Chuyên đề môn toán 9 rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trường THCS Tam Hồng

CHUYÊN ĐỀ
RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI
I. LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 bản thân tôi nhận thấy học sinh khi
giải dạng toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai: học sinh rất
sợ và thường rất lúng túng, hay mắc sai lầm như bỏ qua điều kiện, biến đổi sai ....
đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường có các bài toán liên quan đến
biểu thức chứa căn.
Để khắc phục được vấn trên bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề “ Rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” với mong muốn các em học sinh nắm rõ
phương pháp giải và có kỹ năng thành thạo khi làm các bài tập liên quan đến “ Rút
gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều
dạng toán khác sau này
Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai” được xây dựng dựa
trên kiến thức cơ bản của sách giáo khoa và phát triển dần theo mức độ, được sắp
xếp thành từng dạng để học sinh rễ học, rễ nhớ.
II. PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ

1. Phạm vi của chuyên đề:
- Áp dụng với đối tượng học sinh đại trà lớp 9.
2. Mục đích chuyên đề:
- Trao đổi với giáo viên tổ KHTN một số dạng bài tập và kỹ năng về rút gọn
biểu thức chứa căn bậc hai trong các giờ bồi dưỡng học sinh đại trà.
- Giúp học sinh có kĩ năng khai thác và giải một số dạng bài tập về rút gọn
biểu thức chứa căn thức bậc hai.

1
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”

Trường THCS Tam Hồng

III. NỘI DUNG
A. LÍ THUYẾT:

1. Những hằng đẳng thức đáng nhớ:
1. (A+B)2 = A2 +2AB +B2
2. (A – B)2 = A2 –2AB +B2
3. A2 –B2 = (A-B )(A+B)
4. (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3
5. (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3
6. A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2)
7. A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2)

2. Các công thức biến đổi căn thức:
có nghĩa khi A≥ 0

1

A

2

A2 = A

3

AB =

4

A
=
B

5

A2 B = A

6
7
8
9
10
11

A. B

A

với A  0 ; B > 0

B

với B  0

B

với A  0 ; B  0
với A < 0 ; B  0

A B = A2 B
A B = - A2 B
A 1
=
B B
A

=

với A  0 ; B  0

với AB  0 và B  0

AB

A B
B

B
C
C ( A B)
=
A − B2
AB

C
C( A

B)
=
A− B
A B

với B > 0
ví i A  0, A  B 2
ví i A  0, B  0, A  B

2
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

3. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử:
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng hằng đẳng thức.
- Nhóm các hạmh tử.
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử....
Bằng cách phân tích thành nhân tử ta có thể rút gọn nhân tử chung ở cả tử và mẫu
của một phân thức.
4. Các tính chất cơ bản của một phân thức.
A
=
B
A
=
B

A.M
(M  0)
B.M
A: N
(N là nhân tử chung của A, B)
B:N

Sử dụng các tính chất này ta có thể nhân với biểu thức liên hợp của tử ( hoặc mẫu)
của một phân thức, giản ước cho một số hạng khác 0, đổi dấu phân thức,... đưa
phân thức về dạng rút gọn.
B. CÁC DẠNG TOÁN:

- Dạng 1: Rút gọn biểu thức số
+ Dạng 1.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào
trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng.
+ Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc
hiệu
+ Dạng 1.3: Trục căn thức, quy đồng.
- Dạng 2. Rút gọn biểu thức chứa chữ.
+ Dạng 2.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ra ngoài, vào
trong dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất hiện căn đồng dạng.
+ Dạng 2.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc
hiệu
+ Dạng 2.3: Trục căn thức, quy đồng.
- Dạng 3. Các bài toán liên quan đến giá trị biểu thức sau khi rút gọn: (Tính
giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức
thoả mãn một điều kiện nào đó. Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên của biểu
thức....)

3

Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ:
*MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN 1

Nhận xét biểu thức trong căn. Phán đoán phân tích nhanh để đưa ra hướng
làm cho loại toán:
+ Vận dụng các phép biến đổi một cách hợp lý và thành thạo.
+ Phân tích các biểu thức số phù hợp để vận dụng được các phép biến đổi
+ Luôn chú ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích
+ Triệt để sử dụng các phép biến đổi căn thức như: Nhân, chia hai căn thức bậc
hai, đưa thừa số vào trong hay ra ngoài dấu căn, khử mẫu của căn thức, trục căn
thức ở mẫu…
Dạng 1.1: Sử dụng các phép biến đổi đơn giản: Nhân, chia căn bậc hai; đưa
thừa số ra ngoài, vào trong dấu căn; khử mẫu biểu thức lấy căn để làm xuất
hiện căn thức đồng dạng.
* Lưu ý thêm:
- Thực hiện phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai để làm xuất hiện các căn
thức đồng dạng.
+ Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A = 20 − 45 + 3 18 − 72
B = 125 − 4 45 + 3 20 − 80
C = 75 + 48 − 300
D = 98 − 72 + 0,5 8
E = 2 40 12 − 2 75 − 3 5 8
F = 2 8 3 − 2 5 3 − 3 20 3
G = ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 3 22

H = ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 3 22
I = ( 2 3 + 5 ) 3 − 60

F = ( 5 2 + 2 5 ) 5 − 250
K=

(

28 − 2 3 + 7

)

7 + 84

4
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

+ Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau
27
48 2 75
−
−
4
9 5 16
9
49
25

B= 2 −
+
8
2
18
 8
50 
C =  − 24 +
. 6
3 
 3

A= 2

1
1
. 2. 125.
8
5

D=

1 1 3
 4 1
2
−
4,5 +
50  :
5
2 2 2

 5 8

E = 

+ Dạng 1.2: Đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc
hiệu.
* Lưu ý thêm: Hướng dẫn học sinh để làm mất dấu căn ta đi biến đổi biểu thức
dưới dấu căn thành bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu nhờ
hằng đẳng thức (A+B)2 = A2 +2AB +B2 hoặc (A – B)2 = A2 –2AB +B2 để áp dụng
được hằng đẳng thức A2 = A .
+ Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau:
A=

B=

(1 − 2 )
(1 − 3 )

E = 4+ 7 − 4− 7

2

2

F = 6+ 2 2 3− 4+ 2 3

+ 4+2 3

C = 6−2 5 + 6+2 5

G = 13 + 6 4 + 9 − 4 2

D = 14 + 6 5 + 14 − 6 5

H=

4−2 3
6− 2

+ Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa căn thức bằng cách trục căn thức hoặc
quy đồng:
Lưu ý: Tùy từng bài mà ta có thể trục căn thức ở mẫu hoặc quy đồng hoặc
rút gọn từng số hạng
+ Ví dụ 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A =

3
4
+
5− 2
6+ 2

b) B =

2 −1
2
2 +1
−
+
2 +2 2+2 2

2

5
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

c)

C=

15 − 12 6 + 2 6
−
5 −2
3+ 2

Giải:
a) Quy đồng mẫu:
A=

3( 6 + 2) + 4( 5 − 2) 3 6 + 3 2 + 4 5 − 4 2
3 6+4 5− 2
=
=
. Bế tắc!
( 5 − 2)( 6 + 2)
30 + 10 − 12 − 2
30 + 10 − 2 3 − 2

Trục căn thức ở mẫu
A=

3( 5 + 2)
4( 6 − 2)
+
( 5 − 2)( 5 + 2) ( 6 + 2)( 6 − 2)

3( 5 + 2) 4( 6 − 2)
+
= 5+ 2+ 6− 2 = 5+ 6.
5−2
6−2
2 −1
2
2 +1
2 −1
2
2 +1
−
+
=
−
+
b) B =
2 +2 2+2 2
2
2
2 2 +1 2 2 +1

=

(

C=

)

=

2 −1
2
2 +1
−
+
2 +2 2+2 2
2

=

2 −1
2
2 +1
−
+
2+2
2( 2 + 2)
2

=

( 2 − 1) 2 − 2 + ( 2 + 1)( 2 + 2)
2( 2 + 2)

=

2− 2 −2+2+2 2 + 2 +2
2( 2 + 2)

=
c)

) (

2(2 + 2)
4+2 2
= 2
=
2( 2 + 2)
2( 2 + 2)

(

)

(

3 5 −2 2 3 3+ 2
15 − 12 6 + 2 6
−

=
−
5 −2
3+ 2
5 −2
3+ 2

)

= 3−2 3
=− 3

*DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIÊU THỨC CHỨA CHỮ
Với biểu thức chữa chữ cũng làm tương tự như biểu thức số. Chỉ khác là khi
biến đổi phải kèm theo điều kiện.
Ví dụ 1: Rút gọn các biểu thức sau:
A = 9 x − 16 x + 49 x (với x  0 )
B = 16 x + 2 40 x − 3 90 x (với x  0 )
6
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

1
1
1
28 x −
63x +
343x − 9

2
3
7
1
3
x −1
D=
x −1 −
9 x − 9 + 24
2
2
64
E = 16 x − 32 + 9 x − 18 − 4 x − 18

(với x  0 )

C = 5 7x −

F = 5a 64ab3 − 3. 12a3b3 + 2ab 9ab − 5b 81a3b
I=

( với x  1)
( với x  2 )
( với a  0, b  0 )

a
a b
+ ab +
b
b a

Ví dụ 2: Rút gọn các biểu thức sau
A = x2 + 4 x + 4 + x2 − 4 x + 4

B = x − 4 + 16 − 8x + x2 với x  4
C = 6 − 2 x − 9 − 6 x + x2 với x  3
D = x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 với x  2
E = x + 2 2 x − 4 + x − 2 2 x − 4 với x  2

Ví dụ 3: Rút gọn các biểu thức sau
A=

x x−y y

( với x  0; y  0; và x  y)

x− y

B=

a+ b
a− b
(với a  0; b  0; và a  b)
+
a− b
a+ b

C=

a −b

a 3 − b3
−
(với a  0; b  0; và a  b)
a −b
a− b

D=

x2 + 2 2x + 2
(với x  
x2 − 2

E = 4x − 8 +

2)

x3 + 2 x 2
(với x  −2 )
x+2

x −1
F=
y −1

( y − 2 y + 1)
4
( x − 1)

I = a−(

1
a − a −1

2

( với x  1; y  1và y  0 )
1

−

a + a −1

);(a  1)


a
b 
G = 
+
 . a b - b a với a  0, b  0, a  b
ab-b
ab-a



(

H=

x + y + 2 xy

x+ y

:

1
x− y

)

Với x > 0, y > 0 và x  y.

7
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

x
2x − x
với x  0; x  1
+
x −1
x−x
 a+3 a
  a −1

N = 
− 2   
+ 1 , víi a  0; a  1.
 a +3

  a −1 
M=

1 
a
 1
P=
+
 : a − 4 , với a > 0 và a  4
a −2
 a +2

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN
GIÁ TRỊ BIỂU THỨC SAU KHI RÚT GỌN

DẠNG 3:

(Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. Tìm giá trị biến biết giá trị biểu
thức thoả mãn một điều kiện nào đó. Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên của
biểu thức....)
* CÁC BƯỚC THỰC HIỆN:

Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác
không… nếu bài toán chưa cho)
Bước 2: Rút gọn biểu thức đã cho
Lưu ý:
+ Áp dụng quy tắc đổi dấu một cách hợp lý để làm xuất hiện mẫu thức
chung
+ Thường xuyên để ý xem mẫu này có là bội hoặc ước của mẫu khác không.
Bước 3: Sử dụng kết quả rút gọn để giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị của

biểu thức ( luôn phải chú ý đến điều kiện xác định).
Ví dụ 1: Cho biểu thức
A=

x x +1 x −1
−
x −1
x +1

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của A khi x =

9
4

c) Tìm x để A = 5
d) Tìm tất cả các giá trị của x để A<1.
e) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
f) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = A( x − 1)
Giải:
ĐKXĐ:



x0
x −1 0

  xx 10

8

Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

a) A =

(

x x +1

)(

x −1

)

x +1

−

(

)

x x + 1 − ( x − 1) x − 1
x −1
=
x +1
x −1

x +1

(

)

x x +1− x x + x + x −1

=
=

)(

(

(

=

)(

)

x −1

x+ x

)(

x −1

x +1

)

x +1

x
x −1

3
3
9
3
3
b/ Với x = ta có x = khi đó A = 2 = 2 = .2 = 3
2
1 2
4
2
−1
3
2
x
c) Với x  0, x  1 . Để A = 5 thì
=5
x −1
5
25
 x = 5 x −5  4 x = 5  x =  x =

( thỏa mãn ĐKXĐ)
4
16
25
Vậy x =
thì A = 5
16
x
1
d) Với x  0; x  1. Để A < 1 thì
x −1
x
x − x +1
−1  0 
0
x −1
x −1
 x −1  0  x  1  x  1


1
0
x −1

Vậy với 0  x  1 thì A <1.
( Lưu ý cách làm sai của HS là

x
 1  x  x − 1  0  −1 ( vô lý). Vậy không
x −1

tìm được x)
x
x −1 +1
1
=
= 1+
x −1
x −1
x −1
1
Để A nhận giá trị nguyên thì
nguyên.  x − 1−1;1
x −1
+ nếu x − 1 = 1  x = 4 (thỏa mãn ĐKXĐ)
+ nếu x − 1 = −1  x = 0 (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x 0; 4 thì A nhận giá trị nguyên

e) Với x  0; x  1 thì A=

( từ phần e có thể khai thác thêm :

Tìm x chính phương để A nguyên
9

Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

Tìm x nguyên tố để A chính phương
...
x
x −1

f) Với x  0; x  1. Ta có B= A(x-1) =

(

)(

x −1

)

x +1 = x

(

)

x +1 = x + x

Vì x  0; x  1 thì x + x  0 . Dấu bằng xẩy ra khi x = 0. Vậy giá trị nhỏ nhất của B
bằng 0 khi x = 0
( Lưu ý cách làm sai của HS: B =

( )

Kết luận giá trị nhỏ nhất của B = −

x

2

2

1 1 1 
1 1
1
+ 2 x. + − =  x +  −  −
2 4 4 
2 4
4

1
là sai. Vì ta không tìm được điều kiện để dấu
4

bằng xẩy ra).

II. Bài tập:
Bài 1. Thực hiện phép tính:
1) 8 − 2 72 + 18
2) 3 18 − 32 + 4 2 + 162
3) 2 18 − 3 98 + 4 8
4) 125 − 4 45 + 3 20 − 80
5) 252 − 700 + 1008 − 448
1
1

6)
48 − 2 12 − 1
2
3

7) 3 200 − 2 0, 08 − 4
8)

(

5− 3

)

2

9
8

+ 60

(2 − 2 )
1
+ (1 − 5 )
5
2

9) 18 − 2 50 +
10) 45 − 10

2

7− 2

)

2

+

(

12)

(3 − 3 )

13)

1 3
1
+
+
3
3 2− 3

2

−

)

3)

7+ 2

(3 +

2

16) 21 − 12 3 − 3
17) 3 − 5 − 3 + 5

( 3 − 2) 5+ 2 6
19) ( 72 − 2 2 + 3 5 ) 2 − 90
20) ( 12 + 75 + 27 ) : 15
21) ( 125 − 4 45 + 3 20 − 80 ) : 5
22) ( 5 + 21 )( 14 − 6 )( 5 − 21 )( 24 +
23) ( 4 + 15 )( 10 − 6 ) 4 − 15
18)

56

24) 4 + 8 2 + 2 + 2 2 − 2 + 2
25) ( 2 8 + 3 5 − 7 2 )( 72 − 5 20 − 2 2 )

11)

(

9
49

2
−
+
8
2 1− 2

14) 3

− 28

26)

2

(

16
3− 2

)

2

+

(

9
3+ 2

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau

10
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”

)

2

)


Trường THCS Tam Hồng

1) 3 + 2 2 + 6 − 4 2
2) 21 + 8 5 + 21 − 8 5
3) 8 − 2 15 + 8 − 2 15
4)

2 − 3 1− 3
+
2
2

5) 12 − 6 3 + 21 − 12 3
6)

5
3
+

5− 3
5+ 3

2


5 
3
6) 5  2 + 3 + 3 − 5 −  +  2 + 3 + 3 + 5 − 
2 
2

1
1
7)
−
3− 2
3+ 2
4
1
6
8)
+
+
3 +1
3−2
3 −3

12)

7 − 4 3 28 − 10 3
−
3−2
5− 3
 3− 3  3+ 3 
+ 1
8) 1 +

3 − 1   3 + 1 


13)

9)

15)

7)

 6− 2 5 
1
−

 :
5 5− 2
 1− 3

10)

2+ 3

2− 3
+
2− 3
2+ 3

14)

5− 3
5+ 3
5 +1
+
+
5+ 3
5− 3
5 −1
2+ 3  2+ 3
2
2+ 3
:
−
+

2
2
6
2 3


6−4 2 + 6+4 2

+


.



1

7+ 3
3− 2
7 −5 6− 7
6
5
−
+
−
2
4
4− 7 4+ 7

1
6
7 −5
−
−
2
4 − 11 3 + 7
7 −2
 5− 3  5− 3

+ 1 :
17) 
 5− 3  5+ 3

16)

5

+

Bài 3: Rút gọn các biểu thức sau
3
1  x −9

A=
+
với x > 0, x  9
.
x +3 x
 x −3 x
1
 1
 x+2 x
−
B= 
.
x
 x−4 x + 4 x +4

1 - a a

C = 
+
1
a

D=

( với x > 0, x  4 ).

2

 1 - a 
a 
 1 - a  với a ≥ 0 và a ≠ 1.



x+ x
x−4
với x > 0
+
x
x +2

 x + x  x − x 
E = 1 +
  1 +
 với 0  x  1.
 1+ x  1− x 

9 a − 25a + 4a3
với a  0 .
F=
a 2 + 2a

G = ( a − 1 + 1)2 + ( a − 1 − 1)2 với a > 1

11
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”

2


Trường THCS Tam Hồng

H=

x2 − x
x2 + x
−
+ x + 1 với x  0.
x + x +1 x − x +1

3 x +6
x  x-9
I = 
+
:
x − 2  x − 3
 x-4

với x  0, x  4, x  9 .

2
x 2 - 2x + 1
M=
.
, với 0 < x < 1
x-1
4x 2

BÀI TOÁN TỔNG HỢP
Bài 1: Cho biểu thức

B=

x
1
1
+
+
x−4
x −2
x +2

( Đ/S:

x
)
x −2

(Đ/S:

x + 16
)
x +3

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi x = 4 − 2 3
c/ Tìm giá trị của x để B<

1
3

d) Tìm x nguyên để B là số nguyên tố
Bài 2: Cho biểu thức A =

x x + 26 x − 19 2 x
x −3
−
+
x + 2 x −3
x −1
x +3

a) Rút gọn A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
 x −2
x + 2   1− x 

−
Bài 3: Cho biểu thức B = 
 . 

 x −1 x + 2 x +1   2 

2

(Đ/S: − x ( x − 1) )

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x để B > 0
c) Tìm x để B = -2
d) Tìm giá trị lớn nhất của B
Bài 4: Cho biểu thức C =

x
2 x
3x + 9
+
−
x +3
x −3 x −9

(Đ/S:

3
)
x +3

(Đ/S:

x −5
)
x +5

a) Rút gọn biểu thức C
b) Tìm giá trị của x để C =

1
3

c) Chứng minh rằng với x thỏa mãn ĐKXĐ thì A < 2
d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A
Bài 5: Cho biểu thức D =

x
10 x
5
−
−
x − 5 x − 25
x +5

a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
12
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

b) Tính giá trị của D khi x = 9
c) Tìm x để D<

1
3

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của D
e) Tìm x nguyên để D nhận giá trị nguyên


1 

1

2 

1

Bài 6: Cho biểu thức B = 1 +  . 
+
−

x   x +1
x −1 x −1 

a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm giá trị của x để B = 3

(Đ/S

2
)
X



1
1  1

−
+ 1 với a >0 và a  1 ( Đ/S 2 )

1+ a
 1 − a 1 + a  a 

Bài 7: Cho biểu thức: P = 

a) Rút gọn biểu thức P.

1
2

b) Với những giá trị nào của a thì P >
b

Bài 8: Cho biÓu thøc B = (

b +2

−

b
b −2

+

4 b −1
1
víi b  0 vµ b  4
):
b−4
b +2

a) Rót gän biÓu thøc B
( Đ/S

b) TÝnh gi¸ trÞ cña B t¹i b = 6 + 4 2
Bài 9: Cho biểu thức: P =

x x −8
x+2 x +4

+ 3(1 − x ) , với x  0

−1
)
b +2

( Đ/S 1 − 2 x )

a/ Rút gọn biểu thức P.
b/ Tìm các giá trị nguyên dương của x để biểu thức Q =


1

x +1



1

Bài 10: Cho biểu thức A = 
+
:
2
x − 1  ( x − 1)
 x− x

2P
nhận giá trị
1− P
x −1
( Đ/S
)
x

a) Nêu ĐKXĐ và rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A =

1
3

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = A - 9 x


x

1

 

1

2 

+
+
Bài 11: Cho biểu thức : A = 
 : 
 ( x  0, x  1)
 x −1 x − x   x +1 x −1 
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm các giá trị của x sao cho A  0 .

( Đ/S

13

Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”

x +1
)
x


Trường THCS Tam Hồng

Bài 12: Cho M =

x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

(Đ/S M = 2)

a) Tìm điều kiện để M có nghĩa.
b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
c) Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3  . Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 

Bài 13: Cho biểu thức : A =

1
1
−
+1
x −1
x +1

a) Rút gọn biểu thức A .
b) Tìn x để A = - 3
c) Tìm x nguyên để giá trị của A là nguyên tố
x
1
với x>0 và x  1
−
x −1 x − x

Bài 14: Cho biểu thức Q =
a) Thu gọn Q

1
9

b) Tìm các giá trị của x  R sao cho x  và Q có giá trị nguyên.
Bài 15: Cho biểu thức: T =

2x 2 + 4
1

1
−
−
3
1− x
1+ x 1− x

a) Tìm điều kiện của x để T xác định. Rút gọn T
b) Tìm giá trị lớn nhất của T.
Bài 16: Cho M =

x x −1 x x +1
−
x− x
x+ x

(Đ/S M = 2)

a) Tìm điều kiện để M có nghĩa.
b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa)
c) Cho N=

1
6
1 
3
 6x + + x + 3  . Tìm tất cả các giá trị của x để M = N
18 
x
x 



1



1

x

+
Bài 17: Cho biểu thức P = 
(với x > 0, x  1)
:
x −1  x - 2 x +1
x- x
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tìm các giá trị của x để P >

1
.
2



a
a  a +1
−
 :

a
−
1
a
a

 a-1

Bài 18: Cho biểu thức A = 

với a > 0, a  1

14
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
a a -1

a a + 1

a +2

Bài 19: Cho biểu thức: P = 
với a > 0, a  1, a  2.
:
a + a  a - 2

 a- a
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.

Bài 20: Cho biểu thức
P=

x +1
+
x -2

2 x
2+5 x
với x ≥ 0, x ≠ 4.
+
4-x
x +2

1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P = 2.


x
1   1
2 
+
 : 

 x - 1 x - x   x +1 x - 1 

Bài 21: Cho M = 

với x  0, x  1 .

a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
Bài 22: Cho biểu thức: K =

x
2x - x
x -1 x - x

với x >0 và x  1

1) Rút gọn biểu thức K
2) Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 2 3


1



1

x

−
Bài 23: Cho biểu thức P = 
với x > 0.
:

x +1  x + 2 x +1
x+ x

a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị của x để P >

1
.
2



a
a
−
 a +1 a + a

Bài 24: Cho biểu thức A = 

 a −1
 :
 a-1

với a > 0, a  1.

1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Bài 25: Cho biểu thức



P = 

1

 a −3

+


3 
1 −
 với a > 0 và a  9.
a + 3 
a
1

a) Rút gọn biểu thức P
15
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”


Trường THCS Tam Hồng

b) Tìm các giá trị của a để P >


1
.
2

2 a 

1

2 a



:
 với a > 0, a  1
−
Bài 26: Cho biểu thức A = 1 −
 

 a +1  a +1 a a + a + a +1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi a = 2011 - 2 2010 .

Bài 27: Cho biểu thức:

 x
1 

Q =  −

2
2
x




2

 x +1

 x −1 −


x −1
.
x + 1 

a) Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
2) Tìm tất cả các giá trị của x để Q = - 3 x - 3.
Bài 28: Cho biểu thức: P =

2 a
a +1 3 + 7 a
với a > 0, a  9.
+
+
9−a
a +3
a −3

a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.

C. KẾT LUẬN

Do thời gian có hạn và mục đích chính của chuyên đề là áp dụng cho học sinh
đại trà, nên lượng bài tập còn đơn giản và chưa thật sự đa dạng, đầy đủ. Trong quá
tình viết chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót, rất mong các đồng chí trong tổ tham
gia góp ý xây dựng để chuyên đề của tôi có khả năng áp dụng rộng rãi và có tính
thiết thực hơn!
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Tam Hồng, tháng 11 năm 2019

Nguyễn Thị Dinh

16
Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai”