giúp học sinh nhanh chóng tiếp thu và giải thành thạo loại bài toán về ưcln và bcnn

PHÒNG GD& ĐT HUYỆN VĨNH TƯỜNG
TRƯỜNG THCS LÝ NHÂN

BÁO CÁO KẾT QUẢ
CHUYÊN ĐỀ CHUYÊN MÔN CẤP CỤM
MÔN: TOÁN

GIÚP HỌC SINH
NHANH CHÓNG TIẾP THU VÀ GIẢI THÀNH THẠO
LOẠI BÀI TOÁN VỀ ƯCLN VÀ BCNN

Người thực hiện: PHÙNG THỊ THU HÀ
Tổ chuyên môn: Khoa học tự nhiên
Số điện thoại: 0983 856 393
Email:

Lý Nhân, tháng 02 năm 2018
1


Mục lục
Tiêu đề
A . Phần Mở Đầu
1. Lời giới thiệu
2. Mục đích nghiên cứu
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4. Thời gian nghiên cứu
5. Địa điểm nghiên cứu
6. Phương pháp nghiên cứu
B. Phần Nội Dung
I.

Cơ sở khoa học
1. Cơ sở lí luận về vấn đề cần nghiên cứu
2. Tình trạng thực tế khi chưa nghiên cứu đề tài
3. Những nội dung và biện pháp thực hiện
4. Kết quả
C. Những kết luận và kiến nghị

Danh Mục Các Chữ Cái Viết Tắt
ƯCLN

Ước chung lớn nhất

BCNN

Bội chung nhỏ nhất

THCS

Trung học cơ sở

Danh mục Các Biểu Bảng
1. Kết quả khảo sát chất lượng bộ môn trước khi áp dụng chuyên đề
2. Kết quả khảo sát chất lượng bộ môn sau khi áp dụng chuyên đề

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lời giới thiệu
2

4
4

4
4
4
4
4
4
4
4
5
6
12
13


Việc đổi mới phương pháp dạy học đã và đang phát huy tính tích cực của nó,
bởi đây là phương pháp phù hợp với sự suy nghĩ, cách làm việc của con người
trong thời đại mới. Tuy vậy đây là một công việc không thể tiến hành trong một
sớm một chiều mà có thể hoàn thành ngay được bởi để làm tốt việc này nó đòi hỏi
một sự thay đổi ở chính suy nghĩ của mỗi giáo viên và học sinh. Hiểu rõ mục đích
của sự đổi mới phương pháp, hiểu rõ sự đòi hỏi của xã hội đối với giáo dục thì
mới đem lại hiệu quả mong muốn.
Đối với người giáo viên sự thay đổi đó thể hiện ở khả năng nắm bắt yêu cầu
kiến thức
+ hiểu rõ đối tượng học sinh + vận dụng phương pháp hợp lý.
Theo cá nhân tôi việc đổi mới này không phải từ những điều gì to tát mà là
chính những vấn đề đơn giản nhất, phục vụ đông đảo học sinh nhất.
2. Mục đích nghiên cứu :
- Giáo viên gây được hứng thú cho học sinh khi gặp hai loại bài toán này .
- Có kỹ năng nhận diện , phân biệt chính xác hai loại bài toán này.
- Có cách giải và cách trình bày chính xác khoa học, có kỹ năng thành thạo khi giải

toán .
- Giải được một số dạng bài toán mà cách giải vận dụng hai dạng toán cơ bản trên .
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Để thực hiện đề tài này tôi chọn đối tượng là học sinh đại trà lớp 6A, 6B trường
THCS Lý Nhân năm học 2017 – 2018.
4.Thời gian nghiên cứu
Từ tháng 9 năm 2017 đến tháng 2 năm 2018
5. Địa điểm nghiên cứu:
Trường THCS Lý Nhân
6. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm và trao đổi với đồng nghiệp thực tế trong quá
trình giảng dạy.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. Cơ sở khoa học
1. Cơ sở lý luận về vấn đề cần nghiên cứu:
Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính, môn học cơ sở là công cụ
cho các môn học khác và giải toàn là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.
Các bài toán trong chương trình phổ thông là một phương tiện đem lại hiệu quả cao
và không thể thiếu được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư
duy, hình thành các kỹ năng và ứng dụng bài toán học vào thực tiễn. Vì vậy tổ chức
có hiệu quả việc học cho học sinh kĩ năng giải bài tập toán có vai trò quyết định
trong việc nâng cao chất lượng của học sinh.
3


Bài toán vận dụng tìm ƯCLN và BCNN là một dạng bài toán cơ bản trong
chương trình lớp 6, và trong chương trình toán THCS. Các bài toán loại này rất
phong phú, đa dạng, nếu nắm vững kiến thức, dạng bài toán cơ bản học sinh có
điều kiện để giải rất nhiều bài tập liên quan tới kiến thức này.

Việc giải tốt loại bài toán này giúp cho học sinh hình thành thói quen làm
việc một cách khoa học, hình thành thói quen tìm ra các quy luật trong toán học nói
riêng và trong đời sống nói chung . Với học sinh đại trà yêu cầu của dạng bài tập
này không quá phức tạp, có lẽ vì vậy mà thời gian dành cho học hai bài toán loại
này không nhiều. Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất hay
nhầm lẫn trong việc tìm ƯCLN với BCNN phải mất khá nhiều thời gian mới có
thể phân biệt và giải thành thạo hai bài toán trên.
Chính vì vậy tôi muốn tìm ra cho mình một cách dạy, một quy trình truyền đạt
kiến thức cho học sinh để học sinh không mất nhiều thời gian mà vẫn nắm bắt chắc
chắn và giải thành thạo hai loại bài toán này.
2. Tình trạng thực tế khi chưa thực hiện đề tài
Khi dạy về ƯCLN; BCNN sau mỗi bài dạy đều có một tiết luyện tập. Để đánh
giá sự nắm bắt của học sinh về hai loại bài toán này tôi đã tiến hành khảo sát học
học sinh sau khi học song phần lý thuyết bằng việc kiểm tra 15 phút. Với đề bài
vừa gần với bài học vừa gần thực tế. Nội dung như sau:
Khối 6 của trường có 96 học sinh nam và 36 học sinh nữ. Trong một buổi liên
hoan ban tổ chức muốn chia đều học sinh ra thành từng nhóm, mỗi nhóm có cả
nam và nữ. Có thể chia nhiều nhất bao nhiêu nhóm, mỗi nhóm có bao nhiêu nam
bao nhiêu nữ.
Đáp án
Gọi a là số nhóm cần chia, ta phải có 96 a, 36 a
a là lớn nhất. Do đó a là ƯCLN ( 96, 36 )
Ta tính được a = 12. Chia nhiều nhất thành 12 nhóm
Mỗi nhóm có 96 : 12 = 8 ( nam )
36 : 12 = 3 ( nữ )
Kết quả kiểm tra như sau
Lớp

Không làm
được bài

Giải sai

Hiểu bài, có lỗi
trình bày

Làm được bài

Số bài

Tỉ lệ %

Số bài

Tỉ lệ %

Số bài

Tỉ lệ %

Số bài

Tỉ lệ %

6a: 42

7

16,7

10

23,8

15

35,7

10

23,8

6b: 40

8

20

7

17,5

17

42,5

8

20

Tổng: 82

15

18,3

17

20,7

32

39

18

22

Kiểm tra việc làm bài tập ở nhà của học sinh, thông qua việc chấm vở bài
tập của học sinh. Tôi nhận thấy :
4


Số học sinh hiểu nội dung làm được bài tập :
20%
Số học sinh hiểu nhưng chưa biết cách trình bày: 42.5%
Số học sinh không giải được bài tập :
37,5%
Như vậy rất nhiều học sinh không hiểu nội dung bài tập, không phân biệt được
việc giải phải sử dụng ƯCLN hay BCNN dẫn đến học sinh giải sai hoặc không giải

được loại bài tập trên. Điều này sẽ dẫn đến học sinh thiếu tự tin, thiếu hứng thú
trong học toán và sẽ ảnh hưởng trực tiếp đến chất lượng giáo dục .
Vậy làm thế nào để giúp học sinh chủ động nắm kiến thức, phân biệt và nắm
vững cách giải hai loại bài toán trên từ đó có thể giải những bài toán phức tạp hơn
là việc cần được giải quyết kịp thời.
3. Những nội dung, biện pháp thực hiện
a/ Biện pháp chung
Bước 1 : Chuẩn bị cho tiết học
 Đối với giáo viên :
Lựa chọn, sắp xếp các bài tập theo hệ thống từ dễ đến khó, từ đơn giản đến
phức tạp cho mỗi loại tìm ƯCLN hay BCNN.
Có bảng so sánh 2 bài toán cơ bản trên

+ Loại toán tìm ƯCLN có dạng
+ Loại toán tìm BCNN có dạng
Tìm m biết a  m, b  m, c  m , Tìm m biết m  a, m  b , m  c
với m là lớn nhất
m là nhỏ nhất
 Đối với học sinh
+ Nắm vững cách tìm ƯCLN và BCNN. Trả lời câu hỏi sau:
Điền từ thích hợp vào chỗ (...) trong bảng so sánh cách tìm ƯCLN
và BCNN
Cách tìm
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố

ƯCLN

BCNN

Xét các thừa số nguyên tố

.................

................

Lập tích các thừa số đó, mỗi thừa số lấy với số mũ

.................

................

+ Ôn lại cách tìm ƯC ( BC ) thông qua việc tìm ƯCLN ( BCNN ).
+ Chuẩn bị một số bài tập mà giáo viên cho thao yêu cầu của bài học
Bước 2: Thực hiện trên lớp
Giáo viên chỉ là người nêu vấn đề và hướng dẫn, dẫn dắt, còn học sinh chủ
động lĩnh hội kiến thức, sau đó giáo viên chốt lại những kiến thức quan trọng. Cụ
thể trong bước này tiến trình bài giảng được tiến hành như sau :
+ Học sinh ôn lại cách tìm ƯCLN và BCNN
5


+ Học sinh giải bài tập cơ bản
+ Học sinh ra đề toán mà cách giải như bài toán dạng cơ bản
(Đây là bước có ý nghĩa quan trọng của đề tài, vì nó giúp học sinh tiếp cận gần với
những bài toán dạng này một cách chủ động )
+ Vận dụng giải các bài theo yêu cầu kiến thức
 Đặc biệt trong bước thứ hai này bảng sẽ được chia làm hai phần
như minh hoạ dưới đây nhằm làm cho học sinh nhận rõ dấu
hiệu và cách giải của bài toán cơ bản, từ đó phân tích để đưa các
bài toán khác về dạng cơ bản này.

b/ Nội dung cụ thể
Dạng 1: BÀI TOÁN TÌM ƯCLN, BCNN
1. BÀI TOÁN TÌM ƯCLN
Bài 1: Tìm ƯCLN của:
a) 56 và 160
b) 24, 84 và 180
c) 60 và 180
d) 15 và 19
Ghi nhớ Các bước tìm ƯCLN
- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.
- Chọn ra các thừa nguyên tố chung.
- Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi số lấy với số mũ nhỏ nhât.
Tích đó là ƯCLN cần tìm.
Bài làm
a)- Phân tích 56 = 23.7 ; 140 = 22 .5.7
- Chọn thừa số chung là 2 và 7
- Với thừa số 2 mũ nhỏ nhất là 2
=> ƯCLN(56;140) = 22.7 = 28
b)24 = 23.3 ;84 = 22.3.7; 180 = 22. 32 .5
=> ƯCLN(24;84;180) = 22.3 = 12
c)Cách 1.
60 = 22. 3 .5; 180 = 22. 32 .5
=> ƯCLN(60;180) = 22. 3 .5 = 60
Cách 2.
Vì 60 là ước của 180 nên =>ƯCLN(60;180) = 60
d) Cách 1.
15 = 3. 5; 19 = 19
Hai số này không có thừa số chung nên=> ƯCLN(15; 19) =1
Cách 2.
19 là số nguyên tố (chỉ chia hết cho 1 và chính nó) nên ƯCLN(15;19) =1

Hay hai số 15; 19 là hai số nguyên tố cùng nhau.
Bài 2. Tìm ƯCLN rồi tìm các ƯC của:
6


a)16 và 24
b)180 và 234
c) 60;90 ;135
Ghi nhớ các bước làm
- Đầu tiên ƯCLN của các số.
- Các ước của ƯCLN này chính là các ƯC ủa các số này.
Bài làm:
a) 16 = 24; 24 = 23. 3
ƯCLN(16;24) = 23 = 8
Các ước của 8 là 1; 2; 4; 8
Vậy ƯC(16;24) = {1; 2; 4; 8}
b) 180 = 22. 32 .5; 234 = 2.32. 13
=> ƯCLN(180;234) = 2. 32 =18
Các ước của 18 là: 1; 2; 3; 6; 9; 18
Vậy ƯC(180; 234) = {1; 2; 3; 6; 9; 18}
c) 60 = 22. 3 .5; 90 = 2. 32 .5; 135 = 33. 5
=> ƯCLN(60;90;135) = 3 .5 = 15
Các ước của 15 là: 1;3;5;15
Vậy ƯC(60;90;135) = {1;3;5;15}
Các bài tập tương tự
Bài 1: Tìm ƯCLN của:
a) 16, 80, 176 ;
b) 18, 30, 77
Bài 2: Tìm ước chung lớn nhất của:
a) 40 và 60

b) 36, 60 và 72

c) 13 và 20

d) 28, 39 và 35

2. BÀI TOÁN TÌM BCNN
Bài 1.Tìm BCNN của:
a) 60 và 280
b) 84 và 108
c) 13 và 15
Ghi nhớ Các bước tìm BCNN
- Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố
- Chọn ra các thừa nguyên tố chung và riêng
- Lập tích các thừa số nguyên tố đã chọn, mỗi số lấy với số mũ lớn nhât.
Tích đó là BCNN cần tìm.
Bài làm
a) Phân tích 60 = 22. 3 .5;
280 = 23. 5 .7
Thừa số nguyên tố chung2; 5, thừa số nguyên tố riêng là 3; 7
Mũ lớn nhất của 2 là 3
=> BCNN(60; 280) = 23.3 5 .7 = 840
b) 84 = 22.3 .7; 108 = 22 .33
=> BCNN(84; 108) = 22 .33 .7 = 756
c) Cách 1.
7


13 =13; 15 =15

Hai số này không có thừa số nguyên tố chung
=> BCNN(13; 15) = 13.15 = 195
Cách 2.
Vì 13 là số nguyên tố( chỉ có hai ước là 1 và chính nó)
=> BCNN(13; 15) = 13.15 = 195
Bài 2: Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45
Cách làm dạng bài này trước hết chúng ta tìm BCNN(30; 45) các BC(30; 45)
chính là tích của BCNN(30; 45) nhân với 0;1;2; 3; 4….
- BC(30; 45):
30 = 2.3.5; 45 = 32 .5
=> BCNN(30; 45) = 2. 32 .5 = 90
=> BC(30; 45) = 2. 32 .5 ={0;90;180;270;360;450;540………….}
Vậy các bội chung nhỏ hơn 500 là 0;90;180;270;360;450
Các bài tập tương tự
Bài 1 : Tìm BCNN của:
a) 10,12,15;
b) 8,9,11;
c) 24,40,168.
Bài 2: Tìm BCNN của:
a) 40 và 52

b) 42, 70 và 180

c) 9, 10 và 11

DẠNG 2: TÌM SỐ CHƯA BIẾT (TÌM X)
1. BÀI TOÁN VỀ ƯCLN
Bài 1:
Tìm số tự nhiên a lớn nhất biết rằng 420  a và 700  a
Phân tích:

+ 420  a
+ 700  a  a  ƯC (400,700)
mà a lớn nhất thoả mãn điều kiện trên nên a là ƯCLN(400,700)
Bài giải
Theo bài ra a là ƯCLN(400,700)
400 = 24.52
700 = 22. 52 . 7
 ƯCLN(400,700) = 22. 52 = 100
Vậy a = 100
Bài 2
8


Tìm số tự nhiên x biết rằng
112  x, 140  x và 10 < x < 20
Phân tích tìm lời giải
Cơ bản vẫn giống như bài 1 song x không phải là ƯCLN mà là một ước thoả
mãn điều kiện
10 < x < 20
Vì vậy cách giải phải tiến hành theo hai bước sau:
B1: Tìm ƯCLN (112, 140)
B2: Tìm ƯC (112, 140) thoả mãn điều kiện 10 < ƯC < 20,thông qua ƯCLN.
ƯC tìm được là giá trị x cần tìm
Bài 3
Tìm số tự nhiên a biết 264 : a dư 24, 363 : a dư 43
Phân tích
264 : a dư 24  240  a và a > 24
363 : a dư 43  340  a và a > 43
Vì vậy a  ƯC( 240, 340 ) và a > 40
Đến đây việc giải bài toán này trở nên dễ dàng vì nó giống cách đã làm ở bài trên

Một số bai co cách giải tương tự
Bài 4 :
Tìm số tự nhiên a, biết rằng 398 chia cho a dư 38, còn 450 chia cho a thì dư 18
Bài 5
Tìm số tự nhiên a, biết rằng 350 chia cho a dư 14, còn 320 chia cho a thì dư 26.
2. BÀI TOÁN VỀ BCNN
Bài 1 :
Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 biết rằng a 15 và a  18
Phân tích
+ a  15
+ a  18  a  BC (15,18)
mà a nhỏ nhất khác 0
 a = BCNN(15,18)
Bài giải
Theo bài ra a là BCNN(15,18)
15 = 3.5
18 = 2.32
 BCNN(15,18) =2.32.5
Vậy a = 90
9


Bài 2
Tìm số tự nhiên x biết rằng
x  12 , x  21 , x  28
và 150 < x < 300
Phân tích tìm lời giải
Cơ bản vẫn giống như bài 1 song x không phải là BCNN mà là một bội chung
thoả mãn điều kiện

150 < x < 300
Vì vậy cách giải phải tiến hành theo hai bước sau :
B1: Tìm BCNN( 12, 21,28)
B2: Tìm BC ( 12, 21,28) thoả mãn điều kiện 150 < BC < 300,thông qua BCNN.
BC tìm được là giá trị x cần tìm
Bài 3
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất mà khi chia cho 3 dư 1, chia cho 4 dư 2, chia cho 5 dư
3 chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 13
Phân tích
Gọi x là số cần phải tìm thì x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6 nên x+2 là bội chung của
3,4,5,6
x+2 : 13 dư 2
BCNN (3,4,5,6) = 60
Tìm BC (3,4,5,6) bằng cách lấy lần l, 2 ,3 ... nhân với 60
ta thấy đến 10. 60 = 600 thì 600 :13 dư 2 tức là x+2 = 600  x= 598 chia hết cho
13
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 598.
Một số bài có cách giải tương tự
Bài 4
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho5, cho7, cho 9 có số dư theo thứ tự là
3, 4, 5.
Bài 5
Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho3, cho4, cho 5 có số dư theo thứ tự là
1, 3, 1.
DẠNG 3: BÀI TOÁN CÓ LỜI VĂN.
1. BÀI TOÁN VỀ ƯCLN
Bài 1.
Hùng muốn căt một tấm bìa hình chữ nhật có kích thước 60 cm và 96 cm
thàmh các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ
dài lớn nhất của cạnh hình vuông (Số đo cạnh hình vuông nhỏ là một số tự nhiên

với đơn vị là xentimet )
10


Phân tích
Cắt nhỏ tấm bìa có nghĩa là tại các cạnh hình chữ nhật được chia nhỏ thành
các đoạn, mà đoạn thẳng ấy ở chiều rộng bằng ở chiều dài, hay các đoạn nhỏ ấy
chính là ước chung lớn nhất của 60 và 96
Bài giải
Gọi độ dài của cạnh hình vuông là a ( cm ).
Ta phải có 60  a, 96  a và a là lớn nhất .
Do đó a là ƯCLN ( 60,96 ). Ta tính được a = 12.
Vậy độ lớn nhất của cạnh hình vuông là 12 cm.
Bài 2.
Ba khối 6, 7, 8 theo thứ tự có 300 học sinh, 276 học sinh, 252 học sinh xếp
thành hàng dọc để diễu hành sao cho số hàng dọc của mỗi khối là như nhau. Có thể
xếp nhiều nhất là mấy hàng dọc để mỗi khối đều không có ai lẻ hàng ? Khi đó mỗi
khối có bao nhiêu hàng ngang ?
Phân tích
Mỗi khối sẽ xếp cùng một số hàng dọc, số học sinh khác nhau thì số học sinh ở
mỗi hàng dọc khác nhau hay số hàng ngang mỗi khối khác nhau. Vậy số hàng dọc
cần xếp thì phải là ước của 300, của 276, của 252, mà số hàng dọc được xếp nhiều
nhất thì số hàng đó phải là ƯCLN(300, 276, 252)
Bài giải
Gọi số hàng dọc cần xếp là a. Thì 300  a, 276  a , 252  a mà là lớn nhất nên
a là ƯCLN( 300, 276, 252 )
300 = 22.3 .52
276 = 22.3.23  ƯCLN( 300, 276, 252 ) = 22.3 = 12
252 = 22.32.7
Vậy nhiều nhất có thể xếp được 12 hàng dọc

Khi đó khối 6 có số hàng ngang là 300 : 12 = 25 ( hàng )
Khối 7 có số hàng ngang là : 276 : 12 = 23 ( hàng )
Khối 8 có số hàng ngang là : 252 : 12 = 21 ( hàng )
 Các bài tập tương tự
Bài 1.
Lớp 6A có 42 học sinh trong đó số học sinh nam là 26 em, số học sinh nữ là
16 em. Đầu năm lớp muốn chia thành các tổ sao cho số học sinh nam, nữ ở mỗi tổ
là như nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy
Cách chia nào số học sinh nam, nữ ở mỗi tổ là ít nhất ?
Bài 2.
11


Trong một buổi liên hoan lớp 6A có mua một số bánh kẹo và hoa quả gồm
36 quả táo, 84 chiếc bánh, 168 chiếc kẹo.
Có thể chia số bánh kẹo và hoa quả nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa sao cho
mỗi đĩa có số bánh kẹo và hoa quả như nhau.
Bài 3.
Người ta muốn chia 200 hai trăm bút bi, 240 bút chì, 320 tẩy thành một số phần
thưởng như nhau. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, mỗi
phần thưởng bao nhiêu bút bi, bút chì, tẩy.
2. BÀI TOÁN VỀ BCNN
Bài 1.
Bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách. Tùng cứ 8 ngày đến thư viện
một lần, Hải 10 ngày một lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào một ngày.
Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì cả hai bạn lại cùng đến thư viện?
Phân tích
Tùng cứ 8 ngày đến một lần. Vậy sau số ngày chia hết cho 8 Tùng lại đến thư
viện

Hải cứ 10 ngày đến một lần. Vậy sau số ngày chia hết cho 10 Hải lại đến thư
viện
Do đó số ngày mà hai bạn lại đến lần thứ hai phải là một số chia hết cho cả 8 và
10. Hay số ngày đó phải là BCNN (8,10 ).
Bài giải
Gọi số ngày mà hai bạn lại đến lần thứ hai là x thì x 8, x 10.
Theo bài ra x phải là BCNN (8,10 ).Ta tìm được BCNN (8,10 ) = 40
Vậy sau 40 ngày cả hai bạn lại cùng đến thư viện .
Bài 2.
Nếu xếp một số sách vào từng túi 10 cuốn thì vừa hết, vào từng túi 12 cuốn thì
thừa 2 cuốn, vào từng túi 18 cuốn thì thừa 8 cuốn. Biết rằng số sách trong khoảng
từ 715 đến 100, tính số sách đó.
Phân tích
Xếp vào túi 10 thì vừa đủ, vậy số sách chia hết cho 10
Xếp vào túi 12 thì thừa 2 cuốn, vậy muốn chia hết cho 12 phải thêm ít nhất 10
cuốn
Xếp vào túi 18 thừa 8 cuốn, vậy muốn chia hết cho 18 cần có thêm ít nhất 10
cuốn
Do đó nếu thêm 10 cuốn thì số sách vẫn chia hết cho 10, đồng thời chia hết cho
cả 12 và 18.
Bài giải
12


Gọi số sách là a thì a + 10 10,

a + 10 12,
a + 10 18
và 715 < a < 1000.
 a + 10  BC ( 10,12,18) và 715 < a < 1000.

BCNN(10,12,18) = 180
 a + 10 = 180.n, Do đó a = 180.n – 10. Cho n = 5 ta được a = 890 thoả mãn
điều kiện đầu bài
Vậy số sách cần tìm là 890 cuốn .
 Các bài tập tương tự
Bài 1.
Tính số học sinh lớp 6A. Biết rằng nếu xếp hàng 6 hàng 7 hàng 14 đều vừa đủ
và số học sinh của lớp là một số nhỏ hơn 50.
Bài 2.
Tính số học sinh lớp 6B. Biết rằng nếu xếp hàng 6 hàng 7 hàng 14 đều thừa 2
bạn và số học sinh của lớp là một số nhỏ hơn 50.
Bài 3.
Ba con tàu cập bến theo lịch như sau : Tàu I cứ 15 ngày thì cập bến, tàu II cứ 20
ngày thì cập bến, tàu III cứ 12 ngày thì cập bến. Lần đầu cả ba tàu cùng cập bến
vào thứ sáu. Hỏi sau đó ít nhất bao lâu cả ba tàu lại cùng cặp bến vào thứ sáu.
DẠNG 4. BÀI TOÁN NÂNG CAO
1. BÀI TOÁN VỀ ƯCLN
Bài 1.
Chứng tỏ rằng hai số n + 1 và 3n + 4 (n ∈ N) là hai số nguyên tố cùng nhau
Giải.
Goị d là ước chung n + 1 và 3n + 4
n + 1 chia hết cho d và 3n + 4 chia hết cho d
Suy ra (3n + 4) - (3n + 3) cũng chia hết cho d => 1 chia hết cho d => d = 1
Vậy n + 1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau
Bài 2.
Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có tổng bằng 224, biết rằng ƯCLN của chúng
bằng 28.
Giải.
Đặt a = 28a', b = 28b', ƯCLN (a', b') = 1.
Ta có 28a' + 28b' = 224

28(a' + b') = 224
a' + b' = 224 : 28 = 8.
Do a' > b' và ƯCLN (a', b') = 1 nên
13


a'

7

5

b'

1

3

a

196

140

b

28

84

suy ra

* Các bài tập tương tự
Bài 1:Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có tích bằng 1944 , biết rằng ƯCLN của
chúng bằng 18
Bài 2: Tìm số tự nhiên a biết rằng 156 chia cho a dư 12, và 280 chia cho a dư 10
2. BÀI TOÁN VỀ BCNN
Bài 1: Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có BCNN bằng 336 và ƯCLN bằng 12

Giải.
Ta có a.b = BCNN(a, b) . ƯCLN(a, b) = 336.12 = 4032.
Vì ƯCLN(a, b) = 12 nên a = 12a', b = 12b' (a', b' ∈ N), ƯCLN(a', b') = 1.
Ta có 12a'.12b' = 4032.
⇒ a'b' = 4032 : (12.12) = 28.
Do a' > b' và ƯCLN(a', b') = 1 nên
a'

28

7

b'

1

4

a

336

84

b

12

48

suy ra

Bài 1: Tìm hai số a và b biết: BCNN(a,b) = 300;
Ta có ab = 300.15 = 4500(1)
Giả sử a ≤ b. Vì ƯCLN (a,b) = 15
Đặt a = 15a’; b = 15b’ với (a’;b’) =1 và a’ ≤ b’
Từ (1) suy ra 15a’.15b’ = 4500 => a’b’ = 20
14

ƯCLN (a,b) = 15


Ta có bảng sau:
a’

b’

a

b

1

20

15

300

4

5

60

75

 Các bài tập tương tự
Bài 1:Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng bằn 2940 và BCNN(a,b) = 210
Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a và b (a > b) có BCNN bằng 336 và ƯCLN bằng 12
4. Kết quả
Qua một thời gian thực hiện tôi thấy không khí giờ học thay đổi, các em có
hứng thú học tập, việc trao đổi tranh luận sôi nổi, mạnh dạn trình bày ý kiến của
mình trước lớp. Chất lượng bài giảng và khả năng giải bài tập loại này được nâng
cao cụ thể:
Qua khảo sát lần II hai lớp kết quả như sau:
Điểm
0;1;2
Số Tỉ
bài lệ%

Điểm
Điểm
Điểm
Điểm 9;10
3;4
5;6
7;8
Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ Số Tỉ lệ
bài %
bài %
bài %
bài %

6a:42

0

0

9

21,4 16

38,1 9

21,4 8

19,1

6b:40

0

0

6

15

16

40

8

20

10

25

Tổng:82

0

0

15

18,3 32

39

17

20,7 18

22

Lớp

Kiểm tra vở bài tập của học sinh kết quả như sau
Số học sinh hiểu nội dung làm được bài tập:
45 %
Số học sinh hiểu nhưng chưa biết cách trình bày: 40%
Số học sinh không giải được bài tập:
15 %
Đánh giá chung
Chất lượng bài kiểm tra cũng như bài tập của học được nâng lên, theo tôi không
hoàn toàn là do việc áp dụng sáng kiến này vào bài giảng, song chính những tác
động này làm cho các em thay đổi rất nhiều về cách suy nghĩ, cách làm việc một
cách chủ động tích cực cho nên nó tác động trực tiếp đến chất lượng khi giải loại
bài toán về ƯCLN và BCNN. Quan trọng là đã góp phần giúp học sinh tiếp cận
gần hơn với công cuộc đổi mới khoa học kỹ thuật trong thời đại mới, thời đại của
những con người năng động dám nghĩ dám làm.
15


C. NHỮNG KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Bài toán về ƯCLN và BCNN nói riêng và chương trình toán phổ thông nói

chung rất phong phú đa dạng, để học sinh học tốt qua đó có điều kiện nâng cao
kiến thức của mình trước tiên giáo viên phải giúp các em nắm vững, sâu sắc những
kiến thức cơ bản một cách có hệ thống một phương pháp suy nghĩ hiện đại, hiệu
quả. Làm tốt được điều đó người giáo viên phải thường xuyên trau dồi kiến thức,
trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp, xây dựng kế hoạch giảng dạy khoa học trên
cơ sở hiểu rõ đối tượng học sinh. Đặc biệt phải hiểu rõ mục đích, yêu cầu của việc
đổi mới phương pháp dạy học.
Qua quá trình thực hiện sáng kiến cũng như thực hiện nhiệm vụ giảng dạy của
mình tôi cũng đã giúp cho học sinh có thói quen suy nghĩ và làm việc tích cực.
Song chắc chắn còn có rất nhiều hạn chế. Rất mong nhận được sự đóng góp của
các bạn đồng nghiệp .
Lý nhân
Nhận xét, đánh giá, xếp loại
của Hội đồng khoa học cơ sở
( Chủ tịch HĐ ký, đóng dấu )

Lý nhân, tháng 01 năm 2018

Phùng Thị Thu Hà

16