Chương 2 hệ dàn (Cơ học Kết Cấu)

Cơ học kết cấu 1

Chương 2

2.6. HỆ DÀN
2.6.1. Phân tích hệ
1. Định nghĩa: là hệ gồm các thanh thẳng liên kết với nhau chỉ bằng các khớp lý
tưởng ở hai đầu mỗi thanh để tạo thành hệ BBH.
2. Cấu tạo của dàn
- Khoảng cách giữa hai gối tựa gọi là nhịp dàn.
- Các khớp của dàn gọi là các mắt dàn.
- Các thanh dàn nằm trên đường biên dàn gọi là các thanh biên (gồm biên trên và
biên dưới).
- Các thanh dàn nằm bên trong biên gọi là các thanh bụng (gồm thanh đứng và
thanh xiên).
- Khoảng cách giữa hai mắt dàn thuộc cùng một đường biên gọi là đốt.
Mắt

Biên trên

Thanh đứng

Thanh xiên

Biên dưới

đốt

H.2.14a

nhịp dàn

3. Các giả thiết để tính dàn
- Các trục của thanh dàn phải đồng qui tại một điểm (mắt dàn). Mắt dàn là một
khớp lý tưởng (không ma sát).
- Bỏ qua trọng lượng bản thân của các thanh dàn.
- Tải trọng chỉ tác dụng lên mắt dàn.
Vậy các thanh dàn, chỉ tồn tại lực dọc.
4. Tính chất của hệ dàn
- Chịu lực tốt, có thể vượt qua được những nhịp lớn.
- Tiết kiệm vật liệu.
- Trọng lượng bản thân bé.
- Khó thi công, lắp dựng.
2.6.2. Xác định nội lực trong các thanh dàn
Có nhiều phương pháp khác nhau. Ở đây chỉ trình bày phương pháp giải tích.
1. Phương pháp tách mắt: Nội dung của phương pháp là đi khảo sát sự cân
bằng của từng mắt được tách ra khỏi dàn. Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp
mặt cắt với hệ lực khảo sát là hệ lực đồng quy.
Các bước tiến hành như sau:
- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần).
- Bước 2: Lần lượt tách các mắt ra khỏi dàn bằng các mặt cắt quanh mắt.
- Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc trong thanh đó. Lúc
đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết lực dọc có chiều dương (vẽ hướng ra ngoài mắt
đang xét). Sau khi thay thế, tại mỗi mắt ta có hệ lực đồng quy.
47


Cơ học kết cấu 1

Chương 2

- Bước 4: Khảo sát sự cân bằng của từng mắt. Vì hệ lực phẳng và đồng quy nên
tại mỗi mắt có 2 phương trình cân bằng, thường sử dụng hai phương trình hình chiếu
theo hai phương không song song.
X = 0

 Y = 0
- Bước 5: Khảo sát cân bằng cho tất cả các mắt, sẽ được hệ thống các phương
trình. Giải hệ phương trình sẽ xác định được các lực dọc cần tìm. Nếu kết quả mang
dấu dương thì lực dọc gây kéo (đúng chiều đã giả định) và ngược lại.
Ví dụ 1: Tách và xét cân bằng mắt số 3 của hệ dàn trên hình (H.2.14b)

H.2.14b

- Hai phương trình cân bằng hình chiếu theo hai phương có thể thiết lập:
- Mắt số 3:
X = 0  - N3-2 - N3-6.cos + N3-8.cos + N3-4 = 0.
Y = 0  N3-6.sin + N3-7 + N3-8.sin = 0.
Nhận xét:
- Mắt số 3, chỉ có 2 phương trình nhưng có 5 ẩn số. Do vậy để giải được, phải kết
hợp với các mắt khác.
+ Toàn hệ có: 8 mắt  Số phương trình: 8.2 = 16
 Nội lực, phản lực
+ Toàn hệ có: 13 thanh + 3 phản lực  Số ẩn: 13 + 3 = 16
 Để tránh giải hệ phương trình toán học, ta đi thiết lập điều kiện cân bằng sao
cho trong mỗi phương trình chỉ chứa một ẩn số. Cách tiến hành như sau:
- Tách mắt theo thứ tự sao cho tại mỗi mắt chỉ có tối đa hai ẩn số chưa biết.
- Để tìm lực dọc trong thanh chưa biết thứ nhất, ta thiết lập phương trình cân bằng
hình chiếu lên phương vuông góc với thanh chứa lực dọc chưa biết thứ hai.
Ví dụ 2: Trở lại ví dụ cho trên hình (H.2.14b) ta có thể tách mắt theo thứ tự: 1 →
2 → 6 → 7 → 3...

y
• Chẳng hạn, tách mắt 1:
Y = 0  VA + N1-6.sin = 0
 N1-6 = −

1,5.P
(< 0, gây nén).
sin 

X = 0  N1-2 + N1-6.cos = 0
 N1-2 = - N1-6.cos =

1,5.P.cos 
(> 0, gây kéo).
sin 

• Tách mắt 2:
X = 0  N2-1 + N2-3 = 0
N2-3 = - N2-1 =

1,5.P.cos 
(> 0, gây kéo).
sin 

Y = 0  N2-6 = 0
 Các hệ quả rút ra từ phương pháp tách mắt:
48

o

x


Cơ học kết cấu 1
-

Chương 2

- Hệ quả 1: Tại một mắt chỉ có hai thanh không
thẳng hàng và không có tải trọng tác dụng thì lực
dọc trong hai thanh đó bằng không.
N4-1 = N4-5 = 0; N6-5 = N6-3 = 0 (H.2.14c)

H.2.14c

Hệ quả 2: Nếu một mắt có ba thanh, trong đó có hai thanh thẳng hàng và không
chịu tải trọng tác dụng thì nội lực trong thanh không thẳng hàng bằng không, còn nội
lực trong hai thanh thẳng hàng thì bằng nhau về giá trị và cùng gây kéo hay gây nén.
N2-5 = 0, N2-1 = N2-3 (H.2.14c).
* Chú ý: Khí tính dàn, nên sử dụng hai hệ quả trên để loại bỏ những thanh dàn
không làm việc ngay từ đầu.
Ví dụ 3: Dùng các hệ quả 1, 2 xác định nội lực trong các thanh được đánh dấu
trên hình (H.2.14d).

H.2.14d

- Áp dụng hệ quả 1, loại bỏ các thanh dàn không làm việc: (4-3), (4-8), (8-7). Kết
quả của hệ cho trên hình H.2.14d
- Tách mắt số 3:
X = 0  N3−2 = 0


Y = 0  − N3−7 − P = 0  N3−7 = − P( 0)
- Tách mắt số 2:
X = 0  − N 2−3 − N 2−1 = 0  N 2−1 = 0

Y = 0  − N 2−6 − P = 0  N 2−6 = − P( 0)
- Tách mắt số 7:
o

Y = 0  − P − N 7 −10 .sin 45 = 0  N 7 −10 = − P 2( 0)

o

 X = 0  − N 7 −6 + N 7 −10 .cos 45 = 0  N 7 −6 = P( 0)
Kết luận: N2-1 = 0; N2-6 = 0; N7-6 = P; N7-10 = - P. 2
* Ghi chú: Phương pháp tách mắt có ưu điểm là đơn giản, dễ áp dụng, nhưng dễ
mắt sai lầm dắt dây.
2. Phương pháp mặt cắt đơn giản
a. Đặt vấn đề: Phương pháp tách mắt đơn giản, nhưng dễ sai sót dây chuyền,
không linh hoạt (muốn xác định nội lực trong 1 thanh bất kỳ, cần phải xét lần lượt các
mắt đơn giản ngay từ ban đầu). Do đó, đưa ra phương pháp mặt cắt khắc phục nhược
điểm trên.

49


Cơ học kết cấu 1

Chương 2

Phương pháp mặt cắt đơn giản được áp dụng khi chỉ dùng 1 mặt cắt là có thể xác
định được nội lực trong thanh cần tìm. Trường hợp này xảy ra khi mặt cắt qua không
quá 3 thanh chưa biết nội lực (mặt cắt này gọi là “mặt cắt đơn giản”).
Các bước tiến hành như sau:
- Bước 1: Xác định các thành phần phản lực (nếu cần)
- Bước 2: Thực hiện "mặt cắt đơn giản" qua thanh dàn cần xác định lực dọc. Yêu
cầu: mặt cắt phải chia dàn ra làm hai phần độc lập. Giữ lại và xét cân bằng một phần
bất kỳ.
- Bước 3: Thay thế tác dụng của thanh dàn bị cắt bằng lực dọc tương ứng trong
thanh đó. Lúc đầu, các lực dọc chưa biết, giả thiết có chiều dương ( hướng ra ngoài
mặt cắt đang xét)
- Bước 4: Thiết lập các điều kiện cân bằng: Lúc này, ta có thể thiết lập ba phương
trình cân bằng. Giải hệ thống ba phương trình, sẽ xác định được lực dọc cần tìm. Kết
quả về dấu của nội lực, tương tự phương pháp tách mắt.

H.2.14e

b. Minh họa:
- Mặt cắt a-a trên hình (H.2.14e) là "mặt cắt đơn giản". Các thành phần lực dọc
cần xác định thuộc mặt cắt là N6-7, N6-3, N2-3.
- Mặt cắt b-b trên hình (H.2.14e) cắt qua bốn thanh chưa biết lực dọc N8-7, N8-3,
N8-4, N5-4, nên không phải là "mặt cắt đơn giản".
 Để tránh phải giải hệ các phương trình, cần thiết lập sao cho trong mỗi phương
trình chỉ có một ẩn số. Cách thực hiện như sau:
- Trường hợp 3 thanh chưa biết cắt nhau từng đôi một, để tìm nội lực trong thanh
thứ nhất, nên sử dụng phương trình cân bằng dưới dạng tổng mô men của các lực đối
với giao điểm của 2 thanh còn lại.
- Trường hợp trong số ba thanh chưa biết nội lực, có 2 thanh song song, để tìm nội
lực trong thanh không song song, ta sử dụng phương trình cân bằng dưới dạng tổng
hình chiếu của các lực lên phương vuông góc với hai thanh không song song.

Ví dụ 4: Xác định nội lực trong thanh dàn (6-7), (6-3) trên hình (H.2.14e) bằng
phương pháp mặt cắt đơn giản.
- Xác định phản lực HA ; VA; VB
X = 0  HA = 0
MA = 0  VB.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0  VB = 1,5P
MB = 0  VA.4a - P.a - P.2a - P.3a = 0  VA = 1,5P
Dùng mặt cắt a-a cắt qua các thanh cần xác định nội lực, mặt cắt chia hệ thành 2
thành phần độc lập, xét cân bằng bên trái.
- Xác định N6-7: Viết phương trình cân bằng tổng mômen xoay quanh nút 3
 M 3tr = 0  VA.2a - P.a + N6-7.a= 0  N6-7 = - 2.1,5P + P = - 2P (< 0).

50


Cơ học kết cấu 1

Chương 2

- Xác định N6-3: Viết phương trình cân bằng tổng hình chiếu theo phương Y
Y = 0  VA - P - N6-3.cos45o = 0
 N6-3 =

VA − P 1,5P − P
P
=
.2 =
2 (>0)
0
cos 45
2

2

51