toán mạch cầu

Trần Nam Hiếu 1 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
MT S PHNG PHP GII BI TON MCH CU IN TR
1. kháI quát về mạch cầu điện trở, mạch cầu cân bằng
và mạch cầu không cân bằng.
Mch cu l mch dựng ph bin trong cỏc phộp o chớnh xỏc phũng thớ nghim in.
Mch cu c v nh (H - 0.a) v (H - 0.b)


Cỏc in tr R
1
, R
2
, R
3
, R
4
gi l cỏc cnh ca mch
cu in tr R
5
cú vai trũ khỏc bit gi l ng chộo ca mch cu (ngi ta khụng tớnh thờm
ng chộo ni gia A B. Vỡ nu cú thỡ ta coi ng chộo ú mc song song vi mch cu).
Mạch cầu có thể phân thành hai loại
Mch cu cõn bng (Dựng trong phộp o lng in). I
5
= 0 ; U
5
= 0
Mch cu khụng cõn bng: Trong ú mch cu khụng cõn bng c phõn lm 2 loi:
Loi cú mt trong 5 in tr bng khụng (vớ d mt trong 5 in tr ú b ni tt, hoc thay vo
ú l mt ampe k cú in tr ng khụng ). Khi gp loi bi tp ny ta cú th chuyn mch v
dng quen thuc, ri ỏp dng nh lut ụm gii.

Loi mch cn tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, thỡ khụng th gii c nu ta ch
ỏp dng nh lut ễm, loi bi tp ny c gii bng phng phỏp c bit ( Trỡnh by mc 2.3)

Vậy điều kiện cân bằng là gì ?
Cho mch cu in tr nh (H1.1)
Nu qua R
5
cú dũng I
5
= 0 v U
5
= 0 thỡ cỏc in tr nhỏnh lp
thnh t l thc :
1 2
3 4
R R
R R
=
= n = const
Ngc li nu cú t l thc trờn thỡ I
5
= 0 v U
5
= 0, ta cú mch cu cõn bng.
Tóm lại: Cn ghi nh
Nu mch cu in tr cú dũng I
5
= 0 v U
5
= 0 thỡ bn in tr nhỏnh ca mch cu lp thnh t

l thc:
1 2
3 4
R R
n
R R
= =
(n l hng s) (*) (Vi bt k giỏ tr no ca R
5
.).
Khi ú nu bit ba trong bn in tr nhỏnh ta s xỏc nh c in tr cũn li.
Ngc li: Nu cỏc in tr nhỏnh ca mch cu lp thnh t l thc tờn, ta cú mch cu cõn
bng v do ú I
5
= 0 v U
5
= 0
Trần Nam Hiếu 2 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
Khi mch cu cõn bng thỡ in tr tng ng ca mch luụn c xỏc nh v khụng ph
thuc vo giỏ tr ca in tr R
5
. ng thi cỏc i lng hiu in th v khụng ph thuc vo
in tr R
5
. Lỳc ú cú th coi mch in khụng cú in tr R
5
v bi toỏn c gii bỡnh thng
theo nh lut ễm.
Biu thc (*) chớnh l iu kin mch cu cõn bng.
2. phơng pháp tính điện trở tơng đơng của mạch cầu.

Tớnh in tr tng ng ca mt mch in l mt vic lm c bn v rt quan trng, cho dự
u bi cú yờu cu hay khụng yờu cu, thỡ trong quỏ trỡnh gii cỏc bi tp in ta vn thng phi
tin hnh cụng vic ny.
Vi cỏc mch in thụng thng, thỡ u cú th tớnh in tr tng ng bng mt trong
hai cỏch sau.
Nu bit trc cỏc giỏ tr in tr trong mch v phõn tớch c s mch in (thnh cỏc on
mc ni tip, cỏc on mc song song) thỡ ỏp dng cụng thc tớnh in tr ca cỏc on mc ni tip
hay cỏc on mc song song.
Nu cha bit ht cỏc giỏ tr ca in tr trong mch, nhng bit c Hiu in th 2 u
on mch v cng dũng in qua on mch ú, thỡ cú th tớnh in tr tng ng ca mch
bng cụng thc nh lut ễm.
Tuy nhiờn vi cỏc mch in phc tp nh mch cu, thỡ vic phõn tớch on mch ny v dng
cỏc on mch mi ni tip v song song l khụng th c. iu ú cng cú ngha l khụng th
tớnh in tr tng ng ca mch cu bng cỏch ỏp dng, cỏc cụng thc tớnh in tr ca on
mch mc ni tip hay on mch mc song song. Vy ta phi tớnh in tr tng ng ca
mch cu bng cỏch no?
Vi mch cu cõn bng thỡ ta b qua in tr R
5
tớnh in tr tng ng ca mch cu.
Vi loi mch cu cú mt trong 5 in tr bng 0, ta luụn a c v dng mch in cú cỏc
on mc ni tip, mc song song gii.
Loi mch cu tng quỏt khụng cõn bng thỡ in tr tng ng c tớnh bng cỏc phng
phỏp sau.
Phơng án chuyển mạch.
Thc cht l chuyn mch cu tng quỏt v mch in tng ng (in tr tng ng ca
mch khụng thay i). M vi mch in mi ny ta cú th ỏp dng cỏc cụng thc tớnh in tr ca
on mch ni tip, on mch song song tớnh in tr tng ng.
Mun s dng phng phỏp ny trc ht ta phi nm c cụng thc chuyn mch (chuyn t
mch sao thnh mch tam giỏc v ngc li t mch tam giỏc thnh mch sao). Cụng thc
chuyn mch - nh lý Kennli.

Cho hai s mch in, mi mch in c to thnh t ba in tr.
( H2.1a mch tam giỏc () ; H2.1b - Mch sao (Y) )
Trần Nam Hiếu 3 PP giải bài toán mạch cầu điện trở


Vi cỏc giỏ tr thớch hp ca in tr cú th thay th mch ny bng mch kia, khi ú hai mch
tng ng nhau. Cụng thc tớnh in tr ca mch ny theo mch kia khi chỳng tng ng
nhau nh sau:
Bin i t mch tam giỏc R
1
, R
2
, R
3
thnh mch sao R
1
, R
2
, R
3
'
2 3
1
1 2 3
R .R
R
R R R
=
+ +
(1) ;

'
1 3
2
1 2 3
R .R
R
R R R
=
+ +
(2)
'
1 2
3
1 2 3
R .R
R
R R R
=
+ +
(3) ( õy R
1
, R
2
, R
3
ln lt v trớ i din vi R
1
,R
2
, R

3
)
Bin i t mch sao R
1
, R
2
, R
3
thnh mch tam giỏc R
1
, R
2
, R
3


' ' ' ' ' '
1 2 2 3 1 3
1
'
1
R .R R .R R .R
R (4)
R
+ +
=
' ' ' ' ' '
1 2 2 3 1 3
2
'

2
R .R R .R R .R
R
R
+ +
=
(5)
' ' ' ' ' '
1 2 2 3 1 3
3
'
3
R .R R .R R .R
R
R
+ +
=
(6)
p dng vo bi toỏn tớnh in tr tng ng
ca mch cu ta cú hai cỏch chuyn mch nh sau:
Cách 1:
T s mch cu tng quỏt ta chuyn mch tam giỏc R
1
, R
3
, R
5
thnh

mch sao :R

1
; R
3
; R
5
(H2.2a) Trong ú cỏc in tr R
13
, R
15
, R
35
c xỏc nh theo cụng thc: (1); (2) v (3) t s
mch in mi (H2.2a) ta cú th ỏp dng cụng thc tớnh in tr ca on mch mc ni tip, on
mch mc song song tớnh in tr tng ng ca mch AB, kt qu l:
' '
'
3 2 1 4
AB 5
' '
3 2 1 4
(R R )(R R )
R R
(R R ) (R R )
+ +
= +
+ + +
Cách 2:
T s mch cu tng quỏt ta chuyn mch sao R
1
, R

2
, R
5

thnh mch tam giỏc R
1
, R
2 ,
R
5
(H2.2b ). Trong ú cỏc in
tr R
1
, R
2,
R
3
c xỏc nh theo cụng thc (4), (5) v(6). T s mch in mi (H2.2b) ỏp
dng cụng thc tớnh in tr tng ng ta cng c kt qu:
3 2
1 4
5
3 2 1 4
AB
3 2
1 4
5
3 2 1 4
R .R '
R ' .R

R ' ( )
R R ' R R '
R
R .R '
R ' .R
R ' ( )
R R ' R R '
+
+ +
=
+ +
+ +
Trần Nam Hiếu 4 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
Phơng pháp dùng định luật Ôm.
T biu thc:
U
I =
R
suy ra
U
R = (*)
I

Trong ú: U l hiu in th hai u on mch.
I l cng dũng in qua mch chớnh.
Vy theo cụng thc (*) nu mun tớnh in tr tng ng (R) ca mch thỡ trc ht ta phi
tớnh I theo U, ri sau ú thay vo cụng thc (*) s c kt qu.
( Cú nhiu phng phỏp tớnh I theo U s c trỡnh by chi tit mc sau ).
Xột vớ d c th:
Cho mch in nh hỡnh H . 2.3a.

Bit R
1
= R
3 =
R
5 =
3 , R
2
= 2 ; R
4
= 5
a. Tớnh in tr tng ng ca on mch AB.
b. t vo hai u on AB mt hiu in th khụng
i U = 3 (V). Hóy tớnh cng dũng in qua
cỏc in tr v hiu in th hai u mi in tr.
Phơng pháp 1: Chuyn mch.
Cách 1: Chuyn mch tam giỏc R
1
; R
3
; R
5
thnh
mch sao R
1
; R
3
; R
5
(H2.3b) Ta cú:

'
1. 3
5
1 2 3
R .R
3.3
R 1( )
R R R 3 3 3
= = =
+ + + +


'
1 5
3
1 3 5
R .R
R 1( )
R R R
= =
+ +


'
3 5
1
1 3 5
R .R
R 1( )

R R R
= =
+ +

Suy ra in tr tng ng ca on mch AB l :
' '
'
3 2 1 4
5
' '
1 2 1 4
(R R )(R R )
(1 2)(1 5)
R R 1 3
(R R ) (R R ) (1 2) (1 5)
AB
+ +
+ +
= + = + =
+ + + + + +

Cách 2: Chuyn mch sao R
1
; R
2
; R
5
thnh mch tam giỏc
' ' '
1 2 3

R ;R ;R
(H2.3c). Ta cú:
'
1 2 2 5 1. 5
1
1
R .R R .R R R
3.2 2.3 3.3
R 7
R 3
+ +
+ +
= = =
' '
1 2 5 1 5 1 2 5 1 5
2 5
2 5
R .R R .R R .R R .R R .R R .R
R 10,5( ) ; R 7( )
R R
+ + + +
= = = =

Suy ra:
' '
'
2 1 4
5
' '
2 3 1 4

'
'
'
2 3
1 4
5
' '
2 3 1 4
R .R3 R .R
R ( )
R R R R
R 3( )
R .R
R .R
R
R R R R
AB
+
+ +
= =
+ +
+ +
Phơng pháp 2: Dựng cụng thc nh lut ễm.
Trần Nam Hiếu 5 PP giải bài toán mạch cầu điện trở
T cụng thc:
( )
AB AB
AB
AB AB
U U

I R *
R I
= =

Gi U l hiu in th hai u on mch AB ; I l cng dũng in qua on mch AB
Biu din I theo U
t I
1
l n s, gi s dũng in trong mch cú chiu nh hỡnh v (H2.3d)
Ta ln lt cú:
U
1
= R
1
I
1
= 3 I
1
(1) ; U
2
= U U
1
= U 3 I
1
(2)
2 1 1
2 5 1 2
2
U U 3I 5I U
I (3) ; I I I (4)

R 2 2

= = = =

1 1
5 5 3 1 5
15I 3U 21I 3U
U I.R (5) ; U U U (6)
2 2

= = = + =

1 1
3 4 3
3
21I 3U 5U 21IU
I (7) ; U U U (8)
R 6 2

= = = =

4 1
4
4
U 5U 21.I
I (9)
R 10

= =

Ti nỳt D, ta cú: I
4
= I
3
+ I
5
( )
1 1 1
1
5U 21.I 21I 3U 5I U 5U
10 I (11)
10 6 2 27

= + =
Thay (11) vo (7) ta c: I
3
=

4
U
27
Suy ra cng dũng in mch chớnh.
( )
1 3
5U 4U 1
I I I U 12
27 27 3
= + = + =

Thay (12) vo (*) ta c kt qu: R

AB
= 3 ()
b. Thay U = 3 V vo phng trỡnh (11) ta c:
1
5
I (A)
9
=
Thay U = 3(V) v I
1
=
5
(A)
9
vo cỏc phng trỡnh t (1) n (9) ta c kt qu:
2 3 4 5
2 4 1 1
I (A) I = (A) I (A) I (A)
3 9 3 9

= = =
(
5
1
I
9

=
cú chiu t C n D)
( ) ( ) ( )

1 4 2 3 5 X
5 4 1
U U V U U V U = U = V
3 3 3
= = = =
;
Lu ý

C hai phng trỡnh gii trờn u cú th ỏp dng tớnh in tr tng ng ca bt k mch
cu in tr no. Mi phng trỡnh gii u cú nhng u im v nhc im ca nú. Tu tng bi
tp c th ta la chn phng phỏp gii cho hp lý.

Nu bi toỏn ch yờu cu tớnh in tr tng ng ca mch cu (ch cõu hi a) thỡ ỏp dng
phng phỏp chuyn mch gii, bi toỏn s ngn gn hn.

Nu bi toỏn yờu cu tớnh c cỏc giỏ tr dũng in v hiu in th (hi thờm cõu b) thỡ ỏp dng
phung phỏp th hai gii bi toỏn, bao gi cng ngn gn, d hiu v lụ gic hn.
Trần Nam Hiếu 6 PP giải bài toán mạch cầu điện trở

Trong phng phỏp th 2, vic biu din I theo U liờn quan trc tip n vic tớnh toỏn cỏc i
lng cng dũng in v hiu in th trong mch cu. õy l mt bi toỏn khụng h n gin
m ta rt hay gp trong khi gii cỏc thi hc sinh gii, thi tuyn sinh. Vy cú nhng phng phỏp
no gii bi toỏn tớnh cng dũng in v hiu in th trong mch cu.
3. phơng pháp giảI toán tính cờng độ dòng điện và hiệu điện thế
trong mạch cầu
Vi mch cu cõn bng hoc mch cu khụng cõn bng m cú 1 trong 5 in tr bng 0
(hoc ln vụ cựng) thỡ u cú th chuyn mch cu ú v mch in quen thuc (gm cỏc
on mc ni tip v mc song song). Khi ú ta ỏp dng nh lut ễm gii bi toỏn ny
mt cỏch n gin.
Vớ d: Cho cỏc s cỏc mch in nh hỡnh v: (H.3.1a); (H. 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) bit cỏc vụn

k v cỏc am pe k l lý tng.
Ta cú th chuyn cỏc s mch in trờn thnh cỏc s mch in tng ng, tng ng vi
cỏc hỡnh H.3.1a; H.3.1b; H.3.1c; H.3.1d.
T cỏc s mch in mi, ta cú th ỏp dng nh lut ễm tỡm cỏc i lng m bi toỏn yờu
cu:
Lu ý.
Cỏc bi loi ny cú nhiu ti liu ó trỡnh by, nờn trong ti ny khụng i sõu vo vic phõn tớch
cỏc bi toỏn ú tuy nhiờn trc khi ging dy bi toỏn v mch cu tng quỏt, nờn rốn cho hc sinh
k nng gii cỏc bi tp loi ny tht thnh tho.
Vi mch cu tng quỏt khụng cõn bng cú c 5 in tr, ta khụng th a v dng mch
in gm cỏc on mc ni tip v mc song song. Do ú cỏc bi tp loi ny phi cú
phng phỏp gii c bit - Sau õy l mt s phng phỏp gii c th:
Bài toán 3:
Cho mch in h hỡnh v (H3.2a) Bit U = 45V
R
1
= 20, R
2
= 24 ; R
3
= 50 ; R
4
= 45 R
5
l mt bin tr
1. Tớnh cng dũng in v hiu in th ca mi

in tr
v tớnh in tr tng ng ca mch khi R
5

= 30
2. Khi R
5
thay i trong khong t 0 n vụ cựng, thỡ in
tr tng ng ca mch in thay i nh th no?