Cấp số nhân-Lớp 11

1
CẤP SỐ NHÂN
Giáo viên: Nguyễn Quang vinh
Tổ: Toán – Tin
Trường THPT Vũ Tiên- Thái Bình
2
VÍ DỤ MỞ ĐẦU
Cho hai dãy số sau:
1, Dãy hữu hạn: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64.
2, Dãy vô hạn: 3, 9, 27, …, 3
n
,…
Tìm quy luật của
hai dãy số trên ?
3
Trả lời:
Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích
của số hạng đứng liền trước với hằng số -2.
Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích
của số hạng đứng liền trước với hằng số 3.
Dãy số thứ nhất: 1, -2, 4, -8, 16, -32, 64.
Tính chất chung
Dãy số thứ hai: 3, 9, 27, …, 3n,…
Hai dãy số trên được gọi là các cấp số nhân
Kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng tích của
số hạng đứng liền trước với hằng số không đổi
4
1.Định nghĩa.
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn)
mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng
đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó và

một số q không đổi, nghĩa là:
(u
n
) là cấp số nhân ⇔ ∀n ≥ 2, u
n
= u
n-1
.q
q: gọi là công bội.
Nhận xét
Cấp số nhân hoàn toàn xác định khi biết một
phần tử u
k
và q.
5
Ví dụ 1.
Cho cấp số nhân có u
1
= -3 và q = -2
Tính các phần tử u
4
, u
5
?
Lời giải.
2 1
. ( 3).( 2) 6u u q
= = − − =
3 2
. (6).( 2) 12u u q

= = − = −
4 3
. ( 12).( 2) 24u u q
= = − − =
5 4
. (24).( 2) 48u u q
= = − = −
6
Nhận xét.
- Nếu q = 0 thì u
n
= 0, ∀n ≥ 2.
- Nếu q = 1 thì u
n
= u
1
, ∀n ≥ 1.
Dãy (u
n
) là dãy hằng số.
7
Đáp án
Bắt đầu

Tìm dãy số lập thành cấp số nhân
Ví dụ 2
A. 2, -4, 8, 16, -32, 64
B. 4, 0, 0, 0, …,0,…
C. 0, 3, 0, 0,…, 0,….
D.

1
,
2
−
1
,
6
−
1
,
18
−
1
,
54
−
1
,
162
−
Đáp án: B (q=0), D(q=1/3)
8
Ví dụ 3
Cho dãy (u
n
) xác định bởi: u
1
=2, u
n
=3u

n-1
+2,∀n ≥1.
CMR dãy (v
n
) lập thành cấp số nhân.
Đặt v
n
= u
n
+1,∀n ≥1.
Lời giải
⇒
u
n-1
= v
n-1
-1
Ta có: ∀n ≥1, v
n-1
= u
n-1
+1
⇒
v
n
= u
n
+ 1=(3u
n-1
+2)+1

= 3(u
n-1
+1) = 3.v
n-1
⇒
Dãy (v
n
) lập thành cấp số nhân với công bội q = 3.
9
2. Tính chất
Định lí 1.
Nếu (u
n
) là một CSN thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi
số hạng bằng tích của hai số hạng đứng kề nó
trong dãy, tức là: u
k
2
=u
k-1
.u
k+1
Chứng minh.
- Nếu q = 0 thì có CSN: u
1
, 0, 0, …, 0,…
Khi đó hiển nhiên có tính chất: u
k
2
= u

k-1
.u
k+1
, k ≥ 2.
- Nếu q ≠ 0 thì định nghĩa CSN ta có:
1
. ( 2)
k k
u u q k
−
= ≥
1
( 2)
k
k
u
u k
q
+
= ≥
⇒ u
k
2
= u
k-1
.u
k+1