BDHSG 6
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.21 MB, 367 trang )
CHUYÊN ĐỀ : THỰC HIỆN PHÉP TÍNH
1.Các kiến thức vận dụng:
+ Tính chất của phép cộng , phép nhân
+ Các phép toán về lũy thừa:
3a ; am.an = am+n ; am : an = am –n ( a ≠ 0, m ≥ n)
an = a1.a2....
n
a
b
(am)n = am.n ; ( a.b)n = an .bn ; ( )n =
an
(b ≠ 0)
bn
2.Các dạng bài tập
Dạng 1: RÚT GỌN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a,
212.35 − 46.9 2 510.73 − 255.49 2
−
(22.3) 6
(125.7)3 + 59.143
b,
HD :
218.187.33 + 315.215
210.615 + 314.15.413
c,
( ) ( )
6
212.35 − 22 . 32
212.35 − 46.9 2 510.73 − 255.49 2
=
−
a, Ta có:
(22.3)6
(125.7)3 + 59.143
212.36
=
2
46.95 + 69.120
84.312 − 611
510.73 − ( 52 ) . ( 7 2 )
5
−
(5 )
3 3
2
.73 + 59.23.73
12 4
10 3
212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 4 2 .3 ( 3 − 1) 5 .7 ( 1 − 7 )
2 5.6 −28
−
=
−
= 2−
=
12 6
9 3
9 3 3
12 6
9 3
2 .3
5 .7 + 5 .2 .7
2 .3
5 .7 ( 1 + 8 ) 3
9
9
218.187.33 + 315.215
218.27.314.33 + 315.215
225.317 + 315.215
=
=
210.615 + 314.15.413 210.215.315 + 314.3.5.228 225.315 + 315.2 28.5
215.315 ( 210.32 + 1) ( 210.32 + 1)
= 25 15
=
210 41
2 .3 ( 1 + 23.5 )
b, Ta có:
46.95 + 69.120 ( 2
c, Ta có:
=
84.312 − 611
Bài 2: Thực hiện phép tính:
5.415.99 − 4.320.89
a,
5.2 29.916 − 7.229.27 6
HD :
) . ( 3 ) + 2 .3 .2 .3.5 = 2 .3 + 2 .3 .5 = 2 .3 ( 1 + 5) = 2.6 = 4
2 .3 − 2 .3
2 .3 ( 2.3 − 1) 3.5 5
( 2 ) .3 − 2 .3
2 6
2 5
3 4
9
12
9
11
3
11
12
10
12
12
24.52.112.7
b, 3 3 2
2 .5 .7 .11
12
11
12
10
11
11
10
11
511.712 + 511.711
c, 12 11
5 .7 + 9.511.711
229.318 ( 5.2 − 32 ) 32
5.230.318 − 229.320
5.415.99 − 4.320.89
−9
=
a, Ta có:
= 29 16
=
29 18
29 16
2 =
29 16
29
6
5.2 .3 − 7.2 .3
2 .3 ( 5 − 7.3 ) −58 58
5.2 .3 − 7.2 .27
24.52.112.7 2.11 22
=
=
23.53.7 2.11 5.7 35
511.711 ( 7 + 1) 8 4
511.712 + 511.711
= =
c, Ta có: 12 11
= 11 11
5 .7 + 9.511.711 5 .7 ( 5 + 9 ) 14 7
b, Ta có:
Bài 3: Thực hiện phép tính:
11.322.37 − 915
a,
(2.314 ) 2
HD :
a, Ta có:
210.310 − 210.39
b,
29.310
45.94 − 2.69
c, 10 8 8
2 .3 + 6 .20
11.322.37 − 915 11.329 − 330 329. ( 11 − 3) 3.8
=
=
=
=6
(2.314 ) 2
22.328
2 2.328
4
1
210.310 − 210.39 210.39 ( 3 − 1) 2.2 4
=
=
=
29.310
29.310
3
3
10 8
10 8
10 9
5 4
9
2 .3 ( 1 − 3) −2 −1
2 .3 − 2 .3
4 .9 − 2.6
= 10 8 10 8 = 10 8
=
=
c, Ta có: 10 8 8
6
3
2 .3 + 6 .20 2 .3 + 2 .3 .5 2 .3 ( 1 + 5 )
b, Ta có:
Bài 4: Thực hiện phép tính:
212.35 − 46.9 2
510.7 3 − 255.49 2
−
a, (22.3) 6 + 84.35 (125.7)3 + 59.143
5.415.99 − 4.320.89
b,
5.29.619 − 7.229.276
HD:
a, Ta có :
45.94 − 2.69
c, 10 8 8
2 .3 + 6 .20
212.35 − 46.92
510.73 − 255.492
−
2
6
4 5
(2 .3) + 8 .3 (125.7)3 + 59.143
12 4
10 3
212.35 − 212.34 510.73 − 510.7 4 2 .3 ( 3 − 1) 5 .7 ( 1 − 7 ) 5. ( −6 ) −10
−
=
=
= 12 6 12 5 − 9 3 9 3 3 = 12 5
2 .3 + 2 .3 5 .7 + 5 .7 .2
2 .3 ( 3 + 1) 59.7 3 ( 1 + 8 )
9
3
229.318 ( 5.2 − 32 ) 2
5.230.318 − 320.229
5.415.99 − 4.320.89
=
= =2
b, Ta có :
=
5.29.619 − 7.2 29.27 6 5.228.319 − 7.229.318 2 28.318 ( 5.3 − 7.2 ) 1
210.38 ( 1 − 3) −2 −1
210.38 − 210.39
45.9 4 − 2.69
=
=
=
=
10 8
10 8
10 8
6
3
210.38 + 68.20 2 .3 + 2 .3 .5 2 .3 ( 1 + 5 )
Bài 5: Thực hiện phép tính:
15.412.97 − 4.315.88
315.222 + 616.44
163.310 + 120.69
c,
a,
b,
19.224.314 − 6.412.27 5
2.99.87 − 7.275.2 23
46.312 + 611
HD :
224.315 ( 5 − 22 )
5.224.315 − 2 26.315
3
15.412.97 − 4.315.88
=
=
=3
a, Ta có:
=
24
14
25
16
224.324 ( 19 − 2.32 ) 1
19.224.314 − 6.412.275 19.2 .3 − 2 .3
c, Ta có :
222.315 ( 1 + 22.3 ) 13 −13
315.222 + 224.316
315.222 + 616.44
= 22 15 3
=
=
b, Ta có : 9 7
= 22 18
15 23
5
2 .3 ( 3 − 7.2 ) −5
2.9 .8 − 7.275.223 2 .3 − 7.3 .2
( 2 ) .3 + 2 .3.5. ( 2.3)
c, Ta có:
( 2 ) .3 + ( 2.3)
4 3
10
2 6
3
12
9
11
Bài 6: Thực hiện phép tính :
212.35 − 46.9 2
510.73 − 255.49 2
A
=
−
6
3
a,
( 22.3) + 84.35 ( 125.7 ) + 59.143
Bài 7: Thực hiện phép tính:
212.35 − 46.92
A
=
6
a,
( 22.3) + 84.35
Bài 8: Thực hiện phép tính :
310.11 + 310.5
a,
39.24
Bài 9: Thực hiện phép tính:
230.57 + 213.527
a, 27 7
2 .5 + 210.527
=
212.310 ( 1 + 5 )
212.310 + 212.310.5
2.6 12
=
=
=
12 12
11 11
11 11
2 .3 + 2 .3
2 .3 ( 2.3 + 1) 3.7 21
b,
5.415.99 − 4.320.89
5.210.612 − 7.229.276
b, B =
b,
b,
45.9 4 − 2.69
210.38 + 68.20
210.13 + 210.65
28.104
( −3)
6
.155 + 93. ( −15 )
( −3)
10
6
.55.23
Bài 10: Thực hiện phép tính:
2
219.273.5− 15.( −4) .94
9
52.611.162 + 62.126.152
a,
2.612.104 − 812.9603
b, A =
Bài 11: Thực hiện phép tính:
( 0,8 ) 5 215.9 4 4510.520
+ 6 3 :
a,
6
6 .8 7515
0,
4
(
)
69.210 − ( −12)
10
(
22
21 5 3.715 − 19.714
2.5
−
9.5
b, A =
:
2510
716 + 3.715
7
3
)
3
2 7 9 3
5 ÷ .5 + 4 ÷ : 16 ÷
Bài 12: Tính giá trị của biểu thức:
A = 7 7
2 .5 + 512
3 3
1
0,6 − −
−1 + 0,875− 0,7
14
7 13 : 6
Bài 13: Tính biểu thức: B = 2 − 1,21 +
6 6
1
25
1,2 − −
− 0,25+ 0,2
7 13
3
3
6
−1 1 1
3.12
A
=
−
84
+
−
+
51.
−
37
−
51.
−
137
+
( )
( )
3 4 7÷
3
Bài 14: Tính biêu thức:
27.42
(
)
Bài 15: Thực hiện phép tính:
a, 1024: (17.25 + 15.25 )
b, 53.2 + (23 + 40 ) : 23
HD :
10
5
10
5 5
a, Ta có: 1024: (17.25 + 15.25 ) = 2 : 2 ( 17 + 15 ) = 2 : ( 2 .2 ) = 1
c, (5.35 + 17.34 ) : 6 2
b, Ta có: 53.2 + (23 + 40 ) : 23 = 53.2 + 24 : 23 = 250 + 3 = 253
34.25
c, Ta có: (5.35 + 17.34 ) : 6 2 34 ( 3.5 + 17 ) : 32.2 2 = ( 34.32 ) : 32.2 2 = 2 2 = 9.8 = 72
3 .2
Bài 16: Thực hiện phép tính:
a, (102 + 112 + 122 ) : (132 + 14 2 )
b, (23.94 + 93.45) : (92.10 − 92 )
HD :
a, Ta có: (102 + 112 + 12 2 ) : (132 + 14 2 ) = ( 100 + 121 + 144 ) : ( 169 + 196 ) = 365 : 365 = 1
c Ta có : (23.9 4 + 93.45) : (9 2.10 − 9 2 ) = ( 23.38 + 311.5 ) : ( 32.10 + 32 ) =
38 ( 8 + 33.5 )
32.11
=
36.143
= 13.36
11
Bài 17: Thực hiện phép tính:
14
14
16
4
a, (3 .69 + 3 .12) : 3 − 7 : 2
b, 244 : 34 − 3212 :1612
HD :
a, Ta có:
(314.69 + 314.12) : 316 − 7 : 2 4 = 314.3.23 + 314.3.2 2 : 316 − 7 : 24 = 315.23 + 315.4 : 316 − 7 : 2 4
1
= 315.27 : 316 − 7 : 2 4 = ( 9 − 7 ) : 2 4 = 3
2
4
12
4
4
12
12
b, Ta có: 24 : 3 − 32 :16 = ( 24 : 3) − ( 32 :16 ) = 84 − 212 = 212 − 212 = 0
Bài 18: Thực hiện phép tính :
2010
10
8
4
2010
2010
100
101
102
97
98
99
a, 2010 ( 7 : 7 − 3.2 − 2 : 2 )
b, ( 2 + 2 + 2 ) : ( 2 + 2 + 2 )
(
HD :
)
(
)
2010
10
8
4
2010
2010
2010
a, Ta có : 2010 ( 7 : 7 − 3.2 − 2 : 2 ) = 2010 ( 49 − 3.16 −1) = 0
3
−5
−11
+ 3
4
2
1−
3
Bài 19: Tính: A =
−2
3
− 5
5 4−2
5 3
1−
1
4
3
B=
1 3
2+ −
3 7
1+
−1
−1 −1
45 1 1 1 ÷
−
+ + ÷ ÷
Bài 20: Thực hiện phép tính :
19 2 3 4 ÷
÷
HD :
=
45
1
45 26
−
=
−
=1
19 1 + 1
19 19
2 1+4
3
3 2 1 3 2 1
Bài 21: Rút gọn : A = − + ÷: − + ÷
2 5 10 2 3 12
4
Dạng 2 : TÍNH ĐƠN GIẢN
Bài 1: Thực hiện phép tính:
1
1
1
2
2
2
+
−
+
−
2003 2004 2005 − 2002 2003 2004
5
5
5
3
3
3
+
−
+
−
2003 2004 2005 2002 2003 2004
HD:
1
1
1
2
2
2
+
−
+
−
2003 2004 2005 − 2002 2003 2004
Ta có : 5
5
5
3
3
3 =
+
−
+
−
2003 2004 2005 2002 2003 2004
1
1
1
1
1
1
2
+
−
+
−
÷
2003 2004 2005 − 2002 2003 2004 = 1 − 2 = −7
1
1
1
1 5 3 15
1
1
5
+
−
+
−
÷ 3
÷
2003 2004 2005
2002 2003 2004
3 3
1,5 + 1 − 0, 75 0,375 − 0,3 + 11 + 12 ÷ 1890
+
+ 115
Bài 2: Thực hiện phép tính:
÷:
2,5 + 5 − 1.25 −0, 625 + 0,5 − 5 − 5 ÷ 2005
3
11 12
HD:
3 3
1,5 + 1 − 0, 75 0,375 − 0,3 + 11 + 12 ÷ 1890
+
+ 115
÷:
Ta có :
2,5 + 5 − 1.25 −0, 625 + 0,5 − 5 − 5 ÷ 2005
3
11 12
3 3 3 3 3 3 3
2 + 3 − 4 8 − 10 + 11 + 12 ÷ 378
378
3 3 378
+ 115 = 0 :
+ 115 = 115
+ 115 = + ÷:
= 5 5 5 + −5 5 5 5 ÷:
5
−
5
401
401
401
+ −
+ − − ÷
2 3 4 8 10 11 12
1 1 1
3
3
3
− −
0, 6 − −
−
25 125 625
Bài 3: Thực hiện phép tính: 9 7 11 +
4 4 4 4
4
4
− −
− 0,16 −
−
9 7 11 5
125 625
HD:
1 1 1
3
3
3
− −
0, 6 − −
−
9 7 11
25 125 625 1 + 3 = 1
Ta có : 4 4 4 + 4
4
4 =4 4
− −
− 0,16 −
−
9 7 11 5
125 625
12 12 12
3 3
3
12 + 7 − 25 − 71 3 + 13 + 19 + 101 ÷
:
Bài 4: Thực hiện phép tính: 564.
4
4
4
5 5
5 ÷
4+ − −
÷
5+ + +
7 25 71
13 19 101
HD:
12 12 12
3 3
3
12 + 7 − 25 − 71 3 + 13 + 19 + 101 ÷
12 3
:
Ta có : 564.
= 564. : ÷ = 564.5 = 2820
÷
4 5
4+ 4 − 4 − 4 5+ 5 + 5 + 5 ÷
7 25 71
13 19 101
5
Bài 5: Thực hiện phép tính:
1 1 1 1
5 5 5
15 15
1+ + + +
5− + −
15 − +
2 4 8 16
3 9 27 :
11 121
a,
b,
1 1 1 1
8 8 8
16 16
1− + − +
8− + −
16 − +
2 4 8 16
3 9 27
11 121
HD:
1 1 1 1 16 1 + 1 + 1 + 1 + 1
1+ + + +
÷
2 4 8 16 = 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31
2
4
8
16
a, Ta có :
=
1 1 1 1
1 1 1 1 16 − 8 + 4 − 2 + 1 11
1− + − +
16 1 − + − + ÷
2 4 8 16
2 4 8 16
5 5 5
15 15
5− + −
15 − +
3 9 27 :
11 121 = 5 : 15 = 5 . 16 = 2
b, Ta có :
8 8 8
16 16 8 16 8 15 3
8− + −
16 − +
3 9 27
11 121
Bài 6: Thực hiện phép tính:
2 2
2
4
4
4
12 12 12
3
3
3
2− + −
4− + −
12 − −
−
3+ +
+
19 43 1943 :
29 41 2941
7 289 85 :
13 169 91
a,
b,
3 3
3
5
5
5
4
4
4
7
7
7
3− + −
5− + −
4− −
−
7+ +
+
19 43 1943
29 41 2941
7 289 85
13 169 91
HD:
2 2
2
4
4
4
2− + −
4− + −
19 43 1943 :
29 41 2941 = 2 : 4 = 2 . 5 = 5
a, Ta có :
3 3
3
5
5
5
3 5 3 4 6
3− + −
5− + −
19 43 1943
29 41 2941
12 12 12
3
3
3
12 − −
−
3+ +
+
7 289 85 :
13 169 91 = 12 : 3 = 3. 7 = 7
b, Ta có :
4
4
4
7
7
7
4 7
3
4− −
−
7+ +
+
7 289 85
13 169 91
Bài 7: Thực hiện phép tính:
3
−5 7 9 11
3 3
3
3
3+ − +
−
− + − ÷(3 − )
4
7 9 11 13
7 11 1001 13
a,
b,
9
9 9 9
2
10 14 6 22
− + − +9
− + ÷: (2 − )
+
1001 13 7 11
3
21 27 11 39
HD:
3
−5 7 9 11
5 7 9 11 9
−9
− + − + ÷.
− + − ÷(3 − )
4
7 9 11 13
7 9 11 13 4 = 4 = −9 : 1 = −9
a, Ta có :
=
2 5 7 9 11 4 2 3 4 2 2
2
10 14 6 22
.
− + ÷: (2 − )
+ − + ÷:
+
3
3 7 9 11 13 3 3 4
21 27 11 39
1
1
1 1
3 3
3
3
3 1 + − +
− ÷
3+ − +
−
7 11 1001 13 = 7 11 1001 13 = 3 = 1
b, Ta có :
9
9 9 9
1 1
1
1 9 3
− + − + 9 9 1 + − +
− ÷
1001 13 7 11
7 11 1001 13
6
4 2 2
+ −
13
15 17
Bài 8: Tính nhanh:
8 4 4
100 − + −
13 15 17
HD:
4 2 2
4 2 2
50 − + −
50 − + −
13 15 17 = 1
13 15 17 =
Ta có :
4 4 4 2
8 4 4
2 50 − + − ÷
100 − + −
13 15 17
13 15 17
Bài 9: Tính:
50 −
3 3
3
3
3+ − +
−
24.47 − 23
7 11 1001 13
.
a, A=
9
9 9 9
24 + 47.23
− + − +9
1001 13 7 11
HD:
2
2
2 5
+ 3. − ÷
3
3 6
b,
7 35
35
105
35
:
+
+
+
÷
60 31.37 37.43 43.61 61.67
24.47 − 23 47 ( 23 + 1) − 23 47.23 + 24
=
=
=1
24 + 47.23
47.23 + 24
47.23 + 24
1
1
1 1
3 1 + − +
− ÷
7 11 1001 13 = 3 => A = 3 = 1
và
1
1 9
9 3
1 1
9 1 + − +
− ÷
7 11 1001 13
b, Ta có :
a, Ta có :
TS =
2
2 25 8 25 71
+ 3. − = − =
3
3 36 3 36 36
6
18
6
7 5.7
5.7
3.5.7
5.7 7 35 6
:
+
+
+
+
+
+
÷= :
60 31.37 37.43 43.61 61.67 6 6 31.37 37.43 43.61 61.67 ÷
7 35 1 1
1
1
1 1 1 1
MS =
: − + − + − + − ÷
60 6 31 37 37 43 43 61 61 67
MS =
7 35 1 1 2077
71 2077
: − ÷ =
:
=> B =
60 6 31 67 1800
36 1800
Câu 10: Thực hiện phép tính:
10 5 5
3 3
155 − − +
+ − 0,9
7
11
23
5
13
+
a, A =
26 13 13 7
3
402 −
− +
+ 0, 2 −
7 11 23 91
10
3 3
0,375 − 0,3 + +
11 12 + 1,5 + 1 − 0,75
A
=
b,
5 5
5
−0,625 + 0,5 − −
2,5 + − 1, 25
11 12
3
MS =
7
Dạng 3 : TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + …..+ n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + .. ..+ n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + …..+ n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n(n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a2 +…..+ an
c
c
c
+
+ ...... +
b) Tính tổng : A =
với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = k
a1.a2 a2 .a3
an −1.an
HD:
a) S = 1+ a + a2 +…..+ an
⇒ nhân vào hai vế của đẳng thức với số a, ta được:
aS = a + a2 +…..+ an + an+1
Lấy a.S – S, theo vế ta được : aS – S = an+1 – 1 ⇒ ( a – 1) S = an+1 – 1
Nếu a = 1 ⇒ S = n
a n +1 − 1
Nếu a khác 1 , suy ra S =
a −1
c
c 1 1
= ( − ) với b – a = k
b) Áp dụng
a.b k a b
c 1 1
c 1 1
c 1
1
− )
Ta có : A = ( − ) + ( − ) + ..... + (
k a1 a2
k a2 a3
k an −1 an
c 1 1 1 1
1
1
( − + − + ...... +
− )
k a1 a2 a2 a3
an −1 an
c 1 1
= ( − )
k a1 an
Bài 3: Tính tổng S = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…..+ 2100
=
HD:
2.S = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 +…..+ 2101
2S – S = S = 2101 - 1
Bài 4 : a) Tính tổng : 12 + 22 + 32 + …. + n2
b) Tính tổng : 13 + 23 + 33 + …..+ n3
HD : a) 12 + 22 + 32 + ….+ n2 = n(n+1)(2n+1): 6
b) 13 + 23 + 33 + …..+ n3 = ( n(n+1):2)2
Bài 5: Tính tổng tự nhiên
a, A= 9 + 99 + 999 + ... + 999...9 ( 10 số 9)
b, B= 1 + 11 + 111 + ... + 111...1 (10 số 1)
8
HD:
2
3
10
a, Ta có: A = ( 10 − 1) + ( 10 −1) + ( 10 − 1) + ... + ( 10 − 1)
= ( 10 + 102 + 103 + ... + 1010 ) − 10 = 111...10 − 10 = 111...100 ( 9 số 1)
b, Ta có: 9 B = 9 + 99 + 999 + .... + 9999...99 ( 10 số 9). Tính như câu a
Bài 6: Tính tổng tự nhiên
a, C= 4 + 44 + 444 + ... + 444...4 (10 số 4)
b, D= 2 + 22 + 222 + ... + 222...2 (10 số 2)
HD:
a, Ta có: C = 4 ( 1 + 11 + 111 + ... + 111...11)
( 10 số 1)
9C = 4 ( 9 + 99 + 999 + ... + 999...99 ) ( 10 số 9). Tính như tính ở trên
b, Ta có :
D = 2 ( 1 + 11 + 111 + ... + 111...11)
(10 số 1)
9 D = 2 ( 9 + 99 + 999 + ... + 999...99 ) (10 số 9)
Bài 7: Tính tổng sau: E= 3 + 33 + 333 + ... + 333...3 (10 số 3)
9
Dạng 4 : TÍNH TỔNG PHÂN SỐ
Bài 1: Tính nhanh tổng sau:
1
1
1
2
2
2
2
+
+ ... +
+
+
+ ... +
a, A=
b, B=
5.6 6.7
24.25
1.3 3.5 5.7
99.101
HD:
1 1 1
4
1 1 1 1
1
=
a, Ta có : A = − ÷+ − ÷+ ... + − ÷= −
5 6 6 7
24 25 5 25 25
1
1 100
1 1 1 1 1 1
1
=
b, Ta có : B = − ÷+ − ÷+ − ÷+ ... + −
÷ = 1−
1 3 3 5 5 7
99 101
101 101
Bài 2: Tính nhanh tổng sau:
4
4
4
4
52
52
52
+
+
+ ... +
a, D=
b, K=
+
+ ... +
11.16 16.21 21.26
61.66
1.6 6.11
26.31
HD :
5
5
5
1
1
5
1 1 1 1 1
+
+
+ .... +
− ÷
a, Ta có : D = 5
÷ = 5 1 − + − + − + ... +
26.31
26 31
1.6 6.11 11.16
6 6 11 11 16
1
30 150
D = 5 1 − ÷ = 5. =
31 31
31
1
1
1
5
5
5
1
5
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
b, Ta có: K = 4
÷ => 5K = 4
÷
61.66
61.66
11.16 16.21 21.26
11.16 16.21 21.26
1
1
55
4
2
1 1 1 1
1 1
5 K = 4 − + − + ... + − ÷ = 4 − ÷=> 5 K = 4.
=> K =
=
61 66
11 16 16 21
11 66
11.66
66 33
Bài 3: Tính nhanh tổng sau:
4
4
4
4
1
1
1
1
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
a, N=
b, F =
1.3 3.5 5.7
99.101
1.1985 2.1986 3.1987
16.2000
HD :
2
2
2
1 200
2
+
+
+ ... +
a, Ta có : N = 2
÷= 2 1 −
÷=
99.101
1.3 3.5 5.7
101 101
5
5
5
5
5
+
+
+ ... +
+
Bài 4: Tính tổng sau: K =
3.7 7.11 11.15
81.85 85.89
1
1
1
1
+
+ ... +
+
Bài 5: Tính tổng sau: A =
25.24 24.23
7.6 6.5
5
5
5
5
+
+
+ ... +
Bài 6:Tính tổng sau: A =
3.6 6.9 9.12
99.102
Bài 7: Tính giá trị của biểu thức:
3
3
3
25
25
3
25
A=
+
+
+ ... +
+
+ ... +
÷−
÷
106.113 50.55 55.60
95.100
1.8 8.15 15.22
HD:
7
7
7
3
3
3
3
7
=> 7 B = 3
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
Ta có : B =
÷
106.113
1.8 8.15 15.22
1.8 8.15 15.22
106.113
1
1
1
1
112
3.112 48
1 1 1 1 1
=> 7 B = 3 − + − + −
+ ... +
−
=> B =
=
÷ = 3 1 −
÷= 3.
106 113
113
7.113 113
1 8 8 15 15 22
113
25
25
25
5
5
5
+
+ ... +
=> 5C =
+
+ ... +
và C =
50.55 55.60
95.100
50.55 55.60
95.100
1
1
1
1
48
1
=> 5C = −
=
=> C =
−
. Khi đó : A = B − C =
50 100 100
500
113 500
10
Bài 8: Tính nhanh:
1
9
9
9
+
+
+ ... +
19 19.29 29.39
1999.2009
HD:
Ta có :
1
9
9
9
9
9
9
9
+
+
+ ... +
+
+
+ ... +
= => A =
19 19.29 29.39
1999.2009
9.19 19.29 29.39
1999.2009
10
10
10
1
10
1
+
+
+ ... +
=> 10 A = 9
÷= 9 −
÷
1999.2009
9.19 19.29 29.39
9 2009
2000 2000
200
10 A = 9.
=
=> A =
9.2009 2009
2009
2 2 2 2
2
+ + + +
Bài 9:Tính tổng sau: C=
15 35 63 99 143
Bài 10: Tính nhanh tổng sau:
1 1
1
1
1
1
2 2 2 2
2
+
+
+
+ + + +
a, E= + +
b, C=
7 91 247 475 755 1147
15 35 63 99 143
HD:
1
1
1
1
1 1 1
1 1
1 36
+
+
+ ... +
= 1 − + − + ... + − = 1 − =
a, Ta có : E =
1.7 7.13 13.19
31.37
7 7 13
31 37
37 37
2
2
2
2
2
1 1 8
+
+
+
+
= − =
b, Ta có : C =
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 3 11 33
Bài 11: Tính nhanh tổng sau
2 2
2
2
9
9
9
9
+ ... +
+
+
+ ... +
a, F= + +
b, G= 1 +
6 66 176
(5n − 4)(5n + 1)
45 105 189
29997
HD:
1 1
1
1
1
1
1
1
+ ... +
= 2
+
+
+
a, Ta có : F = 2 + +
÷
÷
( 5n − 4 ) ( 5n + 1) 1.6 6.11 11.16 ( 5n − 4 ) ( 5n + 1)
6 66 176
÷
÷
5
5
5
5
1
5n
2n
5 F = 2
+
+
+ ... +
= 2 1 −
=> F =
÷
÷= 2.
÷
( 5n − 4 ) ( 5n + 1) 5n + 1 5n + 1
5n + 1
1.6 6.11 11.16
b, Ta có : G = 1 +
3 3 3
3
3
3
3
3
+ + + ... +
= 1+
+
+
+ ... +
15 35 63
9999
3.5 5.7 7.9
99.101
1
1
2
2
1
2
G = 1+ 3
+
+ ... +
+
+ ... +
÷ => 2G = 2 + 3
÷
99.101
99.101
3.5 5.7
3.5 5.7
98
98 300
150
1 1
2G = 2 + 3 −
=2+
=
=> G =
÷ = 2 + 3.
3.101
101 101
3 101
101
Bài 12: Tính nhanh tổng sau : M=
1
1
1
6
+
+
+ ... +
2.15 15.3 3.21
87.90
HD:
Ta có : M =
6
6
6
6
+
+
+ ... +
12.15 15.18 18.21
87.90
3
3
1
1
1
3
1 1 1 1
1
M = 2
+
+ ... +
÷= 2 − + − + ... + − ÷= 2 − ÷
87.90
87 90
12.15 15.18
12 15 15 18
12 90
50 25 20 10 100
100
1
+ + + +
+ ... +
+
3 3 4 3 6.7
98.99 99
3 3 3
3
+ + ... +
Bài 14: Tính: 1 + +
15 35 63
99.101
Bài 13 : Tính : 50 +
11
1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + ... + +
6 12 20 30 42
90 110
1 1 1 1
1
1
+ +
+
Bài 16: Tính: + +
2 14 35 65 104 152
1 1 1 1 1 1 1 1
+ + + +
Bài 17: Tính tổng: B = + + +
10 15 21 28 36 45 55 66
Bài 18: Tính nhanh tổng sau
38 9 11 13 15 17
197 199
3
5
7
201
+ − + − + − ... +
−
−
+
− ... −
a, H=
b, I=
25 10 15 21 28 36
4851 4950
1.2 2.3 3.4
100.101
HD:
H 38 9 11 13 15
197 199
= + − + − + ... +
−
a, Ta có :
2 50 20 30 42 56
9702 9900
H 38 9 11 13 15
197
199
= +
−
+
−
+ ... +
−
2 50 4.5 5.6 6.7 7.8
98.99 99.100
Bài 15: Tính: A =
H 38 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1
1
=
+ + ÷− + ÷+ + ÷− + ÷+ ... + + ÷− +
÷
2 50 4 5 5 6 6 7 7 8
98 99 99 100
H 38 1 1
76 + 25 − 1
= + −
=
= 1 => H = 2
2 50 4 100
100
1
1 100
1 1 1 1 1
1
+
=
b, Ta có : I = 1 + ÷− + ÷+ + ÷− ... −
÷ = 1−
2 2 3 3 4
100 101
101 101
1
1
1
1
1
− 5.
+ 7.
− ... + 15.
− 17.
Bài 19: Thực hiện phép tính: A = 3.
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9
HD:
1
1
1
1
1
3
5
7
15 17
− 5.
+ 7.
− ... + 15.
− 17.
−
+
− ... +
−
Ta có : A = 3.
=
1.2
2.3
3.4
7.8
8.9 1.2 2.3 3.4
7.8 8.9
1 8
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
= + ÷− + ÷+ + ÷− ... + + ÷− + ÷ = 1 − =
1 2 2 3 3 4
7 8 8 9
9 9
5
4
3
1
13
+
+
+
+
Bài 20: Không quy đồng, Hãy tính : B =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
HD:
5
4
3
1
13
B 5
4
3
1
13
+
+
+
+
+
+
+
+
Ta có : B =
=> =
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
7 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13
7.13 13
=> = − + − + − + − + − = − =
=
=> B =
7 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 28
28
4
4
6
9
7
7
5
3
11
+
+
+
+
+
+
Bài 21: Tính : A =
và B =
7.31 7.41 10.41 10.57
19.31 19.43 23.43 23.57
HD:
Ta có :
A
4
6
9
7
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
=
+
+
+
= − ÷ + − ÷+ − ÷ + − ÷ = −
5 31.35 35.41 41.50 50.57 31 35 35 41 41 50 50 57 31 57
B
7
5
3
11
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
=
+
+
+
= − ÷+ − ÷+ − ÷+ − ÷ = −
2 31.38 38.43 43.46 46.57 31 38 38 43 43 46 46 57 31 57
A B
A 5
Khi đó : = => =
5 2
B 2
12
Bài 22: Tính nhanh tổng sau: P=
1
1
1
1
+
+
+ ... +
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12
HD:
Ta có : 2 P =
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
+
+
+ ... +
=
−
−
−
÷+
÷+ ... +
÷
1.2.3 2.3.4 3.4.5
10.11.12 1.2 2.3 2.3 3.4
10.11 11.12
1
1
65
65
−
=
=> P =
1.2 11.12 132
264
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
Bài 23 : Tính : A =
10 40 88 154 238 340
1 1 1 1
1
1
− − −
−
Bài 24 : Tính : A = −
6 35 63 99 143 195
2P =
1
1 1 − 3 − 5 − ... − 49
1
+
+ ... +
Bài 25: Thực hiện phép tính: A =
÷.
44.49
89
4.9 9.14
HD:
1
1
1
5
5
5
45
1 1
+
+ ... +
=> 5B =
+
+ ... +
= − ÷=
Đặt : B =
4.9 9.14
44.49
4.9 9.14
44.49 4 49 4.49
9
=> B =
4.49
1 − 3 − 5 − ... − 49 1 − ( 3 + 5 + ... + 49 ) 1 − 612 −611
và C =
=
=
=
89
89
89
89
9 − 611
.
Khi đó : A = B.C =
4.49 89
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( − − − )(63.1, 2 − 21.3, 6)
Bài 26: Thực hiện phép tính:
2 3 7 9
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
HD:
1 1 1 1
(1 + 2 + 3 + ... + 100)( − − − )(63.1, 2 − 21.3, 6)
Ta có:
2 3 7 9
63.1, 2 − 21.3, 6 = 0 =>
=0
1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100
A
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Bài 27: Tính tỉ số
biết : A =
và
B
1.300 2.301 3.302
101.400
1
1
1
1
B=
+
+
+ ... +
1.102 2.103 3.104
299.400
HD:
299
299
299
1 1
1 1
1
1
1
1
299 A =
+
+ ... +
= −
−
÷+ −
÷+ −
÷+ ... +
÷
1.300 2.301
101.400 1 300 2 301 3 302
101 400
1 1
1 1
1
1
=> 299 A = 1 + + + ... +
+
+ ... +
÷−
÷
2 3
101 300 301
400
101
101
101
101
101B =
+
+
+ ... +
1.102 2.103 3.104
299.400
1 1
1 1
1
1
1
= 1 −
−
÷+ −
÷+ −
÷+ ... +
÷
102 2 103 3 104
299 400
1 1
1 1
1
1
1 1
1 1
1
1
= 1 + + + ... +
+
+ ... +
+
+ ... +
÷−
÷ = 1 + + + ... +
÷−
÷
2 3
299 102 103
400
2 3
101 300 301
400
A 101
Khi đó : 299 A = 101B => =
B 299
13
Bài 28: Không quy đồng hãy tính hợp lý các tổng sau:
a) A =
−1 −1 −1 −1 −1 −1
+
+
+
+
+
20 30 42 56 72 90
b) B =
5
4
3
1
13
+
+
+
+
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
a) A =
−1 −1 −1
−1
1
1
1
1
+ + + ... +
= −(
+
+
+ ... +
)
20 30 42
90
4.5 5.6 6.7
9.10
HD:
1 1 1 1 1 1
1 1
1 1
−3
= −( − + − + + + ... + − ) = − ( − ) =
4 5 5 6 6 7
9 10
4 10
20
b) B =
5
4
3
1
13
5
4
3
1
13
+
+
+
+
= 7.(
+
+
+
+
)
2.1 1.11 11.2 2.15 15.4
2.7 7.11 11.14 14.15 15.28
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
13
1
= 7.( − + − + − + − + − ) = 7.( − ) = = 3
2 7 7 11 11 14 14 15 15 28
2 28
4
4
Bài 29: Tính tổng A =
1 1 1
1
+ + + ... +
10 15 21
120
HD:
A=
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + ... +
=
+
+
+
+ ... +
+
10 15 21
120 2.5 5.3 7.3 7.4
15.7 15.8
1 1
1
1 11 1 11 1
1 1 1
1
1
=
+
+
+
÷+
÷+ ... +
÷ = + ÷+ + ÷+ ... + + ÷
15 7 8
2.5 5.3 7.3 7.4
15.7 15.8 5 2 3 7 3 4
=
1 1
1
1
1
1
1 1 3
+ + ... +
=
+
+ ... +
= − =
6 12
56 2.3 3.4
7.8 2 8 8
Bài 30: Tính tỉ số
4
6
9
7
A
+
+
+
biết A =
7.31 7.41 10.41 10.57
B
B=
7
5
3
11
+
+
+
19.31 19.43 23.43 23.57
HD:
1
4
6
9
7
1 1
A=
+
+
+
= −
1
A 5
5
7.31 35.41 50.41 50.57 31 57 1
⇒ A= B ⇒ =
1
7
5
3
11
1 1
5
2
B 2
B=
+
+
+
= −
2
19.31 19.43 23.43 23.57 31 57
Bài 31: Cho A =
Tính tỷ số
34
51
85
68
+
+
+
7.13 13.22 22.37 37.49
B=
39
65
52
26
+
+
+
7.16 16.31 31.43 43.49
A
B
HD:
14
A=
34
51
85
68
34 1 1
68 1 1 17 1 1
+
+
+
= − ÷+ ..... + − ÷= − ÷
7.13 13.22 22.37 37.49 6 7 13
12 37 49 3 7 49
39
65
52
26
39 1 1
26 1 1 13 1 1
+
+
+
= − ÷+ ..... + − ÷= − ÷
7.16 16.31 31.43 43.49 9 7 16
6 43 49 3 7 49
A 34 26 17
⇒ = : =
B 49 49 3
B=
Bài 32: Tính tỉ số
40
35
30
25
91
65
39
143
A
+
+
+
+
+
+
biết: A =
;B=
B
31.39 39.46 46.52 52.57
19.31 19.43 23.43 69.19
HD:
40
35
30
25
+
+
+
31.39 39.46 46.52 52.57
A=
=
40 1
1 35 1
1 30 1
1 25 1
1
− + − + − + −
8 31 39 7 39 46 6 46 52 5 52 57
1 5.26
1
= 5 − =
31 57 31.57
91
65
39
143
+
+
+
19.31 19.43 23.43 69.19
B=
=
13 7
5 13 3 11
28 13.52
24
+
+ ÷+ + ÷ = 13
÷=
19 31 43 23 43 57
57
31.19 43.57
A 5.26 13.52 5
=
:
=
B 31.57 57
62
⇒
Bài 33: Tính tổng:
1
1
1
1
+
+
+•••+
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
4
4
4
4
B=
+
+
+•••+
5.8 8.11 11.14
305.308
A=
HD:
A=
=
B=
1
1
1
1
+
+
+ ............... +
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
27.28.29.30
1 1
1
451
1 4059
−
= .
=
3 1.2.3 28.29.30 3 28.29.30 8120
41 1 41 1
4 1
1 41
1
4.303
303
+
=
− + − + ....... +
= −
=
3 5 8 3 8 11
3 305 308 3 5 308 3.5.308 485
Bài 34: Tính tổng: A =
2
2
2
2
+
+
+ .... +
1.4 4.7 7.10
97.100
HD:
15
A=
2
2
2
2
+
+
+ .... +
1.4 4.7 7.10
97.100
Ta có
1 1 1 1
2
2 1 1
= ( − )⇒
= ( − )
1.4 3 1 4
1.4 3 1 4
Tương tự:
⇒A =
2
2 1 1
2
2 1 1
2
2 1
1
= ( − );
= ( − ) ; ......;
= ( −
)
4.7 3 4 7 7.10 3 7 10
97.100 3 99 100
2 1 1 1 1 1 1
1
1
2 1 1
2 99 33
( − + − + − + ..... + −
) = ( −
)= .
=
3 1 4 4 7 7 10
99 100
3 1 100
3 100 50
16
Dạng 5: TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN DẠNG TÍCH
Bài 1:Tính tổng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ….+ (n – 1). n
(1)
HD:
Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức với 3
lần khoảng cách (nhân với 3) ta được.
3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ….+ (n – 2).(n – 1) .3+ (n - 1).n.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + 3.4.(5 – 2) + ….+ (n – 2).(n – 1).[n – (n – 3)] + (n -1).n.[(n + 1) – (n – 2)]
= (n – 1).n.(n + 1)
– 1) .n. ( n + 1)
3
Bài 2: Tính nhanh các tổng sau
a, A= 1.2+2.3+3.4+…+98.99
b, B= 1.2 + 3.4 + 5.6 + ... + 99.100
HD:
a, Ta có: 3 A = 1.2 ( 3 − 0 ) + 2.3 ( 4 − 1) + 3.4 ( 5 − 2 ) + ... + 98.99 ( 100 − 97 )
S=
(n
3 A = ( 1.2.3 − 0.1.2 ) + ( 2.3.4 − 1.2.3 ) + ( 3.4.5 − 2.3.4 ) + ... + ( 98.99.100 − 97.98.99 )
98.99.100
3
b, Ta có: B = 2 + ( 2 + 1) .4 + ( 4 + 1) .6 + ... + ( 98 + 1) .100
3 A = 98.99.100 => A =
B = 2 + ( 2.4 + 4 ) + ( 4.6 + 6 ) + ... + ( 98.100 + 100 )
B = ( 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 98.100 ) + ( 2 + 4 + 6 + ... + 100 )
Đặt M = 2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + 98.100
6 M = 2.4 ( 6 − 0 ) + 4.6 ( 8 − 2 ) + 6.8 ( 10 − 4 ) + ... + 98.100 ( 102 − 96 )
6 M = ( 2.4.6 − 0.2.4 ) + ( 4.6.8 − 2.4.6 ) + ( 6.8.10 − 4.6.8 ) + ... + ( 98.100.102 − 96.98.100 )
98.100.102
6
Tính N = 2 + 4 + 6 + .... + 100 rồi thay vào B
Bài 3: Tính nhanh các tổng sau
a, D= 1.4+2.5+3.6+…+100.103
b, E= 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 97.99 + 98.100
HD:
a, Ta có:
D = 1. ( 1 + 3) + 2. ( 2 + 3) + 3 ( 3 + 3 ) + ... + 100. ( 100 + 3 )
6 M = 98.100.102 => M =
D = ( 1.1 + 1.3) + ( 2.2 + 2.3) + ( 3.3 + 3.3 ) + ... + ( 100.100 + 100.3 )
D = ( 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 100.100 ) + 3 ( 1 + 2 + 3 + ... + 100 )
Đặt, A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 100.100 và B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100
b, Ta có:
E = 1( 1 + 2 ) + 2 ( 2 + 2 ) + 3 ( 3 + 2 ) + ... + 97 ( 97 + 2 ) + 98 ( 98 + 2 )
E = ( 1.1 + 1.2 ) + ( 2.2 + 2.2 ) + ( 3.3 + 3.2 ) + ... + ( 97.97 + 97.2 ) + ( 98.98 + 98.2 )
E = ( 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 97.97 + 98.98 ) + 2 ( 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 )
Đặt A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 98.98 và B = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98
Tính rồi thay vào E
Bài 4: Tính nhanh các tổng sau
17
a, F= 1.3 + 5.7 + 9.11 + ... + 97.101
b, G= 1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+98.99.100
HD:
a, F = 1. ( 1 + 2 ) + 5 ( 5 + 2 ) + 9 ( 9 + 2 ) + ... + 97 ( 97 + 2 )
F = ( 1.1 + 1.2 ) + ( 5.5 + 5.2 ) + ( 9.9 + 9.2 ) + ... + ( 97.97 + 97.2 )
F = ( 1.1 + 5.5 + 9.9 + ... + 97.97 ) + 2 ( 1 + 5 + 9 + ... + 97 )
Đặt A = 1.1 + 5.5 + 9.9 + ... + 97.97, B = 1 + 5 + 9 + ... + 97 , Tính rồi thay vào F
b, 4G = 1.2.3 ( 4 − 0 ) + 2.3.4 ( 5 − 1) + 3.4.5 ( 6 − 2 ) + ... + 98.99.100 ( 101 − 97 )
4G = ( 1.2.3.4 − 0.1.2.3 ) + ( 2.3.4.5 − 1.2.3.4 ) + ( 3.4.5.6 − 2.3.4.5 ) + ... + ( 98.99.100.101 − 97.98.99.100 )
4G = 98.99.100.101 => G =
98.99.100.101
4
Bài 5: Tính nhanh các tổng sau
a, H= 1.99 + 2.98 + 3.97 + ... + 50.50
b, K= 1.99 + 3.97 + 5.95 + ... + 49.51
HD:
a, H = 1.99 + 2. ( 99 − 1) + 3. ( 99 − 2 ) + ... + 50 ( 99 − 49 )
H = 1.99 + ( 2.99 − 1.2 ) + ( 3.99 − 2.3) + ... + ( 50.99 − 49.50 )
H = ( 1.99 + 2.99 + 3.99 + ... + 50.99 ) − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 49.50 )
Đặt A = 99 ( 1 + 2 + 3 + ... + 50 ) , B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 49.50
Tính A và B rồi thay vào H
b, K = 1.99 + 3 ( 99 − 2 ) + 5. ( 99 − 4 ) + ... + 49 ( 99 − 48 )
K = 1.99 + ( 3.99 − 2.3) + ( 5.99 − 4.5 ) + ... + ( 49.99 − 48.49 )
K = ( 1.99 + 3.99 + 5.99 + ... + 49.99 ) − ( 2.3 + 4.5 + ... + 48.49 )
Đặt A = 99 ( 1 + 3 + 5 + ... + 49 ) , B = ( 2.3 + 4.5 + 6.7 + ... + 48.49 )
Tính A và B rồi thay vào K
Bài 6: Tính nhanh các tổng sau : C= 1.3 + 3.5 + 5.7 + ... + 97.99
HD:
C = 1. ( 1 + 2 ) + 3. ( 3 + 2 ) + 5 ( 5 + 2 ) + ... + 97. ( 97 + 2 )
C = ( 1.1 + 1.2 ) + ( 3.3 + 3.2 ) + ( 5.5 + 5.2 ) + ... + ( 97.97 + 97.2 )
C = ( 1.1 + 3.3 + ... + 97.97 ) + 2 ( 1 + 3 + 5 + ... + 97 )
Đặt A = 1.1 + 23.3 + 5.5 + ... + 97.97, B = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + 97
Tính A và B rồi thay vào C
Bài 7: Tính tổng S = 1.3 + 3.5 + 5.7 + …..+ 99.101
HD:
Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 97.99 + 99.101
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 97.(97 + 2) + 99.(99 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 972 + 992) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 97 + 99).
Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 992
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
(k
– 1) .k. ( k + 1)
6
18
=> Với k = 100 có B =
99.100.101
= 166650
6
=> A = 166650 + 2.(1 + 99).50 : 2
=> A = 166650 + 5000 = 171650.
Bài 8: Tính tổng M = 1.3 + 3.5 + 5.7 + ….+ 49.51
HD:
Ta có: A = 1.3 + 3.5 + 5.7 +…+ 47.49 + 49.51
A = 1.(1 + 2) + 3.(3 + 2) + 5.(5 + 2) + … + 47.(47 + 2) + 49.(49 + 2)
A = (12 + 32 + 52 + … + 472 + 492) + 2.(1 + 3 + 5 + … + 47 + 49).
Đặt B = 12 + 32 + 52 + … + 492
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
=> Với k = 50 có B =
(k
– 1) .k. ( k + 1)
6
49.50.51
= 20825
6
=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 9: Tính tổng N = 2.4 + 4.6 + 6.8 + …..+ 100.102
HD:
A = 2.(2 + 2) + 4.(4 + 2) + 6.(6 + 2) + … + 98.(98 + 2)+ 100.(100 + 2)
A = (22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002) + 2.(2 + 4 + 6 + … + 98 + 100).
Đặt B = 22 + 42 + 62 + … + 982 + 1002
B có dạng B = 12 + 32 + 52 + …+ (k - 1)2 =
=> Với k = 50 có B =
(k
– 1) .k. ( k + 1)
6
49.50.51
= 20825
6
=> A = 20825 + 2.(1 + 49).25 : 2
=> A = 20825 + 1250 = 22075.
Bài 10: Tính tổng P = 1.4 + 4.7 + 7.10 + ….+ 49.52
HD:
Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 3
19
Nhân cả hai vế với 9 ta có:
9P = 1.4.9 + 4.7.9 + 7.10.9 + ….+ 46.49.9 + 49.52.9
= 1.4.(7 + 2) + 4.7.(10 – 1) + 7.10.(13 – 4) + …+ 46.49.(52 – 43) + 49.52.(55 – 46)
= 1.4.7 +1.4.2 + 4.7.10 – 1.4.7 + 7.10.13 – 4.7.10 +...+46.49.52 – 43.46.49 + 49.52.53 –
46.49.52
= 1.4.2 + 49.52.55
= 140148
P = 15572
Bài 11: Tính tổng S = 2.6 + 6.10 + 10.14 + 14.18 + ….+42.46 + 50.54
HD:
Vì khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng bằng 4 (trừ ra số hạng cuối)
Nhân cả hai vế với 12 ta có:
12P = 2.6.12 + 6.10.12 + 10.14.12 + 14.18.12 + ….+42.46.12 + 50.54.12
= 2.6.(10 + 2) + 6.10.(14 – 2) + 10.14.(18 – 6) + 14.18.(22 – 10) +…+ 42.46.(50 – 38) +
50.54.12
= 2.2.6 + 42.46.50 + 50.54 .12
= 2350800
Bài 12: Tính tổng S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + …..+ 16.17.18 + 17.18.19
HD:
Khoảng cách giữa các thừa số bằng 1 => Nhân hai vế với 4 ta được.
4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + …..+ 16.17.18.4 + 17.18.19.4
= 1.2.3.4 + 2.3.4.(5 – 1) + 3.4.5.(6 – 2) + …+ 16.17.18.(19 – 15) + 17.18.19.(20 – 16)
= 17.18.19.20 = 116280
Bài 13: Tính tổng S = 1.3.5 + 3.5.7 + 5.7.9 + …+ 95.97.99
HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 8
Bài 14: Tính tổng A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + 18.19.20.21 + 19.20.21.22
HD: Gợi ý: Nhân hai vế với 5
Bài 15: Tính: A =
1.99 + 2.98 + ... + 99.1
1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100
20
Dạng 6: TÍNH TỔNG CÔNG THỨC
I. Phương pháp
Cần tính tổng: S = a1 + a2 + a3 + …. + an
(1)
Với a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an-1 = d (các số hạng cách đều nhau một giá trị d)
Số số hạng trong tổng là n = ( a n − a1 ) : d + 1
a1 là số hạng thứ nhất
an là số hạng thứ n
Tổng S = n.(a1 + an) : 2
Số hạng thứ n của dãy là an = a1 + (n – 1).d
II. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
HD:
Tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là:
S = 1 + 3 + 5 + …+ 33 + 35 + 37.
Cách 1: Tính tổng theo công thức trong phương pháp: S =
( 37 + 1) .19 = 361
2
Cách 2: Nhóm số hạng tạo thành những cặp số có tổng bằng nhau:
Ta thấy: 1 + 37 = 38
5 + 33 = 38
1 + 35 = 38
7 + 31 = 38
……
=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu dãy số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38.
Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng ở chính giữa dãy số là số 19.
Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 38 x 9 + 19 = 361
Cách nhóm khác:
Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 – 1 = 18 (số hạng)
Ta thấy:
3 + 37 = 40
7 + 33 = 40
5 + 35 = 40
9 + 31 = 40
………
=> Nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào được các cặp số có tổng là 40.
Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số)
Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361
Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n.
HD:
Tổng S = 1 + 2 + 3 + ….+ n
Số các số hạng = n
Ta có: S =
( n + 1) .n
2
Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + …+ 98,99 + 100
21
HD:
d = 11,12 – 10,11 = 12,13 – 11,12 = … = 1,01
Tổng này có (100 – 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng
E = 90.(10,11 + 100) : 2 = 4954,95
Bài 4: Tính tổng S =
1
3
5
19
+ 1 + + 2 + + .... + 9 + .
2
2
2
2
HD:
Các số hạng trong dãy cách đều nhau một giá trị d =
1
2
19 1 1
n = ( a n − a1 ) : d + 1 = − ÷: + 1 = 19 số hạng
2 2 2
19 1
S = 19. + ÷: 2 = 95
2 2
Bài 5: Tính tổng S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 1
Tổng này có 100 số hạng
S = 100.(100 + 1) : 2 = 5050
Bài 6: Tính tổng S = 2 + 5 + 8 + 11 + …+ 47 + 50
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 3
Tổng này có (50 – 2): 3 + 1 = 17 số hạng
S = 17.(50 + 2) : 2 = 442
Bài 7: Tính tổng: S = 5 + 10 + 15 + 20 + …+ 100
HD:
Các số hạng cách đều nhau một giá trị d = 5
Tổng này có (100 – 5): 5 + 1 = 20 số hạng
S = 20.(100 + 5) : 2 = 1050
1
1
1
Bài 8: Tính tổng: D = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... + (1 + 2 + ... + 20)
2
3
20
HD:
1 2.3 1 3.4
1 20.21
3 4 5
21
+ .
+ ... + .
= 1 + + + + ... +
Ta có: D = 1 + .
2 2 3 2
20 2
2 2 2
2
1
1
= ( 2 + 3 + 4 + ... + 20 + 21) = .230 = 115
2
2
1
1
1
(1 + 2 + ... + 2016)
Bài 9: Tính tổng: F = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... +
2
3
2016
22
HD:
1 2.3 1 3.4
1 2016.2017
+ .
+ .... +
.
Ta có: F = 1 + .
2 2 3 2
2016
2
2 +1 3+1 4 +1
2016 + 1
1 1
1 2 + 3 + 4 + ... + 2016
F = 1+
+
+
+ ... +
= 1 + + + ... + +
2
2
2
2
2 2
2
2
1
2018.2015
2015.2019
F = 1 + .2015 +
= 1+
2
2
2
1
1
1
Bài 10: Tính: 1 + ( 1 + 2 ) + ( 1 + 2 + 3 ) + ... + ( 1 + 2 + ... + 16 )
2
3
16
HD:
1 2.3 1 3.4
1 16.17
+ .
+ .... + .
Ta có: F = 1 + .
2 2 3 2
16 2
2 +1 3+1 4 +1
16 + 1
1 1
1 2 + 3 + 4 + ... + 16
F = 1+
+
+
+ ... +
= 1 + + + ... + +
2
2
2
2
2 2
2
2
1
1
1
(1 + 2 + ... + 100)
Bài 11: Tính tổng: G = 1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + ... +
2
3
100
HD:
1 ( 1 + 2 ) .2 1 ( 1 + 3) .3
1 ( 1 + 100 ) .100
Ta có: G = 1 + .
+ .
+ ... +
.
2
2
3
2
100
2
2 +1 3+1 4 +1
100 + 1
1 1
1 2 + 3 + 4 + ... + 100
G = 1+
+
+
+ ... +
= 1 + + + ... + +
2
2
2
2
2 2
2
2
1 3.2 1 4.3
1 501.500
+ .
+ ... +
.
Bài 12: Tính tổng: H = 1 + .
2 2 3 2
500
2
HD:
3 4 5
501
3 + 4 + 5 + ... + 501
= 1+
Ta có: H = 1 + + + + ... +
2 2 2
2
2
1
1
1
+
+ ... +
Bài 13: Tính:
1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 4
1 + 2 + ... + 59
HD:
1
1
1
1
+
+
+ ... +
Ta có:= ( 1 + 3) .3 ( 1 + 4 ) .4 ( 1 + 5 ) .5
( 1 + 59 ) .59
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1 1
19 19
=
+
+
+ ... +
= 2
+
+
+ ... +
÷ = 2 − ÷= 2 ÷=
3.4 4.5 5.6
59.60
59.60
3.4 4.5 5.6
3 60
60 30
Bài 14: Tính: 50 +
50 25 20 10 100
100
1
+ + + +
+ ... +
+
3 3 4 3 6.7
98.99 99
HD:
50 25 20 10 100 100
100
100
+
+ ... +
+
Ta có: A = 50 + + + + ÷+
÷
3
3
4
3 6.7 7.8
98.99 99.100
1
1
1
1
1
1
1
1
A = 100
+
+
+
+
+
+ ... +
÷+ 100
÷
99.100
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6
6.7 7.8
1
1
1
1
1
A = 100
+
+
+ ... +
÷ = 100. 1 −
÷= 99
99.100
1.2 2.3 3.4
100
23
Dạng 7: TÍNH TÍCH
Bài 1: Tính tích
22 32 4 2
202
12 22 32
102
a, A=
b, B=
.
.
...
.
.
...
1.3 2.4 3.5 19.21
1.2 2.3 3.4 10.11
HD:
2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20 ) ( 2.3.4...20 ) 20.2 40
.
.
....
=
=
=
a, Ta có: A =
1.3 2.4 3.5 19.21 ( 1.2.3....19 ) ( 3.4.5...21)
21
21
b, Ta có: B =
1.1 2.2 3.3 10.10 ( 1.2.3....10 ) ( 1.2.3...10 ) 1
.
.
....
=
=
1.2 2.3 3.4 10.11 ( 1.2.3...10 ) ( 2.3.4...11) 11
1
1
1
1
Bài 2: Tính tổng C = 1 −
÷1 −
÷1 −
÷... 1 −
÷
1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + 4 1 + 2 + 3 + ... + 2016
HD:
÷
÷
÷
÷
1
1
1
1
÷. 1 −
÷. 1 −
÷.... 1 −
÷
Ta có: C = 1 −
( 1 + 2 ) .2 ÷ ( 1 + 3 ) .3 ÷ ( 1 + 4 ) .4 ÷ ( 1 + 2016 ) .2016 ÷
÷
÷
÷
÷
2
2
2
2
2 5 9
2017.2016 − 2 4 10 18 2016.2017 − 2
= . . .....
= . . ....
3 6 10
2016.2017
6 12 20
2016.2017
1.4 2.5 3.6 2015.2018 1004
C=
. . ....
=
2.3 3.4 4.5 2016.2017 3009
1 1 1 1 1 1 1 1
Bài 3: Tính: A = − ÷ − ÷ − ÷... − ÷
2 3 2 5 2 7 2 99
HD:
Ta có: A =
( 1.3.5....97 ) = 1
1 3 5
97
. . ....
= 49
2.3 2.5 2.7 2.99 2 . ( 3.5.7...99 ) 249.99
1999 1999 1999
1 +
÷ 1 +
÷... 1 +
÷
1
2 1000
Bài 4: Tính:
1000 1000 1000
1 +
÷ 1 +
÷... 1 +
÷
1
2 1999
HD:
2000 2001 2002 2999 1001 1002 1003 2999
.
.
...
.
.
....
Ta có: A =
÷:
÷
2
3
1000 1
2
3
1999
1
2000.2001.2002...2999 1.2.3...1999
1001.1002....1999
A=
=1
÷.
÷=
1.2.3.4...1000
1001.1002....2999 1001.1002...1999
1
1
1 1
Bài 5: Tính: 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷
4 9 16 400
HD:
( 1.2.3...19 ) ( 3.4.5...21)
3 8 15 399 1.3 2.4 3.5 19.21
21 21
....
=
. . ...
=
=
=
4 9 16 400 2.2 3.3 4.4 20.20 ( 2.3.4...20 ) ( 2.3.4.5...20 ) 20.2 40
Ta có: = . .
24
1
1
1
Bài 6: Tính: 1 −
÷1 −
÷...1 −
÷
1 + 2 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3 + ... + n
HD:
÷
÷
÷
1
1
1
÷ 1 −
÷... 1 −
÷
Ta có: A = 1 −
( 1 + 2 ) .2 ÷ ( 1 + 3) .3 ÷ ( 1 + n ) .n ÷
÷
÷
÷
2
2
2
2
2
2
2
= 1 −
÷1 −
÷1 −
÷.... 1 −
2.3 3.4 4.5 n ( n + 1)
=
4 10 18 n ( n + 1) − 2
=
. . ....
÷
÷ 2.3 3.4 4.5
n ( n + 1)
1.4 2.5 3.6 ( n − 1) ( n + 2 ) ( 1.2.3...(n − 1) ) ( 4.5....( n + 2) ) n + 2 n + 2
. . ...
=
=
=
2.3 3.4 4.5
n ( n + 1)
( 2.3...n ) ( 3.4.5...( n + 1) )
n.3
3n
Bài 7: Tính:
1
1
1
1
1
1
1
1
a/ 1 +
b/ 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
÷1 +
÷1 +
÷... 1 +
÷
÷
1.3 2.4 3.5 17.19
21 28 36 1326
HD:
a, Ta có:
4 9 16 17.19 + 1 2.2 3.3 4.4 18.18 ( 2.3.4...18 ) ( 2.3.4...18 ) 18.2 36
=
=
A=
. . ....
=
. . ...
=
19 19
1.3 2.4 3.5
17.19
1.3 2.4 3.5 17.19 ( 1.2.3...17 ) ( 3.4.5...19 )
b, Ta có:
20 27 35 1325 40 54 70 2650 5.8 6.9 7.10 50.53
B = . . ....
= . . ....
=
. .
...
21 28 36 1326 42 56 72 2652 6.7 7.8 8.9 51.52
B=
( 5.6.7...50 ) ( 8.9.10...53)
( 6.7.8...51) ( 7.8.9...52 )
=
5.53
51.7
Bài 8: Tính tích
8 15 24 2499
22 32 42 52 62 7 2 82 92
a, D=
b, E= . . ...
. . . . . . .
9 16 25 2500
3 8 15 24 35 48 63 80
HD:
( 2.3.4...8.9 ) ( 2.3.4...8.9 ) = 9.2 = 9
2.2 3.3 4.4 8.8 9.9
.
.
....
.
=
a, D =
1.3 2.4 3.5 7.9 8.10 ( 1.2.3...7.8 ) ( 3.4.5...9.10 ) 10 5
b, E =
2.4 3.5 4.6 49.51 ( 2.3.4...49 ) ( 4.5.6...51) 2.51 17
.
.
....
=
=
=
3.3 4.4 5.5 50.50 ( 3.4.5...50 ) ( 3.4.5...50 ) 50.3 25
Bài 9: Tính tích
1
1 1 1
a, G= 1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 −
b, H=
÷
2 3 4 100
HD:
1 2 3 99
1
=
a, Ta có: G = . . ....
2 3 4 100 100
6 5 4 3 2 1 0 − 1 − 2 −3
b, Ta có: H = . . . . . . . . . = 0
7 7 7 7 7 7 7 7 7 7
1 2 3 10
1 − ÷1 − ÷1 − ÷... 1 − ÷
7
7 7 7
25
