Xác suất thống kê và QHTN

Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Xác suất thống kê và Quy hoạch thực nghiệm
1.3 Xác suất điều kiện. Công thức cộng, công thức nhân XS. Công
thức bernoulli
Tóm tắt lý thuyết
̅ ) = P(𝑩
̅ 𝑨) + P(𝑩
̅𝑨
̅ ) và ngược lại đối với A
+ P(𝑩
̅ ) và ngược lại đối với B
+ P(A) = P(AB) + P(A𝑩
+ Công thức cộng xs : P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
A và B xung khắc <=> P(A+B) = P(A) + P(B)
(Note: ĐN xung khắc)
+ Xác suất có điều kiện: P(A/B) = P(AB) / P(B) và ngược lại
+ Công thức nhân xs: P(AB) = P(A). P(B/A) và ngược lại
A và B độc lập <=> P(AB) = P(A). P(B)
(Note: ĐN độc lập)
Công thức Bernoulli: B(k,n,p) = 𝐶𝑛𝑘 . pk.(1-p)n-k
Bài tập

1. P(𝐴̅ + 𝐵̅) = P(𝐴̅) + P(𝐵̅) – P(𝐴̅𝐵̅) = 1 – P(𝐴̅𝐵̅) = 0,625
P(𝐴̅𝐵̅) +P(𝐵̅𝐴) = P(𝐵̅) => P(𝐴̅𝐵̅) = 0,375
2. P(𝐴̅𝐵) = P(𝐴̅) – P(𝐴̅𝐵̅) = 0,125
3. P(A+𝐵̅ ) = P(A)+P(𝐵̅) – P(A𝐵̅) = 1 – 0,125 = 0,875


Nguyễn Minh Hiếu

Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài làm:
A: Hệ thống I bị hỏng ;B: Hệ thống II bị hỏng ; P(AB): “ Cả hai hệ thống bị hỏng”
1, Vì A và B độc lập, do đó P(AB) = P(A).P(B)
P(A) = 1 – P(𝐴̅) = 1 – 0,94 ; P(B) = 0,13 => P(AB)
̅̅̅) = 0,34212
2, P(𝐴̅𝐵+𝐴𝐵̅ ) = P(𝐴̅).P(B) + P(A).P(𝐵

A: “số khách cần hỏi nhân viên bán hàng” => P(A) = 0,3
B: “số khách mua sách” => P(B) = 0,2
AB: “số khách thực hiện cả hai điều trên” => P(AB) = 0,15
1, Xác suất khách hàng ko thực hiện cả 2 điều trên :
P(𝐴̅𝐵̅) = 1 – P(A+B) = 1 – (0,3+0,2 – 0,15) = 0,65
2, Khách ko mua sách biết rằng người này đã hỏi nhân viên bán hàng
P(𝐵̅ ∕ 𝐴) = P(𝐵̅𝐴) / P(A) = (P(𝐵̅) – P(𝐵̅𝐴̅ ))/ P(A) = (0,8 – 0,65)/0,3 = 0,5


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Số người thích đi xe đạp và đi bộ là:
1000. 0,8 + 1000.0,6 – 1000 = 400 ( người)
Số người thích đi xe đạp mà ko thích đi bộ là:
600 – 400 = 200 (người)
Xác suất người đó thích đi xe đạp mà ko thích đi bộ: P = 200/600 = 1/3

Bài làm
“Ai là thi sinh được chọn ở vòng i ”
P(A1) = 0,8 ; P(A2/A1) = 0,7 ; P(A3/A1A2) = 0,45

1, Xác suất để một thí sinh bất kỳ được vào đội tuyển là:
P(A1A2A3) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2) = 0,252
2, Xác suất để một thí sinh bất kỳ bị loại ở vòng 3 là:
̅ 3 ) = P(A1).P(A2/A1).P(A
̅ 3 /A1A2) = 0,308
P(A1A2A
3, Xác suất để một thí sinh bất kỳ bị loại ở vòng thứ 2
̅ 2 ) = P(A
̅ 2 /A1).P(A1) = 0,8.(1-0,7) = 0,24
P(A1A
̅1 )+P(A1A
̅ 2 )+P(A1A2A
̅3)
Xác suất để thí sinh đó bị loại: P(L) = P(A
P(L) = 1 – 0,8 + 0,24 + 0.308 = 0,748
̅ 2 )/P(L) = 0,32
Xác suất cần tìm là P(I) = P(A1A


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

A1 là con trai thứ I ; A2 là con trai thứ II
P(A1A2) = 0,27 và P(𝐴1̅ 𝐴̅2 ) = 0,23
P(A1𝐴̅2 ) = P(𝐴1̅ 𝐴2 ) = 0,5/2 = 0,25
P(A2/𝐴1̅ ) = P(A2𝐴1̅ ) / P(𝐴1̅ ) = 0,25/0,48 = 0,52
P(𝐴1̅ ) = P(𝐴1̅ A2) + P(𝐴1̅ 𝐴̅2 ) = 0,25+0,23 = 0,48

Bài làm:
Chọn 3 sv từ 15 sv cho nhóm 1: C3/15

Chọn 3 sv từ 12 sv cho nhóm 2: C3/12
Chọn 3 sv từ 9 sv cho nhóm 3: C3/9
Chọn 3 sv từ 6t sv cho nhóm 4: C3/6
Ω = (C3/15 . C3/12 . C3/9 . C3/6 . C3/3) / 5!
Gọi A biến cố mỗi nhóm có đúng 1 sv giỏi toán
Chia 10 sv thành 5 nhóm, mỗi nhóm có 2 sinh viên
Tương tự: (C2/10 . C2/8 . C2/6 . C2/4 . C2/2)/5!
Xếp 5 sinh viên giỏi toán vào 5 nhóm thì sẽ có 5! Cách
A = C2/10.C2/8.C2/6.C2/4.C2/2
𝐴

Vậy xác suất để mỗi nhóm có 1 sv giỏi toán là P = = 0,08
Ω


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài làm
Xác suất để A thắng 1 ván là P(A) = 0,7
Xác suất để B thắng 1 ván là P(B) = 0,3
1, +Xác suất để A thắng sau 3 ván: P1= 0.73
Phân tích trường hợp: AAA
+Xác suất để A thắng sau 4 ván: P2 = 3.0,3.0,73
Phân tích trường hợp: BAAA ; ABAA; AABA
+ Xác suất để A thắng sau 5 ván: P3 = 6.0.32.0,73
Phân tích trường hợp: BBAAA;BABAA;BAABA;ABBAA; ABABA;AABBA
+ Xác suất để P thắng sau x ván là: P = P1+P2+P3
2, xác suất để trận đấu kết thúc sau 5 ván: P = 6.(0,32.0,73+0,33.0,72)

1, Tìm số câu sai câu đúng: x+y = 12 và 4x -y = 13 => x= 5 và y = 7
Xác suất để học sinh đó đc 13 điểm là P =C5/12. (1/5)5.(4/5)7
2, tìm số câu sai ít nhất là để âm điểm 4x -y <0 => sai ít nhất là 10 câu


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Th1: sai 10 câu đúng 2 câu: P1 = C2/12.(1/5)2.(4/5)10
Th2: sai 11 câu đúng 1 câu: P2 = C1/12 . (1/5)1.(4/5)11
Th3: sai 12 câu: P3 = (4/5)12
Xác suất để học sinh bị điểm âm là P = P1+P2+P3

1, P = C2/10 . 0,22.0,88
2, P = 1 – 0,810

P = 1 – 0,6n ≥ 0,95 => n ≥ 5,8 do đó cần bắn ít nhất là 6 lần

1, Th1 cả 2 đều ném trượt P1= 0,42 . 0,32
Th2 cả 2 ném trúng 1 lần : P2 = 0,6.0,7.0,3.0,4. (C1/2)2
Th3 cả 2 ném trúng 2 lần: P3 = 0,62.0,72
Xác suất để số lần ném trúng rổ của hai ng bằng nhau P=P1+P2+P3
2, th1 người 1 ném đc 1, ng 2 ném đc 0 => P1= C1/2 . 0,61.0,4 . 0,32


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Th2 người 1 ném đc 2 người 2 ném được 0 => P2 = 0,62.0,32
Th3 người 1 ném đc 2 người 2 ném đc 1 => P3= 0,62.C1/2.0,7.0,3

Xác suất để …. P = P1 + P2 + P3

3 bài này dung hàm phân phối sẽ chuẩn nhất

1.4 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bay – et
Tóm tắt lý thuyết
Nhóm đầy đủ khi thỏa mãn 2 đk:
1) Ai.Aj #0
2) A1+A2+…+An = Ω
Tính chất: P(A1) + P(A2) + P(A3)+…+ P(An) = 1
𝐻

Công thức xác đầy đủ: P(H) = ∑𝑛𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖). 𝑃( )
𝐴𝑖

Công thức Bayes:


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Bài tập

Mi là máy I sản xuất ra sản phẩm
P(M1) = 0,25 ; P(M2) = 0,3 ; P(M3) = 0,45
T là phế phẩm
P(T/M1) = 0,001 ; P(T/M2) = 0,002 ; P(T/M3) = 0,003
1, xác suất để chọn ngẫu nhiên ra một sản phẩm của 1 phân xưởng là phế phẩm
P(T) = P(T/M1).P(M1) + P(T/M2).P(M2) + P(T/M3).P(M3)
P(T) = 0,25.0,001 + 0,3.0,002 + 0,45.0,003 = 0,0022

2, Xác suất để sản phẩm đó do máy I sản xuất
P(M1/T) = P(M1T)/P(T) = P(T/M1).P(M1)/P(T) = 0,25.0,001/0,0022 = 0,1136

A là bc lấy được bi đỏ từ hộp 1 và bi trắng từ hộp 2
B là bc lấy được bi đỏ từ hộp 1 và bi đỏ từ hộp 2
C là bc lấy được bi trắng từ hộp 1 và bi đỏ từ hộp 2
D là bc lấy được bi trắng từ hộp 1 và bi trắng từ hộp 2
H là bc lấy được bi đỏ từ hộp 3


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

P(A) = 3/5.2/4 = 3/10 = P(B) ; P(C) = 2/5.2/4 = 1/5 = P(D)
P(H/A) = 1/2 ; P(H/B) = 1; P(H/C) = ½ ; P(H/D) = 0
1, xác suất để viên bi đó là màu đỏ
P(H) = P(H/A).P(A) + P(H/B).P(B) + P(H/C)/P(C) + P(H/D).P(D)
P(H) = 11/20
2, xác suất để viên bi lấy từ hộp 1 là bi đỏ và bỏ vào hộp 3
P(K) = P(A/H)+P(B/H) = P(H/A).P(A)/P(H) + P(H/B).P(B)/P(H) = 9/11

1, Th1 I => II là bi xanh , II => I là bi xanh => P(A1) = 2/6.4/7
Th2 I => II là bi xanh , II => I là bi đỏ

=> P(A2) = 2/6.3/7

Th3 I => II là bi đỏ , II => I là bi xanh

=> P(A3) = 4/6.3/7

Th4 I => II là bi đỏ, II => I là bi đỏ

=> P(A4) = 4/6.4/7

H là bc viên bi sau cùng là màu đỏ
P(H/A1) = 4/6 ; P(H/A2) = 5/6 ; P(H/A3) = 3/6 ; P(H/A4) = 4/6
P(H) = P(A1).P(H/A1) + P(A2).P(H/A2) + P(A3). P(H/A3) + P(A4).P(H/A4)
P(H) = 9/14
2, Nếu …. xác suất để lúc ban đầu rút được viên bi đỏ từ hộ I cho vào hộp 2
P(K) = (P(A3).P(H/A3)+P(A4).P(H/A4))/P(H) = 50/81 = 0,62


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

A là bc chai rượu được lấy ra là loại A
B là bc chai rượu được lấy ra là loại B
C là bc 3 ng kl rượu loại A, 2 người kl rượu loại B
P(A)=P(B)=1/2
Tìm P(A/C) = ?
P(C/A) = C3/5 . 0,83.0,22 = 0,2048
P(C/B) = C2/5 . 0,82.0,23 = 0,0512
P(C) = P(C/A).P(A)+P(C/B).P(B) = 0,128
P(A/C).P(C) = P(C/A).P(A) => P(A/C) = (0,0512.1/2)/0,128 = 0,8

Ai là bc trong 2 sp lấy ra từ lô 2 có i sp từ lô 1
P(A0) = (C0/2).(C2/8)/(C2/10)
P(A1) = (C1/2).(C1/8)/(C2/10)
P(A2) = (C2/2).(C0/8)/(C2/10)
H là bc 2 sản phẩm lấy ra là chính phẩm

P(H/A0) = (C2/6)/(C2/8); P(H/A1) = (7/10).(6/8) ; P(H/A2) = (C2/7)/(C2/10)
P(A) = P(A0).P(H/A0)+P(A1).P(H/A1)+P(A2).P(H/A2) =
K là xác suất để 2 cp lấy ra sau cùng của là của lô I
P(K)= P(A2).P(H/A2)/P(A) =

A là bc lấy được ít nhất 1 cp


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

̅ là bc ko lấy đc cp nào hay là toàn phế phẩm
A
H1 là biến cố lấy đc 2 sp từ lô 1
H2 là biến cố lấy đc 2 sp từ lô 2
H3 là biến cố lấy được 1sp từ lô 1, 1 sp từ lô 2
P(H1) = 1/10 ; P(H2) = 3/10 ; P(H3) = 3/5
̅ /H1) = 3/45 ; P(A
̅ /H2) = 1/45 ; P(A
̅ /H3) = 3/50
P(A
̅ ) = 37/750 => P(A) = 0.951
P(A

A là bc người nghiện thuốc lá P(A) = 0,3
B là bc người viêm họng => P(B/A) = 0,6 ; P(B/𝐴̅) = 0,4
1, P(A/B) = P(AB)/P(B) = 0,3.0,6/0,46 = 0,39
P(B) = P(AB)+P(𝐴̅𝐵) = P(𝐴̅).P(B/𝐴̅)+P(A).P(B/A) = 0,7.0,4+0,3.0,6 = 0,46
2, P(A/𝐵̅) = P(A𝐵̅)/P(𝐵̅) = 0,12/0,54 = 0,22
P(A𝐵̅) = P(A) – P(AB) = 0,12

P(𝐵̅) = 1- 0,46 = 0,54


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Gọi A là bc CN đi đường ngầm , P(A) = 1/3 ; P(𝐴̅ ) = 2/3 ( đi qua cầu)
B là bc về nhà trước 6h P(B/A) = 0,75 ; P(B/𝐴̅) = 0,7
 P(𝐵̅/A) = 0,25 ; P(𝐵̅ ∕ 𝐴̅) = 0,3
Tìm P(𝐴̅⁄𝐵̅) = P(𝐴̅𝐵̅)/P(𝐵̅) = P(𝐴̅).P(𝐵̅/𝐴̅)/P(𝐵̅)
P(𝐵̅) = P(A𝐵̅)+P(𝐴̅𝐵̅) = P(A).P(𝐵̅/A) + P(𝐴̅).P(𝐵̅/𝐴̅) = 0,283
Do đó P(𝐴̅⁄𝐵̅) = 0,7059

A là bc người có bệnh => P(A) = 0,8
B là bc nhận kq đúng khi đến khám bệnh => P(A/B) = 0,9 ; P(𝐴/𝐵̅) = 0,5
1, Chuẩn đoán có bệnh là P(B)
P(A) = P(B).P(A/B)+P(𝐵̅).P(𝐴 ∕ 𝐵̅ ) = P(B).P(A/B)+(1-P(B)).P(A/𝐵̅)
P(B) =

𝑃(𝐴)−𝑃(𝐴/𝐵̅ )
𝑃(𝐴 /𝐵)−𝑃(𝐴/̅̅̅̅
𝐵)

= 0,75

2, chuẩn đoán đúng P(AB+𝐴̅𝐵̅) = P(AB)+P(𝐴̅𝐵̅) – P(AB)+P(𝐴̅𝐵̅) = 0,7125


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

H1 là biến cố bán ko quá 50 vé
H2 là biến cố bán đc 51 vé
H3 là biến cố bán được 52 vé
P(H2)=P(H3)=0,1 do đó P(H1) = 0,8
Gọi A là biến cố tất cả khách đặt chỗ trước và ko hoãn chiến bay đề có ghế
P(A/H1) = 1 ( tât cả đều có vé)
P(A/H2) = 1 – 0,9551 ( có ít nhất 1 ng ko đi)
P(A/H3) = 1 – C51/52 . 0,9551.0,05 – 0,9552 ( có ít nhất 2 ng ko đi)
P(A) = 0,9667

A1 là trạm phát tín hiệu A ; P(A1) = 0,84
A2 là trạm phát tín hiệu B; P(A2) = 0,16
H là biến cố thu được tín hiệu A
Với: P(H/A1) = 5/6 ; P(H/A2) = 7/8
1, P(H) = 0,72
2, P(A1/H) = P(A1).P(H/A1)/P(H) = 0,97


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

H1 là bc câu được cá ở chỗ thứ nhất
H2 là bc câu được cá ở chỗ thứ hai
H3 là bc câu được cá ở chỗ thứ ba
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
A là bc câu được cá
P(A/H1) = C1/3 0,6.0,42 ; P(A/H2) = C1/3 . 0,7.0,32 ; P(A/H3) = C1/3 . 0,8.0,22
P(A) = 0.191
Ct Bayes: P(H1/A) = P(A/H1).P(H1)/𝛴(𝑃(𝐻𝑖).P(A/Hi)) = 0,5026

Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Chương 2: Biến ngẫu nhiên và luật phân phối xác suất
1, Hàm phân phối xác suất F(x) và được xác định F(x) = P(X < x), phản ánh
độ tập trung xác suất bên trái của điểm x
Tính chất: 0 ≤ F(x) ≤ 1 ; lim 𝐹(𝑥) = 0 ; lim 𝐹(𝑥) = 1 ; P(a≤X≤b) = F(b) - F(a)
𝑥→−∞

𝑥→ +∞

Bảng phân phối xác suất:
2, Biến ngẫu nhiên rời rạc - Các tham số đặc trưng:
a, Kỳ vọng EX = ∑xi.pi và nó đặc trưng cho giá trị trung bình
Tính chất: E(aX) = aE(X) ; E(X+b) = EX+b ; E(ax+b) = aEX+b; E(X+Y)=EX+EY
b, Phương sai V(X) = E(X2) – (EX)2 với E(X2) = ∑xi2.pi ; E(X) = ∑xi.pi
Tính chất: V(aX) = a2 .V(X) ; V(X+b) = VX ; V(aX+b) = a2 .VX
c, Độ lệch chuẩn: 𝜎 = √𝑉𝑋
d, mod (X) ứng với xác suất lớn nhất
3, Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X là hàm f(x)
Và thỏa mãn 2 đk: f(x) ≥ 0 và P(x∈B) = ∫𝐵 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
+∞

𝑏

Tính chất: ∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 ; P( a ≤X ≤b) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑥

Tìm hàm phân phối xác suất F(x) =P( X < x) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 suy ra f(x) = F’(X)
4, Biến ngẫu nhiên liên tục
+∞

+∞

a, Kỳ vọng: E(X) = ∫−∞ 𝑥. 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ; Eg(X) = ∫−∞ 𝑔(𝑥). 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
b, Phương sai: VX=E(X2) – (EX)2
c, Độ lệch chuẩn: 𝜎 = √𝑉𝑋
d, mod(X) ứng với f(x) đạt giá trị cực đại
5, Phân phối nhị thức: X ~ B(n;p)
Sử dụng: Bài toán thực hiện n phép thử độc lập cùng đk hoặc đếm số lần xảy ra


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

6, Phân phối Poisson X ~ P(𝝀)
Sử dụng với bài toán đếm số lần xảy ra trong 1 khoảng thời gian hay bt có đầu vào
phục thuộc

7, Phân phối đều rời rạc X ~ U(n)

8, Phân phối đều liên tục X ~ U([a;b])


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

9, Phân phối chuẩn X ~ N(µ; 𝝈2)

9.1, Phân phối chuẩn tắc X ~ N(0;1)

9.2, Phân phối chuẩn tổng quát: X ~ N(µ; 𝝈2)


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

10, Xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

11, Phân phối mũ X ~ 𝜺(𝝀)

P(X>x) =

=> P(X ≤ x) = 1 -


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

12, Phân phối student: X ~ T(n)

Một số bài tập ví dụ
1, Biến ngẫy nhiên rời rạc

Gọi X là số đạn cần bắn
X
2
3

4
2
2
P(X=x) 0,4 2.0,4 .0,6 3.0,42.0,62
E(X) = 3,9632 ; E(X2) = 17,0128
V(X) = E(X2) – (EX)2 = 1,3

5
4.0.6 .0,4 + 5.0,4.0,64 + 0,65
3

2


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

P(x1) = 0,2 ; P(x2) = 0,8
x1.0,2+x2.0,8 = 2,6
x12.0,2+x22.0,8 – 2,62 = 0,82
 X1 = 1 ; X2 = 3

X là số tiền an được thưởng khi bốc thăm trong 4 tuần
P(X = 0 ) = (1 – 0,15)4
P (X=100) = C1/4 . 0,15 . (1- 0,15)3
P(X = 200) = C2/4 . (0,15)2 . (1 - 0,15)2
P(X = 300) = C3/4 . (0,15)3.(1 – 0,15)
P(X = 400) = C4/4 . (0,15)4
EX = 4.10-2 ; E(X2) = 0,4 ; V(X)

X là số lần xuất hiện 2 mặt 6 chấm
X ~ B(n,p) với n = 5 và p = 1/36
a, P(X ≥ 2) = 1 – P(x = 0) – P(x = 1)
b, EX = np ; VX = npq với q = 1 – p

2, Biến ngẫu nhiên liên tục


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

1, Điều kiện để f(x) là hàm mật độ là
f(x) ≥ 0 hay k.sin3x ≥ 0 => k ≥ 0
+∞
∫−∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝜋
3

= 1 hay ∫0 𝑘. 𝑠𝑖𝑛3𝑥 𝑑𝑥 = 0

=> k = 3/2

𝑥

Hàm phân phối xác suất: F(x) = ∫−∞ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡
0

X ≤ 0 = ∫−∞ 0 𝑑 𝑡 = 0
𝑥

0 < x < π/3 => F(x) = ∫0 𝑘. 𝑠𝑖𝑛3𝑡 𝑑𝑡 = ½ ( 1 – cos 3x)
X ≥ π/3 => F(x) =

0
∫−∝ 0

𝜋
3

𝑥

𝑑𝑡 + ∫0 𝑘. 𝑠𝑖𝑛3𝑡 𝑑𝑡 + ∫𝜋 0 𝑑𝑡 = 1
3

Vậy F(X) = …
2, P(π/6 ≤ x < π/3) = F(π/3) – F(π/6) = ½
3. Một số luật phân phối xác suất thông dụng

Gọi số sv chậm giờ là X
X ~ B(n,p) với n = 855 và p = 0,02
(n+1)p – 1 ≤ mod(X) ≤ (n+1)p => mod(X) = 17


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Y là số xe được thuê
X là người thuê xe X ~ P(2)
X

0
1
Y
0
1
-lamda
P
e
e-lamda. 𝜆/1!
1, P(Y = 4) = P( X ≥ 4) = 0,1429

2
2
e-lamda. 𝜆/2!

3
3
e-lamda. 𝜆/3!

≥4
4
1 – 4 Th

2,P(X > 4) = P(X ≥ 4) – P(X = 4) = 0,1429 – e-2.24/4! = 0,0527
3, EY = 1,92
Y
P
Với y = k

0

1

X là lãi suất đầu tư vào một dự án
X ~ N(µ,𝜎 2 )
20− µ

P( X > 20) = 0,5 – 𝜙(
P(X > 25) = 0,5 - 𝜙(
 µ = 15, 𝜎 = 5
P( X > 0 ) = 0,9986

𝜎

25− µ
𝜎

) = 0,1587

) = 0,0228

2

3

4


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Chương 4
Thống kê
Ước lượng tham số
* Ước lượng khoảng


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

1.Kiểm định giả thuyết một mẫu
1.1 Kiếm định kỳ vọng


Nguyễn Minh Hiếu
Đại học Bách Khoa Hà Nội

Trường hợp 3: N>30