SKKN phương pháp giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình học lớp 11

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Có thể nói, hình học 11 là mảng kiến thức học sinh khó tiếp cận nhất trong
chương trình Tốn phổ thơng, bởi nó địi hỏi học sinh phải tư duy, tưởng tượng.
Trong những mảng kiến thức ấy, có phép biến hình, đây là chương mở đầu, cũng
là chương mới trong chương trình Sách giáo khoa Hình học mới. Chính vì thế,
mà trong q trình học, nhiều học sinh cịn rất mơ hồ về các phép biến hình,
khơng thấy được mối quan hệ giữa các phép biến hình. Chính vì thực tế khó
khăn đó của học sinh nên tơi quyết định chọn nghiên cứu đề tài “ Phương pháp
giúp học sinh hệ thống kiến thức về phép biến hình trong chương trình hình
học lớp 11”.
2. Mục đích của đề tài
Giúp học sinh nhận ra vấn đề cốt lõi và mối liên hệ giữa các phép biến
hình. Từ đó, học sinh có thể tự suy luận và giải tốt các bài tập về phép biến hình
và thấy được những ứng dụng trong thực tế của phép biến hình.

Trang 1


II. NỘI DUNG
1. Thời gian thực hiện: Từ năm học 2016-2017 đến năm học 2018-2019.
2. Đánh giá thực trạng:
a) Kết quả đạt được:
Kết quả điểm bài kiểm tra 1 tiết của chương "Phép dời hình và phép đồng
dạng trong mặt phẳng", học kì I của năm học 2016-2017 như sau:
Lớp/Năm

Sỉ số

11B 2
(Năm học 2016- 2017)

b) Những mặt còn hạn chế:

36

Điểm
>0–3
5

> 3-5
11

>5 –7
16

>7- 9
4

(13,9%) (30,6%) (44,4%) (11,1%)

10
0
(0%)

- Học sinh bị điểm yếu, kém chiếm hơn 44%.
- Nhiều học sinh còn chưa quen với việc tóm tắt kiến thức một cách ngắn gọn.
- Nhiều học sinh chưa thấy được mối liên quan giữa toán học và đời sống.
c) Nguyên nhân đạt được và nguyên nhân hạn chế:
- Nguyên nhân đạt được:
+ Nhiều học sinh thích thú với những phương pháp hay.
+ Trong chương trình đổi mới sách giáo khoa đã có nhiều hoạt động

dành cho học sinh, học sinh đã dần tiếp thu cái mới.
+ Sách bài tập có tóm tắt bài học, phân dạng bài tập và đưa ra phương
pháp giải giúp học sinh tự học tập, nghiên cứu, có nhiều bài toán ứng dụng thực
tế giúp học sinh chủ động trong việc học.
- Nguyên nhân hạn chế:
+ Một số học sinh chưa chăm, chưa chủ động làm bài tập ở nhà, các em
vẫn quen với cách đọc – chép, thụ động tiếp thu những thông tin, kiến thức
giáo viên truyền đạt trong giờ học một cách máy móc.
Trang 2


+ Mức độ nhận thức của học sinh ở lớp mà giáo viên đang dạy khơng
đồng đều, trong đó rất nhiều học sinh chưa có phương pháp học tập hiệu quả,
các em khơng biết cách hệ thống kiến thức, chính vì vậy khi chuẩn bị cho kì thi
hay làm bài kiểm tra các em thường lo lắng và cuối cùng là giải bài tập mà
khơng biết mình làm đúng hay không?

Trang 3


III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
1. Căn cứ thực hiện:
Trên cơ sở Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 4/11/2013 Hội nghị Trung
ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, tồn diện giáo dục và đào tạo đó là: Tiếp
tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy
tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người
học. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để
người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chú
trọng rèn luyện cho học sinh biết khai thác sách giáo khoa và các tài liệu học
tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, suy luận để tìm tịi và phát hiện

kiến thức mới... Định hướng cho học sinh cách tư duy như phân tích, tổng hợp,
đặc biệt hố, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen… để dần hình thành và
phát triển tiềm năng sáng tạo.
Dựa trên nguyên tắc dạy học và nhận thức của học sinh, việc phân chia hệ
thống bài tập đi với lí thuyết giúp các em phát triển về tư duy, ôn tập và hình
thành kiến thức mới trong q trình giải tốn. Hơn nữa, kỹ năng hệ thống kiến
thức là một kĩ năng rất cần thiết không những cần ở bộ môn Tốn mà cịn cần ở
nhiều bộ mơn khác.
Là giáo viên giảng dạy mơn Tốn, tơi khẳng định nếu các em học sinh biết
cách hệ thống kiến một cách logic, các em sẽ tự tin hơn trong việc học về các
Phép biến hình của chương trình Hình học 11 nói riêng và các mơn học khác nói
chung.
2. Nội dung, giải pháp và cách thực hiện:
a) Nội dung, phương pháp:
- Nội dung:
I. Phép tịnh tiến:

Trang 4


r

1. Định nghĩa: Trong mặt phẳng, cho véc tơ v ( a; b ) . Phép tịnh tiến theo véc tơ
r
uuuuur r
v ( a; b ) là phép biến hình, biến một điểm M thành một điểm M’ sao cho MM ' = v

Ký hiệu: Tvr .
2.Các tính chất của phép tịnh tiến:
a/ Tính chất 1:

*Định lý 1: Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’
thì MN=M’N’.
b/ Tính chất 2:
* Định lý 2: Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm đó.
Hệ quả:
Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng, biến một tia thành
một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác
thành một tam giác bằng nó, biến một đường trịn thành một đường trịn có cùng
bán kính, biến một góc thành một góc bằng nó.
3. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến
r

r

- Giả sử cho v ( a; b ) và một điểm M(x;y). Phép tịnh tiến theo véc tơ v biến điểm
x ' = a + x
y' = y +b

M thành điểm M’ thì M’ có tọa độ là: 
4. Ứng dụng của phép tịnh tiến

Bài tốn 1: Tìm quỹ tích của một điểm
Bài tốn: Cho hình H, trên hình H có một điểm M. Tìm quỹ tích của điểm M khi
trên hình H có một điểm A thay đổi.(Thường điểm A chạy trên một đường tròn
(C ) cho sẵn.
Cách giải :
Trang 5

- Dựa vào các tính chất đã biết, ta tìm ra một véc tơ cố định nằm trên hình H
( Với điều kiện: véc tơ này có phương song song với đường thẳng kẻ qua A ).
- Sau đó dựa vào định nghĩa về phép tịnh tiến ta suy ra M là ảnh của A qua phép
tịnh tiến theo véc tơ cố định .
- Dựa vào tính chất thay đổi của A ta suy ra giới hạn quỹ tích .
Ví dụ: Cho hai điểm B, C cố định nằm trên (O, R) và một điểm A thay đổi trên
đường tròn đó. Chứng minh rằng trực tâm của tam giác ABC nằm trên một
đường trịn cố định.
Giải
- Kẻ đường kính BB’. Nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì AH=B’C. Do
uuur

uuuur

C,B’ cố định, cho nên B’C là một véc tơ cố định ⇒ AH = B ' C . Theo định nghĩa
về phép tịnh tiến điểm A đã biến thành điểm H. Nhưng A lại chạy trên (O;R) cho
nên H chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của (O;R) qua phép tịnh tiến dọc theo
r uuuur
v = B 'C .

- Cách xác định đường tròn (O’;R). Từ O kẻ đường thẳng song song với B’C.
uuuur uuuur

Sau đó dựng véc tơ: OO ' = B ' C . Cuối cùng từ O’ quay đường trịn bán kính R từ
tâm O’ ta được đường trịn cần tìm.
Bài tốn 2: Tìm điểm M trên đường thẳng sao cho khoảng cách MA+MB
ngắn nhất(A, B cố định cho trước)
Cách giải
• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. ( Khi đó
đường thẳng d là đường trung trực của AB, suy ra M thuộc d thì

MA=MA’).
• Bước 2: Kẻ đường thẳng A’B, thì đường thằng này cắt d tại M. M sẽ là
điểm duy nhất .

Trang 6


• Bước 3: Chứng minh nhận xét trên : Vì MA+MB=MA’+MB=A’B(khơng
đổi) do A cố định, thì A’ cố định, suy ra A’B không đổi .
Chú ý : Trường hợp trên xảy ra khi A, B nằm trái phía với d.
Ngồi ra: Có trường hợp là thay đường thẳng d bằng hai đường thẳng song song
cách nhau một đoạn cho trước khơng đổi .
Ví dụ: Hai thơn nằm ở hai vị trí A, B cách nhau một con sơng ( Xem hai bờ
sống là hai đường thẳng song song ) . Người ta dự kién xây một cây cầu bắc qua
sông (MN) và làm hai đoạn thẳng AM và BN. Tìm vị trí M, N sao cho AM+BN
là ngắn nhất .
Giải
Cách 1:
uuuu
r ur

- Vì khoảng cách giữa hai bờ sống là khơng đổi, cho nên MN = U .
ur

- Tìm A’ là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo U . Khi đó AMNA’ là hình bình
hành: A’N=AM .
- Vì: MA+NB=A’N+NB. Do đó MA+NB ngắn nhất.
Cách 2:
Trường hợp 1: Coi con sơng rất hẹp.
Bài tốn trở thành: Cho hai điểm A,B

nằm ở hai phía khác nhau so với đường
thẳng a. Tìm vị trí M trên A để AM+AN
nhỏ nhất. Khi đó M là giao điểm của
AB với a.

Trang 7


Trường hợp 2: a//b
uuuu
r

Nhận xét: a,b cố định => MN cố định.
uuuu
r

T MN (A) =A’ =>A’N = AM.
Ta có AM+BN = A’N+NB =A’B

uuuu
r

Cách dựng: Dựng A’=T MN (A). Nối A’ với B cắt b tại N. Từ N hạ đường thẳng
vng góc với a tại M. Khi đó MN là vị trí xây cầu.
Bài tốn 3: Viết phương trình của đường tròn (C’) qua phép tịnh tiến theo
r
u = ( a; b ) khi biết phương trình đường trịn (C).

Cách giải :
• Bước 1: lấy một điểm M(x;y=f(x) ) trên (C ).

• Bước 2: Thay x, y vào cơng thức tọ độ của phép tịnh tiến.
• Bước 3: Rút gọn ta có phương trình F(x;y)=0. Đó chính là phương
trình của (C’ ) cần tìm.
r

Ví dụ: Trong mặt phẳng (Oxy) cho u = ( 1; −2 ) .
a/ Viết phương trình ảnh của mỗi đường trong trường hợp sau :
+/Đường thẳng a có phương trình : 3x-5y+1=0.
+/Đường thẳng b có phương trình : 2x+y+100=0.
b/ Viết phương trình đường trịn ảnh của đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 4x + y − 1 = 0
c/ Viết phương trình đường (E) ảnh của (E) :

x2 y 2
+
=1
9
4

x2 y 2
d/ Viết phương trình ảnh của (H) : − = 1
16 9

Giải
Trang 8


a/ Gọi M(x;y) thuộc các đường đã cho và M’(x’;y’) thuộc các đường ảnh của
x ' = 1+ x
 x = x '− 1
⇒

 y ' = −2 + y  y = y '+ 2

chúng. Theo công thức tọa độ của phép tịnh tiến ta có: 
Thay x, y vào phương trình các đường ta có:

- Đường thẳng a’: 3(x’-1)-5(y’+2)+1=0 ⇔ 3x’-5y’-12=0.
- Đường thẳng b’: 2(x’-1)+(y’+2)+100=0 hay : 2x’+y’+100=0.
b/ Đường tròn (C’): ( x '− 1) + ( y '+ 2 ) − 4 ( x '− 1) + y '+ 2 − 1 = 0 hay:
2

2

x 2 + y 2 − 6x + 5 y + 10 = 0 .
x '− 1)
c/ Đường (E’) : (

2

9

( y '+ 2 )
+

2

4

( x − 1)
=1⇔

2

9

( y + 2)
+

2

=1.

4

x '− 1)
( y '+ 2 ) = 1 ⇔ ( x − 1) − ( y + 2 ) = 1 .
d/ Đường (H’): (
−
2

16

2

9

2

16

2

9

II. Phép đối xứng trục
1. Định nghĩa:
* Cho đường thẳng d. Phép biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó. Biến mỗi
điểm M khơng thuộc d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của MM’
được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d ( hay là phép đối xứng trục ).
Đường thẳng d gọi là trục đối xứng.
2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:
Ta chọn đường thẳng d trùng với trục Ox. Với mỗi điểm M(x;y), gọi M’(x’;y’) là
x ' = x
. Đó chính là biểu thức tọa độ
y' = −y

ảnh của M qua phép đối xứng trục thì : 
của phép đối xứng trục.
3. Tính chất:

a/ Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ .

Trang 9


b/ Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành một đường
thẳng, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một tam giác
thành một tam giác bằng nó, biến một đường trịn thành một đường trịn có cùng
bán kính.
4. Trục đối xứng của một hình:
Định nghĩa:

* Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến
hình H thành chính nó.
5. Ứng dụng:
Bài tốn 1: Tìm quỹ tích của một điểm.
Bài tốn : Cho hình H và một điểm A thuộc hình H thay đổi. Tìm quỹ tích của
điểm M khi A thay đổi.
Cách giải:
- Xét một vị trí bất kỳ của A và M . Sau đó, tìm trên H có một đường thẳng cố
định là trung trực của đoạn thẳng AM ( Chính là trục đối xứng ).
- Nếu A chạy trên một đường (C ) nào đó, theo tính chất của phép đối xứng
trục, thì M chạy trên đường (C’) là ảnh của (C ) qua phép đối xứng trục.
Ví dụ: ( Bài 10-tr13-HH11NC).
Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên
đường trịn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H
nằm trên một đường trịn cố định.
Giải
- Vẽ hình. Gọi H là giao ba đường cao của tam giác ABC. Kéo dài AH cắt (O;R)
tại H’. Nối CH’.
- Chứng minh IH=IH’. Thật vậy
Ta có :

ˆ ' ( Góc nội tiếp chẵn cung BH’ ).(1)
ˆ = BCH
A
Trang 10


CH ⊥ AB
ˆ ( 2 ) . Từ (1) và (2) suy ra : BCH
ˆ = BCH

ˆ '
⇒ Aˆ = BCH
CI
⊥
AH
'


Mặt khác : 

Chứng tỏ tam giác HCH’ là tam giác cân . Do BC vng góc với HH’,
chứng tỏ BC là đường trung trực của HH’. Hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.
Cho nên khi A chạy trên đường trịn (O;R) thì H’ cũng chạy trên (O;R) và H sẽ
chạy trên đường tròn (O’;R) là ảnh của đường tròn (O;R) qua phép đối xứng trục
BC.
- Giới hạn quỹ tích : Khi A trùng với B và C thì tam giác ABC suy biến thành
đường thẳng. Vì thế trên đường tròn (O’;R) bỏ đi 2 điểm là ảnh của B,C.
* Chú ý : Ta cịn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC.
- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành, cho nên BC
đi qua trung điểm I của A’H .
- A’H’ song song với BC ( vì cùng vng góc với AH ).
- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi
qua trung điểm của HH’. Mặt khác AH vng góc với BC suy ra BC là trục đối
xứng của HH’, hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.
Bài tốn 2. Tìm điểm M thuộc d sao cho MA+MB nhỏ nhất.( Khi A, B là hai
điểm nằm về một phía của d). |MA+MB| đạt giá trị lớn nhất.( A,B nằm về hai
phía của d )
Cách giải :
• Bước 1: Tìm điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d.
• Bước 2: Nối A’B, đường thẳng này cắt d tại M là điểm cần tìm.

• Bước 3: Chứng minh M là điểm duy nhất.
Ví dụ 1: (Bài 9-tr13- HH11NC)
Cho góc nhọn xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy tìm điểm B trên Ox,
điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất.
Trang 11


Giải .
- Tìm A’ đối xứng với A qua Oy, B’ đối xứng với A qua Ox.
- Nối A’B’ cắt Ox tại B, cắt Oy tại C. Đó chính là hai điểm cần tìm.
- Chứng minh B,C là hai điểm duy nhất cần tìm .
Thật vậy: Do A’ đối xứng với A qua Oy, cho nên CA=CA’ (1). Mặt khác: B’ đối
xứng với A qua Ox cho nên ta có BA=BB’ (2). Gọi P là chu vi tam giác ABC thì
P=CA+CB+BA =CA’+CB+BB’=A’B’(do từ (1) và (2) ).
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d và hai điểm A,B nằm cùng phía với d. Tìm điểm M
trên d sao cho MA+MB đạt giá trị nhỏ nhất ?
Giải
- Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d.
- Nối A’B cắt d tại M. Suy ra M chính là điểm cần tìm.
- Thật vậy: Vì A’ đối xứng với A qua d cho nên MA=MA’ (1). Do đó :
MA+MB=MA’+MB=A’B.
- Giả sử tồn tại M’ khác M thuộc d thì : M’A+M’B=M’A’+M’B ≥ A ' B . Dấu bằng
chỉ xảy ra khi A’, M’, B thẳng hàng. Nghĩa là M trùng với M’.
Bài toán 3: Tìm điểm đối xứng với điểm qua một đường thẳng
Bài toán: Cho điểm A(x;y) và một đường thẳng d : ax+by+c=0. Tìm tọa độ điểm
B đối xứng với điểm A qua đường thẳng d ?
Cách giải :
• Bước 1: Gọi B(x’;y’) là điểm đối xứng với A qua d và H là trung điểm của
uuu
r ur

 AB.U = 0
AB thì điều kiện : 
 H ∈ d

( 1)
( 2)

• Bước 2: Giải hai điều kiện (1) và (2) suy ra tọa độ của B.
Ví dụ 1:
Trang 12


Cho điểm M(2;3) tìm tọa độ điểm N đối xứng với M qua đường thẳng d : y = x.
Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M, N
uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)
đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : 
( 2)
 H ∈ d
uuuu
r
ur
MN
=
x
−
2;
y

−
3
U
= ( 1;1)
(
)
- Ta có:

 x+2 y +3
H =
;
÷.
2 
 2

( x − 2 ) .1 + ( y − 3) .1 = 0
x + y = 5  y = 2

⇔
⇒
⇔ N = ( 3; 2 )
- Điều kiện (*) ⇔  x + 2 y + 3
=
x = y +1 x = 3

 2
2

Ví dụ 2:
Cho điểm M(2;-3) . Tìm ảnh của điểm M qua phép đối xứng trục d : y-2x=0

Giải
- Gọi N(x;y) là điểm đối xứng với M qua d và H là trung điểm của MN thì M, N
uuuu
r ur
 MN .U = 0 ( 1)
đối xứng nhau qua d thì điều kiện là : 
( 2)
 H ∈ d
uuuu
r

ur

x + 2 y −3



;
- Ta có : MN = ( x − 2; y + 3) U = ( 1; 2 ) H = 
÷.
2 
 2

- Điều kiện (*)
1

( x − 2 ) .1 + ( y + 3) .2 = 0
y
=
 x + 2 y + 4 = 0 


 14 1 
3
⇔ x+2 y −3
⇔
⇒
⇔ N = − ; ÷
=
 3 3
y = x +5

 x = − 14
 2
2

3

Bài toán 4: Cho đường (C) và đường thẳng d. Hãy viết phương trình đường
(C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục d.
Cách giải:
Trang 13


• Bước 1: Trên đường (C ) lấy hai điểm A, B.
• Bước 2: Tìm hai điểm A’,B’ đối xứng với A, B qua phép đối xứng trục d.
• Bước 3: Viết phương trình đường (C’) đi qua A’, B’ .
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : x-2y-2=0 và đường thẳng d’: y=x . Lập phương
trình đường thẳng (m) đối xứng với đường thẳng d’ qua đường thẳng d.
Giải
 x − 2 y − 2 = 0  x = −2

⇒
.A(x − y = 0
 y = −2

- Tìm giao của d và d’ bằng A(x;y) là nghiệm của hệ : 
2;-2)

- Trên d’ lấy điểm M (3;3). Gọi N(x;y ) là điểm đối xứng với M qua d .Gọi H là
trung điểm của MN thì điều kiện để M, N đối xứng nhau qua d là:
uuuur ur
 MN .U = 0 ( 1)
(*)

( 2)
 H ∈ d
uuuu
r

ur

x+3 y+3



;
- Ta có : MN = ( x − 3; y − 3) U = ( 2;1) H = 
÷
2 
 2
( x − 3) 2 + ( y − 3) .1 = 0

 2x + y = 9  x = 5

⇔
⇒
↔ N = ( 5; −1) .
- Điều kiện (*) ⇔  x + 3  y + 3 
 x − 2 y = 7  y = −1
 2 − 2.  2 ÷− 2 = 0



uuur
- Đường thẳng (m) là đường thẳng đi qua AN có véc tơ chỉ phương là AN = ( 7;1) ,

nên (m) có phương trình là:
Ví dụ 2: Cho (E) :

x+2 y+2
=
⇔ x − 7 y − 12 = 0 .
7
1

x2 y 2
+
= 1 . Và đường thẳng d : x+y-2=0. Lập phương trình
9
4

(E’) là ảnh của (E) qua phép đối xứng trục d.

Giải:
- Vẽ (E) chỉ ra tọa độ các đỉnh của trục lớn : A(3;0) ,A’(-3;0) và tọa độ hai đỉnh
của trục nhỏ : B(0;2) ;B’(0;-2).
Trang 14


- Tìm tọa độ của 4 đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là ảnh của 4 đỉnh hình chữ nhật
cơ sở của (E) đã cho. Bằng cách giải các bài tốn nhỏ như ở trên, dễ dàng tìm
được tạo độ của O’(2;2) là ảnh của O(0;0), M’(4;5) là ảnh của M(-3;-2 ). N’(4;1 ) là ảnh của N(3;-2). P’(0;-1) là ảnh của P(3;2) và Q’( 0;5) là ảnh của Q(-3;2).
- Áp dụng cách vữ (E) ta suy ra cách vẽ của (E’).
* Chú ý: Đây là bài toán tương đối khó, chưa gặp trong các đề thi đại học,
nhưng lấy ví dụ này là để mở rộng cho trường hợp đối xứng trục. Dù đường (C)
cho là đường gì đi chăng nữa, ta chỉ cần sử dụng tốt kiến thức đã học là có thể
giải được.
III. Phép quay và phép đối xứng tâm:
1. Định nghĩa phép quay:
Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và góc lượng giác ϕ khơng đổi.
Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến điểm M khác O thành điểm M’
sao cho OM=OM’và góc (OM;OM’)= ϕ . Được gọi là phép quay tâm O góc
quay là ϕ .
2. Định lý:
Phép quay là phép dời hình .
3. Phép đối xứng tâm:
* Định nghĩa : Phép đối xứng qua điểm O là một phép biến hình, biến mỗi điểm
uuuu
r uuuuu
r r

M thành điểm M’ đối xứng với M qua O, có nghĩa là : OM + OM ' = 0 .
* Ký hiệu và các thuật ngữ :

Phép đối xứng tâm O ký hiệu: DO . Trong đó O là tâm đối xứng
*Biểu thức tọa độ :

Trang 15


Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm I(a;b) . Nếu phép đối xứng tâm I biến điểm
 x ' = 2a − x
( Đó chính là biểu thức tọa độ của
 y ' = 2b − y

M(x;y) thành điểm M’(x’;y’) thì : 
phép đối xứng tâm).

* Tâm đối xứng của một hình: Là điểm sao cho biến hình H thành chính nó
*Biểu thức tọa độ của phép quay có tâm I(a;b) điểm M(x;y), điểm M’(x’;y’) và
góc quay là α :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Q(I, α ), với I(a; b). Khi đó Q(I, α ) biến điểm M
(x; y) thành M’(x’; y’) xác định bởi:

 x' = a + ( x − a ) cosα − ( y − b) sin α

 y ' = b + ( x − a ) sin α + ( y − b) cos α

(IVb)

4. Các ứng dụng của phép quay và đối xứng tâm:
Bài tốn 1: Bài tốn quỹ tích điểm
Bài tốn: Cho hình H và một điểm M thay đổi trên đường (C ) (thuộc H ). Tìm
quỹ tích của điểm N khi M thay đổi.

Cách giải :
- Bước 1: Tìm một điểm I cố định sao cho I là trung điểm của MN.
- Bước 2: Dựa vào tính chất của phép đối xứng tâm I ta suy ra quỹ tích của N.
Ví dụ: ( bài tốn 2-tr17-HH11NC).
Cho đường trịn (O;R) và hai điểm A,B cố định. Với mỗi điểm M, ta xác định
uuuuur

uuur uuur

điểm M’ sao cho MM ' = MA + MB . Tìm quỹ tích điểm M’ khi điểm M chạy trên
(O;R).
Giải
- Gọi I là trung điểm của AB. Theo tính chất của véc tơ trung tuyến thì :
uuur uuur
uuu
r
uuuuur
uuu
r
MA + MB = 2MI , suy ra : MM ' = 2 MI . Có nghĩa là I là trung điểm của MM’.

Trang 16


- Ví A,B cố định, cho nên I cố định. Do đó DI : M → M ' . Nhưng M chạy trên
(O;R) cho nên M’ là ảnh của M qua phép đối xứng tâm I sẽ chạy trên
đường tròn ảnh của (O;R).
- Cách xác định (O’;R) như sau: Nối IO kéo dài , đặt IO’=IO. Sau đó lấy O’
làm tâm, quay đường trịn có bán kính R.
Bài tốn 2: Dựng hình

Ví dụ: ( Bài tốn 3-tr17-HH11NC)
Cho hai đường trịn (O;R) và (O’;R’) cắt nhau tại hai điểm B,C. Hãy dựng một
đường thẳng d đi qua A và cắt (O;R) và (O’;R’) lần lượt tại M và N sao cho A là
trung điểm của MN.
Giải
- Giả sử đường thẳng d đã dựng được. Do A là trung điểm của MN cho nên N là
ảnh của M qua phép đối xứng tâm A vì vậy N phải nằm trên đường trịn (O’’) là
ảnh của đường trịn (O;R) ( vì M chạy trên (O) ). Mặt khác N lại thuộc (O’;R’) vì
thế cho nên N là giao của (O’’) với (O’;R’). Từ đó suy ra cách dựng.
+/ Dựng đường trịn (O’’) là ảnh của đường tròn (O) : Nối OA , đặt OA=O’’A .
+/ Đường tròn (O’’) cắt đường tròn (O’) tại N . Nối NA cắt (O) tại M.
- Giới hạn quỹ tích: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của (O’’) cắt (O’) .
Bài tốn 3: Tìm ảnh của một hình bằng phép quay và phép đối xứng tâm
Cách giải:
Sử dụng các định nghĩa, tính chất của phép quay và phép đối xứng tâm cùng với
biểu thức tọa độ của chúng.
Ví dụ: ( Bài 1-tr15-HH11CB)
Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1;3) và đường thẳng d có phương trình : x2y+3=0. Tìm ảnh của A và d qua phép đối xứng tâm O.
Giải
Trang 17


- Gọi A’(x;y) là ảnh của A qua phép đối xứng tâm O(0;0). Theo công thức tọa độ
của phép đối xứng ta có :
x ' = 0 − x
x = −x '
x ' = 1
⇔
⇔
⇒ A ' = ( 1; −3)


y' = 0− y
 y = − y '  y ' = −3

- Tương tự Gọi M(x;y) là một điểm bất kỳ thuộc d và M’(x’;y’) là một điểm bất
kỳ thuộc d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O. Theo công thức tọa độ của
x ' = 0 − x
x = −x '
⇔
⇒ ( − x ') − 2 ( − y ') + 3 = 0 ⇔ x '− 2 y '− 3 = 0 .
y' = 0− y
y = −y'

phép đối xứng ta có : 

Do đó d’ có phương trình là : x-2y-3=0.
*Chú ý : (O;R) : ( x + 1) + ( y − 3) = 4 ⇔ J (−1;6), R = 2 .
2

2

Ta chỉ tìm J’(x;y) là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I(1;2) bằng công thức
 x ' = 2 − (−1)
x ' = 3
⇔
⇒ J ' = ( 3;1) .
 y ' = 4 − (3)
y' =1

chuyển trục tọa độ : 

Do đó (O’) : ( x − 3) + ( y − 1) = 4 là ảnh của (O;R) qua phép đối xứng tâm I .
2

2

* Chú ý : Ngồi cách trên ta cịn có cách khác như sau:
+/ Lấy một điểm N bất kỳ . Tìm các điểm M đối xứng với N qua I , P đối xứng
với N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình )
uuuu
r

uuur

uuur

uuur

+/ Từ đó suy ra : CM = − BN = AP = −CQ . Do đó C là trung điểm của MQ . Từ đó
suy ra cách dựng .
IV. Phép vị tự
1. Định nghĩa:
Cho điểm O và một số k ≠ 0 . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm
uuuuu
r

uuuu
r

M’ sao cho OM ' = kOM được gọi là phép vị tự tâm , tỉ số vị tự là k .

Ký hiệu : V(O ,k ) : M → M ' , hay : M’= V( O ,k ) ( M ) ⇔ M = V O , 1k ÷ ( M ')




2. Tính chất:
Trang 18


- Tính chất 1: Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N thành hai điểm M’, N’
uuuuuur

uuuu
r

thì: M ' N ' = k MN .
- Tính chất 2: Phép vị tự tỉ số k :
a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự các điểm
b/ Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với
đường thẳng ấy, biến một tia thành một tia , biến một đoạn thẳng thành một đoạn
thẳng .
c/ Biến một tam giác thành một tam giác đồng dạng với nó, biến một góc thành
một góc bằng nó .
d/ Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.
3. Các dạng tốn thường gặp
Bài tốn 1: Tìm ảnh của một hình qua một phép vị tự
Sử dụng định nghĩa và các tính chất của phép vị tự . Từ định nghía nếu
tâm vị tự là I(a;b), điểm M(x;y) điểm M’(x’;y’) thì ta có:
uuuu
r

uuur
 x '− a = k ( x − a )
 x ' = k ( x − a ) + a
⇔ IM ' = k IM ⇔ 
⇒
(*) .
 y '− b = k ( y − b )
 y ' = k ( y − b ) + b

Chính là biểu thức tọa độ của phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng d: 3x+2y-6=0 . Hãy viết
phương trình của đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm
I(1;2) tỉ số vị tự k=-2 ?
Giải
Gọi M(x;y) thuộc d ,M’(x’;y’) là một điểm bát kỳ thuộc d’ thì theo biểu thức tọa
độ của phép vị tự ta có:
x '− 1
x '− 3

 x = −2 + 1 = −2
 x '− 1 = −2 ( x − 1)
⇒
.

 y '− 2 = −2 ( y − 2 )
 y = y '− 2 + 2 = y '− 6

−2
−2
Trang 19

Thay vào phương trình của đường thẳng d:
 x '− 3   y '− 6 
3
÷+ 2 
÷− 2 = 0 ⇔ 3x '+ 2 y '− 9 = 0
 −2   −2 

Do vậy d’: 3x+2y-9=0 .
Bài toán 2: Sử dụng phép vị tự để giải bài tốn hình học
Để xác định một điểm M ta xem nó như là ảnh của một điểm A nào đó đã
biết qua phép vị tự, hoặc xem M như là giao của của một đường cố định với ảnh
của một đường đã biết qua một phép vị tự.
Ví dụ: Cho tam giác ABC có hai góc B, C đều nhọn. Dựng hình chữ nhật DEEG
có EF=2DE với hai đỉnh D, E nằm trên BC và hai đỉnh F, G nằm trên hai cạnh
AC và AB .
Giải
- Vẽ hình ( đã thỏa mãn u cầu bài tốn ).
* Phân tích:
+ Giả sử hình chữ nhật đã dựng xong , trên AB lấy một điểm G’ bất kỳ , dựng
hình chữ nhật G’F’E’F’ có E’F’=2D’E’ và hai đỉnh D’,E’ thuộc BC , nối BF’ cắt
AC tại F , khi đó ta có :

BG GD
2GF
GF
=
=
=

. Chứng tỏ B,F’F thẳng hàng.
BG ' GD ' 2G ' F ' G ' F '

Ta có thể xem hình chữ nhật DEFG là ảnh của hình chữ nhật D’E’F’G’ qua phép
vị tự tâm B tỉ số vị tự :

BG
= k . Từ đó suy ra cách dựng .
BG '

* Cách dựng :
- Lấy điểm G’ tùy ý trên AB , sau đó dựng hình chữ nhật G’F’E’D’ có E’F’=2
D’E’, hai đỉnh D’E’ nằm trên BC .
- Nối BF’ cắt AC tại F , đường thẳng qua F song song với BC cắt AB tại G . Gọi
D và E là hình chiếu của G và F trên BC . Thì hình chữ nhật DEFG là hình chữ
nhật cần dựng .
Trang 20


* Chứng minh :
Thật vậy: Vì GF //G’F’ , GD//G’D’ nên :

GF
BG
GD
=
=
. Từ đó suy ra :
G ' F ' BG ' G ' D '

GD G ' D '
=
= 2 . Như vậy hình chữ nhật đã dựng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
GF G ' F '

Bài toán 3: Quỹ tích điểm
Để giải một bài tốn quỹ tích điểm M khi điểm A thay đổi trên một đường
(C ) cho sẵn. Trước hết ta cần phải làm một số việc sau:
1. Trong hình H đã cho, ta tìm ra một điểm A thay đổi trên một đường (C ) cho
sẵn nào đó ( có thể là đường trịn, có thể là một đường thẳng ) sao cho AM nằm
trên một đường thẳng đi qua một điểm cố định I nào đó
2. Gán cho A và M cùng với I hai tam giác dồng dạng, từ đó tìm ra một tỉ số
không đối k.
uuur

uu
r

3. Viết đẳng thức véc tơ : IM = k IA để kết luận M là ảnh của A qua phép vị tự tâm
I với tỉ số vị tự là k .
4. Nếu A chạy trên (C ) thì M chạy trên (C’) là ảnh của (C ) qua phép vị tự tâm I
tỉ số k. Nêu cách dựng (C’).
Ví dụ: ( Bài 29-tr29-HH11NC).
Cho đường trịn (O;R) và một điểm I cố định khác O. Một điểm M thay đổi trên
đường trịn. Tia phân giác góc MOI cắt IM tại N. Tìm quỹ tích điểm N.
Giải
- Vẽ hình. Từ hình vẽ và tính chất của đường phân giác trong chia cạnh đối diẹn
làm hai doạn thẳng tỷ lệ với hai cạnh kề của hai cạnh đó. Ta có kết quả sau :
* Do O, I cố định cho nên OI=a không đổi . Gọi N là chân đường phân giác của
góc MOI ( N thuộc IM), từ đó ta có :

NI
OI
a
NI
a
a
=
= ⇔
=
⇔ IN =
IM
NM OM R
NM + NI a + R
a+R
Trang 21


Hay : ⇔ IN =

uur
a
a uuur
IM ⇒ IN =
IM .
a+R
a+R

Vì I cố định cho nên V( I ,k ) : M → N . Nhưng M chạy trên đường tròn (O;R) cho nên
N chạy trên đường tròn (C’) là ảnh của (O;R) qua phép vị tự tâm I tỉ số vị tự là k.
* Cách xác định (O’;R’) như sau:

uuur

uur

- Nối OI , tìm O’ sao cho : IO ' = kOI , từ đó suy ra O’
- Bán kính R’ được xác định bằng công thức : k= R’/R suy ra: R’=kR .
( Hoặc: Lấy O’ làm tâm quay một đường trịn có bán kính là O’N ).
Bài tốn 4: Tìm ảnh cuả một điểm, một đường qua phép vị tự
* Sử dụng đẳng thức véc tơ của phép vị tự và tính chất bằng nhau của hai véc tơ ,
ta sẽ tìm được kết quả .
Ví dụ: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (O) : ( x − 1) + ( y − 1) = 4 .
2

2

Tìm phương trình đường trịn (O’) là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O tỉ số k=2.
Giải
Tâm I của (O) có tọa độ I(1;1) bán kính R=2. Nếu (O’) có tâm là J và bán kính
R’ là ảnh của (O) qua phép vị tự tâm O ta có đẳng thức véc tơ :
uur
uur
 x '− 0 = 2.1  x ' = 2
OJ = 2OI ⇔ 
⇒
↔ J ( 2; 2 ) . R’=2R=2.2=4.
 y '− 0 = 2.1  y ' = 2

Vậy (O’) : ( x − 2 ) + ( y − 2 ) = 16 .
2

2

- Phương pháp nghiên cứu:
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau: Phương
pháp so sánh, phân tích dữ liệu và phương pháp tổng hợp.
b) Giải pháp thực hiện:
Qua việc liệt kê các định nghĩa cũng như trình bày các ví dụ ở trên, ta thấy
việc hiểu, ghi nhớ, phân biệt và thấy được mối liên hệ giữa các phép biến hình là
rất khó. Chính vì vậy, tơi đưa ra giải pháp:
Trang 22


Thứ nhất, hệ thống lại kiến thức bằng sơ đồ ngắn gọn, giúp học sinh hình
dung tổng quan về các khái niệm, từ đó phân biệt được các khái niệm để vận
dụng đúng công thức.

SƠ ĐỒ HỆ THỐNG KIẾN THỨC CÁC PHÉP BIẾN HÌNH

PHÉP BIẾN HÌNH
k=1
Phép đồng dạng

Phép dời hình

Phép
đối
xứng
trục

Phép

tịnh
tiến

Phép
Phép
quay Q(0;(2k+1)π) đối
xứng
tâm

Phép vị tự

k=-1

Q(0;k2π)

T

Phép đồng
nhất

k=1

Từ sơ đồ trên ta rút ra nhận xét:
Trang 23


- Về hình thức: Sơ đồ đã nêu được cái cốt lõi của các định nghĩa, công
thức, giúp học sinh hệ thống lại một lượng kiến thức lớn của cả chương bằng
cách ngắn gọn, dễ nhớ.
- Về kiến thức:

+ Phép dời hình và phép đồng dạng đều là những phép biến hình.
+ Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.
+ Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
+ Phép vị tự tỉ số k=1 là phép đồng nhất, tỉ số k=-1 là phép đối xứng tâm.
r

+ Phép Tịnh tiến theo vec tơ 0 là phép đồng nhất.
+ Phép quay góc quay (2k+1)π là phép đối xứng tâm, góc quay k2π là
phép đồng nhất.
Thứ nhất, có cái nhìn tổng qt về một số bài tốn về phép biến hình, từ
đó đưa ra nhiều cách cho một bài tốn. Ví dụ cụ thể như:
Ví dụ 1: ( Bài 10-tr13-HH11NC ) .
Cho hai điểm B, C cố định nằm trên đường tròn (O;R) và điểm A thay đổi trên
đường trịn đó. Hãy dùng phép đối xứng trục để chứng minh rằng trực tâm H
nằm trên một đường trịn cố định.
Giải
Cách giải đã được trình bày ở phần trên.
* Chú ý : Ta cịn có cách khác chứng minh H và H’ đối xứng nhau qua BC .
- Kẻ AA’ ( là đường kính của (O) ) suy ra BHCA’ là hình bình hành, cho nên BC
đi qua trung điểm I của A’H .
- A’H’ song song với BC ( vì cùng vng góc với AH ).
- Từ đó suy ra BC là đường trung bình của tam giác AHH’ – Có nghĩa là BC đi
qua trung điểm của HH’ . Mặt khác AH vng góc với BC suy ra BC là trục đối
xứng của HH’ , hay H và H’ đối xứng nhau qua BC.
Trang 24


Ví dụ 2: ( Bài 1.14 –tr-21-Bài tập Hình học11CB)
Cho ba điểm không thẳng hàng I,J,K . Hãy dựng tam giác ABC nhận I,J,K lần
lượt là trung điểm của các cạnh BC,CA,AB .

Giải
- Phân tích : Giả sử tam giác ABC đã dựng xong thỏa mãn điều kiện đầu bài . Vì
I,J,K là trung diểm cho nên Ị là đường trung bình suy ra Ị=KB , tương tự KJ=IC .
Từ đó suy ra cách dựng :
+/ Tìm điểm P là ảnh của J qua phép đối xứng tâm I
+/ Kẻ Px //KJ và đặt PQ=KJ . Từ Q kẻ Qy //IJ và đặt QC=IP.
+/ Tìm B đối xứng với C qua I và A đối xứng với B qua K . Như vậ tam giác
ABC đã dựng xong.
* Chú ý : Ngồi cách trên ta cịn có cách khác như sau:
+/ Lấy một điểm N bất kỳ. Tìm các điểm M đối xứng với N qua I, P đối xứng với
N qua J và Q đối xứng với P qua K . ( Vẽ hình )
uuuu
r

uuur

uuur

uuur

+/ Từ đó suy ra: CM = − BN = AP = −CQ . Do đó C là trung điểm của MQ. Từ đó
suy ra cách dựng.
Ví dụ 3:
Cho tam giác nhọn ABC. Hãy dựng hình vng MNPQ sao cho M, N nằm trên
cạnh BC, P, Q nằm trên hai cạnh còn lại của tam giác.
Giải
- Vẽ hình. Từ hình vẽ ta có cách phân tích :
Gọi một hình vng M’N’P’Q’ có cạnh M’N’ thuộc BC và
M’N’=N’P’=P’Q’=Q’M’ và bằng a cố định Nếu ta coi hình vng MNPQ là ảnh
của một phép vị tự tâm B với tỉ số vị tự nào đó thì:

PQ
PM
PQ P ' Q '
=
⇔
=
= 1 ⇒ PQ = PM . Suy ra cách dựng .
P 'Q ' P ' N '
PM P ' N '
Trang 25