Tăng cường khả năng giải bài toán thực thế có áp dụng đạo hàm cho học sinh lớp 12

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
MÔ TẢ SÁNG KIẾN
Mã số (do Thường trực Hội đồng ghi): …….
1. Tên sáng kiến: Tăng cường khả năng giải bài Toán thực thế có áp dụng đạo
hàm cho học sinh lớp 12.
2. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến :Giải pháp tác nghiệp
3. Mô tả bản chất của sáng kiến:
3.1. Tình trạng giải pháp đã biết: Với xu hướng hiện nay việc dạy và học
ở trường phổ thông đối với những môn tự nhiên càng ngày xác định rõ nội dung
chương trình phải gắn liền với thực tế, kết hợp sự liên quan một cách chặt chẽ nội
môn hoặc liên môn. Môn Toán là môn thể hiện rõ nhất trong vấn đề này, chính vì
thế mà những năm gần đây những bài toán thực tế ngày càng xuất hiện nhiều hơn
trong các đề thi, bài toán thực tế rất đa dạng tuy nhiên với học sinh việc vận dụng
kiến thức toán đặc biệt là kiến thức đạo hàm để giải các bài toán thực tế thường
gặp rất nhiều khó khăn, nguyên nhân do chưa biết cách phân tích đưa bài toán thực
tế về dạng kiến thức nào đã học để vận dụng, việc học toán và làm toán trước đây
mang tính máy móc công thức nên cũng phần nào hạn chế cách tiếp cận bài toán
thực tế của học sinh, đề trắc nghiệm bài toán thực tế lại dài gây tâm lý ngại giải vì
tốn thời gian cho học sinh.
3.2. Nội dung giải pháp đề nghị công nhận là sáng kiến.
- Mục đích của giải pháp :
+ Phân loại được các dạng bài tập có áp dụng kiến thức đạo hàm để giải,
phân tích hướng giải từng dạng bài qua đó học sinh có phản xạ hình thành hướng
giải nhanh các bài toán dạng này.
1


+ Đáp ứng yêu cầu thi cử hiện nay đặc biệt là các dạng bài toán trắc nghiệm,
bài toán thực tế có áp dụng đạo hàm thường ra trong các kỳ thi, phần nào cũng
giúp học sinh thấy được sự gần gũi và tính ứng dụng cao giữa lý thuyết toán và

thực tiễn, giữa Toán học và các môn học khác.
- Nội dung giải pháp
+ Điểm mới của sáng kiến:
Chỉ ra được dạng bài như thế nào thì thường có áp dụng đạo hàm, đó là
những bài có câu hỏi dạng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhỏ nhất, hiểu quả tốt
nhất, thiệt hại ít nhất, hoặc biến thiên.
Đưa ra được cách tiếp cận bài toán một cách lôgic có hệ thống theo sơ đồ
mang tính đặc thù của kiến thức có vận dụng đạo hàm.
+ Sự khác biệt của giải pháp mới so với giải pháp cũ:
Giải pháp mới có đưa ra sơ đồ hướng giải, đồng thời qua mỗi bài toán ví dụ
có sự phân tích cách giải để học sinh tích lũy kinh nghiệm giải bài toán thực tế,
đồng thời cũng đề cập tương đối đầy đủ các dạng bài tập thường gặp trong thực tế
để học sinh rèn luyện.
Qua việc rèn luyện những bài toán thực tế có ứng dụng đạo hàm mang tính
chuyên sâu của giải pháp học sinh sẽ thấy sự rất gần gũi giữa lý thuyết và thực tế,
từ đó không còn lúng túng phải bắt đầu giải quyết những dạng bài lạ này từ đâu và
giải quyết như thế nào, dạng nào cần áp dụng lý thuyết đạo hàm.
+ Cách thực hiện:
Qua tìm hiểu, tổng hợp và phân tích, các bài toán thực tế liên quan đến việc sử
dụng đạo hàm có thể chia thành 2 phần lớn:
Một là, các bài toán thực tế đã được mô hình hóa bằng một hàm số toán
học. Qua các ví dụ minh họa sau đây, những dạng toán thường gặp là gì ? Các
lĩnh vực khoa học khác đã ứng dụng đạo hàm như thế nào trong việc giải quyết bài
toán mà họ đã đặt ra ?
2


Hai là, các bài toán thực tế mà mô hình thực tiễn chưa chuyển về mô hình
toán học. Như chúng ta biết, để có thể ứng dụng đạo hàm của hàm số thì trước
tiên ta phải “thiết lập được hàm số”. Như vậy ta có thể mô tả quy trình mô hình

hóa dưới đây

Ta có thể cụ thể hóa 3 bước của quá trình mô hình hóa như sau:
Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình
Toán học cho vấn đề đang xét, tức là diễn tả “dưới dạng ngôn ngữ Toán học” cho
mô hình mô phỏng thực tiễn. Lưu ý là ứng với vấn đề được xem xét có thể có
nhiều mô hình toán học khác nhau, tùy theo các yếu tố nào của hệ thống và mối
liên hệ giữa chúng được xem là quan trọng ta đi đến việc biểu diễn chúng dưới
dạng các biến số, tìm các điều kiện tồn tại của chúng cũng như sự ràng buộc, liên
hệ với các giả thiết của đề bài.
Bước 2: Dựa vào các kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế như trong kinh
tế, đời sống, trong khoa học kỹ thuật như Vật lý, Hóa học, Sinh học,... Ta thiết lập
hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo một biến hoặc nhiều biến. (Ở đây trong nội
dung đang xét ta chỉ xét với tính huống 1 biến).
Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm của hàm số để khảo sát và giải quyết bài
toán hình thành ở bước 2. Lưu ý các điều kiện ràng buộc của biến số và kết quả thu
được có phù hợp với bài toán thực tế đã cho chưa .
Bài toán 1(hình học). Từ một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước là a�b với a < b .
Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau ở 4 góc rồi gò thành một hình hộp chữ
nhật không có nắp. Hỏi cạnh của hình vuông cắt đi phải bằng bao nhiêu để hình
hộp đó có thể tích lớn nhất ?
 Phân tích:
● Trước tiên, với câu hỏi của bài toán thì ta nên đặt x chính là cạnh của hình
vuông cắt đi. Như vậy ta cần tìm điều kiện giới hạn của biến số x . Do đó 1 cạnh
của tấm nhôm sau khi bị cắt trở thành

a  2x  0 � x 

3

a
a
0x
2 nên ta có
2.


● Và đồng thời ta cũng có được cạnh của tấm
nhôm còn lại là b  2x  0 . Đến đây ta cần thiết lập
công thức tính thể tích khối hộp

V  x a  2x  b  2x

max V  x  ?

● Bài toán trở thành tìm

� a�
x��
0; �
� 2�

. Mời bạn đọc xem lời giải !
Hướng dẫn giải.

● Gọi x là cạnh của hình vuông cắt đi, ta phải có điều kiện
Khi đó thể tích hình hộp là

0 x 

a
2.

V  x  a  2x  b  2x  4x3  2 a  b x2  abx  V  x

max V  x  ?

● Bài toán trở thành tìm
Đạo hàm

� a�
x��
0; �
� 2�

V'  f'  x  12x2  4 a b x  ab





'  4 a b  12ab  4 a2  ab b2  0
2

Ta có
Do đó

.

x1 

với mọi
V'  0 luôn có hai nghiệm phân biệt
a b a2  ab b2
a b a2  ab b2
 x2 
6
6

Theo định lý Vi-et, ta có

�
a b
x x 
0
�
�1 2
3
�
�x x  ab  0
�1 2 12

a, b .

.

b

x

a

suy ra 0  x1  x2 .
Hơn nữa, ta có
Bảng biến thiên

�a � �a �
V ' � � f' � � a2  ab  a a b  0
�2 � �2 �
.
x

a
2

x1

0

V'  x

0





max

V  x

● Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

Do đó

0  x1 

V

đạt giá trị lớn nhất khi

4

a
x
2 2.

.


x  x1 

a  b  a2  ab  b2
.
6

Bài toán 2.(vật lý) Một chất điểm chuyển động theo quy luật  
,s
tính theo mét, t tính theo giây. Trong 5 giây đầu tiên, thời điểm t mà tại đó vận tốc
của chuyển động đạt giá trị lớn nhất là:

A. t  3 .
B. t  1.
C. t  2 .
D. t  4 .
 Phân tích:
s t  6t2  t3  9t  1

v t  s ' t
● Với kiến thức Vật lý đã học, ta biết  
. Do đó để tìm giá trị lớn nhất

trong 5 giây đầu tiên

t � 0;5

thì ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm đã học.
Hướng dẫn giải

v t  s'  t  12t  3t2  9,v'  t   6t  12,v'  t   0 � t  2

.

Lập bảng biến thiên ta có:
t
v'  t

0

5

2
0





3

v  t

max v  t   v  2   3

Dựa vào bảng biến thiên ta có t� 0;5
. Đáp án C.
Bài toán 3(Kinh Tế). Giám đốc của một nhà hát A đang phân vân trong việc xác
định giá vé xem các chương trình được trình chiếu trong nhà hát. Việc này rất
quan trọng, nó sẽ quyết định nhà hát thu được lợi nhuận hay bị tổn thất. Theo
những cuốn sổ ghi chép của mình, Ông ta xác định rằng: nếu giá vé vào cửa là 20
USD/người thì trung bình có 1000 người đến xem. Nhưng nếu tăng tiền vé lên
thêm 1 USD/người thì sẽ mất đi 100 khách hàng trong số trung bình. Biết rằng,
trung bình, mỗi khách hàng dành 1,8USD cho việc uống nước trong nhà hát. Hãy
giúp giám đốc nhà hát này xác định xem cần tính giá vé vào cửa là bao nhiêu để
thu nhập là lớn nhất ?
 Phân tích:
● Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa ( 20USD ).
Nếu x  0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé.

5

● Khi đó tổng thu nhập của nhà hát sẽ bao gồm thu nhập từ việc bán vé và bán
nước uống. Dĩ nhiên khi tăng giá vé lên thì sẽ tác động đến việc nhu cầu xem phim
ở rạp. Và lợi nhuận từ việc bán nước lại phụ thuộc vào số người đi xem.
Hướng dẫn giải.
Gọi x là số tiền cần tăng thêm của giá vé vào cửa ( 20USD ).
Nếu x  0 thì có nghĩa là ta nên giảm giá vé.
Khi đó tổng thu nhập của nhà hát gồm thu nhập từ việc bán vé và bán nước uống.
Ta xác định như sau:

R  x   1000  100x  20  x  1,8 1000  100x

� R  x  100x2  1180x  21800

.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số
R'  x  200x  1180,R'  x  0 � x  

Lại có

R''  x  200  0,x

R  x

với x��

59
 5,9  0
10

.

.

   
Do đó
(USD)
Vậy, để tổng thu nhập là lớn nhất, nhà hát nên tính giá tiền mỗi vé là
20  5,9  14,1 (USD). Giá vé này sẽ hấp dẫn nhiều người đến xem hơn.
maxR x  R 5,9  25281



Cụ thể
khách hàng.
Khi đó tổng thu nhập lớn nhất là 25281(USD).
Bài toán 4 (Ứng dụng trong Sinh học). Trong một môi trường dinh dưỡng có
1000 vi khuẩn được cấy vào. Bằng thực nghiệm xác định được số lượng vi khuẩn
1000  100. 5,9  1590

N  t   1000 

100t
100  t2 (con vi khuẩn), trong đó t là

tăng theo thời gian bởi qui luật
thời gian (đơn vị giây)). Hãy xác định thời điểm sau khi thực hiện cấy vi khuẩn
vào, số lượng vi khuẩn tăng lên là lớn nhất ?
 Phân tích:
● Tương tự như những bài toán trước, do đề bài đã mô hình hóa bài toán dưới

dạng hàm nên ta chỉ cần vận dụng kiến thức đạo hàm là có thể tìm được số lượng
tăng nhanh nhất của vi khuẩn.
Hướng dẫn giải.
Ta có tốc độ phát triển của đàn vi khuẩn tại thời điểm t là

6


N'  t 





100 100  t2  100t  2t 

 100 t 
2

N'  t   0 � t2  100 � t  10  0

Xét
Lập bảng biến thiên ta được:
t

2

1002  100t2

 100  t 

2

10
0

2

( t  0 )

.

0

N ' t



�

0





1005

N  t

  

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận
.
Bài toán 5 (Ứng dụng trong Hóa học). Đốt cháy các hidrocacbon của dãy đồng
maxN t  N 10  1005

đẳng nào dưới đây thì tỉ lệ mol H 2O : mol CO2 giảm dần khi số cacbon tăng dần ?
A.Ankan
B. Anken.
C. Ankin.
D. Ankylbenzen
 Phân tích:
● Để làm được bài này, ta cần có hiểu biết về kiến thức về chương Hidrocabon đã
học ở chương trình hóa lớp 9 hoặc hóa lớp 11.
● Từ đây ta thiết lập công thức tổng quát của 1 hidrocacbon là Cn H 2n22k
xt,t
Cn H 2n 2 2k  O2 ���
� nCO2   n  1 k H 2O
o

● Sau đó thực hiện phản ứng cháy
Đến đây ta thấy được tỉ lệ mol giữa nước và khí cacbonic sinh ra chính là
nH 2O
nCO2



n  1 k
n

f  n 

. Tới đây ta có thể xét hàm
điều kiện của k (chính là số liên kết  )
Hướng dẫn giải.

n  1 k
,n �N *
n
. Khảo sát và tìm

Công thức tổng quát của một hidrocacbon là Cn H 2n 22k với k là số liên kết 
trong phân tử . Phương trình phản ứng cháy là:
xt,t
Cn H 2n 2 2k  O2 ���
� nCO2   n  1 k H 2O
o

nH 2O

Ta có
Ta có

nCO2



n  1 k
n

f '  n 

. Xét hàm số

f  n 

n  1 k
,n �N *
n

k 1
n2 . Theo giả thiết ta có f  n là hàm nghịch biến nên f '  n  0
7


�

k 1
k��
 0 � k  1  0 � k  1���
� k  0 � CTTQ : Cn H 2n 2 : ankan
2
n

Bài toán 6 (Ứng dụng trong Y Học). Độ giảm huyết áp của bệnh nhân được cho
2
bởi công thức G(x) = 0,025x (30- x) với x là liều lượng thuốc được tiêm cho bệnh
nhân (x : miligam). Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm
nhiều nhất và tính độ giảm ?
 Phân tích:
● Tương tự như những bài toán đã cho sẵn hàm số, thì việc ứng dụng đạo hàm

không còn quá khó khăn nữa.
Hướng dẫn giải.
G  x 







1 2
1
1
x  30  x 
30x2  x3 � G'  x 
60x  3x2
40
40
40



�
x  20
G'  x  0 � �
x  0 ktm
�

Cho
Ta có bảng biến thiên sau:

x

G'  x

0

20
0



�


100

G  x

Dựa vào bảng biến thiên ta có maxG  x  100 � x  20.
Bài toán 7 (Ứng dụng trong thể thao). Trong nội dung thi điền kinh và bơi lội
phối hợp được diễn ra tại một hồ bơi có chiều rộng 50m và chiều dài 200m. Một
vận động viên cần chạy phối hợp với bơi (bắt buộc cả hai) khi phải thực hiện lộ
trình xuất phát từ A đến B như hình vẽ. Hỏi rằng sau khi chạy được bao xa (quãng
đường x) thì vận động viên nên nhảy xuống để tiếp tục bơi về đích nhanh nhất ?
Biết rằng vận tốc của vận động viên khi chạy trên bờ và khi bơi lần lượt là 4,5 m/s
và 1,5 m/s.

8

 Phân tích:
● Với lộ trình đã vạch sẵn như hình vẽ, ta thấy, cùng với chiều rộng và chiều dài
của hồ bơi, ta nhận thấy tổng quảng đường vận động viên đó phải đi sẽ là AC +
CB
● Giả sử đặt AC = x (x > 0). Khi đó ta nhận thấy để tính quãng đường bơi từ C
đến B thì phải dựa vào chiều rộng của hồ, và quãng đường còn lại nếu vận động
viên đi dọc theo bờ hồ.
● Do vận tốc trên bộ và dưới nước là khác nhau nên thời gian di chuyển cũng
khác nhau. Việc xác định x thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta có thể sử dụng ứng dụng
của đạo hàm.
Hướng dẫn giải.
Gọi C là vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh và
AC  x 0  x  200

Khi đó ta có

t1 

AC
x

vchay 4, 5

là thời gian đi từ A đến C.

Đồng thời quãng đường bơi chính là
Khi đó ta có

BC

t2 

vboi

BC  502   200  x

502   200  x
1,5

2

2

là thời gian đi từ C đến B.

502   200  x
x
T  t1  t2 

4
,
5
1,5
Tổng thời gian của vận động viên sẽ là

9

2

502   200  x
x
f  x 

,0  x  200
4
,
5
1
,
5
Xét hàm
2

Bài toán trở thành tìm
f'  x 

Ta có:

2 2

9 3

min f  x  ?

x� 0;200

  200  x

50   200  x

2

2

,x � 0; 200

f'  x  0 � 3 200  x  502   200  x
� 8 200  x  502 � xo 
2

2

400  25 2
�182,322
2

Lập bảng biến thiên ta có
x

f '  x

xo

0

�

0



f  x



f  xo 

�400  25 2 �
min f  x  f �
��75,87s
�
�
x� 0;200
2
�
�
Dựa vào bảng biến thiên ta có:

.
Bài toán 8 (Ứng dụng trong Xây Dựng).
Hãy xác định độ dài ngắn nhất cánh tay
nâng của cần cẩu bánh hơi có thể dùng
được để xây dựng tòa nhà cao tầng mái
bằng có chiều cao H và chiều rộng 2  ?
(Biết rằng cần cẩu thỏa mãn yêu cầu sau
đây: Có thể xê xích chiếc cẩu cũng như góc
nghiêng của cánh tay nâng để sao cho điểm
cuối của cánh tay nâng chiếu xuống theo
phương thẳng đứng thì trùng với trung điểm
của bề rộng (Hình vẽ). Ta giả sử ngôi nhà xây dựng trên miếng đất rộng, cần cẩu

có thể di chuyển thoải mái.
Hướng dẫn giải.
Gọi h là khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu dưới của cánh tay cần cẩu

 0 h H

10


Gọi  ,A,B,C,E là các kí hiệu như hình vẽ.
Khi đó cánh tay cần cầu là
Đặt

f  

AC  AB  BC 

H h
l

sin cos với 0    900

min f     ?
H h
l
� �

 ��
0;
�

sin cos . Bài toán trở thành tìm � 2 �

l sin3    H  h cos3 
 cos
sin
f '      H  h
l 2 
sin2 
cos 
sin2  .cos2 
Ta có:

f'     0 � tan3  

H h
 0 � tan 
l

Cho
Lập bảng biến thiên ta có



0

f '  

3

H h

 k 0
l

2

arctan k
0



f  



5
min ff   

� �
 ��
0; �
� 2�

 arctank   H  h

k2  1  l

1
1
k2

Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Như vậy, Trong phạm vi giới hạn cho phép của giải pháp sáng kiến trên đã
điểm qua một loạt các bài toán ứng dụng đạo hàm trong thực tế thường gặp. Có
thể thấy ngoài những lĩnh vực trên, vẫn còn nhiều lĩnh vực khác nữa cần đến kiến
thức của đạo hàm.
3.3. Khả năng áp dụng của giải pháp: Giải pháp trên có thể áp dụng cho đối
tượng học sinh lớp 12 đang trong quá trình ôn tập để kiểm tra, thi học kỳ, thi THPT
quốc gia, khi được phân tích hướng dẫn cách tiếp cận trên học sinh sẽ hình thành
kỹ năng quy lạ về quen và giải quyết bài toán chắc chắn hơn.
3.4. Hiệu quả, lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng giải
pháp:
- Qua thời gian thực hiện giải pháp mới cho thấy học sinh đã cảm thấy khá tự

tin khi tiếp cận với dạng bài toán thực tế có áp dụng đạo hàm, học sinh nhanh
11


chống nhận dạng và phân loại bài toán qua việc phân tích dữ kiện nên việc thiết
lập bài toán và hình thành hướng giải cũng nhanh hơn. Kết quả trước khi áp
dụng sáng kiến tỉ lệ học sinh ở lớp 12A3 năm học 2016 – 2017 và học sinh
12A6 năm học 2017-2018 trường THPT An Thới giải quyết được dạng bài này
là 40%, sau khi áp dụng tỉ lệ giải quyết được dạng toán này đạt trên 70% (tăng
30%), khi được làm quen giải có phương pháp mới này thì thời gian hoàn thành
những câu trên giảm so với lúc chưa áp dụng giảm khoảng 3 – 4 phút.
- Khắc phục được tâm lý ngại chinh phục những dạng toán thực tế có ứng
dụng đạo hàm, học sinh cảm thấy hứng thú hơn khi thấy được kiến thức lý
thuyết bấy lâu nay học thật sự rất gần gũi với mình.
3.5 Tài liệu kèm theo: không có

12