TÓM tắt CÔNG THỨC TOÁN 11 12

I. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
sin 
cos 

1. Hệ thức Cơ bản:
cos 
 cot  
sin 

 sin 2  cos 2  1

 tan  

1
 1  tan  
cos2 

1
 1  cot  
sin 2 

2

Đối:  ; 

k 

  tan(  k )  tan 
cot(  k )  cot 


2. Cung Liên kết:

Khác pi:  ;   
Phụ:  ;  

Bù:  ;   

Pi

: ;  
2
2


sin      cos 
2

Khác

2

sin( )   sin 

sin(   )  sin 

cos( )  cos 

cos(   )   cos 

tan( )   tan 

tan(   )   tan 

cot( )   cot 

k 

 sin(  k 2 )  sin 
cos(  k 2 )  cos 


2

 tan .cot  1



sin      cos 
2



cos      sin 
2


sin(   )   sin 

cos(   )   cos 



cos       sin 
2




tan      cot 
2


tan(   )  tan 



tan       cot 
2


cot(   )   cot 



cot      tan 
2


cot(   )  cot 



cot       tan 
2


Sin bù

Phụ chéo

Cos đối

Khác pi/2: sin bạn cos,

Khác Pi: tang,
cotang

cos thù sin

3. Công thức Cộng:
 cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b
 cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b

 sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b
 sin(a  b)  sin a.cos b  cos a.sin b

tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan a.tan b

sin 2  2sin  .cos 
sin 3  3sin   4sin 
3

sin 2  

1  cos 2
2

tan(a  b) 

tan a  tan b
1  tan a.tan b

4. Công thức Nhân đôi, Nhân ba:
cos 2  cos 2   sin 2 
 2 cos 2   1  1  2sin 2 
cos3  4cos   3cos 
3

5. Công thức Hạ bậc:
1  cos 2
cos2  
2

tan 2 

2 tan 
1  tan 2 

3tan   tan 3 
tan 3 
1  3tan 2 
tan 2  

1  cos 2
1  cos 2

6. Biến đổi Tổng thành Tích:
ab
a b
.cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2sin
.cos
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b




sin   cos   2.sin      2.cos    
4

4


cos a  cos b  2cos

ab
a b
.sin
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2cos
.sin
2
2
sin(a  b)
tan a  tan b 
cos a.cos b

cos a  cos b   2sin





sin   cos   2 sin       2 cos    

4


4


7. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a.cos b 

1
2

cos(a  b)  cos(a  b)

sin a.sin b 

1
2

cos(a  b)  cos(a  b)

sin a.cos b 

1
2

sin(a  b)  sin(a  b)

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
u  v  k 2
sin u  sin v  
(k  )
u    v  k 2

Nếu sin u  m   1;1 và



3
2 1 
m  1; 
;
;  ;0 thì:
2
2
2 


cos u  m  u   arccos m  k 2 (k  )
Nếu cos u  m   1;1 thì: cosu  m  u 

Nếu sin u  m   1;1 thì: sin u  m  u 

Đặc biệt:


2

 k 2

sin u  1  u  



sin u  0  u  k


2

k  

 k 2

cos u  1  u  k 2
cos u  1  u    k 2

Đặc biệt:

cos u  0  u 

k  

tan u  tan v  u  v  k

 k , k  . Tuy vậy, phương trình tan u  m
2
luôn có nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện.
Kỹ thuật 1: Làm mất dấu TRỪ
Ví dụ:
 sin   sin( )
x
x

4

4
4

sin x
x

k  

0

sin x

4

k2
x

k  

Lưu ý: Điều kiện để hàm cot u có nghĩa là
u  k , k  . Tuy vậy, phương trình cot u  m luôn có
nghiệm, vì vậy không cần đặt điều kiện cho nó.



sin x

 k

cot u  m  u  arc cot m  k

Lưu ý: Điều kiện để hàm tan u có nghĩa là

 cos   cos(   )
 tan   tan( )
 cot   cot( )

2

k  


3 
;0 thì:
Nếu cot u  m   3; 1; 
3 


k  

tan u  m  u  arctan m  k



cot u  cot v  u  v  k




3 

;0 thì:
Nếu tan u  m   3; 1; 
3 


u

k  


3
2 1 
Nếu cos u  m   1;1 và m  1; 
;
;  ;0 thì:
2
2
2 


u  arcsin m  k 2
sin u  m  
(k  )
u    arcsin m  k 2

sin u  1  u 

u  v  k 2
cos u  cos v  
u  v  k 2



sin x

x
k2 (voâ nghieäm)

sin x

8

Kỹ thuật 2: Biến đổi CHÉO

k (k

4

sin( x)

).




sin   cos    
2




cos   sin    
2



tan   cot    
2



cot   tan    
2


Ví dụ:



 k 2

2
x

 x  k 2
x 


2



6
3

(k  ).
sin 2 x  cos x  sin 2 x  sin   x   
2

 2 x       x   k 2
 x    k 2




2
2


Phương trình a sin x  b cos x  c (với a 2  b2  c 2 )

a sin x  b cos x  c


a

sin x 

a 2  b2

b

cos x 

a 2  b2

 sin x.cos   cos x.sin  
(với cos  

a
a  b2
2

, sin  

 Trường hợp 1: Xét cos x  0  sin 2 x  1 . Ta có hệ

c
a 2  b2

c
a 2  b2
b

a 2  b2

)

 sin( x   )  sin   ......... với sin  

Phương trình a sin2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d

c
a  b2
2

sin 2 x  1
sin 2 x  1

 .............(1)
sau: 
2
a sin x  d
a  d
 Trường hợp 2: Xét cos x  0 , chia hai vế phương trình
cho cos 2 x , ta có:
a tan 2 x  b tan x  c  d (1  tan 2 x)  ......... (2)
 Hợp nghiệm của (1), (2) ta có tập nghiệm của phương
trình đã cho.

 Lưu ý: Phương trình a sin x  b cos x  c chỉ có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b2  c 2 .
[

III. TỔ HỢP – XÁC SUẤT
QUY TẮC CỘNG

QUY TẮC NHÂN

Nếu phép đếm được chia ra nhiều trường hợp, ta Nếu phép đếm được chia ra làm nhiều giai đoạn bắt buộc, ta
sẽ cộng các kết quả lại.

sẽ nhân các kết quả của mỗi giai đoạn ấy.

HOÁN VỊ
 Sắp xếp (đổi chỗ) của n
phần tử khác nhau, ta có số
cách xếp là Pn  n ! với

TỔ HỢP

 Chọn k phần tử từ n phần tử
 Chọn k phần tử từ n phần tử (có sắp
(không sắp xếp thứ tự), ta có số cách
xếp thứ tự), ta được số cách chọn là
chọn là Cnk .

n .
 n !  1.2.....  n  1 n .



Cnk 

 Quy ước sốc: 0!  1.
Một số tính chất:
 Công thức: P( X ) 

XÁC
SUẤT

CHỈNH HỢP

Ank .

k  , n 
n!
với 
 n  k  !k !
0  k  n

*

.



Cnk  Cnnk

Cnk  Cnk 1  Cnk11

n( X )
n ( )

 Tính chất:
0  P( X )  1 .

Trong đó: n( X ) : số phần tử của tập biến cố
X ; n() : số phần tử không gian mẫu; P( X )
là xác suất để biến cố X xảy ra với X   .
 Nếu A, B là hai biến cố xung khắc với nhau
thì P  A  B   P  A   P  B  .

Ank 

k  , n 
n!
với 
 n  k !
0  k  n

*

.

Ank  k !Cnk

P ()  0; P()  1 .

P( X )  1  P( X ) với X là biến cố đối của X .

 Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì
P  A.B   P  A .P  B  .

IV. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTƠN



Khai triển dạng
liệt kê:
(với n 

*

)

 a  b

n

 Cn0 a n  Cn1 a n 1b  Cn2 a n  2b 2  .........  Cnn 1ab n 1  Cnnb n .

 Đặc biệt: 1  x   Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  .........  Cnn 1 x n 1  Cnn x n (*).
n

 Hệ quả 1: Cn0  Cn1  Cn2  .........  Cnn1  Cnn  2n (tức là thay x  1 vào (*)).
 Hệ quả 2: Với n chẵn, chỉ cần thay x  1 vào (*), ta có:

Cn0  Cn1  Cn2  .........  Cnn1  Cnn  0  Cn0  Cn2  Cn4 ......  Cnn  Cn1  Cn3  ......Cnn1
Khai triển tổng
quát:
(với n 

*

 a  b

 Khai triển:

n

n

  Cnk a n k bk . Số hạng tổng quát: Tk 1  Cnk a nk bk
k 0

 Phân biệt hệ số và số hạng: Cnk ( 1)k an kbk . x . Số hạng không chứa x ứng với   0.

)

HEÄ SOÁ
SOÁ HAÏNG

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

V.
CẤP SỐ CỘNG

CẤP SỐ NHÂN

1. Định nghĩa:
1. Định nghĩa:
 Dãy số  un  được gọi là cấp số cộng khi và  Dãy số  un  được gọi là cấp số nhân khi và chỉ khi
chỉ khi un 1  un  d với n 

*

số.
 Cấp số cộng như trên có số hạng đầu u1 ,
công sai d .
2. Số hạng tổng quát:
 un  u1  (n  1)d với n 
3. Tính chất các số hạng:

 uk 1  uk 1  2uk với k 

*

*

un 1  un .q với n 

, d là hằng

*

, q là hằng số.

 Cấp số nhân như trên có số hạng đầu u1 , công bội q .
2. Số hạng tổng quát:
 un  u1.q n1 với n  * .
3. Tính chất các số hạng:
 uk 1.uk 1  uk2 với k  và k  2.

.

và k  2.

4. Tổng n số hạng đầu tiên:
(u  u )n
 Sn  u1  u2  ...  un  1 n .
2

4. Tổng n số hạng đầu tiên:

 Sn  u1  u2  ...  un 

u1 (1  q n )
với q  1.
1 q

VI. GIỚI HẠN DÃY SỐ - HÀM SỐ
1.1. Dãy số có giới hạn 0:
1
1
0
▪ lim  0
▪ lim
n
n
▪ lim q n  0 với q  1 .

1
▪ lim 3  0
n

▪ lim

1
0
n

1.2. Dãy số có giới hạn hữu hạn:
Cho lim un  a . Ta có:
1. Giới hạn dãy số

▪ lim un  a và lim 3 u  3 a

▪ lim un  a với a  0.

Cho lim un  a , lim vn  b . Ta có:
▪ lim  un  vn   a  b
▪ lim

un a
 với b  0
vn b

1.3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
1.4. Dãy số có giới hạn vô cùng:

▪ lim  un .vn   a.b
▪ lim  k .un   k .a
S  u1  u1q  u1q 2  ... 

u1
.
1 q


Quy tắc 1: Cho lim un  , lim vn  . Tính lim  un vn  .

lim un

lim vn

lim  un vn 
















lim un

Dấu của a

lim  un vn 





+
–

+
–








Quy tắc 2: Cho lim un  , lim vn  a  0. Tính lim  un vn  .



Quy tắc 3: Cho lim un  a  0, lim vn  0. Tính lim
Dấu của a (tử)

Dấu của vn (mẫu)

+
+
–
–

+
–
+
–






un
.
vn

lim

un
vn









2.1. Giới hạn tại vô cực:
Cho k dương, ta có:

1
0
x  x k
2.2. Giới hạn hữu hạn:

▪ lim x k  

▪ lim

, k chaün
, k leû

▪ lim x k

x 

x

Cho lim f  x   a, lim g  x   b . Ta có:
x  x0

▪ lim f  x   a

x  x0

▪ lim 3 f  x   3 a

x  x0

▪ lim

x  x0

x  x0

f  x   a với a  0

▪ lim  f  x  .g  x    a.b
x  x0

▪ lim  f  x   g  x    a  b
x  x0
▪ lim  k . f  x    k .a với k là hằng số
x  x0

▪ lim
x  x0

f  x a
 với b khác 0
g  x b

2.3. Quy tắc tìm giới hạn vô cực:
Quy tắc 1: Cho lim f  x   , lim g  x   a  0 . Tính lim  f  x  .g  x   .
x  x0
x  x0
x x0
lim f  x 




x  x0




+
–
+
–




2. Giới hạn hàm số:

lim  f  x  g  x   .

Dấu của a

x  x0





Quy tắc 2: Cho lim f  x   a  0, lim g  x   0 . Tính lim
x  x0

x  x0

x  x0

Dấu của g  x 

Dấu của a

f  x
.
g  x
f  x
.
g  x

lim

x  x0

+
+

+
–

–
+

–
–

2.4. Bổ trợ các công thức để khử dạng vô định:
ax 2  bx  c  a  x  x1  x  x2  với
x n  1   x  1 x n 1  x n  2  ...  1
x1 , x2 là nghiệm của tam thức bậc hai.
a n  b n   a  b  a n 1  a n  2b  ...  b n 1







a b 
a 3 b 

a2  b
a b
a3  b
a a b 
2

3

a b 

 b
3

2

a 3 b 

a2  b
a b
a3  b
a2  a 3 b 

 b
3

2




3.1. Điều kiện tồn tại giới hạn:
Giới hạn bên phải
lim f  x 

Ký hiệu

lim f  x 

x  x0

lim f  x   lim f  x 

x  x0


 x0
 x 


 x  x0

Nghĩa là

Điều kiện để hàm số có
giới hạn tại x0 .

Giới hạn bên trái

x  x0

x  x0

Khi đó:
lim f  x   lim f  x 


 x0
 x 


 x  x0

x  x0

x  x0

 lim f  x 
x  x0

3. Điều kiện giới hạn
và điều kiện liên

tục:

3.2. Điều kiện liên tục của hàm số:
 Hàm số f  x  liên tục tại x0  f  x0   lim f  x   lim f  x   f  x0   lim f  x 
x  x0

x  x0

x  x0

 Mọi hàm số đa thức, phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác đều liên tục trên tập xác định
của chúng.
 Hàm số f  x  liên tục trên khoảng  a; b  nếu nó liên tục với mọi x  x0   a; b  .
f ( x) liên tục trên (a; b)
lim f ( x) f (a); lim f ( x)

 Hàm số f  x  liên tục trên a; b

x

a

x

b

f (b)

.

3.3. Điều kiện có nghiệm của phương trình:
Nếu hàm số f  x  liên tục trên  a; b  và f  a  . f  b   0 thì phương trình f  x   0
có ít nhất một nghiệm trên  a; b  .

VII. ĐẠO HÀM
1. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm:

f   x0   lim
x  x0

f  x   f  x0 
.
x  x0

2. Bảng đạo hàm cơ bản và mở rộng:
 ( x )   x


 k  0

(với k là hằng số)



 e x   e x
 sin x   cos x

 1

MR


(u )   u 1. u



MR

 eu   eu . u





 a x   a x ln a

MR




MR

 au   au .ln a. u

MR

 sin u   u cos u

 x   2 1 x

 u   2uu

 ln x  

1
x

 1 
 x

   

1
x2

u
 1 
MR

   2
u
u
1
  log a x  
x ln a

u
u
MR
MR



 ln u  
 log a u  
u
u ln a
MR
  cos x    sin x 
 cos u    u sin u

1
1
  cot x   
 1  tan 2 x
  1  cot 2 x 
2
2
cos x
sin x
u
u
MR
MR


 tan u   2  u 1  tan 2 u 
 cot u    2   u 1  cot 2 u 
cos u
sin u
3. Quy tắc tìm đạo hàm:

▪  u  v   u   v
▪ (k.u)  k.u
▪ (u.v)  uv  uv



 tan x  

 u  uv  uv
▪  
v2
v

▪ f x  fu.ux với

fx là đạo hàm của f theo biến x
fu là đạo hàm của f theo biến u .
ux là đạo hàm của u theo biến x


4. Đạo hàm cấp cao và vi phân:
Đạo hàm cấp cao

f   x    f   x   ; f   x    f   x  
f

 4

 x    f   x  ;...; f  n  x    f  n1  x 

Vi phân

df  x   f   x  .dx
dy  y.dx
du  u.dx

VIII.KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU
 Bước 1: Tìm tập xác định D
.
 Bước 2: Tính y  f ( x) ;
cho y  0
x1 , x2 ... Tìm thêm
các giá trị x mà y không
Tìm nghieäm

xác định.
 Bước 3: Lập bảng biến
thiên. (Nên chọn giá trị x đại
diện cho từng khoảng thay
vào y để tìm dấu của y
trên khoảng đó).
 Bước 4: Dựa vào bảng biến
thiên để kết luận về sự đồng
biến, nghịch biến của hàm
số.
ĐIỀU KIỆN CỰC TRỊ
 Hàm số có điểm cực trị là
 y( x0 )  0
( x0 ; y0 )  

.
 y ( x0 )  y0
(giả thiết là hàm số liên tục
tại x0 ).

HÀM BẬC BA
3
y  ax  bx 2  cx  d (a  0)
 Đạo hàm y  3ax 2  2bx  c .
 Hàm số đồng biến trên tập xác
định  y  0, x 
a  0

.
  0
 Hàm số nghịch biến trên tập xác
định  y  0, x 
a  0

.
  0
 Lưu ý: Nếu a chứa tham số m thì
ta xét a  0 , tìm m. Thay m tìm được
để kiểm tra dấu y , xem y có đơn
điệu trên
không?
CỰC TRỊ HÀM BẬC BA
y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)

HÀM NHẤT BIẾN

ax  b
y
(ad  bc  0, c  0)
cx  d

ad  bc
.
(cx  d )2
 Hàm số đồng biến trên từng
khoảng xác định  ad  bc  0.
 Hàm số nghịch biến trên từng
khoảng xác định  ad  bc  0.
 Đạo hàm y 

 Lưu ý: Nếu đề cho đồng biến
(nghịch biến) trên ( ;  ) thì ta xét điều
d
kiện:   ( ;  ) .
c
CỰC TRỊ HÀM BẬC BỐN
y  ax 4  bx 2  c (a  0)

 Đạo hàm y  3ax 2  2bx  c .
 Đạo hàm y  4ax3  2bx .
 Hàm số có hai cực trị (tức là có
 Điều kiện cực trị
Ba cực trị
ab  0
a  0
(*) .

CĐ-CT)  
ab  0
 y  0
Một cực trị
 2
2
 Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu
a  b  0
 x1 x2  0  ac  0 .
Có cực trị
a 2  b2  0
 Hàm số có hai điểm cực trị cùng
 Cho A, B, C là ba điểm cực trị, ta có:
 f ( x0 )  0
a

0,


0
 Nếu 
thì hàm

y
b3  8a
dấu  
.
 f ( x0 )  0
cos BAC  3
b  8a

ac  0
số f ( x) đạt cực đại tại
 Phương trình đường thẳng đi qua
x  x0 .
b5
hai điểm cực trị:
.
SABC 
32a3
f ( x). f ( x)
 f ( x0 )  0
y  f ( x) 
.
 Nếu 
thì hàm
18
a

f
(
x
)

0
0

Lưu ý: Nếu tọa độ hai cực trị đã
số f ( x) đạt cực tiểu tại
rõ ràng ta nên gọi đường thẳng
x  x0 .

y  ax  b rồi thay tọa độ hai điểm
đó vào 
 Giải hệ tìm a, b.
TÌM MAX-MIN TRÊN ĐOẠN
TÌM MAX-MIN TRÊN KHOẢNG
Tìm
Max-Min của f ( x) trên khoảng (a; b)
Tìm Max-Min của f ( x) trên đoạn  a; b 


 Bước 1: Tính y  f ( x) .
Tìm các nghiệm xi  (a; b) khi cho f ( x)  0 .
Tìm x j  (a; b) mà y không xác định.
 Bước 2: Tính các giá trị f (a), f (b) và
f ( xi ), f ( x j ) (nếu có).
 Bước 3: So sánh tất cả giá trị trong bước 2 để
kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

ĐẶC BIỆT

 Bước 1: Tính y  f ( x) .
Tìm các nghiệm xi  (a; b) khi cho f ( x)  0 . Tìm x j  (a; b)
mà y không xác định.
 Bước 2: Cần tính lim y, lim y . (Nếu thay (a; b) bằng
x a

x b

(; ) thì ta tính thêm lim y ).
x 

 Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất trên khoảng.
 Nếu hàm f ( x) đồng biến trên [a; b] thì
 Nếu hàm f ( x) nghịch biến trên [a; b] thì
 max f ( x)  f (b)
 max f ( x)  f (a)
 x[a ;b ]
 x[a ;b ]


f ( x)  f (a)
f ( x)  f (b)
 xmin
 xmin
[a ;b ]
[a ;b ]

TIỆM CẬN ĐỨNG

 x0
 x 
 Định nghĩa: 
(x hữu hạn, y vô
y




hạn), ta có tiệm cận đứng x  x0 . Lưu ý:

điều kiện x 
 x0 có thể được thay bằng

x 
 x0 (giới hạn bên trái) hoặc x 
 x0
(giới hạn bên phải).
 Cách tìm TCĐ: Nếu x  x0 là một nghiệm
của mẫu số mà không phải là nghiệm của
tử số thì x  x0 chính là một TCĐ của đồ thị.
(với tập xác định có dạng D  K \  x0 ; x1 ;... ).

 Đồ thị hàm số y 

TIỆM CẬN NGANG

 x 
 
 Định nghĩa: 
(x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm
 y0
 y 
cận ngang y  y0 .
 Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng CASIO
Bước 1: Nhập hàm số vào máy.
NEXT
NEXT
Bước 2: CALC 
 X  10 ^10 


NEXT
NEXT
CALC 
 X  10 ^10 

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y0 ) thì ta
kết luận TCN: y  y0 .

ax  b
a
d
với (c  0, ad  bc  0) có một TCĐ: x   , một TCN: y  .
c
c
cx  d
 Nên nhớ, mỗi đồ thị chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang.
SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Xét hai đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) và (C 2 ) : y  g( x ) .

Phương pháp chung tìm giao điểm hai đồ thị
 Bước 1 : Lập phương trình hoành độ giao
 Bước 2 : Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x1 , x2 ,...
(
C
)
&
(
C
)
điểm của 1

2 : f ( x )  g ( x ) . (*)
(nếu có), suy ra y , y ...
1

 Điều kiện để (C1 ) và (C2 ) có n
điểm chung là phương trình (*) có
n nghiệm khác nhau.

2

 Điều kiện để (C1 ) tiếp xúc (C2 ) là phương trình (*) có nghiệm kép hoặc

 f ( x)  g ( x)
hệ sau có nghiệm : 
.
 f ( x)  g ( x)
ax  b

 (C ) : y 
Tìm tham số để 
cx  d cắt nhau tại hai điểm phân biệt
 d : y   x  


 Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao
ax  b
điểm :
  x   , đưa phương trình về
cx  d
d


dạng g ( x)  Ax 2  Bx  C  0  x    .
c




 A  0
Tìm

m?
 Bước 2 : Giải hệ  g  0

g   d   0
  c 

(C ) : y  ax 3  bx 2  cx  d
Tìm tham số để 
cắt nhau tại ba điểm phân biệt
d : y   x  
(Ta chỉ áp dụng cho trường hợp phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm đẹp)
 Bước 1 : Viết phương trình hoành độ giao
A  0

điểm : ax3  bx 2  cx  d   x   , đưa
Tìm
 Bước 2 : Giải hệ điều kiện :  g  0 
m?
phương trình về dạng


 g ( x0 )  0
 2

( x  x0 )  Ax  Bx  C   0 .


 Lưu ý : Để tìm nghiệm đẹp x  x0 , ta nhập vào máy chức
g ( x)


năng giải phương trình bậc ba với m  100 .
(có vận dụng kỹ năng chia Hoocner)
PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1
Viết phương trình tiếp tuyến của
đồ thị (C ) : y  f ( x) tại điểm

M ( x0 ; y0 )  (C )
 Bước 1: Tính đạo hàm y , từ
đó có hệ số góc k  y( x0 ).
 Bước 2 : Viết phương trình tiếp
tuyến của đồ thị dạng
y  k ( x  x0 )  y0 .

DẠNG 2
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến có hệ số
góc k.
 Bước 1: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm
và tính đạo hàm y .

 Bước 2: Cho y( x0 )  k , tìm được
tiếp điểm ( x0 ; y0 ).
 Bước 3: Phương trình tiếp tuyến :
y  k ( x  x0 )  y0 .

DẠNG 3
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
(C ) : y  f ( x) biết tiếp tuyến đi qua

A( xA ; y A ) .
 Bước 1: Tiếp tuyến có dạng :
y  y( x0 )( x  x0 )  y0 (*) với

y0  f ( x0 ).
 Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*)
để tìm được x0 .

 Bước 3: Thay x0 vào (*) để viết phương
trình tiếp tuyến.
 Đặc biệt : Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k  a, nếu tiếp tuyến vuông góc đường

1
(a  0) ; nếu tiếp tuyến tạo với Ox góc  thì nó có hệ số góc k   tan  .
a
ĐIỂM ĐẶC BIỆT THUỘC ĐỒ THỊ
Tâm đối xứng (hay điểm uốn) của đồ thị bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d (a  0)

thẳng y  ax  b thì nó có hệ số góc k  

 y  3ax 2  2bx  c

 Bước 1: Tính 
.
 y  6ax  2b
 Bước 2: Cho
y

0

Tìm nghieäm

x0

b
3a

y0 . Ta có tâm

đối xứng (tức điểm uốn): I ( x0 ; y0 ).
 Cần nhớ: Tâm đối xứng của đồ thị bậc ba
cũng là trung điểm của hai điểm cực trị (nếu có).
Tâm đối xứng của đồ thị hàm nhất biến y 

ax  b
(c  0, ad  bc  0)
cx  d


 Tìm tiệm cận đứng x  

d

và tiệm cận ngang
c

a
, suy ra được tâm đối xứng của đồ thị
c
 d a
là: I   ;  (là giao điểm 2 tiệm cận tìm
 c c
được).
y

ax  b
(c  0, ad  bc  0)
cx  d
Cách 2: Trắc nghiệm
Thực hiện trên máy tính bỏ túi như sau:
aX  b
 F(X ) 
MODE 
 7 

 START :  19
cX  d

Điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm nhất biến y 
Cách 1: Tự luận
 Bước 1: Chia đa thức cho đa thức, ta viết
lại hàm số y   



.
cx  d
 Bước 2: Yêu cầu bài toán  cx  d là
ước số nguyên của

x
, suy
x
.......

Tìm ñöôïc


 END :  1 
 STEP : 1 . Ta dò tìm những hàng có F ( X )

nguyên thì nhận làm điểm cần tìm. Làm tương tự khi cho
START : 0 
 END : 18 
 STEP : 1 , ta sẽ bổ sung thêm các

điểm nguyên còn lại. Lưu ý: Học sinh muốn đạt được tính chính xác
ra các giá trị y tương ứng. Từ đây tìm
cao hơn thì có thể dò trên nhiều khoảng, mỗi khoảng có START và
được các điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ
END cách nhau 19 đơn vị. (Máy tính đời mới sẽ có bộ nhớ lớn hơn).
thị.
NHẬN DIỆN ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1.

Hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0 


 y  3a x 2  2b x  c
A

Hệ số
a
d

B

C

Dấu hiệu đồ thị
Nhánh phải đồ thị đi lên
Nhánh phải đồ thị đi xuống
Giao điểm với Oy nằm trên điểm O
Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O
Giao điểm với Oy trùng với điểm O

Kết luận

a0
a0
d 0
d 0
d 0

Đồ thị không có điểm cực trị nào

y   B   AC  b 2  3ac  0

Đồ thị có hai điểm cực trị

y   B   AC  b 2  3ac  0

2

2

B
2b
 0    0  ab  0
A
3a
B
2b
b, c
  0    0  ab  0.
Tâm đối xứng nằm bên trái Oy
A
3a
C
c
x1 x2  0   0 
 0  ac  0
Hai điểm cực trị nằm cùng phía Ox

A
3a
C
c
x1 x2  0   0 
 0  ac  0
Hai điểm cực trị nằm khác phía Ox
A
3a
 Chú ý: Đôi khi, ta thấy đồ thị đi qua điểm  x0 ; y0  cho trước, ta thay tọa độ này vào hàm số để có 1 phương
trình. Điều này đúng cho mọi hàm số.
2.
Hàm số bậc bốn trùng phương y  ax 4  bx 2  c  a  0 
Tâm đối xứng nằm bên phải Oy




 y  4ax 3  2bx  2 x  2ax 2  b 

Hệ số

Dấu hiệu đồ thị

Kết luận


a0
a0
c0

c0
c0
ab  0

Nhánh phải đồ thị đi lên
Nhánh phải đồ thị đi xuống
Giao điểm với Oy nằm trên điểm O
Giao điểm với Oy nằm dưới điểm O
Giao điểm với Oy trùng với điểm O
Đồ thị hàm số có ba cực trị

a
c

b

ab  0,  a  0 

Đồ thị hàm số có một cực trị
3.


 y 
Hệ số

ax  b
 c  0, ad  bc  0 
cx  d
ad  bc

Hàm số nhất biến y 

 cx  d 

Dấu hiệu đồ thị
Tiệm cận đứng nằm bên phải Oy

c và d
Tiệm cận đứng nằm bên trái Oy
Tiệm cận ngang nằm phía trên Ox
a và c
Tiệm cận ngang nằm phía dưới Ox
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên phải gốc O
a và b
Giao điểm của đồ thị với Ox nằm bên trái gốc O
Đồ thị đi qua gốc O(0;0)

b

Giao điểm của đồ thị với Oy nằm trên gốc O
b và d
Giao điểm của đồ thị với Oy nằm dưới gốc O
a, b, c, d

2

Kết luận

d
 0  cd  0

c
d
  0  cd  0
c
a
 0  ac  0
c
a
 0  ac  0
c
b
  0  ab  0
a
b
  0  ab  0
a
b0


b
 0  bd  0
d
b
 0  bd  0
d

Mỗi nhánh đồ thị đi lên (từ trái sang phải)

ad  bc  0

Mỗi nhánh đồ thị đi xuống (từ trái sang phải)

ad  bc  0

PHÉP SUY ĐỒ THỊ TỪ ĐỒ THỊ CÓ SẴN
1. Phép tịnh tiến và đối xứng đồ thị
Cho hàm y  f ( x) có đồ thị (C)
Đồ thị cần tìm

(C1 ) : y  f ( x)  a

Cách biến đổi

Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương
Oy lên phía trên a đơn vị.

Minh họa


(C2 ) : y  f ( x)  a

Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương
Oy xuống phía dưới a đơn vị.

(C3 ) : y  f ( x  a)

Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương
Ox qua trái a đơn vị.

(C4 ) : y  f ( x  a)

Tịnh tiến đồ thị (C ) theo phương
Ox qua phải a đơn vị.

(C5 ) : y   f ( x)

Lấy đối xứng (C ) qua Ox .

(C6 ) : y  f ( x)

Lấy đối xứng (C ) qua Oy .

2. Đồ thị hàm chứa giá trị tuyệt đối
a) Từ đồ thị (C ) : y  f ( x ) ta suy ra đồ thị (C1 ) : y  f ( x ) .
Ta có y

f ( x)

f ( x) neáu f ( x)
f ( x) neáu f ( x)

0
.
0

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm phía trên Ox , ta được (C ) .
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) phía dưới Ox qua Ox , ta được (C ) .
Kết luận: Đồ thị (C1 ) : y  f ( x) là hợp của (C ) với (C ). Xem ví dụ minh họa sau:

b) Từ đồ thị hàm số (C ) : y  f ( x) ta suy ra đồ thị (C2 ) : y  f  x  .
Ta có y

f ( x)

f ( x) neáu x
f ( x) neáu x

0
.
0

Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C ) nằm bên phải trục Oy , ta được (C ).
Bước 2: Lấy đối xứng phần đồ thị (C ) qua trục Oy , ta được (C ) .
(Đây là tính chất đối xứng của đồ thị hàm số chẵn)
Kết luận: Đồ thị (C2 ) : y  f  x  là hợp của (C ) với (C ). Xem ví dụ minh họa sau:

CÔNG THỨC BỔ TRỢ CHO QUÁ TRÌNH GIẢI TOÁN HÀM SỐ
Bổ trợ về tam thức bậc hai
Cho phương trình ax 2  bx  c  0 (*)

a  0
 (*) có hai nghiệm phân biệt  
 (*) có hai nghiệm trái dấu  a.c  0 .
  0
b

 S  x1  x2  a AÙp duïng 2
 Định lí Vi-ét : 
x1  x22  S 2  2P; x13  x23  S 3  3SP; ( x1  x2 )2  S 2  4P;

c
P  x x 
1 2

a

x1  x2  ( x1  x2 )2  S 2  4P . Trong trắc nghiệm, ta nên dùng công thức : x1  x2 


.
a

 (*) có hai nghiệm dương phân biệt
a  0,   0

.
 S  0, P  0

 (*) có hai nghiệm âm phân biệt
a  0,   0

.
 S  0, P  0
Bổ trợ hình học giải tích phẳng
 Khoảng cách từ điểm M ( xM ; yM ) đến

1
 AB  (b1; b2 )
 Nếu ABC có 
thì SABC  b1c2  b2c1

2
ax  byM  c

 AC  (c1; c2 )
.
 : ax  by  c  0 là d  M ;    M
a 2  b2
 ABC  tại A  AB.AC  0  b1c1  b2c2  0 .
 AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )2 .

 Đặc biệt: d  M ; Ox   yM , d  M ; Oy   xM .


IX. LŨY THỪA – MŨ VÀ LOGARIT
1. Công thức lũy thừa
Cho các số dương a, b và m, n 


 a0  1

an

a.a...........a với n 

*



n thöøa soá

 (a )  a
m n

mn

 (a )

n m

 a nb n  (ab) n

 a .a  a
m

n



a
a
 
n
b
b

an 

1
an

am
 a mn

n
a

m n

n

. Ta có:

n



m

an  a

n
m

 a a
 a a
3

1
2
1

3

(m, n 

*

)

2. Công thức logarit:
Cho các số a, b  0, a  1 và m, n  . Ta có:
 log a b    a  b

 lg b  log b  log10 b

 ln b  log e b

 log a 1  0

 log a a  1

 loga an  n

 log a bn  n log a b

 log am bn 

 log am b 

1
log a b

m

 log a (bc)  log a b  log a c

b
 log a    log a b  log a c
c

 log a b.logb c  log a c ,  b  1



log a c
 log b c ,  b  1
log a b

n
log a b
m

log b

a a  b
  log c
b
 c logb a

a
1
 log a b 

,  b  1
logb a

BÀI TOÁN NGÂN HÀNG
Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi chỉ được tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức là
1. Công
tiền lãi của kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là hình thức lãi
thức tính đơn. Ta có: T  A(1  nr ) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau
lãi đơn
kỳ hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A.
2. Công
thức lãi
kép

Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh sẽ được cộng vào tiền
gốc cũ để tạo ra tiền gốc mới và cứ tính tiếp như thế, đây gọi là hình thức lãi kép.
Ta có: T  A(1  r )n với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ

hạn n. Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm cả A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A.
3. Mỗi tháng gởi
Nếu đầu mỗi tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng
đúng số tiền giống
A
n
nhau theo hình
thì số tiền họ nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng là: T  1  r   1 1  r  .

r
thức lãi kép
Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng. Vào ngày ngân

4. Gởi tiền vào ngân
hàng tính lãi mỗi tháng thì rút ra X đồng. Số tiền thu được sau n tháng là:
hàng rồi rút ra hàng
n
1  r  1

n
tháng số tiền cố định
T  A 1  r   X
r
Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng. Sau đúng một tháng
kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng một tháng, mỗi lần hoàn
5. Vay vốn và trả góp nợ đúng số tiền X đồng. Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là:
n
(tương tự bài toán 4)
1  r  1

n
T  A 1  r   X
r


3. Hàm số lũy thừa, mũ và logarit:
HÀM LŨY THỪA

HÀM SỐ MŨ



yx

 Dạng:

y u

với u là đa



ya
ya

u

HÀM SỐ LOGARIT
y  log a x
a  0
.
 Dạng:
với 
y  log a u
a  1
 y  ln x ;
 Đặc biệt: a  e 

a  0
.
với 
a  1

 Tập xác định: D  .

thức đại số.

 Đạo hàm:

 Tập xác định:

y  a x 
 y  a x ln a
u

Nếu

ÑK

Nếu

ÑK

ÑK

.

u

0

Nếu

 Dạng:

x

u

0.

y  au 
 y  a u ln a. u
Đặc biệt:
e

0.

(e x )  e x
(eu )  eu . u

.

với

2,71828...

a  10 
 y  log x  lg x .
 Điều kiện xác định: u  0 .
 Đạo hàm:
1
y  log a x 

 y 
x ln a
.
u
y  log a u 
 y 
u ln a
Đặc biệt:

 Sự biến thiên: y  a .
x

 Đạo hàm:

Nếu a  1 thì hàm đồng biến

y  x 
 y   x


 1

y  u 
 y   u 1. u

trên

. Nếu 0  a  1 thì hàm

nghịch biến trên

.

1
x .
u
(ln u ) 
u
(ln x ) 

 Sự biến thiên: y  log a x . Nếu a  1 :
hàm đồng biến trên (0; ) . Nếu

0  a  1 : hàm nghịch biến trên
(0; ).

4. Đồ thị hàm số mũ và logarit:
ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ
ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT

 Ta thấy: a x  0  a  1; b x  0  b  1 .

 Ta thấy: loga x  0  a  1; logb x  0  b  1 .

 Ta thấy: c  c  1; d  d  1.
 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái
sang phải, trúng a x trước nên a  b .
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái
sang phải, trúng c x trước nên c  d .
 Vậy 0  b  a  1  d  c.

 Ta thấy: logc x  c  1; logd x  d  1.
 So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải
sang trái, trúng log b x trước: b  a.
 So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải
sang trái, trúng log d x trước: d  c.

x

x

 Vậy 0  a  b  1  c  d .

5. Phương trình mũ và logarit:
Phương trình mũ
1. Dạng cơ bản: a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)

Phương trình Logarit
1. Dạng cơ bản:
log a f ( x)  log a g( x)  f ( x)  g ( x)  0


2. Dạng logarit hóa:
a f ( x )  b  f ( x)  log a b
a f ( x )  b g ( x )  f ( x)  g ( x).log a b

(a, b  0, a  1)

3. Dạng đặt ẩn phụ:
 Đặt t  a f ( x )  0

 Đưa phương trình đã cho về bậc n theo t 

giải tìm t .
 Với t có được, thay vào t  a f ( x ) để tìm x .
a) Phương trình m.a 2 f ( x )  n.a f ( x )  p  0
• Đặt t  a f ( x )  0 .
• PT: mt 2  nt  p  0 .
b) Phương trình m.a

g ( x)

 n.b

g ( x)

 p.c

g ( x)

2. Dạng mũ hóa: log a f ( x)  b  f ( x)  ab
(không cần điều kiện)

3. Dạng đặt ẩn phụ:
 Đặt t  log a f ( x)
 Đưa pt đã cho về bậc n theo t 
 giải tìm t .
 Có t , thay vào t  log a f ( x) để tìm x .
a) Phương trình m loga 2 f ( x)  n loga f ( x)  p  0
• Đặt t  log a f ( x)

0

• PT: mt 2  nt  p  0
b) Phương trình m.log a f ( x)  n.log f ( x ) a  p  0

 n(a.b)  p.b
0
• Nhận dạng: ma
2 f ( x)
• Chia hai vế PT cho b
 0 , ta được
2 f ( x)

a
m 
b

2 f ( x)

a
 n 
b

f ( x)

f ( x)

 p0

2 f ( x)

• ĐK: f ( x)  0, f ( x)  1
1
• Đặt t  log a f ( x)   log f ( x ) a
t
n
• PT: mt   p  0  mt 2  pt  n  0
t
log a f ( x)
c) Phương trình đơn giản chứa
log b g ( x )

. (Xem a))

Chú ý: Ta có thể chia PT cho bất kỳ hàm mũ nào
trong ba hàm a g ( x ) ; b g ( x ) ; c g ( x )  , kết quả không
thay đổi.
c) Phương trình m.(a  b ) f ( x )  n(a  b ) f ( x )  p

• Nhận dạng: (a  b )(a  b )  a 2  b  1
• Đặt t  loga f ( x)  f ( x)  at
1
• Thay trở lại phương trình, ta có một phương
• Đặt t  (a  b ) f ( x ) , t  0   (a  b ) f ( x )
t
trình mới đơn giản hơn (chứa ít logarit hơn).
n
2
• PT: mt   p  mt  pt  n  0
t

6. Bất phương trình mũ và logarit:
Bất Phương trình mũ
Bất Phương trình Logarit

Dạng
cơ
bản:
a 1
a 1
 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
 log a f ( x)  log a g ( x)  f ( x)  g ( x)  0
 Dạng cơ bản:
0 a 1
0  a 1
 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
 log a f ( x)  log a g ( x)  0  f ( x)  g ( x)
Lưu ý: Cách nhận dạng bất phương trình mũ-logarit cũng giống với cách nhận dạng phương trình mũlogarit. Học sinh tham khảo kỹ mục 5 để có phương pháp giải bất phương trình một cách hiệu quả.

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN

X.

1. Công thức nguyên hàm:






k. f ( x)dx  k  f ( x)dx

1)



kdx  kx  C

2)



x dx 



f ( x)dx  F ( x)  C  F ( x)  f ( x)

  f ( x)  g ( x)dx  


x 1
C
 1


 1

1 (ax  b)
MR


  (ax  b) dx  .
a
 1

C



f ( x)dx   g ( x)dx



2dx  2 x  C



x4
x dx   C
4



3

(1  2 x)10 dx 









f ( x)dx  f ( x)  C

(3)dx  3x  C
3





xdx  

1
2

x2
2 3
x dx 
C 
x C
3/ 2
3

1 (1  2 x)11
(1  2 x)11
.
C 

C
2
11
22


3)



1
1
1
MR
dx  ln x  C 

dx  ln ax  b  C
x
ax  b
a

4)



1
1
1
1 1
MR

dx    C 

dx  .
C
2
2
x
x
(ax  b)
a ax  b

x3
1
 2 1 1

x



10
dx

 ln x   10 x  C
  x x2 
3
x
1 ax b
MR
x
x

ax b
C
5)  e dx  e  C   e dx  e
a




6)

MR





7)






sin xdx   cos x  C

cos xdx  sin x  C

 3sin x  2cos x  dx  3cos x  2sin x  C

1

MR
2

 1  tan  ax  b dx  a tan  ax  b   C

1
2
 sin 2 x dx   1  cot x  dx   cot x  C
1
1
MR


dx   cot  ax  b   C
2
sin  ax  b 
a

10)

1
MR
2

 1  cot  ax  b dx   a cot  ax  b  C







x5  1
1
x5

dx    x 4   dx   ln x  C
x
x
5

1
e x dx  e x  C  e x  C
1

5x
C
ln 5





1
dx   1  tan 2 x  dx  tan x  C
9) 
2
cos x
1
1

MR


dx  tan  ax  b   C
2
cos  ax  b 
a





1
1 1
1
dx  .
C  
C
2
(2 x  3)
2 2x  3
4x  6

1 32 x 5
32 x 5
32 x 5 dx  .
C 
C
2 ln 3
2ln 3

























x 1

9x
C
ln 9

1
1
6x
x
2 .3 . dx   6 dx 
C
3
3
3ln 6
x

x


1



sin  4 x   dx   cos  4 x    C
2
4
2



2

1







cos   x  dx  sin   x   C   sin   x   C
1  3
3


3

a 1; b 



32 x dx   9 x dx 

2 .3 dx  
x

a  4; b  

1
MR

  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C
a








1
MR

  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C
a
8)



1

5x dx 

ex1  2 exdx   e2x1  2ex  dx  12 e2x1  2ex  C





ax
C
ln a
1 abx c
abx c dx  .
C

b ln a

a x dx 

1

 1  3x dx  3 ln 1  3x  C




3

sin 2 xdx  

1
1
1
1  cos 2 x  dx   x  sin 2 x   C
2
2
2


1  2cos 2 x
 1

dx   
 2  dx  tan x  2 x  C
2

2
cos x
 cos x

1
1
dx  tan 3x  C
2
cos 3x
3





1  tan 2   2 x   dx  1 tan   2 x   C


2
a   2; b   






x sin 2 x  1
1 
x2


dx

x

dx

 cot x  C
  sin 2 x 
sin 2 x
2









1
1
dx   cot 8x  C
2
sin 8x
8
1  cot 2 3x  dx   13 cot 3x  C



1

sin 2 x  cos 2 x
1 
 1
dx  
dx   
 2  dx  tan x  cot x  C
2
2
2
2
2
sin x cos x
sin x cos x
 cos x sin x 

2. Tích phân:




a) Định nghĩa:

b

a

f  x  dx  F  x   F  b   F  a  với F  x  là một nguyên hàm của f  x  trên  a; b  .
b

a

b) Tính chất:



a



b

a

a

f  x  dx  0



b



b

f  x  dx   f  x  dx
a

a

kf  x  dx  k  f  x  dx (k là hằng số)
b

a

a

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx
c

b

c

a

a

b

Nếu f  x   0, x   a; b  thì

b

 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx
a
a
b

b

 f  x  dx   f t  dt   f u  du
b

b

b

a

a

a

 f  x  dx  0.
b

a

Nếu f  x   g  x  , x   a; b  thì

 f  x  dx   g  x  dx.
b

b

a

a

 Đặc biệt:


Nếu hàm y  f  x  là hàm số lẻ trên   a; a  thì



Nếu hàm y  f  x  là hàm số chẵn trên   a; a  thì



a

a

f  x  dx  0.



f  x  dx  2 f  x  dx .

a

a

a

0

3. Phương pháp tính tích phân:

a) Phương pháp tích phân từng phần:
b

b

b

a

a

a

Quy tắc chung: I   u.dv  uv   vdu . Ta xét các dạng phổ biến sau:
 Dạng

 P  x  .Q  x  .dx với
b

a

P  x  là đa thức đại số, Q  x 

Minh họa:




mũ.


u  P  x 
 

dv  Q  x  dx
du  P  x  dx


.
v   Q  x  dx

du

2dx

v

sin xdx

choïn C 0

b

b

b

a

a

a

   2 x  1 cos x


2



  2 2 cos xdx  ......
0

0



J   1  x  e2 x dx .
1

0

Đặt

u
dv

1

x

e dx
2x

du

dx

v

e2 x dx

động chọn 1 giá trị C có lợi cho
tính toán sau này.
 Dạng

 P  x  .Q  x  .dx với
b

a

cos x

Ta có: I   u.dv  uv   vdu

PP

quả có dạng R  x   C , ta chủ

0

u  2 x  1
Đặt 
dv  sin xdx

là hàm lượng giác hoặc hàm

Lưu ý: v   Q  x  dx nên kết

I   2  2 x  1 sin xdx .

1 2x .
e
2
choïn C 0

J

11
1
1
1  x  e2 x  0 e2 x dx  ......
0
2
2

Minh họa:

.

P  x  là đa thức đại số hoặc



phân thức, Q  x  là hàm
logarit.


u  Q  x 
PP



dv  P  x  dx
du  Q  x  dx


.
v

P
x
dx


 



e

I   x2 ln xdx .
1

1

du  x dx
u  ln x

Đặt 
.
2
3
dv  x dx v  x 2 dx  x
 
3
3
3
3
e x
e
x
1
e 1 e
I  ln x  
. dx    x 2 dx  ......
1 3 x
1
3
3 3 1

e
ln x
.
J 
2
1
 x  1
u

Đặt

dv

du

ln x
1
(x

1)

2

dx

v

1
dx
x

1
x 1

1

x
x

.
1

choïn C 1

J

e
e
e
x
x 1
e
ln x  
. dx 
 ln x  1  ...
1 x 1 x
1
1
x 1
e 1

b) Phương pháp tích phân đổi biến:
 Đổi biến loại 1: Xét tích phân dạng I   f u  x  .u  x  dx .
a
b

PP

 Đặt t  u  x   dt  u  x  dx . Đổi cận: x  a  t1  u  a  , x  b  t2  u  b  .

Khi đó tích phân cần tính là: I   f  t  dt . Ta xét các dạng phổ biến sau:
t2

t1

1) Dạng I   f ( x n ) x n1dx .
b

a

PP

 t   x n   (hoặc t  x n )

I 

0





2) Dạng I   f
b

a

 u  . u.dx .
n

PP

t  n u  tn  u .

b
1 1
3) Dạng I   f   . 2 .dx .
a
 x x
1
PP

 t   .   hay
x
1
1
t  ; t  n    v.v…
x
x

1

1
x 2 dx
x 1
3

1
Đặt t  x3  1  dt  3 x 2dx  x 2dx  dt .
3
Đổi cận: x  0  t  1, x  1  t  2 .
21 1
Ta có: I   . dt  ......
1 t 3

I 

0

7

3

x 2  1. xdx



Đặt t  3 x 2  1  t 3  x 2  1  3t 2 dt  2 xdx
3
 xdx  t 2 dt . Đổi cận:
2

x  0  t  1, x  7  t  2 .
2 3
3 2
 I   t. t 2 dt   t 3dt  ......
1
2
2 1
4
1 1
I   1  . 2 dx
1
x x
1
1
1
 Đặt t  1   t 2  1   2tdt  2 dx .
x
x
x


3
2 2

Ta có: I  2 t .dt  ......
0


4) Dạng I   f
b

a

 x.

1
.dx .
x

 t   x   hay t  x ...

I 

PP



 

b

a

PP

 t   e x   hay t  e x .

6) Dạng I   f  ln x  .
b

a

1
.dx .
x

PP

 t   ln x   hay t  ln x .

7) Dạng I   f (sin x ). cos xdx
b

a

PP

 t   sin x   hay t  sin x .

b

a

 t   cos x   hay t  cos x
PP



x 1

1
dx
x

.

2

Đặt t  x  1  dt 

1
2 x

dx  2dt 

1
dx .
x

Ta có: I  

3

2

 1
1   dt  ......
2 
 t
e2 2ln x  1

e2
1
I 
 I    2ln x  1 . dx .
dx 
1
1
x
x
1
 Đặt t  ln x  dt  dx .
x
e 1



I 



Khi đó I    2t  1 dt   t 2  t   ......


I 2
0




8) Dạng I   f (cos x ). sin xdx .



1

1
.2dt  ...... .
t2
2x
x
1 e
1 e
I   x dx 
 I   x e x dx .
0 e 1
0 e 1
x

e 1 t  1
dt  e dx
x
 Đặt t  e  1   x
. Khi đó: I  
dt .
2
t

e  t  1


5) Dạng I   f e x . e x .dx .

4

1

2

2

0

0

cos x
dx
1  2sin x

1
Đặt t  1  2sin x  dt  2cos xdx  dt  cos xdx .
2
1
dt
3
3
1
2
 ln t  ...... .
Khi đó I  
1

1
t
2


I   2  cos 2 x  cos x  1 sin xdx
0




 I   2  2cos 2 x  cos x  sin xdx .
0



9) Dạng I   f (tan x )
b

a

1
dx .
cos 2 x

PP

 t   tan x   hay t  tan x .

10) Dạng I  

b

a

1
f (cot x )
dx .
sin 2 x

PP

 t   cot x   hay t  cot x .

Đặt t  cos x  dt   sin xdx  dt  sin xdx .

Khi đó: I    2t 2  t  (dt )    2t 2  t  dt  ......
0

1

1



I  3
0

0

3

tan x
dx
cos2 x
1
dx .
cos2 x



Đặt t  tan x  dt 



Khi đó: I   t 3dt  ......
3

0


cot x  1
cot 2 x  1 1
3
I  
dx 
 I  
.
dx .
2

cot x sin 2 x
4 cot x.sin x
4
1
1
 Đặt t  cot x  dt   2 dx  dt 
dx .
sin x
sin 2 x
1 2
t 1
 I  3
 dt   ......
1
t


3

2


11) Dạng I  

b

a



 sin 2 x 


f  cos 2 x  sin 2 x .dx .
 cos 2 x 



I   4  sin 2 x  3 sin 2 xdx
0

t  sin 2 x

dt  sin 2 x.dx
PP

 t  cos 2 x  dt   sin 2 x.dx
t  cos 2 x
dt  2sin 2 x.dx



Đặt t  sin 2 x  dt  2sin x(sin x)dx  sin 2 xdx .



Ta có: I   2  t  3 dt  ......

1

0

 Đổi biến loại 2: Xét tích phân dạng I   f  x  dx trong đó f  x  phức tạp và không thể tính nguyên hàm
b

a

trực tiếp. Đổi biến loại 2 là ta đặt: x  u  t   dx  u  t  dt . Ta xét 4 dạng phổ biến sau:
1) Dạng I  

x2
x1

f ( a 2  x 2 )dx .

I 

1

2

4  x2

0

PP

 x  a sin t (hay x  a cos t ).

dx

 Đặt x  2sin t  dx  2cos tdt . Đổi cận:
x  0  t  0, x  2  t 



2

. Ta có:

4  x 2  4  4sin 2 t  4cos 2 t  2cos t
0

 
do t  0;  .
 2



2cos tdt

  2 dt  .
0
2cos t
2

 Ta có: I   2
0

2) Dạng I  

x2
x1

f ( a 2  x 2 )dx

 1 
f 2
dx .
2 
a x 
PP

 x  a tan t .
hay



x2

x1

1
dx
0 x 9
 Đặt x  3tan t  dx  3(1  tan 2 t )dt .

I 

3

2

 Đổi cận: x  0  t  0, x  3  t 

.
4
 Khi đó: x 2  9  9 tan 2 t  9  9(tan 2 t  1) .
 Vậy I 

3) Dạng I  
PP

x 

x2
x1

f ( x 2  a 2 )dx

a
a
hay x 
sin t
cos t







4
0

3(1  tan 2 t )dt 1 4

  dt  .
2
9(tan t  1)
3 0
12

x2  4
I 
dx
2
x
2
2sin t
 Đặt x 
 dx 
dt .
cos t
cos2 t
4


 Đổi cận: x  2  t  0, x  4  t  .
3


3
0

 Khi đó: I  

 2



3
0

4
4

2sin t
cos 2 t
. 2 dt  2 3 tan 2 t.dt
0
2
cos t
cos t


2
 1

 1 .dt  2  tan t  t  3  2 3 

.

2
3
 cos t 
0


 a x 
f 
 dx
x1
 a x 
PP

 x  a cos 2t .

4) Dạng I  

x2

I 

2

0

2 x
dx
2 x

 Đặt x  2cos 2t  dx  4sin 2t.dt  8sin t.cos t.dt

 Đổi cận: x  0  t  , x  2  t  0.

4
2 x
2  2cos 2t
1  cos 2t sin t
Ta có:



.
2 x
2  2cos 2t
1  cos 2t cos t


sin t
4
sin t.cos tdt  8 4 sin 2 tdt  ......
 I  8
0 cos t
0

4. Ứng dụng tích phân để tính diện tích – thể tích:
 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) , trục
 Hình phẳng giới hạn bởi các đường y  f ( x) ,
y  g ( x) , x  a, x  b thì có diện tích:

Ox , x  a, x  b thì có diện tích:
S   f ( x) dx
b

a

S   f ( x)  g ( x) dx

 y  f ( x)
 Khi xoay hình phẳng 
quanh Ox , ta
 x  a, x  b
được khối trụ tròn có thể tích

 y  f ( x)

 Khi xoay hình phẳng  y  g ( x)
quanh Ox , được
 x  a, x  b


b

V    f 2 ( x)dx

b

a

khối trụ tròn có thể tích V  

a



b

a

f 2 ( x)  g 2 ( x) dx .

 Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x  a, x  b . Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích
b

S ( x) (là hàm liên tục trên [a;b]). Thể tích khối này trên  a; b  là: V  a S ( x)dx .

5. Công thức chuyển động:
Xét hàm quảng đường S (t ), hàm vận tốc v(t ) và hàm gia tốc a(t ) . Ba hàm này sẽ biến thiên theo t .
 S (t )   v(t )dt  v(t )  S (t )

 v(t ) 



a(t )dt  a(t )  v(t )

[

XI. SỐ PHỨC VÀ CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN
a, b 

Số phức có dạng: z  a  bi với  2
(i: là đơn vị ảo). Ký hiệu tập số phức:
 i  1
Thành phần
Hình học
Minh họa
 Phần thực: a.
Nếu a  0 thì z  bi được gọi là
 Điểm M (a; b) biểu diễn
số thuần ảo.
cho z trên hệ trục Oxy.
 Phần ảo: b.
 Mô-đun:
Nếu b  0 thì z  a là số thực.
z  OM  a 2  b2 .
 Khi a  b  0 thì z  0 vừa là số
thuần ảo vừa là số thực.

.


Số phức liên hợp – Hai số
phức bằng nhau
Cho z  a  bi và z  a  bi
Khi đó:
 Số phức liên hợp của z là
z  a  bi .
 a  a
 z  z  
.

b  b

Căn bậc hai

Phương trình bậc hai
 Phương trình z 2  a  0 có hai
nghiệm phức z   a .
 Phương trình z 2  a  0 có hai
nghiệm phức z  i a .
 Phương trình az 2  bz  c  0 (a  0)
với   0 sẽ có hai nghiệm phức là:
b  i 
z1,2 
.
2a

 Căn bậc hai của a  0 là  a .
 Căn bậc hai của a  0 là i a .
 Căn bậc hai của số phức
z  a  bi là hai số phức dạng
 x2  y2  a
w  x  yi với 
.
 2 xy  b

a  0
 z0
.
b  0

Cho hai số phức z1 , z2 , có:
▪ z1 z2  z1 . z2 .

Công thức bổ trợ

▪

z
z1
 1 với z2  0.
z2
z2

▪ z1  z2  MN với M, N theo thứ tự là hai điểm biểu diễn cho z1 , z2 .
Dấu hiệu cơ bản nhận biết tập hợp điểm M biểu diễn cho số phức z
 ax  by  c  0  Tập hợp điểm M một là đường thẳng.
 x  a 2   y  b 2  R 2
2
2
KL


 Tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R  a  b  c .
2
2
 x  y  2ax  2by  c  0
 x  a 2   y  b 2  R 2
2
2
KL



 Tập hợp điểm M là hình tròn tâm I  a; b  , bán kính R  a  b  c .
2
2
 x  y  2ax  2by  c  0
 y  ax 2  bx  c KL

 Tập hợp điểm M là đường parabol.
2
 x  ay  by  c
x2 y 2
KL
 2  2  1 
 Tập hợp điểm M là đường elip.
a b
Đặc biệt: Nhận biết ngay không cần biến đổi.
KL
 z   a  bi   m  0 
 Tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I  a; b  , bán kính R  m .
KL

KL
 z   a1  b1i   z   a2  b2i   MA  MB 
 Tập hợp điểm M là đường trung trực đoạn thẳng AB.

A a1 ;b1 , B a2 ;b2 

KL
 z   a1  b1i   z   a2  b2i   2a  MF1  MF2  2a 

 Tập hợp điểm M là đường elip với hai tiêu điểm F1 , F2 .

0

0

F1  a1 ;b1 , F2  a2 ;b2 
F1F2  2 a

XII. KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG
A – MỘT SỐ HÌNH PHẲNG CƠ BẢN:
1. Tam giác vuông:

Pitago

▪ AB  AC
2

A

2

 BC 2

▪ sin B 

H

AC
(đối/huyền)

BC

C

▪ cos B 

▪

1
1
1


 AH 
2
2
AH
AB
AC 2

AB
(kề/huyền)
BC

SABC 

▪ AH 2  BH .CH

▪ AC 2  CH .BC

B

▪ AB 2  BH .BC

▪ tan B 

1
AB. AC
2
1
 AH .BC
2

AB. AC
AB 2  AC 2

AC
(đối/kề)
AB

▪ cot B 

AB
(kề/đối)
AC


2. Tam giỏc u:

Gi s tam giỏc ABC u cú cnh a; trng tõm G; cỏc ng cao (trựng

vi trung tuyn) gm AH , BK .

A

ng cao: AH

a
a

K

AG

G

B

BK

H

C
a

3. Tam giỏc thng:

(caùnh)
2

a 3

.
2

3

2
2 a 3 a 3
1
1 a 3 a 3
AH .

; GH AH .

.
3
3 2
3
3
3 2
6

(caùnh)2
3
a2 3
.
ABC
4
4
Gi s tam giỏc ABC cú a BC, b AC, c AB ; cỏc ng cao

Din tớch: S

ha , hb , hc ln lt ng vi cnh a, b, c. Ký hiu R, r ln lt l bỏn kớnh
ng trũn ngoi tip v ni tip .
a
b
c
nh lớ Sin:


2R .
sin A sin B sin C
nh lớ Cụ-sin: a 2 b2 c 2 2bc.cos A ;
b2 a 2 c 2 2ac.cos B; c 2 a 2 b 2 2ab.cos C.
1
1
1
1
1
1
Din tớch: SABC ha .a hb .b hc .c ; SABC ab.sin C ac.sin B bc.sin A ;
2
2
2
2
2
2
abc
a b c
(na chu vi).

SABC
pr ; S ABC
p( p a)( p b)( p b) vụựi p
2
4R
Coõng thửực Heõ Roõng

4. Hỡnh vuụng:

Cho hỡnh vuụng ABCD cú cnh a; hai im M , N ln lt l trung im
ca CD, AD; I l tõm hỡnh vuụng.
ng chộo:

I

5. Hỡnh ch nht:

AC

BD

AC

BD

(caùnh)

2

a 2

.

a 2
nờn I l tõm ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng.
2
Din tớch: SABCD (caùnh)2 a2 ; chu vi: p 4a.
Vỡ ABN ADM , ta chng minh c: AM BN .
IA IB IC ID

Cho hỡnh ch nht ABCD tõm I cú AB a, AD b.
ng chộo: AC BD a 2 b 2 .
1 2 2
IA IB IC ID
a b nờn I l tõm ng trũn i qua bn im
2
A, B, C , D.

Din tớch: S ABCD a.b ; chu vi: p 2(a b).
6. Hỡnh thoi:

Cho hỡnh thoi ABCD cú tõm I , cnh bng a.
ng chộo: AC BD; AC 2 AI 2 AB.sin ABI 2a.sin ABI .
1
Din tớch: S ABCD AC.BD ; S ABCD 2SABC 2SACD 2SABD .
2
c bit: Nu hỡnh thoi cú gúc B D 600 ( A C 1200 ) thỡ ta chia hỡnh
thoi ra lm hai tam giỏc u: ABC ACD; AC a v

SABC SACD

a2 3
a2 3
; S ABCD 2SABC
.
4
2

B TH TCH KHI CHểP: