02 )

B (j30)

B (k3)

B (k4 )

B (k30)

B (k40)

B (m4)

B (m1)

B (m40)

B (m1)0

qR

qE

(12)

Trongđó

[B]4 x16

Đặt:
Vì vậy

B i(1)

B i( 2 )

B i(10)

B i(02 )

B (j2 )

B (j3)

B (j02 )

B (j30)

B (k3)

B (k4)

B (k30)

B (k40)

B (m4 )

B (m1)

B (m40)

B (m1)0

,  [B 0 ]4 x 3

(13)

[BB] 3x3 = [B0]T3x4 [B0]4x3
T

qE
BB 3 3 B 0 3 4 B 4 16 q R C q R
(14)
Bằng cách thay (14) vào trong (10), Ta có được hàm chuyển
vò như sau:
N (e1) N (01) C
w (1)
N (e2 ) N (02) C
w ( 2)
qR
(15)
N (e3) N (03) C
w ( 3)
N (e4 ) N (04) C
w ( 4)
Ma trận độ cứng của phần tử có được bằng cách “lấy

tổng” độ cứng của 4 phần tử con. Tiếp theo sử dụng sự cô
đặc tónh (static condensation) để giảm các bậc tự do bên trong
của phần tử. Và sử dụng điều kiện năng lượng toàn phần
dừng để tìm ra được ma trận độ cứng phần tử. Các thủ tục
trên có thể tìm được trong [8].
Ma trận khối lượng m của phần tử được thiết lập như trình
tự trên như sau:
m

4

m

(i )

(16)

i 1

m

m RR
m ER

m RE
m EE

4

Trong đó chỉ số
R và E trong các ma trậnlần lượt dùngđểquy đònh cho
cácthànhphầncủaphầntử tamgiáctươngứngvới cácbậctự do củacác
nút 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và các bậc tự do bêntrong của nút 0 mà đã được
giảnlược.
Với mộtphầntử, độngnăngTe có thể được tính như sau:
1
 Te w
 e dV
Te
w
(17)
2 Ve
Mà như ta đã biết do chuyển vò là hàm thời gian, các
điểm của phần tử chuyển động với vận tốc bằng đạo
hàm bậc nhất của chuyển vò theo thời gian t:
 e N q e
w
Ở đây: q e là vectorvậntốccácđiểmnútcủaphầntử.
Suy ra:
1
q
2

Te
1 T
q R
2

m RR

m ER

q TE

T
e

N

Trongđó:

N dV q

Ve

m RE
m EE

q R
q E

1 T
q R m RR
2

   

T

1 T

q R
2

C T m ER

e

1 T
q m q
2 e

q TR C T

m RR
m ER

e

m RE
m EE

q R
Cq R

m RE C C T m EE C q R

(18)
 m e m RR C T m ER m RE C C T m EE C
Thực tếthấyrằngphântích cácnútgiữacạnh 5, 6, 7, 8 là phứctạp. Tuy
nhiên, nếu độ dốc pháp tuyếnthay đổi tuyếntính dọc theo cạnh thì nút tại

giữa cạnh được bỏ đi và coi góc xoay tại nút giữa là trung bình cộng của
gócxoaytại núti vànútj:
k

xk

cos

ij

yk

sin

xi
ij

xj

2

cos

yi
ij

yj

sin

2

ij

(19)

Với : k =5, 6, 7, 8 vàαij là góc của các cạnh ij =12, 23, 34, 41
Lúc nàối với phầntử LCCT chỉcònlại 12 bậctự do (thayvì 16) nhưng
hoàntoàntươngthích với sự ràngbuộcvềnhữngđộdốcpháptuyếntuyến
tính khácdọc theocáccạnhbiên(hình2).
3
w
n

3
w
n

7

6

4

w
n

4
2
8

1

w
n

5

2

1

Hình 2: phầntửLCCT12 saukhi đãgiảnlược.

3. Các ví dụ tính toán
5


Bản vuông làm bằng vật liệu đẳng hướng có các
thôngsốnhư sau: kích thướccủabản:a =b =4 m. Chiềudày
bản: h = 0.1 m. Môđun đàn hồi: E = 2.5311
10 9 Kg/m2. Hệ số
Poisson: = 0.2. Khối lượng riêng: = 244.8 kg/m3.
3.1 Tấm bốn cạnh tựa đơn

a

x

a

y

Hình 3: Tấmbốncạnhtựa đơn
Ở ví dụ nàychúngta sẽxemxétcácgiátrò tầnsốvòngcủatấmtrong
5 mode đầu tiên. Chúng ta sẽ so sánh kết quả của phần tử LCCT12 với
phầnmềmSAP 2000sửdụngphầntử tấmlà thin-plate.Ngoài ra cònso sánh
với kết quả từ mộtnghiêncứu trước đây là [14]. Ở đây lưới chia 10x10
sẽ được sử dụng. Các kết qủathu được từ các loại phầntử khácnhausẽ
được so sánhvới lời giải giải tích (chính xác) trong[5] như hình 4 và trình bày
ở bảng1. Hai phầntử khácsửdụnglý thuyếtMindlin (tấmdày) cũngđược
trìnhbàểthamkhảo.
9,000
8,000
7,000

Sai số

6,000
Hù
ng[ ] - LT Mindlin

5,000

Hù
ng[ ] - LT Kirchhoff
SAP2000 - Thin-plate

4,000

SAP2000 - Thick-plate

3,000

Phầ
n tử'LCCT-12'

2,000
1,000
0,000
w11

w12

w13

w14

w22

Loại tần số

Hình 4: Sai số% củacácloại phầntử so với lời giải chínhxác[5].

6


Bảng1: Sai số(%) tầnsốcủacácphầntử trong5 modedaộngđầutiênso
với [5].
ST
T

1
2
3
4
5

Các loại phần tử
Hùng[14] - LT
Mindlin
Hùng[14] - LT
Kirchhoff
SAP2000 - Thin-plate
SAP2000 - Thickplate
Phần tử 'LCCT-12'

w11

w12=w
21

w13=w31

w14=w
41

w22

0,496

2,707

8,944

7,292

2,291

0,539
0,736

0,880
1,188

1,034
1,372

1,106
1,591

2,036
2,930

1,608
0,359

1,995
0,527

2,341
0,505

2,842
0,442

4,182
1,433

Có thể thấy rằng, phần tử LCCT12 cho kết quả tốt hơn so với hai phầ
tử cùng tuân theo lý thuyết Kirchhoff là phần tử số 2 và 3. Phần tử số
sử dụng lý thuyết Mindlin cũng cho kết quả đồng dạng với ba phần tử trươ
và sai khác giữa chúng là không lớn. Phần tử số 1 cho kết quả không o
đònh,cần chú ý khi sử dụng phần tử này.
Chúng ta sẽ xem xét mức độ hội tụ của phần tử LCCT12 bằng việc tha
đổi lưới chia phần tử là 2x2; 4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần t
thin-plate sử dụng trong SAP2000. Ở đây chúng ta chỉ xem xét kết quả cu
mode dao động đầu tiên
w giải chính xác trong [5] cho mode
11. Lời
này là 116.87 rad/sec. Các kết quả tính toán được trình bày
ở hình 5 và liệt kê trong bảng 2.

7


Hình 5: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm 4
cạnh tựa.
Bảng 2: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia
phần tử.
Loại phần tử
SAP2000 - Thin-plate

SAP2000 - Thick-plate
Phần tử 'LCCT-12'

2x2
96,356
107,983
127,019

4x4
111,444
112,804
119,794

8x8
115,517
114,562
117,568

16x16
116,537
115,765
117,006

Ta thấy phần tử LCCT12 hội tụ nhanh hơn so với Sap thinplate. Độ hội tụ đến lời giải chính xác khi độ mòn lưới tăng
lên của LCCT12 tốt hơn hẳn so với SAP thin-plate. Độ hội tụ
của phần tử Sap thick-plate cũng rất nhanh. Khi hội tụ, kết
quả giữa hai loại phần tử tấm dày và mỏng có vẻ không
khác nhau lắm. Một đặc biệt nữa là LCCT12 tìm đến lời giải
chính xác như một cận trên còn Sap thin-plate thì như một cận
dưới.

3.2 Tấm bốn cạnh ngàm
Ở ví dụ này chúngta sẽ xem xét bài toándưới nhữngđiềukiện biên
khác.Cũnggiốngví dụ trên,đầutiênchúngta cũngsửdụnglưới chia 10x10
phầntử để so sánhcác loại phầntử trong 5 modedao độngđầutiên. Các
kếtqủathu được từ các loại phầntử khácnhaucũngsẽ được so sánhvới
lời giải chínhxáctrong[5] nhưhình7 vàtrìnhbàû bảng3.

8


a

x

a
y

Hình 6: Tấmbốncạnhngàm.
14,000
12,000

Sai số

10,000

Hù
ng[ ] - LT Mindlin
Hù
ng[ ] - LT Kirchhoff

8,000

SAP2000 - Thin-plate
6,000

SAP2000 - Thick-plate
Phầ
n tử'LCCT-12'

4,000
2,000
0,000
w11

w12

w13

w14

w22

Loại tần số

Hình 7: Sai sốcủacácloại phầntử so với lời giải chínhxác[5].

Bảng3: Sai số(%) tầnsốcủacácphầntử trong5 modedaộngđầutiênso
với [5].
ST
T

1
2
3
4
5

Các loại phần tử
Hùng[14] - LT
Mindlin
Hùng[14] - LT
Kirchhoff
SAP2000 - Thin-plate
SAP2000 - Thick-plate
Phần tử 'LCCT-12'

w11

w12=w
21

w13=w3
1

w14=w
41

1,995

5,906

13,335

5,600

w22
10,65
7

0,948
1,352
1,746
0,821

1,309
1,841
2,158
0,978

1,833
2,452
2,533
0,434

2,842
4,177
4,360
2,302

3,537
5,374

5,309
2,714

9


Kết quả cũng tương tự ví dụ trước. LCCT12 cho kết quả tốt
hơn so với của phần tử số 2 và 3. Phần tử số 1 cho kết
quả vẫn không ổn đònh nên sử dụng phần tử này không
hiệu quả.
Và tiếp theo chúng ta cũng xem xét mức độ hội tụ của
phần tử LCCT12 với độ mòn lưới chia phần tử thay đổi: 2x2;
4x4; 8x8; 16x16 và cũng so sánh với phần tử sử dụng trong
SAP2000. Ở đây chúng ta cũng chỉ xem xét kết quả của
mode dao động đầu tiên w11. Lời giải chính xác trong [5] cho
mode này là 213.04 rad/sec. Các kết quả tính toán được trình
bày ở hình 8 và liệt kê trong bảng 4.

Hình 8: Khảo sát độ hội tụ của phần tử LCCT12 – tấm
bốn cạnh ngàm.

Bảng 4: Tần số dao động mode đầu tiên với các lưới chia
phần tử.
Loại phần tử
SAP2000 - Tấm mỏng
SAP2000 - Tấm dày

2x2
149,78
9

687,59
7

4x4
197,05
2
216,33
7

8x8
208,59
8
208,29
4

16x16
211,90
5
210,86
3

10


Phần tử 'LCCT-12'

224,68
2

221,22

1

215,79
5

213,65
4

Ở đây LCCT12 cũng hội tụ rất nhanh và khi đạt độ mòn
lưới cần thiết thì kết quả gần như đạt chính xác.

Các kết luận 
Sử dụng phầntử LCCT12 đã cho các kếtquảtốt, lời giải số gầnnhư sát
với lời giải chínhxác.Đặcbiệtkhi so sánhvới phầntử sử dụngtrongphần
mềmrấtthôngdụng hiệnnay ở Việt Nam là Sap2000khi phântích độnglực
học bài toántấmmỏnglại cho kếtquảtốthơnhẳn.LCCT12 đãcho kếtquả
hội tụ rấtnhanh,số bậctự do củanó cũngít, do đó nếusử dụng phầntử
nàểphântích sẽkhôngcầnchia lưới mònvà có thểrútngắnđược thời
gianphântích bài toán.
Tuy nhiêntrongphạmvi bài báonàymới chỉphântích bài toándaộng
riêngkhôngxétđếnhệsố nhớt.Các vấnđềdao độngkháccủabài toán
tấmhi vọng sẽ được trình bày trong các nghiêncứu tiếp theo. Phân tích dao
động bài toán vỏ mỏng là những phát triển mà các tác giả đang thực
hiện.
Một hướngpháttriểntươnglai nữó là vậndụng lý thuyếttấmdày
củaMindlin vàoloại phầntử nàycũnglà nhữngnghiêncứukháthúvò.

Tài liệu tham khảo  
[1]. A. J. M. Ferreira, C. M. C. Roque et all – "Analysis of Thin Isotropic Rectagular
and Circular Plates with Multiquadrics", Strength of Materials, Vol. 37, No. 2, 2005.

11


[2]. Ansel C. Ugural  – “ Stresses in Plates and Shell (Second Edition)”. New Jersey
Institute of Texhnology – McGraw-Hill Inc – 1999.
[3]. Chu Quốc Thắng  –  “ Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn”. NXB KHKT –
1997.
[4]. Clough, R.W and C.A Felippa – “ A Refined Quadrilateral Element for the
Analysis of Plate Bending Pro. Of the Second Conf. on Matrix Methods in Structural
Mechanics”. Wright Patterson Air Force Base, Ohio, 10/1968.
[5]. Eduard Ventsel and Theodor Krauthammer - " Thin Plates and Shells :
Theory, Analysis, and Applications", Marcel Dekker, 2001.
[6]. Hutton – “ Fundamental of Finite Element Analysis” McGram-Hill, 2004.
[7]. J. H. Argyris – “ Energy Theorems of Structural Analysis” . Aircraft
Engineering, Vol. 26, 1954, pp. 347-356 and 383-387.
[8]. Nguyễn Ngọc Dương – “ Conforming Model And Error Estimation FEM for
Plate Bending and Thin Shell Structures”. Master thesis of EMMC 9, 10/2005.
[9]. Nguyễn Xuân Hùng – “ Ladevèze-type compatibily error assessment for
plate bending”. Master thesis of EU-EMMC, Đại Học Bách Khoa TPHCM 2/2003.
[10]. Nguyễn Xuân Hùng– “ The equilibrium element finite model and error
estimation for plate bending”. Int Congress Engineering Mechanics Today, Ho Chi
Minh City, 08/2004.
[11]. O.C.Zienkiewicz, CBE, FRS, FREng and R.T. Taylor – “ The Finite Element
Method”, MPG Books Ltd, 2000.
[12]. R. L.Taylor, S. Govindjee – “ Solution of clamped rectangular plate problem”
UCB/SEMM 09/2002.
[13]. S. Timoshenko and S. Woinowsky-Krieger – “ Theory of Plates and Shells”.
Mcgraw-Hill, New York, 1959.
[14]. Trần Quốc Hùng – " Khảo sát ảnh hưởng của điều kiện biên, độ

dày, tỉ lệ các cạnh đến đặc trưng động lực học của tấm chữ nhật",
Luận văn thạc só của Trường ĐHBK-TpHCM, 2001.

12